* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải bài [r]
Trang 1Sử Dụng Phương Pháp Chặn Để Giải Toán Số học
I Một số kiến thức cơ bản cần nhớ:
1 Với a, m N; a 0 th× a m 1
2 a ³ 0 víi a"
3 abc = 100a + 10b + c
4 Phương pháp giải bất phương trình
5 Phương pháp giải phương trình bậc hai
II Các bµi tËp hình thành phương pháp
Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a 2x+ 5y = 21
b 7x+ 12y= 50
Giải :
- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh
- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự cho những bài sau:
? So sánh 2 x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y
- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn
a Vì 2x1 nên 5y 20 vậy y 4 Ta có bảng lựa chọn sau :
Đáp số : x = 4; y = 1 ; x = 0; y = 4
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b Nếu y 2 thì 12y122> 50 => y < 2 y = 0 hoặc y = 1
- Nếu y = 0 thì 120= 1 nên 7x= 49 x = 2
- Nếu y = 1 thì 121= 12 nên 7x= 38 (loại)
Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể chặn theo các
giá trị của x như sau :
a) Vì 2 5 = 32 > 21 nên x4x Î 0 , 1 , 2 , 3 , 4và lập bảng lựa chọn để giải tiếp b) ta có 7 3 > 50 => x2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự
Trang 2Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z biết x5 3yz = 7850
Giải :
Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và thường không biết bắt đầu từ đâu Sau đó tôi đưa ra gợi ý:
? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300 3 yz 399 )
? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?
Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên Tuy nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài toán trình bày dài hơn Do đó tôi đưa ra lời giải sau:
Ta thấy nếu x 3 thì x5 3yz 35.300 = 10500 > 7850 Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì x yz 15 399 = 5985 < 7850 5.3
Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 thay vào đề bài ta có 25 3yz = 7850 nên
3yz = 7850 : 25 = 314 yz = 14 Vậy x = 2; y = 1; z = 4
* Nhận xét:
Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x Ta cũng có thể chặn như sau:
5.3
x yz = 7850 5 7850 7850 25
x
yz
=> Vậy x = 2 hoặc x = 1 Đến đây việc giải tiếp dễ
dàng Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài toán trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn Từ hai bµi tËp này học sinh đã hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn để chặn là việc làm rất quan trọng
Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết 5x – 2 13
Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi có thể làm được theo cách giải bất phương trình Tuy nhiên lời giải khá dài và phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được
Giải :
- Nếu x 4 thì 5x – 2 5.4 – 2 = 18 = 18 > 13 => x 3
- Nếu x - 3 thì 5x – 2 5.( - 3) – 2 = – 17 = 17 > 13 x - 2
Vậy : - 2 x 3 x Î - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 Thử lại, ta có bảng sau :
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn Vậy x Î - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3
Trang 3* Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7 cũng có thể hiểu và giải được bài toán trên.
Bµi tËp 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0
Ví dụ trên là bài toán khá quen thuộc, nó đã được sử dụng trong rất nhiều đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên với nhiều cách phát biểu khác nhau Để làm được bài trên thì học sinh phải có cái nhìn toàn diện để có thể chọn ẩn nào cho thÝch hîp
Giải :
Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc abc < 3a
hay bc < 3 Vậy bc Î 1 ; 2 do abc ≠ 0 Mặt khác vì b > c nên b = 2 và c = 1
Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a a = 3
Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhận xét : ở bµi tËp này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ sử
dụng tính chất : " là số lớn nhất " trong ba sè a, b, c Tại sao không nên chặn theo b hoặc
theo c ? Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét bµi tËp 5 sau đây:
Bµi tËp 5: Tìm xy biết ( ) xx y xyyx
Giải :
Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì xx1 = vô lý Vậy y 2
Ta lại thấy y < 4 vì nếu y 4 thì ( ) xx y 104= 10000 > xyyx 2 y 4
Vậy y Î 2 ; 3
- Nếu y = 2 ta có xx2 = x x 22
x2.121 = x.1001 + 220
x2.121 = 11(x.91 + 20)
x2.11 = x.91 + 20
x2.11 – 91x - 20 = 0 Phương trình trên không có nghiệm nguyên
- Nếu y = 3 ta có xx3 = x x 33 Nếu x 2 thì xx3 22³ = 10648 có 5 chữ số ( Kh«ng tho¶ m·n ) Vậy x = 1
Thử vào bài 11³ = 1331 hợp lý Đáp số xy =13
Ta cũng có thể giải như sau : ta có = x 3 11 3 = x.1001 + 330
x 3 11 3 = 11( x.91 + 30 )
Vậy x 3 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x)(30 – 30x) M 121
30(1 – x) M 121
Trang 4mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x M121,
do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.
