Bài toán sử dụng phương pháp chặn trong môn Số học

Sử Dụng Phương Pháp Chặn Để Giải Toán Số học I Một số kiến thức cần nhớ: Với a, m N; a th× am a ³ víi " a abc = 100a + 10b + c Phương pháp giải bất phương trình Phương pháp giải phương trình bậc hai II Các bµi tËp hình thành phương pháp Bµi tËp : Tìm số tự nhiên x , y cho a 2x + 5y = 21 b 7x + 12y = 50 Giải : - Giáo viên gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh - Giáo viên đặt câu hỏi gợi ý cho em cách suy nghĩ tương tự cho sau: ? So sánh 2x với từ có kết luận giá trị 5y - Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn a Vì 2x  nên 5y  20 y  Ta có bảng lựa chọn sau : Y 5y 10 15 20 2x 21 16 11 X khơng có khơng có khơng có Đáp số : x = 4; y = ; x = 0; y = Bằng cách tương tự ta làm phần b b Nếu y  12y  122 > 50 => y <  y = y = - Nếu y = 120 = nên 7x = 49  x = - Nếu y = 121 = 12 nên 7x = 38 (loại) Đáp số x = y = Nhận xét : Với việc chặn theo giá trị y, ta chặn theo giá trị x sau : a) Vì 25 = 32 > 21 nên x   x Ỵ  , , , ,  lập bảng lựa chọn để giải tiếp b) ta có 73 > 50 => x  sau xét trường hợp tương tự biết x5 yz = 7850 Giải : Khi đưa tốn tơi thấy đa số học sinh lúng túng cách giải thường khơng Sau tơi đưa gợi ý: Bµi tËp :: Tìm số tự nhiên x, y, z ? 3yz có giá trị lớn nhỏ bao nhiêu? (HS 300  yz  399 ) ? Vậy x có giá trị khoảng nào? Sau có gợi ý hầu hết em làm toán Tuy nhiên đa số em tìm cận x mà khơng tìm cận nên tốn trình bày dài Do tơi đưa lời giải sau: Ta thấy x  x5 yz  35.300 = 10500 > 7850 Vậy x < Ta thấy x > x = x5.3 yz  15 399 = 5985 < 7850 Như < x < nên x = thay vào đề ta có 25 3yz = 7850 nên 3yz = 7850 : 25 = 314  yz = 14 Vậy x = 2; y = 1; z = * Nhận xét: Bài toán ta chặn theo giá trị x Ta chặn sau: x5.3 yz = 7850  x5  7850  7850  25 => Vậy x = x = Đến việc giải tiếp dễ yz 300 dàng Tuy nhiên không nên chặn theo giá trị y z có làm lời giải phức tạp dễ gây nhầm lẫn * Qua hai bµi tËp ta thấy chọn ẩn để chặn toán trở lên đơn giản lời giải gọn Từ hai bµi tËp học sinh hình thành phương pháp chặn, đồng thời thấy việc chọn ẩn để chặn việc làm quan trọng Bµi tËp : Tìm số ngun x, y biết  5x –  13 Khi đưa bµi tËp với học sinh lớp lớp số học sinh giỏi làm theo cách giải bất phương trình Tuy nhiên lời giải dài phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn Vì tơi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm có nhiều học sinh làm Giải : - Nếu x   5x –    5.4 –  =  18  = 18 > 13 => x - Nếu x  -  5x –    5.( - 3) –  =  – 17  = 17 > 13  x  - Vậy : -  x   x Ỵ  - ; - ; ; ; ;  Thử lại, ta có bảng sau : x -2 -1 12 13  5x –  Cả giá trị x thỏa mãn Vậy x Ỵ  - ; - ; ; ; ;  * Nhận xét: Với phương pháp học sinh trung bình trở lên lớp 6, lớp hiểu giải tốn Bµi tËp : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc a > b > c > Ví dụ tốn quen thuộc, sử dụng nhiều đề thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên với nhiều cách phát biểu khác Để làm học sinh phải có nhìn tồn diện để chọn ẩn cho thÝch hỵp Giải : Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc  abc < 3a hay bc < Vậy bc Ỵ  ;  abc ≠ Mặt khác b > c nên b = c = Thay vào ta có a + 2+ = 2a  a = Đáp số : a = ; b = ; c = Nhận xét : bµi tËp ta khơng thể chặn a trực tiếp số cụ thể mà sử dụng tính chất : " số lớn nhất" ba sè a, b, c Tại không nên chặn theo b theo c ? Để biết thêm mạnh cách chặn ta xét bµi tËp sau đây: Bµi tËp 5: Tìm xy biết ( xx ) y  xyyx Giải : xx = Ta thấy y > y = Ta lại thấy y < y  vơ lý Vậy y  ( xx) y xyyx  104 = 10000 >  2 y4 Vậy y Ỵ  ;  xx = x 22 x - Nếu y = ta có  x2.121 = x.1001 + 220  x2.121 = 11(x.91 + 20)  x2.11 = x.91 + 20  x2.11 – 91x - 20 = Phương trình khơng có nghiệm ngun - Nếu y = ta có xx = x33 x ( Không thoả mãn ) Vy x = Nếu x  xx Thử vào 11³ = 1331 hợp lý Đáp số Ta giải sau : ta có =  22³ = 10648 có chữ số xy =13  x3.113 = x.1001 + 330  x3.113 = 11( x.91 + 30 ) Vậy x3 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x)  (30 – 30x) M 121  30(1 – x) M 121 mà ( 30 ; 121 ) = nên – x M 121, x số có chữ số nên – x = hay x = Thử vào ta có 113 = 1331 hợp lý Vậy x = y =3 Đáp số Nhận xét : Ta chặn sau : Vì ( xx) y < 104 < xx nên y < Mặt khác =13 xyyx  9999 < 10000 = 104 Vậy ( xx) y > 991 ( xx) y = xyyx có chữ số Vậy y  Vậy y Î  ;  Phần lại giải * Đây bµi tËp khó nên hầu hết học sinh lúng túng không xác định phương pháp, cho dù biết phương pháp giải khơng có kĩ định khó để giải tốn Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên cho số cộng với tổng chữ số 249 * Đây toán nhiều lần xuất thi học sinh giỏi Sau trang bị phương pháp đa số học sinh nhận cách làm Giải : - Gọi số phải tìm n tổng chữ số n s(n) , ta phải có n + s(n) = 249 Ta thấy n phải số có chữ số n có hai chữ số n + s(n)  99 + + = 117 < 249 tất nhiên n có nhiều chữ số Đặt n = abc ta có : Vì abc + a + b + c = 249 a + b + c  27 nên 200 < abc < 249  a = , Thay vào ta : 2bc + + b + c = 249  200 + bc + + b + c = 249  bc + b + c = 249 – 202  bc + b + c = 47 Vậy b  Lại b + c lớn 18 nên nhỏ 47 – 18 = 29 b  Ta có  b   b Ỵ  ; ;  - Nếu b = ta có - Nếu b = ta có 2c + + c = 47  22 + 2c = 47  2c = 25 ( loại ) 3c + + c = 47  33 + 2c = 47  2c = 14  c = - Nếu b = ta có 4c + + c = 47  44 + 2c = 47  2c = ( loại ) Đáp số : số phải tìm 237 Bµi tËp 7: Tìm số nguyên x y biết : 2x + 3y = Giải : Nếu y = , ta có 2x =  x = 2,5 vơ lý x Ỵ Z Xét y ≠ 3y  nên 2x   x  Vậy x Ỵ  ;1  - Với x = 3y =  y = 5/3 vơ lý y Ỵ Z - Với x =  x Ỵ  -1;  y = y Ỵ  -1;  Thử vào đề ta đáp số : ; ; ; * Qua cỏc tập ta thấy phương pháp chặn có vai trò quan trọng tốn tìm số Nó khơng làm cho toán trở nên đơn giản, dễ hiểu mà làm cho lời giải ngắn gọn đơn giản nhiều Qua bµi tËp sau ta khẳng định lại lần vai trò phương pháp chặn Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên abcd abcd  abc  ab  a = 4321  Ta thấy a < , a  aaaa  bbb  cc  d = 4321 aaaa  bbb  cc  d  4444 + bbb  cc  d > 4321 aaaa  bbb  cc  d  2222 + 999 + 99 + = 3329 < 4321  a > a  b  bbb  cc  d  777 + 99 + = 885 < 988  < b < Vậy b = Khi = 100 điều trường hợp 100 = 99 + , => c = d = Đáp số abcd = 3891 1   x y Bµi tËp 9: Tìm số ngun dương x , y thỏa mãn xy Giải :  Vì x  y > Lại > nên - Nếu y = ta có < + + - Nếu y = ta có 1 1     Vậy x y y y y =   y6 y > , hay y  Vậy ta có  y  = + = + =  = =  =  x = 12 - = loại x  Z - Nếu y = ta có + Bài tốn có đáp số = + =  ( x ; y) = ( 12 ; ) = ( x; y ) = ( ; ) x=6 Bµi tËp 10: Tìm số abcd biết 1    d với a > b > c a b c Giải : Vì a > b > c > nên c  ; b  ; a  ta có 1    d nên d < ,Vậy d = a b c 1    với a > b > c Ta có: a b c 1 1 1 11       2 a b c mà 1 Lại a > b > c >    ta có a b c 1    nên a b c 1 c 1 1 1       a b c c c c c mà Vậy c = c = 1    vô lý a b 1 1 1 1 1 2       , mà     nên   Với c = a b a b a b b b b b 1 1 1 b < mà b > c = nên b = ta có       , a = a a Với c = Vậy a = , b = , c = , d = : abcd = 6321 Bµi tËp 11: Tìm số nguyên tố a , b , c ( ) thỏa mãn abc < ab + bc + ca a  b  c Giải : Vì a  b  c Ta có : ab + bc + ca  ab + ab + ab = 3ab Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab  c < mà c nguyên tố nên c = Thay vào ta 2ab < ab +2( a + b)  ab < 2(a + b)  2( a + a) = 4a Vậy ab < 4a nên b <  b Ỵ  ;  Nếu b = 2, thay vào đề ta 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + với số nguyên tố a Nếu b = 3, thay vào ta 2.3.a < 3a + + 2a, hay 6a < + 5a  a < , a nguyên tố không nhỏ b = nên a = Đáp số : b = c = a số nguyên tố tùy ý c = , b = a = a = Bµi tËp 12: Cho số nguyên dương có tổng Chứng minh số có hai số Giải : Giả sử số cho khơng có số Gọi số cho a, b, c, d với a > b > c > d Ta có : d  ; c  ; b  ; a  Như a + b + c + d  + + + = 10 Theo ta có a + b + c + d = nên có  10 vơ lý Vậy giả sử số cho khơng có số khơng nên phải có số số cho ( đpcm) III BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Tìm abc biết abc  ab  a = 1037 yz.x5 = 17395 Bài : Tìm xyz biết Bài : Tìm số tự nhiên có chữ số biết số cộng với hai lần tổng chữ số 405 Bài : Tìm số abcd biết ab.cb  ddd Bài : Tìm hai số tự nhiên x , y biết 1   x y Bài : Cho hai số nguyên dương khác a b a b  Chứng minh >2 b a Bài : Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh a b c   1< < bc ca ab Bài : Tìm số nguyên x y biết  5x +   13 4bc.a5 = 17395 Bài 9: Tìm abc biết Bài 10: Tìm số bị chia thương phép chia sau: * * : 17 = * * (Biết thương số nguyên tố) Bài 11: Tìm số tự nhiên biết tổng số chữ số 2020 Bài 12: (5 đ) Cho a + c = Viết tập hợp A số tự nhiên b cho abc + cba số có ba chữ số Bài 13: (5đ) Tìm số tự nhiên x , y cho: 2x + 5y = 21 ... sử số cho khơng có số khơng nên phải có số số cho ( đpcm) III BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Tìm abc biết abc  ab  a = 1037 yz.x5 = 17395 Bài : Tìm xyz biết Bài : Tìm số tự nhiên có chữ số biết số. .. 6: Tìm số tự nhiên cho số cộng với tổng chữ số 249 * Đây toán nhiều lần xuất thi học sinh giỏi Sau trang bị phương pháp đa số học sinh nhận cách làm Giải : - Gọi số phải tìm n tổng chữ số n s(n)... tËp với học sinh lớp lớp số học sinh giỏi làm theo cách giải bất phương trình Tuy nhiên lời giải dài phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn Vì tơi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để