Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336.. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ.[r]

(1)

Bài 1: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Xác định a, b để đa thức 16x4- 32x3+24x2+ + chia hết cho đa thức ax b 4x2- 8x+

b) Cho n

1

S

5 85 16 32 24

n

n n n n

-= + + +

- + - + , với n nguyên dương Chứng minh

1

n

S <

Gọi S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Hãy tìm số tự nhiên n biết S(n) = n2 – 2015n + < S(n) n

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) Tìm số nguyên x để N x2 6x 6 số phương.

Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên. Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

a) Tìm hai số nguyên tố p, q cho p2 = 8q + 1.

b) Chứng minh n5 - n chia hết cho 30 với n Î N

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho số thực x, y, z khác 0, đôi khác thỏa điều kiện

 

2 2

x  xyy  yz z  zx a a Ỵ 

a) Chứng minh a 0, từ suy

1 1 x yz   b) Chứng minh

3 x z y

z yx  

Bài 7: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020) a) Tồn hay không ba số thực a b c, , thỏa mãn 2

1 ? 2019

a b c

b  ac c  ab a  bc  b) Tìm tất cặp số nguyên x y,  thỏa mãn

2 85

13

x y x y



 



Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013- ĐỀ DỰ PHÒNG) Tìm s t nhiên ố ự n đ ể n 18và n  41 hai s phố ương

Bài 9: ( HSG TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tìm số tự nhiên có chữ số abc thỏa:

2 ( 2) abc n cba n

  

 

  



(2)

100

1 1

19

a  a   a 

Chứng minh 100 số tự nhiên đó, tồn hai số Bài 11: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Tìm s nguyên t ố ố p cho 2p + 4p + s nguyên tố ố

b) Tìm s nguyên t ố ố p cho t ng ổ ướ ủc c a p m t s ph ng.4 ộ ố ươ Bài 12: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2

Chứng minh a + b + c + d hợp số

b) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn:(x2 3) (xy3) Bài 13: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm tất ba số nguyên tố , ,a b c đôi khác thoả mãn điều 20abc30(ab bc ca  ) 21 abc

Bài 14: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n là số phương. Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Tìm số thực x để số

2

3; 3;

x x x

x

  

số nguyên b) Tìm x nguyên dương để 4x314x29x 6 số phương.

c) Cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n ngun dương Chứng minh: Trong dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Chứng minh 12 số tự nhiên có ba chữ số, ln tồn hai số cho ghép chúng lại cạnh để số có sáu chữ số chia hết cho 11

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3- 4p+9 số phương Bài 18: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho đa thức P(x) bậc có hệ số nguyên Biết P(x) nhận giá trị 2003 với giá trị nguyên khác x Chứng minh rằng: Với x ZỴ thì P(x) khơng thể có trị số 2010.

Bài 19: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012).

a) Chứng minh n3 – n chia hết cho 24 với số tự nhiên n lẻ. b) Cho a, b, c số thực dương thõa điều kiện :

(3)

Chứng minh: c  a c  b c  a + b

Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho

a) Chứng minh n6 2n + n4 chia hết cho 36 với n nguyên dương b) Cho ba số phân biệt a, b, c

Đặt: x =   a + b + c  9ab

, y =   a + b + c  9bc

, z =   a + b + c  9ac

Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có số dương

Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013).

a) Chứng minh: n6 - n4 – n2 + chia hết cho 128 với n số tự nhiên lẻ.

b) Trong phép chia a cho b (a, b số tự nhiên), tăng số chia b cho đơn vị thương số không thay đổi trường hợp nào?

Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019). Chứng minh với n số chẵn n320n 96 chia hết cho 48.

Bài 25: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Cho số nguyên x,y,z thoả mãn: x2 + y2 = z2 Chứng minh xyz 60

b) Tìm số tự nhiên khác cho tổng nghịch đảo chúng số nguyên

c) Cho tam giác vng có số đo ba cạnh số nguyên, số đo hai cạnh hai số nguyên tố hiệu chúng 50 Tính số đo nhỏ cạnh thứ ba đạt

Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011).

Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011).

