Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí.[r]
(1)Ở ta xét cực trị hàm hai biến z = f(x,y). Cho hàm f(x,y) xác định miền D điểm
1 Định nghĩa:
Ta nói điểm cực tiểu (hoặc cực đại), tồn _lân cận cho:
( )
Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương)
Nhận xét:
- Hàm số đạt cực tiểu (cực đại) nếu:
- Nếu thay đổi dấu thay đổi hàm số khơng đạt cực trị Ví dụ: Bạn xét xem hàm số có đạt cực trị M(0;0) hay không? Xét điểm lân cận M(0;0) Ta có:
Với Với
Vậy thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị M0 2 Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:
2.1 Định lý (Điều kiện cần)
Nếu hàm đạt cực trị (địa phương) và f có đạo hàm riêng tại thì:
(2)Giả sử hàm f đạt cực đại (trường hợp hàm f đạt cực tiểu M0 hồn tồn tương tự )
Khi đó, xét hàm ta có: , với x
khoảng chứa x0
Do đó, hàm g(x) đạt cực đại x0 Hay:
Mặt khác: Vậy:
Tương tự, xét hàm ta có:
Điểm mà , gọi điểm dừng.
2.2 Định lý (Điều kiện đủ)
Giả sử hàm số có đạo hàm riêng đến cấp liên tục lân cận điểm dừng
Đặt: Khi đó:
a Nếu (hay C > 0) f đạt cực tiểu M0. b Nếu (hay C < 0) f đạt cực đại M0. c Nếu thì f khơng đạt cực trị M0.
d Nếu ta chưa kết luận cần phải xét cụ thể cách dựa vào định nghĩa Ta công nhận không chứng minh định lý Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số biến Khi đó, ta xét dấu cho vi phân cấp khai triển Taylor Các bạn xem chi tiết chứng minh cơng thức Taylor giáo trình Tốn học Cao cấp (Tập 3) tác giả Nguyễn Đình Trí Tuy nhiên, để xem chứng minh cách dễ hiểu nhất, bạn xem Giải tích tốn học tác giả Pixcunop (tập 2)