Đang tải... (xem toàn văn)
Kĩ năng: Nhận biết được phương trình bậc nhất hai ẩn; nhận biết khi nào một cặp số (xo; yo) là một nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn;biết viết nghiệm tổng quát của pt bậc [r]
(1)Chương III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu chương
1 Kiến thức:
- HS hiểu khái niệm phương trình bậc hai ẩn, nghiệmvà cách giải phương trình bậc hai ẩn
- HS hiểu khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
- HS biết phương pháp giải phương trình bậc hai ẩn hệ hai phương trình 2 Kĩ năng:
- Giải phương trình bậc hai ẩn, viết nghiệm tổng quát phương trình vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ - Nhận biết cặp số (xo; yo) nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn; biết dùng vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai pt hệ để đoán nhận số nghiệm hệ
- Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số phương pháp
- Biết cách chuyển tốn có lời văn sang tốn giải hệ phương trình bậc hai ẩn; vận dụng bước giải toán cách lập hệ hai phương trình bậc hai ẩn 3 Tư duy:
- Rèn luyện khả quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý suy luận lơgic;
- Khả diễn đạt xác, rõ ràng ý tưởng hiểu ý tưởng người khác;
4 Thái độ:
- Có ý thức tự học, hứng thú tự tin học tập, nghiêm túc, linh hoạt, làm việc khoa học, có quy trình; Có ý thức hợp tác
* Giáo dục đạo đức: Có đức tính trung thực, cần cù, vượt khó, cẩn thận, quy củ, xác, kỉ luật, sáng tạo;
5 Năng lực cần đạt:
(2)Ngày soạn: 30.11.2019
Ngày giảng:03/12/2019 Tiết 30.
§1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Mục tiêu:
1 Kiến thức: HS hiểu khái niệm phương trình bậc ẩn; hiểu tập hợp nghiệm phương trình biểu diễn hình học nó; nắm cách giải phương trình bậc hai ẩn
2 Kĩ năng: Nhận biết phương trình bậc hai ẩn; nhận biết cặp số (xo; yo) nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn;biết viết nghiệm tổng quát pt bậc ax + b = c; biết cách vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ
3 Tư duy:
- Rèn luyện khả quan sát, dự đốn, suy luận hợp lý suy luận lơgic;
- Khả diễn đạt xác, rõ ràng ý tưởng hiểu ý tưởng người khác
4 Thái độ:
- Có ý thức tự học, hứng thú tự tin học tập, nghiêm túc, linh hoạt, làm việc khoa học, có quy trình; Có ý thức hợp tác
* Giáo dục đạo đức: Có đức tính trung thực, cần cù, vượt khó, cẩn thận, quy củ, xác, kỉ luật, sáng tạo
4 Tư duy:
- Rèn luyện khả quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý suy luận lôgic;
- Khả diễn đạt xác, rõ ràng ý tưởng hiểu ý tưởng người khác;
5 Năng lực cần đạt:
- HS có số lực: Năng lực tự học, lực giải vấn đề, lực sáng tạo, lực giao tiếp, lực tính tốn, lực sử dụng cơng cụ tính tốn
II Chuẩn bị:
- GV: MT, MTB, PHTM
- HS ơn phương trình bậc ẩn III Phương pháp kỹ thuật dạy học:
- Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề - Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
IV Tổ chức hoạt động dạy học. 1 Ổn định tổ chức (1’):
2 Kiểm tra cũ (4’):
(3)? Số nghiệm phương trình bậc ẩn (có nghiệm x = −ab ) 3 Bài mới:
*HĐ1: Tìm hiểu khái niệm phương trình bậc hai ẩn
- Mục tiêu: HS hiểu khái niệm phương trình bậc ẩn, nhận biết cho ví dụ phương trình bậc hai ẩn
- Thời gian: 12’
- Phương pháp kỹ thuật dạy học:
+ Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề + Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
- Cách thức thực hiện:
+ GV nêu nội dung toán cổ quen thuộc
+ GV: tốn trên, ngồi đại lượng chưa biết số gà, ta thấy đại lượng chưa biết khác số chó
? Nếu gọi x số gà y số chó ta lập hệ thức nào? (x + y = 36 2x + 4y = 100)
+ GV: Các hệ thức VD phương trình bậc hai ẩn chương III
Trong chương ta làm quen với phương trình có hai ẩn thấy chúng có ứng dụng để giải toán tương tự toán
Nội dung chương III gồm :
Phương trình bậc hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Giải hệ phương trình PP cộng đại số, PP Giải tốn cách lập hệ phương trình
Hoạt động GV HS Nội dung
- GV nêu lại hệ thức từ toán cổ trên, thấy thực tế cịn có tình dẫn tới phương trình có nhiều ẩn
- GV: phương trình phương trình bậc hai ẩn
? Nêu dạng phương trình bậc ẩn?