27.1.Cho a, b, c ba số thực dương

(4)

2 2

2

2010 2011 a b

b c b ac

  



 

 





27.2.Chứng minh với số n nguyên dương số xn12 n1 n n1 n2 1 23 viết thành tổng bình phương ba số nguyên dương lẻ liên tiếp

Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013).

Cho p 2p + hai số nguyên tố lớn Chứng minh 4p + hợp số. Bài 29: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa

1 1 1

a  b c Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.

b) Tìm số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Bài 30: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012).

Cmr : P = 1.2.3 2009.2010

1 1 1

1

2 2009 2010

 

     

 

  chia hết cho 2011

Bài 31: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009). Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời điều kiện: a+b+c =

1

a+

1

b+

1

c=1 . Chứng minh: a2009+b2009+c2009=1 .

Bài 32: ( HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011).

Cho a, b, c Ỵ Z tháa m n ®iỊu kiƯn ·

 

    

 

 

2

2 2

1 1 1

a b c a b c

Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3

a) Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên P=

(ab−1) (bc−1) (ca−1)

abc .

b) Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a

1−a+

b

1−b+

c

1−c=

3

2 .

Chứng minh tam giác ABC

Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab a b

a b  

 Bài 35: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009 – 2010).

(5)

Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b2  chia hết cho a4  b4 chia hết cho

Bài 37: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Cho a b số thỏa mãn a > b > a3 a b ab2  2 6b3 0.

Tính giá trị biểu thức

4

4 4

a b

B

b a

 

 .

b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2  a 3b2b Chứng minh 2a2b1 số phương

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015).

a) Tìm số nguyên tố p cho số 2p2 1; 2p23; 3p24 số nguyên tố b) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2 18y22z2 3y z2 218x27 Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017).

a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2x2 2y23x 6y 5xy 7  

b) Tìm tất số tự nhiên n cho n22n n22n 18 9  số phương

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017).

Tìm tất số nguyên dương a, b cho a + b2chia hết cho a b 12  .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013). Tìm ba số nguyên tố , ,x y z Biết xyz5x y z  

Bài 42: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2014 – 2015).

a) So sánh hai số sau:

2 2015 2014 2015 2014 A  



 

2

2015 2014 2015 2014

B 

 b) Chứng minh tổng M = + + 22 + … + 22015 chia hết cho 15

c) Chứng minh tổng S = 13 + 23 + 33 + + 20153 số phương. Bài 43: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009 – 2010).

Tìm số phơng có chữ số thoả mãn chữ số hàng nghìn hàng trăm nhau; chữ số hàng chục hàng đơn vị

Bài 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Tính giá trị biểu thức

( 5)( 1) ( 5)

x y

A

x x

 



(6)

c) Tìm cặp số nguyên ( ;x y ) cho x x( 1)y21

d) Tìm số nguyên dương n cho 3n số phương.4 Bài 45: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2008 – 2009).

a) Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a b c   a b c

1 1 a b c  

b) Cho f x( )ax2bx c thoả mãn với x cho   1 x 1 f x( )  p Tìm số q nhỏ cho a b c p q

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011).

a) Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13 a32  a3n P a1 a2  an

Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho

b) Cho A = n6  n4 2n3 2n2 (với nỴN, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương. c) Chứng minh với số ngun n n2 n2 khơng chia hết cho

d) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 17 số phương. Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012).

a) Tìm số tự nhiên n để n + 21 n – 18 hai số phơng b) Tìm nghiệm ngun phơng trình: x2xy y x y2 Bài 48: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016).

a) Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng (khơng chia nhỏ vật đó)

b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 171 = y2.

Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016 – 2017). a) Tìm hệ số b, c đa thức  

2

P x x bx c biếtP x  có giá trị nhỏ 1 khi x 2.

b) Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn

1 1 1 1 1

1. m n p q  mnpq 

Bài 50:( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2 x 2y 5 xy b) Chứng minh 22 4 16

n n

(7)

c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  y2

d) Chứng minh A 4n17 chia hết cho với số nguyên dương n.