Thử vào bài ta có 11 3 = 1331 hợp lý Vậy x = 1 và y =3 Đáp số =13
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì xyyx 9999 < 10000 = 10 4 Vậy
( ) xx y < 10 4 < xx4 nên y < 4 Mặt khác ( ) xx y> 99 1 vì ( ) xx y= xyyx có 4 chữ số
Vậy y 2 Vậy y Î 2 ; 3 Phần còn lại giải như trên
* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải bài toán trên
Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249
* Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi Sau khi đã được trang
bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm
Giải :
- Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n) 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số
Đặt n = abc thì ta có : abc + a + b + c = 249
Vì a + b + c 27 nên 200 < abc < 249 a = 2 , Thay vào bài ta được : 2bc + 2 + b + c = 249 200 + bc + 2 + b + c = 249
bc + b + c = 249 – 202
bc + b + c = 47 Vậy b 4 Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ nhất
là 47 – 18 = 29 vậy b 2 Ta có 2 b 4 b Î 2 ; 3 ; 4
- Nếu b = 2 ta có 2c + 2 + c = 47 22 + 2c = 47 2c = 25 ( loại )
- Nếu b = 3 ta có 3c + 3 + c = 47 33 + 2c = 47 2c = 14 c = 7
- Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47 44 + 2c = 47 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2x + 3y = 5
Giải :
Nếu y = 0 , ta có 2x = 5 x = 2,5 vô lý vì x Î Z
Xét y ≠ 0 thì 3y 3 nên 2x 2 x 1 Vậy x Î 0 ;1
- Với x = 0 thì 3y = 5 y = 5/3 vô lý vì y Î Z
- Với x = 1 x Î -1; 1 khi đó y = 1 và y Î -1; 1 Thử vào đề bài ta được
Trang 5* Qua các bµi tËp trªnta thấy phương pháp chặn có vai trò rất quan trọng trong các bài toán tìm số Nó không chỉ làm cho bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn mà còn làm cho lời giải ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Qua bµi tËpsau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trò của phương pháp chặn
Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên abcd biết abcd abc ab a = 4321
Giải :
abcd abc ab a = 4321 aaaa bbb cc d = 4321
Ta thấy a < 4 , vì nếu a 4 thì aaaa bbb cc d 4444 + bbb cc d > 4321
và a > 2 vì nếu a 2 thì aaaa bbb cc d 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321 2
< a < 4
Vậy a = 3 khi đó ta có bbb cc d = 4321 – 3333 = 988
Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì bbb = 999 > 988 chưa kể .
Lại thấy b > 7 vì nếu b 7 thì bbb cc d 777 + 99 + 9 = 885 < 988
7 < b < 9 Vậy b = 8
Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 ,
=> vậy c = 9 và d = 1
Đáp số abcd = 3891
Bµi tËp 9: Tìm các số nguyên dương x , y thỏa mãn 1 1 1x y 3 và x y
Giải :
Vì x y > 0 khi đó và 1 1 1 1 2
x y y y y Vậy = y 6
Lại vì > 0 nên < vậy y > 3 , hay y 4 Vậy ta có 4 y 6
Z
Bài toán có 2 đáp số là ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và ( x; y ) = ( 6 ; 6 )
Trang 6Bµi tËp 10: Tìm số abcd biết 1 1 1 d
a b c với a > b > c
Giải :
Vì a > b > c > 0 nên c 1 ; b 2 ; a 3 khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 11 2
3 2 1 6
a b c nên d < 2 ,Vậy d = 1
Ta có: 1 1 1 1
a b c với a > b > c
Lại vì a > b > c > 0 1 1 1
a b c khi đó ta có
1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1
a b c nên 3 1
1
a b vô lý
a b a b , mà
1 1 1 1 2
a b b b b nên
2 1 2
2 4
b
do đó b < 4 mà b > c = 2 nên b = 3 ta có 1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 3 6
a a , vậy a = 6
Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : abcd = 6321
Bµi tËp 11: Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn
abc < ab + bc + ca và a b c
Giải :
Vì a b c Ta có :
ab + bc + ca ab + ab + ab = 3ab Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab
c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2
Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b) ab < 2(a + b) 2( a + a) = 4a
Vậy ab < 4a nên b < 4 b Î 2 ; 3
Nếu b = 2, thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng với mọi số nguyên tố a
Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a a < 6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5
Trang 7Bµi tËp 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9 Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít nhất
hai số bằng nhau
Giải :
Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau Gọi 4 số đã cho là a, b, c, d với a
> b > c > d Ta có : d 1 ; c 2 ; b 3 ; a 4
Như vậy a + b + c + d 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9
10 vô lý Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải
có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau ( đpcm)
III.BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 : Tìm abc biết abc ab a = 1037
Bài 2 : Tìm xyz biết 4 5yz x = 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó
thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số abcd biết ab cb ddd
Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết 1 1 1x y 8
Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b
Chứng minh a b b a > 2
Bài 7 : Cho a, b, c là các số nguyên dương Chứng minh rằng
b c c a a b < 2
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết 5x + 2 13
Bài 9: Tìm abc biết 4 5bc a = 17395
Bài 10: Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau:
9 * * : 17 = * * (Biết rằng thương là một số nguyên tố)
Bài 11: Tìm số tự nhiên biết tổng của số đó và các chữ số của nó bằng 2020
Bài 12: (5 đ) Cho a + c = 9 Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba là một số có
ba chữ số
Bài 13: (5đ) Tìm các số tự nhiên x , y sao cho: 2x+ 5y = 21