- GV chốt lại nhấn mạnh: đk a0 b0 có
nghĩa ? (nghĩa hai số a, b phải khác 0)
? Tại lại cần đk a0 b0 ?
(Để đa thức ax +by bậc nhất)
liên hệ đk đ/n phương trình bậc
một ẩn
? Cho VD phương trình bậc hai ẩn?
- GV treo bảng phụ: Trong phương trình sau
1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn
* KN: Dạng ax +by = c, a, b, c số biết (a0
hoặc b0).
(4)pt phương trình bậc ẩn? a) 3x2 + 2y = – 1; b) 3x + 2y = – 1; c) 3x = – 1; d) 2y = –1;
e) 3x + 2y = f) 2y =
g) 3x + 2y – z = h) 0x + 0y = 2;
? Cho pt : x + y = 36 Khi x = 2; y = 34 nhận xét giá trị vế?
- GV: cặp số (2; 34) nghiệm phương trình
? Chỉ nghiệm khác phương trình? (cặp số (3; 33),…)
? Vậy cặp số (x0; y0) nghiệm phương trình?
- GV nêu ý sgk: Mỗi nghiệm phương trình (1) biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ Nghiệm (x0;y0) biểu diễn điểm (x0;y0) mp tọa độ
- Cho HS làm ?1
+ câu a cho HS lên bảng làm ý + câu b cho HS nêu kết - Cho HS làm ?2
- GV: k/n tập nghiệm; k/n phương trình tương đương tương tự đ/v pt bậc ẩn; qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân biết áp dụng đ/v phương trình bậc hai ẩn
*Nghiệm pt bậc 2 ẩn :
- Phương trình bậc ẩn ax+ by = c (1) có nghiệm (x0;y0) ax0 +by0 = c
Viết phương trình (1) có nghiệm là: (x ; y) = (x0;y0)
- VD : Cặp số (2 ; 34) nghiệm pt x + y = 36
*Chú ý : sgk T5
*HĐ2: Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
- Mục tiêu: Nhận biết cặp số (xo; yo) nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn; biết viết nghiệm tổng quát pt bậc ax + b = c; biết cách vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ
- Thời gian: 17’
- Phương pháp kỹ thuật dạy học:
+ Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề + Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
- Cách thức thực hiện:
Hoạt động GV HS Nội dung
- GV: Phương trình bậc ẩn có nghiệm nhất, cịn phương trình bậc hai ẩn tập nghiệm nào?
? Cho phương trình: 2x – y = Biểu thị y theo x?
(5)(y = 2x – 1)
? Yêu cầu hoạt động nhóm ?3 máy tính bảng:
x – 0,5 2,5
y = 2x – – –1
? Qua ?3 em có nhận xét gì? (nếu cho x giá trị ln tìm giá trị y thỏa mãn phương trình 2x – y = 1, tức ta tìm vơ số cặp số (x ; y) với y = 2x – t/m phương trình Điều chứng tỏ phương trình 2x – y = có vơ số nghiệm) - GV: Như tập nghiệm phương trình
y = 2x – S = {(x ;2x−1)/x∈R} , cách viết tập nghiệm kí hiệu x R hiểu x nhận
giá trị tùy ý thuộc R
- Giới thiệu công thức nghiệm tổng quát
- GV : Mỗi nghiệm (2) biểu diễn điểm mp tọa độ Có thể c/m mp tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn nghiệm (2) đường thẳng y = 2x –
- GV treo bảng phụ có vẽ đ/thẳng y = 2x – (d) - GV: Tập nghiệm (2) biểu diễn đ/t’ (d), hay đ/thẳng (d) x/đ pt y = 2x –
Đ/thẳng (d) gọi đ/thẳng 2x – y = viết gọn (d) : 2x – y =
? Làm để tìm nghiệm tổng quát pt 2x – y = ?
(Biểu diễn hai ẩn dạng biểu thức ẩn kia)
? Cho phương trình: 0x + 2y = Biểu thị công thức nghiệm tổng qt?
? Trên mp tọa độ, có nx tập hợp điểm có hồnh độ tùy ý, tung độ ?
- GV treo bảng phụ minh họa đường thẳng y =
? Cho pt: 4x +0y = Biểu thị công thức nghiệm tổng quát?