Bài 51:( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007).

a) Hãy tìm chữ số , , ,a b c d biết số ,a ad cd abcd, , số phơng b) Để thành lập đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trờng tổ chức thi chọn môn

Toán, Văn Ngoại ngữ tổng số 111 học sinh Kết có: 70 học sinh giỏi Tốn, 65 học sinh giỏi Văn 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi mơn Văn Tốn, 32 học sinh giỏi mơn Tốn Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi môn Văn Ngoại ngữ.Hãy xác định số học sinh giỏi ba mơn Văn, Tốn Ngoại ngữ Biết có học sinh khơng đạt u cầu ba môn

Bài 52:( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014).

Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 2 xy+4 x+2 y+1 > x2+2 y2

Bài 53:( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015).

Tìm tất nghiệm nguyên dương x y, thỏa mãn phương trình

2

5x 6xy2y 2x2y 40 0 .

Bài 54:( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2016 – 2017).

Chứng minh ba số x y z, , thỏa mãn hệ phương trình

2

1 1

2

x y z x y z

  

  

  



 có trong

ba số x y z, , phải

Bài 55:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016).

Cho dãy số (an) xác định sau:

1

n n

n

1 a

2

(n N,n 2) a

a

2n.a 1

 

   

Ỵ 



 

 

 Tính tổng S a 1a2  a 2016.

Bài 56:( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2018 – 2019).

a) Cho f x( ) đa thức với hệ số nguyên Biết f(2017) (2018) 2019f  Chứng minh phương trình f x ( ) 0 khơng có nghiệm ngun

(8)

trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia?

Bài 57:( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012).

a) Tìm hệ số a > cho đường thẳng y = ax – ; y = ; y = trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích)

b) Cho số x, y, z khác thỏa mãn đồng thời

1 1

x y z  2

4

xy z  Tính giá trị biểu thức P = (x + 2y + z)2012.

c) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y Bài 58:( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016).

a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z   2, x2y2z2 18

xyz  Tính giá trị

1 1

S

xy z yz x zx y

   

     

b) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x2y2xy x y  1

c) Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có n1 n 3

d) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh

Bài 59: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012).

Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c 1;a   b2 c2 1;a3b3c31 Chứng minh: a2009 b2009 c2009 1

Bài 60:( HSG TỈNH PH TH NM HC 2008 2009). Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: xyz x y z. Bài 61:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010).

a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho víi mäi sè tự nhiên n. b) Tìm số số nguyên n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? Bài 62:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013).

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 8x2 3xy 5y25

(9)

c) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn

2 x

x yz y z z xy

a b c

  

 

Chứng minh

2 2

a bc b ca c ab

x y z

  

 

Bài 63:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Giải phương trình tập số nguyên x25y2 4xy4x 8y 12 0. b)Cho  

3 3 14 2

P x x  x  x

.Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P x  chia hết cho 11 c) Tính giá trị biểu thức

3

4

a a P

a a a

 



   , biết a 355 3024 355 3024

d) Cho số thực x y z, , đôi khác thỏa mãn x3 3x1, y3 3y1 z3 3z Chứng minh x2y2z2 6

a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2+y2−xy=x + y +2

b) Chứng minh với ba số tự nhiên a, b, c có số lẻ hai số chẵn ta ln có (a+b +c)3−(a+b−c)3−(b+c−a)3−(a−b+c)3 chia hết cho 96.

a) Cho S = 1.2.3+2.3 4+ +n(n+1)(n+2) với n số tự nhiên khác

Chứng minh S + số phương

b) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x2+2 y2+2 xy= y+2 .

c) Tính giá trị biểu thức P =

x5−4 x3−17 x +9 x4+3 x2+2 x +11 với

x x2+x +1=

1 Bài 66:( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018).

a) Cho a b c2  b c a2  2018 với a b c, , đơi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c a b2  

b) Tìm tất số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a b c  91 b2 ca

Bài 67:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014).

Kí hiệu ( )S n tổng tất chữ số số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương n nhỏ cho S n( ).S n  ( 1) 87

(10)

Tìm tất số nguyên dương m n thỏa mãn điều kiện:

   

2 2

1 3 5

n   n m m m  m

Bài 69:( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019). a) Xác định hệ số a b để đa thức  

4

P x x  2x 3x ax b

bình phương đa thức b)Tìm tất số tự nhiên n cho C 2019 n2020 số phương.

