Toán tử hardy cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu trách nhiệm hồn tồn luận văn Lê Thị Kim Hương LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Trí Dũng, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa bạn bè chun ngành Giải tích ln bên cạnh, động viên điểm tựa vững cho thời gian làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Lê Thị Kim Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa 1.2 Hàm trọng 𝝎 .3 1.3 Tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử 1.4 Khơng gian 𝑩𝑴𝑶 có trọng .6 1.5 Khơng gian Morrey có trọng .9 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 10 Kết hợp đánh giá trên, ta 13 CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CÓ TRỌNG .14 2.1 Khơng gian Morrey trung tâm có trọng khơng gian BMO trung tâm có trọng 14 2.2 Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 21 2.3 Tính bị chặn hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng .24 2.4 Hốn tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng 37 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .40 DANH MỤC KÝ HIỆU ℕ Tập hợp số tự nhiên ℝ Tập hợp số thực ℝ𝑛 Không gian vector n chiều ℝ, mà phần tử có dạng x   x1, x2 , , xn  với 𝑥𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 ℂ Tập hợp số phức 𝜒𝐸 Hàm đặc trưng E 𝐿𝑝 Khơng gian hàm khả tích Lebesgue 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ với chuẩn f 𝐿∞ (𝑋) Lp     p  n  f ( s ) ds    p Tập hợp hàm 𝑓 đo cho tồn số 𝑐 < ∞ thỏa f ( x)  c hầu khắp nơi 𝑋, với chuẩn định ‖𝑓‖∞ = 𝑖𝑛𝑓{𝑐: |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐 ℎầ𝑢 𝑘ℎắ𝑝 𝑛ơ𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑋} 𝑝 𝐿𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương ℝ𝑛 𝐿𝑝 (𝜔) Không gian hàm khả tích Lebesgue độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa đại nhánh quan trọng Tốn học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng đa dạng lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Bất đẳng thức tích phân Hardy biến thể đóng vai trị quan trọng nhánh khác giải tích lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết khơng gian hàm Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho tốn tử biến thể nghiên cứu mở rộng nhiều Carton-Lebrun Fosset [2] định nghĩa tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 sau: 𝑈𝜓 𝑓(𝑥 ) = ∫0 𝑓 (𝑡𝑥 )𝜓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , 𝜓: [0,1] → [0, ∞) hàm đo 𝑓 hàm đo nhận giá trị phức ℝ𝑛 Các tác giả 𝑈𝜓 bị chặn từ 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) vào Trong [21], Xiao đạt kết tương tự có thêm kết tính bị chặn 𝑈𝜓 khơng gian 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) Nhận thấy giá trị 𝑈𝜓 𝑓 𝑥 phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng 𝑓 dọc theo tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ) = 𝑡𝑥 Do đưa đến việc xem xét tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 𝑈𝜓,𝑠 𝑓 kết hợp với đường cong tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ): = 𝑠(𝑡)𝑥 Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) giới thiệu Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương nghiệm phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai Sau đó, K Yasuo S Satoru [22] đưa định nghĩa khơng gian Morrey có trọng lượng 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử cổ điển giải tích điều hịa tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, tốn tử Calderon-Zygmund tốn tử tích phân phân số Gần đây, Z.W Fu, Z.G Liu S.Z Lu [7] thiết lập điều kiện cần đủ hàm trọng 𝜓 đảm bảo hoán tử tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 bị chặn 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 ), < 𝑝 < ∞ với biểu tượng (symbol) 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) Sau đó, tính bị chặn 𝑈𝜓 nghiên cứu số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, 𝛼 không gian loại 𝒬𝑝,𝑞 , không gian loại Triebel-Lizorkin Do đó, tiếp nối chủ đề luận văn nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Các kết chủ yếu tham khảo [19] Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu khái niệm tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp trình bày số kiến thức toán tử cực đại Hardy-Littlewood, tính ̇ 𝑝 (𝜔) Cơng việc địi hỏi tác giả chất hàm trọng 𝜔 không gian 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝐶𝑀𝑂 phải vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân giải tích thực Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey trung tâm có trọng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa Các định lí sau trích dẫn từ [6], cơng cụ sử dụng hầu hết chứng minh kết luận văn Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H𝒐̈ lder 1 𝑝 𝑞 Giả sử < 𝑝 < ∞ + = Nếu 𝑓 𝑔 hai hàm đo 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 ‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 , nghĩa 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 𝑓𝑔 ∈ 𝐿1 Trong suốt luận vặn này, áp dụng bất đẳng thức H o lder với cặp số ( p, p) ta nói p p’ hai số liên hợp, tức 1   p p Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s Nếu ≤ 𝑝 < ∞ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 ‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑝 +‖𝑔‖𝑝 1.2 Hàm trọng 𝝎 Định nghĩa 1.2.1 Ta nói 𝜔 hàm trọng 𝜔 đo ℝ𝑛 ( x)  h.k.n (hầu khắp nơi) ℝ𝑛 Với tập đo 𝐸 ⊂ 𝑋, ta định nghĩa  ( E ) :   ( x) dx E Một hàm trọng 𝜔 gọi thỏa tính chất “doubling”, nghĩa tồn số dương 𝐶 cho 𝜔(𝐵(𝑥, 2𝑟)) ≤ 𝐶𝜔(𝐵 (𝑥, 𝑟)) 27 C K2   ( B)  C( 1  (  ( B)  | f (s(t ) y) | q  ( y )dy)1/ q | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt B  ( s (t ) B)1 q  | f ( y ) |q  ( y )dy)1/ q | bB ,  bs ( t ) B , || s (t ) |( n )   (t )dt s (t ) B  C‖ f ‖ Lq , ( )  |bB ,  bs (t ) B , || s (t ) |( n )   (t )dt  C‖ f ‖ Lq , ( )   k 0  |bB ,  bs ( t ) B , || s (t ) |( n )   (t )dt 2 ( k 1) |s ( t )|  2 k Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1) 𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | 𝑖=0 Theo bổ đề 2.3.1 bổ đề 2.1.5 tồn số C cho | b2 ( i 1) B ,  b2 i B , | C‖ b‖ BMO ( ) , i  0, , k , | b2 ( k 1) B ,  bs (t ) B , | C‖ b‖ BMO ( ) ,  ( k 1)  s(t )  2 k Khi k | bB ,  bs (t ) B, |  C‖ b‖ BMO ( ) C‖ b‖ BMO ( )  C‖ b‖ BMO ( ) (k  2) i 0 Suy ∞ 𝐾2 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∑ ∫ (𝑘 + 2)|𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝑘=0 2−(𝑘+1) ≤|𝑠(𝑡)|≤2−𝑘 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) (2 + log Kết hợp đánh giá 𝐾1 , 𝐾2 𝐾3 ta ) 𝑑𝑡, |𝑠(𝑡)| 28 K  C‖ b‖ BMO ( ‖ ) f‖ Lq ,  ( )  |s(t ) | ( n  )   (t )dt C‖ f ‖ ‖ b‖ BMO ( ) Lq ,  ( )  |s(t ) | ( n  )   log C‖ b‖ ‖ f‖ BMO ( ) Lq ,  ( )  |s(t ) | ( n  )   (t )dt | s (t ) |  (t )dt Hay K  C‖ f ‖ Lq , (‖) b‖ BMO ( )  |s (t ) |( n )   log  (t )dt | s(t ) | q , Vậy Ub ,s bị chặn từ L ( ) vào Lp , ( ), b  BMO( )   Ngược lại, giả sử (𝑖 ) thực Lấy ℎ(𝑥 ) = |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∈ 𝐿̇𝑠,𝜆 (𝜔), ∀𝑠 > 𝑏0 = log|𝑥 | ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) (theo bổ đề 2.1.2) Khi đó, 𝑏0 𝑈𝜓,𝑠 ℎ = ℎ ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) log 𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| 𝑏 Do 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) nên ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) log 𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| (2.14) Mặt khác, ta lấy 𝑔(𝑥 ) = |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 1𝒳𝐵(0,1) (𝑥 ) ∈ 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) xét họ hàm 𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) với 𝑏(𝑥 ) = 1𝒳𝐵(0,1) (𝑥 ) sgn(sin 𝜋𝑑|𝑥 |), 𝑑 ∈ ℕ Suy 𝑏 𝑈𝜓,𝑠 𝑔(𝑥 ) = 𝑏(𝑥 )|𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) − |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) sgn(sin 𝜋𝑑|𝑠(𝑡)| |𝑥 |) 𝑑𝑡, |𝑥 | < Theo bổ đề Riemann-Lebesgue, lấy 𝑑, phụ thuộc vào 𝜓 đủ lớn cho 𝑏 |𝑈𝜓,𝑠 𝑔(𝑥 )| (𝑛+𝛼)𝜆 1 ≥ |𝑥 | ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, < |𝑥 | < 2 29 𝑏 Từ bất đẳng thức tính bị chặn tốn tử 𝑈𝜓,𝑠 ta có 𝑏 ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝐶‖𝑈𝜓,𝑠 𝑓‖ ̇ 𝑞,𝜆 𝐿 (𝜔) →𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) (2.15) Kết hợp (2.14) (2.15) ta  |s(t ) | ( n  )  log  (t )dt   | s(t ) | Vậy định lí chứng minh Hệ 2.3.3 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi khẳng định sau tương đương: 𝑏 (𝑖 ) 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| Chú ý 2.3.4 Dễ dàng nhận thấy (𝑖𝑖 ) định lí 2.3.2 điều kiện cần cho hốn tử 𝑏 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) (𝑝 = 𝑞 ), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) Tuy nhiên, (𝑖𝑖 ) có điều kiện đủ 𝑏 để hoán tử 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) hay khơng cịn câu hỏi mở đầy thú vị Cho đến bây giờ, có kết sau Định lí 2.3.5 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < ∞ −1⁄𝑝 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi đó, (𝑖𝑖 ) điều kiện đủ (𝑖′) 𝑏 (𝑖′) 𝑀𝜔,𝑐 (𝑈𝜓,𝑠 (∙)) bị chặn 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝑀𝜔,𝑐 tốn tử cực đại Hardy-Littlewood trung tâm với độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 cho 𝑀𝜔,𝑐 𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑢𝑝 𝐵 ∫ |𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦, 𝜔(𝐵) 𝐵 supremum lấy tất cầu B tâm gốc chứa x 30 (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| Chứng minh Giả sử (𝑖𝑖 ) thỏa mãn Đầu tiên, ta chứng minh M  ,c (Ub ,s ()) bị chặn Lp , ( ), nghĩa ( ( M  ,c (Ub , s f )( x)) p  ( x)dx)1/ p 1 p   ( B) B ‖ b‖ ‖ f‖ BMO ( ) Lp ,  (  )  |s(t ) | ( n  )  log  (t )dt , | s (t ) | với b  BMO( ), f  Lp , ( ) cầu B Thật vậy, xét 𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝑓 ∈ 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) Khi đó, với cầu B ℝ𝑛 có tâm gốc, 𝑥 ∈ 𝐵 𝑏 ∫ |𝑈𝜓,𝑠 𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦 𝜔(𝐵) 𝐵 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)|𝜓(𝑡) 𝜔(𝑦)𝑑𝑡𝑑𝑦 𝜔(𝐵) 𝐵 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 ≤ 1 ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏𝐵,𝜔 )𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 1 + ∫ ∫ |(𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 + 1 ∫ ∫ |(𝑏(𝑠(𝑡)𝑦) − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 =: 𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 31 Trước tiên, ta đánh giá J1 Áp dụng bất đẳng thức H o lder cho hàm f (s(t ) y) hàm b( y )  bB , với cặp số (r , r ), r  (1, p) ta J1   ( 1 | f ( s (t ) y ) |r  ( y )dy)1/ r ( |b( y )  bB , |r  ( y )dy)1/ r (t )dt    ( B) B  ( B) B Sử dụng bổ đề 1.4.3 ta đạt J1  C‖ b‖ BMO ( ) ( | f ( s (t ) y ) |r  ( y )dy)1/ r   ( B) B  C‖ b‖ BMO ( )  (  (s(t ) B)   C‖ b‖ BMO ( ) M | f ( y ) |r  ( y )dy)1/ r (t )dt s (t ) B r  ,c f ( s (t ) x )   (t ) dt , 1/ r với C số phụ thuộc vào  p Đánh giá tương tự ta có J  C‖ b‖ BMO ( )   M f r ( s (t ) x)   (t )dt 1/ r ,c Tiếp theo, ta đánh giá số hạng lại K Số hạng viết lại sau J2   ( | f ( s(t ) y ) |  ( y )dy) | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt  ( B) B Kết hợp sử dụng bất đẳng thức H o lder cho hàm f (s(t ) y) hàm với cặp số (r , r) ta 32 J2   ( | f ( s (t ) y ) |r  ( y )dy )1/ r | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt   ( B) B    M  f r ( s (t ) x)  | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt 1/ r   k 0 2 k /   M f r ( s (t ) x)  | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt 1/ r  2 ( k 1)/  Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1)𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | 𝑖=0 Theo bổ đề 2.3.1 bổ đề 2.1.5 tồn số C cho | b2 ( i 1) B ,  b2 i B , | C‖ b‖ BMO ( ) , i  0, , k , | b2 ( k 1) B ,  bs (t ) B , | C‖ b‖ BMO ( ) ,  ( k 1)  s(t )  2 k Do | bB,  bs (t ) B, | C‖ b‖ BMO ( ) (k  2) Khi J  C‖ b‖ BMO ( ) 2 k /      M k 0 2 ( k 1)/   C‖ b‖ BMO ( )   M f r ( s (t ) x)  (k  2) (t )dt 1/ r ,c f r ( s (t ) x)  1/ r ,c (2  log ) (t )dt | s(t ) | Từ đánh giá 𝐽1 , 𝐽2 𝐽3 , ta 1 1⁄𝑟 𝑏 𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫0 (𝑀𝜔 𝑓 𝑟 (𝑠(𝑡)𝑥 )) ∫ |𝑈𝜓,𝑠 𝜔(𝐵) 𝐵 |log |𝑠(𝑡)||) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 (2 + 33 Theo định nghĩa M  ,c (Ub ,s f ), ta 𝑏 𝑀𝜔 (𝑈𝜓,𝑠 𝑓)(𝑥 ) 1⁄𝑟 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫ (𝑀𝜔 𝑓 𝑟 (𝑠(𝑡)𝑥 )) (2 + |log ( |) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| ( M  ,c (Ub ,s f )( x)) p  ( x)dx)1/ p 1 p   ( B) B  C‖ b‖ BMO ( ) ( 11 p  ( B)  ( (M  B ,c f r ( s(t ) x))1/ r (2  log ) (t )dt ) p  ( x)dx)1/ p | s(t ) | Áp dụng bất đẳng thức Minkowski’s cho vế phải bất đẳng thức trên, ta ( ( M  ,c (Ub ,s f )( x)) p  ( x)dx)1/ p 1 p   ( B) B  C‖ b‖ BMO ( )  (  ( B) 1 p ‖ f‖ BMO ( ) Lp ,  (  ) ,c f r ( s (t ) x)) p / r  ( x)dx)1/ p (2  log B  C‖ b‖  (M   |s(t ) | ( n  )  (2  log ) (t )dt | s(t ) | ) (t )dt , | s (t ) | p , đó, bất đẳng thức cuối suy từ định lí 1.6.2 kết f  L ( ) r p / r , r ( ) f  L 𝑏 (∙)) bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ta sử dụng Để chứng minh tính bị chặn 𝑀𝜔,𝑐 (𝑈𝜓,𝑠 đối số kết hợp với việc thay toán tử cực đại Hardy-Littlewood M  định lí 1.6.2 tốn tử cực đại Hardy-Littlewood trung tâm M  ,c bổ đề sau Bổ đề 2.3.6 Giả sử 𝜔 có tính chất “doubling”, < 𝑝 < ∞ −1⁄𝑝 < 𝜆 < Khi đó, tốn tử 𝑀𝜔,𝑐 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) Chứng minh tương tự chứng minh định lí 1.6.2 cách thay cầu B tùy ý cầu B có tâm