Toán 9 - Chương 3 - GÓC NỘI TIẾP

- Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn. 2) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.. 4) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là [r]

§3 GĨC NỘI TIẾP Gv : Nguyễn Trí Dũng

I/ Định nghĩa:

- Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn

- Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn

II/ Định lý:

Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn

Chứng minh (xem SGK Toán tập 2) III/ Hệ quả:

Trong đường trịn :

1) Các góc nội tiếp chắn cung

2) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung

C

A

B

O

cung bị chắn góc nội tiếp BAC

 

BAC :Góc nội tiếp chắn BC

A

O B

C C

O

B A

C A

B

O

F E

D A

O

B C

   

BAC: BC BAC BC

2

 

Góc nội tiếp chắn sđ

   

BACDEF  BCDF

N

M

C A

B

O

   

§3 GĨC NỘI TIẾP Gv : Nguyễn Trí Dũng

3) Góc nội tiếp (nhỏ 90o) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung

4) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại, góc nội tiếp góc vng

chắn nửa đường tròn

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tòn (O ; R) Kẻ đường cao AD

ΔABC (D ∈ BC) đường kính AK (O) AK cắt BC E a) Chứng minh: EA EK = EB EC

b) Chứng minh: AB AC = AD AK suy SABC AB.AC.BC 4R

 (diện tích tam giác tích ba cạnh tam giác chia cho lần bán kính R đường trịn ngoại tiếp)

c) Kẻ đường cao BF ΔABC cắt AD H Chứng minh tứ giác BKCH hình bình hành d) Gọi I giao điểm BC KH Tia OI cắt (O) M Chứng minh AM tia phân giác



BAC DAK

O C

A

B B

A

O

C

 1 

BAC BOC BC)

2 (góc nội tiếp góc tâm chắn 

 o

§3 GĨC NỘI TIẾP Gv : Nguyễn Trí Dũng a) Chứng minh: EA EK = EB EC

Xét ΔEAB ΔECK có:

 

  

1

E E

ABE EKC ( AC)

(đối đỉnh)

hai góc nội tiếp chắn  

 

  

Vaäy: ΔEAB∽ ΔECK  EA EB

EC  EK

 EA EK = EB EC b) Chứng minh: AB AC = AD AK suy SABC AB.AC.BC

4R 

 o

ACK90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét ΔABD ΔAKC có:

 

  

o ADB ACK( 90 )

ABD AKC(hai góc nội tiếp chắn AC)

  

 

 



Vaäy: ΔABD ∽ ΔAKC  AB AD

AK  AC  AB AC = AD AK Suy ra: AD AB.AC AB.AC (

AK 2R AK = 2R)

 

Ta coù: SABC 1BC AD 1BC.AB.AC

2 2R

 

Vaäy: SABC AB.AC.BC 4R



c) Chứng minh tứ giác BKCH hình bình hành :

 o

CK AC ( ACK 90 )

CK / /BH BH AC (

vì

vì BF đường cao ABC)

  



 

 

 

-H giao điểm hai đường cao AD BF ΔABC nên H trực tâm ΔABC ⇒ CH ⊥ AB

- ABK = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒ BK ⊥ AB

Suy ra: CH // BK

Vậy: Tứ giác BKCH có CK // BH CH // BK nên hình bình hành

d) Chứng minh AM tia phân giác BAC DAK

Ta có: I giao điểm hai đường chéo BC KH hbh BKCH

⇒ I trung điểm BC

OM   

là bán kính (O)

OM qua trung điểm I dây BC không qua tâm O

⇒ M điểm BC

⇒ MBMC

⇒ MABMAC (1) ⇒ AM tia phân giác BAC

- Ta có: A1A2 (2) (vì ΔABD ∽ ΔAKC)

- Trừ vế (1) (2): MAB A  1 MAC A  2  MAD MAK Vậy: AM tia phân giác DAK

2

E K

C O

B A

D E

K C O

B A

H

F

D

E K

C O

B A

2

M I

A

O

H

B C

K

F

§3 GĨC NỘI TIẾP Gv : Nguyễn Trí Dũng Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O ; R) Các đường cao AD, BE, CF

cắt H cắt đường tròn (O) I, M N ( D ∈ BC; E ∈ AC; F ∈ AB) a) Chứng minh: AM = AH = AN

b) Chứng minh: OA ⊥ EF

c) Kẻ đường kính AK (O) Chứng minh: tứ giác BCKI hình thang cân d) Cho BC = 6cm ;  o

BAC60 Tính EF

Giải: a) Chứng minh: AM = AH = AN

  

    

ANC ABC ( AC)

ANC AHN

AHN ABC ( BAD)

 



 



 



hai góc nội tiếp chắn phụ với

⇒ ΔANH cân A ⇒ AN = AH

Chứng minh tương tự, ta có: ΔAMH cân A ⇒ AM = AH Vậy: AN = AH = AM

b) Chứng minh: OA ⊥ EF

- ΔAMH cân A (cmt) ⇒ AE đường cao đường trung tuyến ⇒ E trung điểm MH

- Chứng minh tương tự ta có: F trung điểm NH Do đó: EF đường trung bình ΔMNH ⇒ EF // MN (1)

- Mặt khác: AM = AN ⇒ AMAN ⇒ A điểm MN Suy ra: OA ⊥ MN (quan hệ đường kính với cung dây) (2) Từ (1) (2) suy ra: OA ⊥ EF

c) Chứng minh: tứ giác BCKI hình thang cân

-  o

AIK90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ IK ⊥ AI Mà: BC ⊥ AI

Nên: IK // BC ⇒ Tứ giác BCKI hình thang (3) - Mặt khác:  o

ABK90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - Xét ΔABK ΔADC có:

 

  

o

ABK ADC ( 90 )

AKB ACD (hai góc nội tiếp chắn AB)

  

 

 



Vậy: ΔABK ΔADC

⇒ BAKDAC ⇒ BKIC⇒ BK = IC (4) Từ (3) (4) suy ra: BCKI hình thang cân

d) Cho BC = 6cm ;  o

BAC60 Tính EF

Xét ΔAEF ΔABC có: 

 A chung

AE AF

( cos BAC) AB AC

  

 

 

Vậy: ΔAEF ΔABC EF AE

cos A

BC AB ⇒ EF = BC.cosA = cos60

o

= cm

H N

M

I F

E

D C

B A

O

H

N

M

I

F

E

D C

B A

O

I K

A

B

H D

O E

M

C F

N

A

B C

O

F

D H