Bài 70:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013).

Cho s, t, x, y, z số nguyên tổng s + t + x + y + z chia hết cho Chứng minh tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5.

Bài 71:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014).

a) Cho a, b, c, d, e, f số thực khác 0, thỏa mãn

a b c

1 d  e  f 

d e f

0 a b c  . Tính giá trị biểu thức

2 2

a b c

B

d e f

  

b) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương. c) Cho a số tự nhiên lớn không chia hết cho

Chứng minh a8n 3a4n  4 chia hết cho 5, với số tự nhiên n d) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ Bài 72:( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017– 2018). a)Cho ba số thực a b c, , thỏa 1a b c, , 2.Chứng minh :

7

a b c a c b

b c a  c b a  

b) Chứng minh với số tự nhiên n 1 n2 n1 n8 lập phương số tự nhiên

c) Cho số nguyên tố p p 3và hai số nguyên dương a,b cho p2 a2 b2 Chứng minh a chia hết cho 12 2(p a 1) số phương

Bài 73:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008– 2009).

a) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi b) Cho a b số nguyên dương cho

a +1 b +1

a  b số nguyên; gọi d ước chung a và

b Chứng minh : d a + b

c) Chứng minh khơng có số nguyên x y thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011. Bài 74:( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009– 2010).

(11)

b) Cho biểu thức

3

a a a

A = + +

24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên

Cho hình trịn có diện tích 1, lấy 17 điểm hình trịn khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm lập thành tam giác mà diện tích nhỏ

1 8.

a) Cho a;b hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a2+a = 3b2+b Chứng minh

a b 2a+2b+1



là phân số tối giản

b)Tìm cạnh hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng chứa đường trịn có bán kính đường trịn đơi khơng có q điểm chung

a) Tìm ba số nguyên tố đơi khác nhau, biết tích ba số năm lần tổng chúng b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức

2 2 3 2 4 3 0

x  y  xy x y 

c) Tìm số a,b,c biết

2

b a

b



 ;

2

c b

c



 ;

2

a c

a

 

a) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 25y y( 6)

Bài 79:( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2004– 2005).

Chứng minh không tồn số tự nhiên n thoả mÃn: n2 + 2006 số chÝnh ph¬ng Bài 80:( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013– 2014).

a) Tìm x , y nguyên thỏa mãn: x2(y – 5) + x + y – = 0

b) Cho ba số x,y,z dương thoả mãn xyz = Tính giá trị biểu thức: A =

1 1

1 x xy1 y yz1 z zx

Bài 81:( HSG CẤP THÀNH PHỐ QUY NHƠN NĂM HỌC 2012– 2013). a) Không cần tính kết trực tiếp, so sánh tổng sau đây:

A= +3 + + … + 2013 B= + + + … + 2012

b) Giả sử f(n+1) = n.(-1)n+1 -2f(n), với số n nguyên dương f(1) = f(2014) Tính tổng: f(1) + f(2) + f(3) +…+ f(2013)

c) Cho ∆ ABC có độ dài cạnh a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c   ab bc ca Hãy định dạng ∆ ABC

d) Cho hai dãy số : an = 22n+1+2n+1+1 ; bn= 22n+1 -2n+1+1.

(12)

Bài 82:( HSG TỈNH TÂY NINH NĂM HỌC 2012– 2013). a) Chứng minh với n lẻ nỴ 

A = n3 - 3n2 - n + chia hết cho 48 b)Chứng minh với số nguyên x, y

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Bài 83:( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012– 2013).

Tìm số nguyên x, y thoả mãn:    

2 3

2y 2x 1  2x 2y 1 x y   Bài 84:( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2011– 2012).

Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng số phương Bài 85:( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012– 2013).

Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn : a + b + c = 2013

1 1 1

a b c 2013 Thì ba số a, b, c phải có số 2013 Bài 86:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010– 2011).

Cho a a1, , ,2 a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1a2  a45 130. Đặt

1 , ( 1, 2, , 44)

j j j

d a   a j  Chứng minh 44 hiệu dj xuất 10 lần.