? Trên mp tọa độ, có nx tập hợp điểm có tung độ tùy ý, hoành độ 1,5 ?
- GV treo bảng phụ minh họa đường thẳng x = 1,5
* Pt 2x – y = (2) có vô số nghiệm Tập nghiệm
S = {(x ;2x−1)x∈R}
Pt (2) có nghiệm tổng quát (x ;2x – 1) với x tùy ý (xR),
hoặc {y x∈R
=2x−1
hoặc {x=
1−y
y∈R
Trong mp tọa độ, tập nghiệm (2) biểu diễn đường thẳng y = 2x – hay 2x – y =
* Phương trình 0x + 2y = có
nghiệm tổng quát (x ; 2) với x Rhoặc {xy∈R
=2
Trong mp tọa độ, tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng y = hay 0x + 2y =
* Pt 4x +0y = có nghiệm tổng quát (1,5; y) với y Rhoặc {xy=∈1,5R
(6)? Qua nội dung cho biết số nghiệm pt bậc hai ẩn?
? Pt bậc hai ẩn ax + by = c có nghiệm tổng quát nào?(biểu diễn hai ẩn dạng biểu thức ẩn kia:
{y=x−∈aR
b x+ c b
nếu b 0, {x= −b
a y+ c a y∈R
a
0)
? Trên mp tọa độ tập nghiệm phương trình biểu thị nào?
- Cho HS đọc nội dung tổng quát sgk T7
của phương trình biểu diễn đường thẳng x = 1,5 hay 4x + 0y =
*Tổng quát : sgk T7
4 Củng cố (6’):
? Nêu k/n phương trình bậc hai ẩn? Khi cặp số (x0; y0) nghiệm phương trình? (tại x = xo; y = yo thấy giá trị vế trái vế phải nhau)
? Nhận xét số nghiệm pt bậc hai ẩn? ? Làm tập 2(a, e)/sgk T7
a) Nghiệm tổng quát phương trình {y=x3∈xR−2 e) Nghiệm tổng quát phương trình {xy=∈−R1
2
5 Hướng dẫn nhà (5’):
- Biết khái niệm phương trình bậc hai ẩn tập nghiệm
- Biết cách tìm nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
- BTVN : 1, 2(còn lại), 3/sgk T7
- HDCBBS: Ôn tập cách vẽ đồ thị h/s bậc cách tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng
V Rút kinh nghiệm.
……… ……… ……… ….……… ………
(7)§2 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Mục tiêu:
1 Kiến thức: HS hiểu k/n hệ hai pt bậc ẩn nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn; nắm PP minh họa hình học tập hợp nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn k/n hai hệ pt tương đương
2 Kĩ năng: Nhận biết cặp số (x0; y0) nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn; biết dùng vị trí tương đối hai đ/thẳng biểu diễn tập nghiệm hai pt hệ để đoán nhận số nghiệm hệ
3 Tư duy:
- Rèn luyện khả quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý suy luận lôgic;
- Khả diễn đạt xác, rõ ràng ý tưởng hiểu ý tưởng người khác;
4 Thái độ: Có ý thức tự học, hứng thú tự tin học tập, nghiêm túc, linh hoạt, làm việc khoa học, có quy trình; Có ý thức hợp tác
* Giáo dục đạo đức: Có đức tính trung thực, cần cù, vượt khó, cẩn thận, quy củ, xác, kỉ luật, sáng tạo;
5 Năng lực cần đạt:
- HS có số lực: Năng lực tự học, lực giải vấn đề, lực sáng tạo, lực giao tiếp, lực tính tốn, lực sử dụng cơng cụ tính tốn
II Chuẩn bị:
- GV: Bảng phụ ?1, thước thẳng, êke, phấn màu
- HS: Thước kẻ, êke, ôn tập cách vẽ đồ thị hàm số bậc III Phương pháp kỹ thuật dạy học:
- Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề - Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
IV Tổ chức hoạt động dạy học. 1 Ổn định tổ chức (1’):
2 Kiểm tra cũ (7’):
*HS1: Đ/n phương trình bậc hai ẩn.Sốnghiệm phương trìnhbậc ẩn? Viết nghiệm TQ vẽ đường thẳng biểu diễn tập hợp nghiệm pt 3x–2y = (Nghiệm tổng quát phương trình
x R y = 1,5x -
Đường thẳng 3x– 2y=6 qua (0 ; – 3); (2;0) )
Ngày soạn: 30.11.2019
(8)*HS2 : Làm tập 3/sgk T7
Toạ độ giao điểm hai đường thẳng x + 2y = x – y = (2;1) Cặp số (2; 1) nghiệm phương trình 2+2.1=4 – 1=1 3 Bài mới:
*HĐ1: Tìm hiểu khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