gốc Sau đây, ta điều kiện đủ để hoán tử toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy q , p , rộng Ub ,s bị chặn từ L ( ) vào L ( ) với biểu tượng (symbol) b thuộc không gian BMO trung tâm có trọng với điều kiện thích hợp 34 Định lí 2.3.7 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi đó, ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 |𝑠(𝑡)| 𝑏 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝑟 ∗ : = 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) với 𝑏 ∈ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 𝑞−𝑝 Chứng minh Ở đây, thay sử dụng toán tử cực đại Hardy-Littlewood để chứng minh, ta chứng minh trực tiếp định lí Giả sử ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |log |𝑠(𝑡)|| 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ Lấy B cầu có tâm gốc, 𝑓 hàm không gian 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) 𝑏 ∈ ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 𝑞−𝑝 Đặt K ( |U b f ( y ) | p  ( y ) dy)1/ p 1  p   , s  ( B) B 1 ( |b( y) f (s(t ) y) (t )dt   b(s(t ) y) f ( s(t ) y) (t )dt |p ( y)dy)1/ p 1  p   ( B) B 0 (  ( B)1 p | (b(y)  b(s(t ) y)) f ( s(t ) y) (t )dt | p  ( y) dy)1/ p B Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta 1 𝐾≤∫ ( ∫ |𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦)𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)|𝑝 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 1+𝜆𝑝 𝜔(𝐵) 𝐵 1⁄𝑝 Áp dụng bất đẳng thức 3𝑝−1 (|𝑥 |𝑝 + |𝑦|𝑝 + |𝑧|𝑝 ) ≥ |𝑥 + 𝑦 + 𝑧|𝑝 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℂ, cho vế phải đánh giá ta 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 35 1⁄𝑝 1 𝑝 ( ) ( ( ) ) 𝐾 ≤ 𝐶∫ ( ∫ |(𝑏 𝑦 − 𝑏 )𝑓 𝑠 𝑡 𝑦 | 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝐵,𝜔 1+𝜆𝑝 ( ) 𝜔 𝐵 𝐵 +𝐶∫ ( ∫ |(𝑏𝐵,𝜔 𝜔(𝐵)1+𝜆𝑝 𝐵 1⁄𝑝 𝑝 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) +𝐶∫ ( 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ |(𝑏(𝑠(𝑡)𝑦) 𝜔(𝐵)1+𝜆𝑝 𝐵 1⁄𝑝 𝑝 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ≔ 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 C số phụ thuộc vào p Trước hết ta đánh giá số hạng 𝐾1 Sử dụng bất đẳng thức H𝑜̈ lder cho hàm  b( y)  bB ,  hàm p số (𝑙 = 𝑞 𝑝 1  (  ( B)  | f (s(t ) y) | r  ( B)  (  (  ( B) r 1  q ( r CMO ( ) 1  q r  | f (s(t ) y) | q  ( y ) dy )1/ q (t ) dt  | f (s(t ) y) | q  ( y ) dy)1/ q (t ) dt B  ( s (t ) B)1  q  C‖ b‖ |b( y )  bB , |r*  ( y ) dy )1/ r* (t ) dt   ( B) B B  (  ( B) r CMO ( )  C‖ b‖  ( y ) dy)1/ q ( | f ( s (t ) y ) |q  ( y ) dy)1/ q (t ) dt   ( B) B CMO ( )  C‖ b‖ q B CMO ( )  C‖ b‖ với cặp , 𝑙 ′ = ) C K1   ( B)  p 𝑞 𝑞−𝑝 C‖ b‖  f ( s (t ) y )   | f ( y ) |q  ( y ) dy )1/ q | s (t ) |( n  )   (t ) dt s (t ) B ‖ f ‖ Lq , ( )  |s (t ) |( n  )   (t ) dt CMO ( ) Tương tự ta có đánh giá 36 (𝑛+𝛼)𝜆 𝐾3 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ̇ 𝑟 (𝜔) ‖𝑓 ‖ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) ∫ |𝑠(𝑡 )| Cuối cùng, ta đánh giá số hạng lại Đầu tiên viết lại 𝐶 𝐾2 = ∫ ( ∫ |𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)|𝑝 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝜔(𝐵)𝜆 𝜔(𝐵) 𝐵 1⁄𝑝 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 |𝜓(𝑡)𝑑𝑡 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức H𝑜̈ lder cho cặp số (𝑞⁄𝑝 , (𝑞⁄𝑝)′) ta C K2   ( B)  C(  C( 1  (  ( B)  | f (s(t ) y) | q  ( y )dy )1/ q | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt B | f ( s (t ) y ) |q  ( y )dy )1/ q | bB ,  bs (t ) B , |  (t )dt 1  q   ( B) B  ( s (t ) B)1 q  | f ( y ) |q  ( y )dy )1/ q | bB ,  bs (t ) B , || s (t ) |( n )   (t )dt s (t ) B  C‖ f ‖ Lq , ( )  |bB ,  bs (t ) B , || s (t ) |( n  )   (t )dt  C‖ f ‖ Lq , ( )   k 0  |bB ,  bs (t ) B , || s (t ) |( n  )   (t )dt 2 ( k 1) |s ( t )|  2 k Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1) 𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | 𝑖=0 Theo bổ đề 2.1.5 bổ đề 2.3.1, ta có | b2 ( i 1) B ,  b2 i B, | C | b‖ , i  0, , k r CMO ( ) | b2 ( k 1) B ,  bs (t ) B , | C | b‖  ( k 1)  s(t )  2 k r CMO ( ) , 37 Suy | bB ,  bs (t ) B , | (k  2)C | b‖ , k  r CMO ( ) Khi ∞ 𝐾2 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 ̇ 𝑟 (𝜔) ∑ (𝑘 + 2)|𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑘=0 2−(𝑘+1) ≤|𝑠(𝑡)|≤2−𝑘 (𝑛+𝛼)𝜆 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 𝜓(𝑡) |2 + log ̇ 𝑟 (𝜔) ∫ |𝑠(𝑡 )| | 𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| Kết hợp đánh giá 𝐾1 , 𝐾2 𝐾3 ta thu K  C‖ f ‖ Lq , (‖) b‖  |s(t ) | r ( n  )  CMO ( ) log  (t )dt   | s(t ) | Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Theo định lí 2.3.2 bổ đề 2.1.4 (b) chiều ngược lại định lí 2.3.7 hiển nhiên Hệ 2.3.8 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi đó, ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 |𝑠(𝑡)| 𝑏 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝑟 ∗ : = 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) với 𝑏 ∈ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 𝑞−𝑝 2.4 Hoán tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng Cho vector 𝒃 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑘 ) hoán tử bậc cao tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng định nghĩa 𝑘 𝒃 𝑈𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ (∏ (𝑏𝑗 (𝑥 ) − 𝑏𝑗 (𝑠(𝑡)𝑥 ))) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥 ) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝑗=1 𝒃 𝒃 𝑏 Khi 𝑘 = 𝑈𝜓,𝑠 = 𝑈𝜓,𝑠 , 𝑘 = 𝑈𝜓,𝑠 = 𝑈𝜓,𝑠 38 Tương ứng, ta định nghĩa hốn tử bậc cao tốn tử Cesàro có trọng suy rộng 𝑘 𝒃 𝑉𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ (∏ (𝑏𝑗 (𝑥 ) − 𝑏𝑗 (𝑠(𝑡)𝑥 ))) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥 ) |𝑠(𝑡)|𝑛 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝑗=1 Chú ý 𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) nghĩa 𝑏𝑖 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), ∀𝑖, ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Áp dụng phương pháp chứng minh định lí 2.3.2, ta có kết tương tự cho hoán tử bậc cao toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng Định lí 2.4.1 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi khẳng định sau tương đương: 𝒃 (𝑖 ) 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); 𝑘 (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| Và hai mệnh đề sau tương đương: 𝒃 (𝑖 ) 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); 𝑘 (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| 39 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống lại điều kiện cần đủ để tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng bị chặn khơng gian Morrey trung tâm có trọng Ngồi ra, luận văn trình bày lại kết tính bị chặn hốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng với biểu tượng C M O p ( ) Các kết luận văn trình bày chương Hướng nghiên cứu nối tiếp luận văn: nghiên cứu tính bị chặn tốn tử HardyCesàro có trọng suy rộng hốn tử tốn tử khơng gian quen thuộc Giải tích điều hịa như: khơng gian Campanato, khơng gian loại Triebel-Lizorkin 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO J Alvarez, M Guzmán-Partida, J Lakey (2000), "Spaces of bounded 𝜆 −central mean oscillation, Morrey spaces, and 𝜆 -central Carleson measures", Collect Math 51, pp.1–47 C Carton-Lebrun, M Fosset (1984), "Moyennes et quotients de Taylor dans BMO", Bull Soc R Sci Liege 53 (2), pp.85-87 Y.Z.Chen, K.S Lau (1989), “On some new classes of Hardy spaces”, J Funct Anal 84, pp.255-278 N.M Chuong, H.D Hung (2012), “A generalized weighted Hardy-Cesaro operator, and its commutator on weighted Lp and BMO spaces”, arXiv:1208.5242v1 [math.CA] J Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Grad Stud Math, vol 29, American Mathematical Society, Providence, RI, Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe G.B Folland (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley and Sons Z.W Fu, Z.G Liu, S.Z Lu (2009), “Commutators of weighted Hardy operators on ℝ𝑛 ”, Proc 137 (10), pp.3319-3328 Z.W Fu, S.Z Lu (2010), “Weighted Hardy operators and commutators on Morrey spaces”, Front Math China 5(3), pp.531-539 J Garcia-Cuerva and J L Rubio de Francia (1985), “Weighted Norm Inequalities and related topics”, North-Holland Mathematics Studies 116, North-Holland, Amsterdam 10 G.H Hardy, J.E Littlewood, G Pólya (1952), Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, London/NewYork 11 J Heinonen, T Kilpel a inen and O Martio (2006), Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Dover Pulications, Inc., NewYork 41 12 F John, L Nirenberg (1961), “On functions of bounded mean oscillation”, Comm Pure Apple Math 14, pp.415-426 13 S.G Krantz, H.R Parks (2008), Geometric Integration Theory, Birkh𝑎̈ user 14 J Kuang (2010), “Weighted Morrey–Herz spaces and applications”, Appl Math E-Notes 10, pp.159–166 15 C.B Morrey (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans Amer Math Soc 43, pp.126–166 16 E.M Stein (1993), Harmonic Analysis, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 17 C Tang, Z Zhai (2010), “Generalized Poincaré embeddings and weighted Hardy operator on 𝒬𝛼,𝑞𝑝 spaces”, J Math Anal Appl 371, pp.665–676 18 C Tang, R Zhou (2012), Boundedness of weighted Hardy operator and its applications on Triebel–Lizorkin-type spaces, J Funct Spaces Appl 2012 19 T.D Tran (2014), “Generalized weighted Hardy-Cesàro operators and their commutators on weighted Morrey spaces”, J Math Anal 412, pp.1025-1035 20 T.D Tran (2015), A study of Musielak-Orlicz Hardy spaces, weighted Morrey spaces and boundedness of operators, Thesis for the degree of doctor of philosophy department of mathematics, Australia Macquare University, Sydney 21 J Xiao (2001), “𝐿𝑝 and 𝐵𝑀𝑂 bounds of weighted Hardy–Littlewood averages”, J Math Anal Appl 262, pp.660–666 22 Komori Yasuo, Shirai Satoru (2009), “Weighted Morrey spaces and a singular integral operator”, Math Nachr 282 (2), pp.219–231 23 F Zhao, Z Fu, S Lu (2011), “Sharp bounds for generalized Hardy operators”, arXiv:1106.0455v1 [math.FA] ... Hàm trọng