Bài 87:( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014).

a) Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). b) Tìm x, y ,z∈N thỏa mãn √x+2√3=√y+√z

Bài 88:( HSG TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2014– 2015).

a)Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 5(x2xy y ) 7(x 2y)   b)Tìm tất số nguyên tố p, q cho tồn số tự nhiên m thỏa mãn :

2 1

. 1

pq m

p q m

 

 

a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2016 – chia hết cho 60.

b) Cho x, y, z số dương khác đôi x3  y3z3chia hết cho x y z2 2 Tìm thương phép chiax3  y3 z x y z3: 2

a)Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 5y62 ( y 2)x2(y2 6y8) x

b)Cho a b, số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2là số nguyên tố p  5 chia hết cho Giả sử ,x y số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p Chứng minh hai số ,x y chia hết cho p.

(13)

a)Tìm nghiệm nguyên phương trình    

2 2 1

x y x y   x y x .

b) Cho n Ỵ *.Chứng minh 2n  11 n  số phương n chia hết cho 40 Bài 92:( HSG CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016– 2017).

a) Cho ba số a, b, c thỏa điều kiện a − b = 7, b − c = Tính giá trị biểu thức

2 2

2

a b c ab bc ca P

a c 2ab 2bc

    



  

b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x +

c) Trong tuần, ngày Nam chơi môn thể thao Nam chạy ba ngày tuần không chạy hai ngày liên tiếp Vào thứ Hai, chơi bóng bàn hai ngày sau chơi bóng đá Nam cịn bơi chơi cầu lông, không Nam chơi cầu lông sau ngày chạy bơi.Hỏi ngày tuần Nam bơi?

Bài 93:( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2016– 2017).

Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x3y3z3   x y z 2017 Bài 94:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007– 2008).

a) Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 128 b)Chứng minh với số tự nhiên n cho trước, số

m n n ( 1)(n2) (n7) 1.2.3 7 khơng thể phân tích thành tổng hai số phương Bài 95:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008– 2009).

a)Tìm tất số nguyên dương m, n thỏa mãn: 9m 3m n4 2n3n2 2n

b)Trên bảng hình chữ nhật kích thước m n (m hàng n cột), ô ghi số khơng âm cho mỗi

hàng, cột có chứa số dương Ngồi ra, ô (i; j) ghi số dương, tổng số trên hàng i tổng số cột j Chứng minh m n

Bài 96:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009– 2010).

a)Tìm tất số ngun dương n có tính chất với số nguyên lẻ a mà a2 n chia hết cho a.n b)Mỗi ô vuông đơn vị bảng kích thước 10 10 (10 dịng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần

Bài 97:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010– 2011). a)Tìm tất cặp số nguyên x y, thoả mãn phương trình:

2( 1) 2( 1) 1

   

x y y x

b)Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng

Chứng minh tồn hai điểm A B, tô màu mà độ dài AB1. Bài 98:( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011– 2012).

a) Cho  

3 3

x f x

x x 

(14)

1 2010 2011

2012 2012 2012 2012

Af   f    f  f  

       

b) Tìm tất cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn    

3

6 x y  x y 

c) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tơ màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đôi khác màu

Bài 99:( HSG CẤP THÀNH PHỐ VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012– 2013). a) Giả sử số , , ,a b c d thỏa mãn a b c d   a2 b2 c2d2 Chứng minh rằng: a2013b2013c2013d2013

b) Chứng minh x y z, , số nguyên dương thỏa mãn x2y2 z2 xy12 c) Tìm tất số nguyên dương x y, thỏa mãn phương trình 2x 1 3y.

Bài 100:( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003– 2004).

Cho hai số tự nhiên có chữ số thỏa mãn tính chất sau: số bình phương thiếu tổng chữ số Tìm hai số biết số thứ hai lớn số thứ 50 đơn vị

Bài 101:( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006– 2007).

Độ dài cạnh tam giác số nguyên liên tiếp không nhỏ đơn vị độ dài Chứng minh đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai chia cạnh thành hai phần có hiệu độ dài