- Mục tiêu: HS hiểu k/n hệ hai phương trình bậc ẩn nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
- Thời gian: 7’
- Phương pháp kỹ thuật dạy học:
+ Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở + Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi - Cách thức thực hiện:
GV: Như tập ta kiểm tra thấy cặp số (x; y) = (2; 1) vừa nghiệm phương trình thứ nhất, vừa nghiệm phương trình thứ hai Ta nói cặp số (2; 1) nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn {xx – y+2y=4
=1 Vậy k/n hệ hai
phương trình bậc hai ẩn ntn ? Có thể tìm nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn cách vẽ hai đường thẳng không ? bài
Hoạt động GV HS Nội dung
- GV: Như ta có hệ hai phương trình bậc hai ẩn {xx – y+2y=4
=1
? Hệ hai pt bậc hai ẩn bao gồm gì? (gồm hai phương trình bậc hai ẩn)
? Vậy nêu k/n hệ hai pt bậc hai ẩn? - GV: Bài tập ta thấy cặp số
(x; y) = (2; 1) vừa nghiệm phương trìnhthứ nhất, vừa nghiệm phương trình thứ hai Ta nói cặp số (2; 1) nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn
{x+2y=4
x – y=1
? Vậy cặp số (x0; y0) phải t/m điều nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn?
1 Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
*KN : Hệ hai pt bậc hai ẩn (I)
ax + by = c (1) a'x + b'y = c' (2)
(phương trình (1) ; (2) phương trình bậc hai ẩn)
- Nếu hai pt có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) gọi nghiệm hệ (I)
- Nếu hai pt cho khơng có nghiệm chung hệ (I) vơ nghiệm - Giải hệ pt tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm)
(9)- Mục tiêu: HS hiểu PP minh họa hình học tập hợp nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn; biết dùng vị trí tương đối hai đ/thẳng biểu diễn tập nghiệm hai pt hệ để đoán nhận số nghiệm hệ
- Thời gian: 13’
- Phương pháp kỹ thuật dạy học:
+ Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề + Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
- Cách thức thực hiện:
Hoạt động GV HS Nội dung
- GV chiếu đề ?2, cho HS đọc đề
- HS đứng chỗ trả lời (từ cần điền “nghiệm” tập nghiệm pt ax + by = c biểu diễn đường thẳng ax + by = c) ? Có nx tọa độ điểm chung (nếu có) hai đường thẳng d: ax + by = c
d’: a’x + b’y = c’?(tọa độ điểm chung nghiệm hai pt ax + by = c
a’x + b’y = c’ tức nghiệm hệ)
- GV: Vậy tập nghiệm hệ biểu diễn tập hợp điểm chung (d) (d’) ? Vậy hệ hai pt bậc hai ẩn có nghiệm? (có nghiệm nhất, vơ nghiệm, vơ số nghiệm)
? Bằng hình học làm để xác định tập nghiệm hệ?
- HS trả lời, GV chốt lại câu trả lời - GV nêu ví dụ
- GV: Gọi hai đường thẳng xác định hai phương trình hệ cho (d1) (d2) ? Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ?
? Nhận xét số giao điểm hai đường thẳng?
? Xác định tọa độ điểm chung?
? Kiểm tra lại xem tọa độ điểm chung có nghiệm hệ không?
? Làm khơng cần vẽ biết vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2? (dựa vào tung độ gốc hệ số góc)
? Hãy chứng tỏ hai đường thẳng (d1) (d2)ở
2 Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc hai ẩn
*Xét hệ (I)
ax + by = c a'x + b'y = c'
Gọi (d): ax + by = c (d’): a’x + b’y = c’
Tập nghiệm hệ (I) biểu diễn tập hợp điểm chung (d) (d’)
*Ví dụ 1: Xét hệ pt { x+y=3
x−2y=0
Gọi (d1) : x + y = (d2) : x – 2y =
Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ, thấy chúng cắt điểm M(2; 1)
(10)trên cắt nhau?
(Biến đổi (d1) (d2)về dạng y = kx + m, cụ thể (d1) : y = – x + (d2) : y = 12 x
Ta thấy hai đ/thẳng có hệ số góc khác nên chúng cắt nhau)
- GV nêu VD2
? Làm để biết số nghiệm hệ?
(Dựa vào số điểm chung hai đường thẳng xác định hai phương trình hệ)
? Hãy tìm số điểm chung hai đường thẳng đó?
- HS biến đổi tìm số điểm chung
- HS quan sát hình thấy vị trí tương đối hai đường thẳng
- GV nêu VD3
? Tập nghiệm pt biểu diễn đ/t nào?
? Có nhận xét nghiệm pt hệ với nghiệm pt kia? (mỗi nghiệm hai pt hệ nghiệm pt kia)
? Làm ?3 (Tập nghiệm hai pt hệ biểu diễn đ.thẳng số điểm chung hai đường thẳng x/đ hai pt hệ vơ số)
? Qua ví dụ trên, cho biết số nghiệm hệ hai pt bậc hai ẩn?
? Khi hệ (I) có nghiệm nhất? vô nghiệm? vô số nghiệm?
- GV: Trên sở ta c/m rằng: Hệ (I) (với a, b, c, a’, b’, c’ 0)
+ Có vơ số nghiệm nếu: ' ' '
a b c
a b c
+ Vô nghiệm nếu: ' ' '
a b c
a b c
+ Có nghiệm nếu:
' '
a b
a b
? Có thể đốn nhận số nghiệm hệ hai pt
*Ví dụ 2: Xét hệ pt {3x−2y=−6
3x−2y=3
(d1): 3x – 2y = – y = 32x+3
(d2): 3x – 2y = y=32x−32
Đ.thẳng (d1) (d2) có tung độ gốc khác có hệ số góc 32 nên song song Vậy hệ vơ nghiệm
*Ví dụ 3: Xét hệ pt { 2x−y=3
−2x+y=−3
Có (d1) : 2x – y = y = 2x−3
(d2): – 2x + y = – y=2x−3
Hai đ/thẳng (d1) (d2) trùng nên hệ pt có vô số nghiệm
*TQ: sgk T10
* Kết luậncủa câu hỏi 2/SGK T25
Hệ (I) (với a, b, c, a’, b’, c’ 0)
+ Có vô số nghiệm nếu: ' ' '
a b c
a b c
+ Vô nghiệm nếu: ' ' '
a b c
a b c
(11)bậc hai ẩn dựa vào đâu? ý
' '
a b
a b
*Chú ý: sgk T11 *HĐ3: Tìm hiểu khái niệm hệ phương trình tương đương - Mục tiêu: HS hiểu k/n hai hệ phương trình tương đương - Thời gian: 5’
- Phương pháp kỹ thuật dạy học:
+ Phương pháp: Vấn đáp – gợi mở, phát giải vấn đề + Kỹ thuật dạy học: KT đặt câu hỏi
- Cách thức thực hiện:
Hoạt động GV HS Nội dung
? Thế phương trình tương đương? ? Tương tự, hệ pt tương đương? ? K/n hai hệ phương trình tương đương tương tự k/n hai pt tương đương Sự khác gì? (đ/v hệ hai pt bậc hai ẩn, nghiệm khơng phải số mà cặp số)
- GV giới thiệu dùng kí hiệu để tương
đương hai hệ pt
- GV: Về nhà em dùng minh họa hình học để thấy hai hệ pt tương đương cuối tập nghiệm
3 Hệ phương trình tương đương
* Định nghĩa: sgk T11
* Kí hiệu : Dùng kí hiệu để
tương đương hai hệ phương trình
4 Củng cớ (7’):
? Đối với hệ hai pt bậc hai ẩn, có liên hệ nghiệm với tọa độ điểm chung hai đường thẳng xác định hai pt hệ? (mỗi nghiệm hệ tọa độ điểm chung hai đường thẳng)
? Có thể đốn nhận số nghiệm hệ (I) cách nào? Xác định nào? ? Làm 4/ sgk T11: H/đ nhóm
a) nghiệm, hai đ/thẳng có pt cho hệ hai đ/thẳng có hệ số góc khác nên chúng cắt điểm
b) vơ nghiệm, hai đ/thẳng có pt cho hệ hai đ/thẳng phân biệt có hệ số gócnên chúng song song với
c) nghiệm
d) vơ số nghiệm, hai đ/thẳng có pt cho hệ hai đ/thẳng trùng trùng với đường thẳng y = 3x –
5 Hướng dẫn nhà ( 5’):
- Biết số nghiệm hệ phương trình ứng với vị trí tương đối hai đt - BTVN : 5, 6, 7/sgk T11, 12 8, 9/SBT
(12)