Đang tải... (xem toàn văn)
Chú ý : Trong một số bài toán có đặc thù riêng nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều ki[r]
(1)Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x (C) Tìm trên đường thẳng (d): y = − x các điểm M mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m; −m) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m ∆ là tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1) 3 − x = k Thay (2) vào (1) ta được: x − 3mx + 4m = ⇔ m = x3 3x − (2) (*) (**) Từ M kẻ đúng tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) = x3 3x − 3 x − 24 x f ′( x ) = ; ; f ′( x ) = ⇔ x = 2 x = ±2 (3 x − 4) Tập xác định D = R \ − Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt ⇔ m = −2 Vậy: M(−2;2) M(2; −2) m = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + Tìm trên đường thẳng d : y = các điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến với (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m;4) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + ∆ là tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x 2− x + = k ( x − m) + 3 x − = k Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x − (3m + 2) x + 3m + = (1) (2) (*) (3) x = −1 ⇔ 2 x − (3m + 2) x + 3m + = (4) YCBT ⇔ (3) có đúng nghiệm phân biệt + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, đó có nghiệm –1 ⇔ m = −1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = − ∨ m=2 Vậy các điểm cần tìm là: (−1; 4) ; − ;4 ; (2; 4) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + (m − 1) x + 2m (Cm) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ đúng tiếp tuyến với (Cm) Hướng dẫn giải: PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + ∆ là tiếp tuyến (Cm) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x − x + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 3 x − x + m − = k ⇒ f ( x ) = x − x + x − 3(m − 1) = (*) Để qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng nghiệm phân biệt 109 ⇒ Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 − 3m), B ; − 3m 27 Ta có f ′( x ) = x − 10 x + ⇒ f ′( x ) = ⇔ x = 1; x = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (2) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 m = A ∈ Ox Do đó (*) có đúng nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ B ∈ Ox m = 109 81 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + x − (C) Tìm trên đường thẳng (d): y = các điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2) ∈ (d ) PT đường thẳng ∆ qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2 − ∆ là tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm x 2+ x − = k ( x − m) + −3 x + x = k (1) (2) (*) Thay (2) và (1) ta được: x − 3(m + 1) x + 6mx − = ⇔ ( x − 2) 2 x − (3m − 1) x + = x = ⇔ f ( x ) = x − (3m − 1) x + = (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có nghiệm x phân biệt ∆ > ⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇔ m < −1 ∨ m > f (2) ≠ m ≠ Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > có thể kẻ tiếp tuyến với (C) m ≠ 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Ta có y = x − x + PT đường thẳng d qua A(a;0) và có hệ số góc k : y = k ( x − a) x − x + = k ( x − a) d là tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: k = ( A) x −1 = Ta có: (I ) ⇔ 4 x( x − 1)2= k f ( x ) = x − 4ax + = (1) + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến là d1 : y = 4x3 − 4x = k (I ) ( B) + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔ ∆′ = 4a2 − > 3 ⇔ −1 ≠ a < − ≠ a > 2 f (±1) ≠ Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số: y = x+2 (C) x −1 Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a x +2 x − = kx + a d là tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ PT có nghiệm −3 k = ( x − 1)2 ⇔ PT: (1 − a) x + 2(a + 2) x − (a + 2) = (1) có nghiệm x ≠ Để qua A có tiếp tuyến thì (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (3) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ (*) a > −2 ∆′ = 3a + > Khi đó ta có: x1 + x2 = 2(a + 2) a+2 3 ; x1 x2 = và y1 = + ; y2 = + x1 − x2 − a −1 a −1 Để tiếp điểm nằm phía trục hoành thì y1.y2 < x x + 2( x + x ) + 2 ⇔ 1 + < ⇔ 3a + > ⇔ a > − 1 + <0 ⇔ x − x − x x − ( x + x 2) +1 Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a > − a ≠ Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x +1 (C) x −1 Tìm trên Oy tất các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) x +1 ( y − 1) x − 2( y + 1) x + y + = (1) x − = kx + yo o o o ⇔ (*) (d) là tiếp tuyến (C) ⇔ −2 −2 =k =k x ≠ 1; 2 ( x − 1) ( x − 1) YCBT ⇔ hệ (*) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm khác y = y ≠ o o x = ; yo = ⇒ k = −8 ⇔ ∨ ⇔ 2 ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = x = x = 0; yo = −1 ⇒ k = −2 Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1) x +3 (C) x −1 Tìm trên đường thẳng d : y = x + các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới (C) Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y = Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2m + 1) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + PT hoành độ giao điểm ∆ và (C): k ( x − m) + 2m + = ⇔ kx − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = (*) x+3 x −1 k ≠ ∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = ∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ k ≠ 2 2 g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = ⇔ Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ đúng tiếp tuyến đến (C) m = ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = ⇔ g(k ) = có đúng nghiệm k ≠ ⇔ ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = ⇔ m = −1 m = − = ⇒ + = ⇒ = − m 16 k k m = ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (4) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P2 Thầy Đặng Việt Hùng II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : +) Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu +) Giải điều kiện tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu +) Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Bài toán cực trị phương trình y’ = giải nghiệm Phương pháp: Khi xét đến biệt thức ∆ phương trình y ' = mà ta nhận thấy ∆ = (am + b) thì ta nên nghĩ đến việc giải nghiệm phương trình y ' = x2 Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x + (m − 2) + (1 − m) x + 2m + Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x13 + x23 < c) hàm số có cực đại, cực tiểu các điểm có hoành độ nhỏ d) hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x12 + x22 = 13 x2 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x − (2m + 1) + (m + m) x − m + Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 cho x12 + x22 = c) hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 cho x13 − x23 = −11 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + m − m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho diện tích tam giác ABC 7, với C(–2 ; 4) Ví dụ 4: [ĐVH] (Trích đề thi Đại học khối B – 2012) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho diện tích tam giác OAB 48, với O là gốc tọa độ Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho tam giác ABC vuông C, với C(4 ; 0) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (5) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho diện tích tam giác ABC , với C(1 ; 1) Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 12mx − 3m + 9 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với C −1; − 2 Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho AB = Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + 4m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu A, B cho tam giác OAB vuông O Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m3 + 2m Chứng minh hàm số luôn có cực trị với m, và khoảng cách các điểm cực trị không đổi Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3m x + (với m là tham số thực) + xCT = Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho xCÑ x2 Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + (3m − 1) + (m − 2m ) x − (với m là tham số thực) 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho xCÑ − xCT + 19 = Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 3(2m − 1) x + 6(m − m) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho 2 a) xCÑ + xCT =5 2 b) xCÑ − xCT = 11 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (6) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : +) Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu +) Giải điều kiện tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu +) Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu Phương pháp: Thực phép chia đa thức y cho y ' ta y = y '.h( x) + r ( x) đó r(x) là phần dư phép chia Khi đó y = r(x) gọi là phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu hàm số Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy tọa độ các điêm cực đại, cực tiểu, các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = x3 − x + hai cách Ví dụ 2: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = x3 − x + m Dạng Bài toán tính đối xứng các điểm cực trị Phương pháp: Gọi hai điểm cực trị hàm số là A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Ta có số kết sau : +) A, B nằm hai phía trục Oy x1 x2 < +) A, B nằm cùng phía với trục Oy x1 x2 > +) A, B nằm hai phía trục Ox y1 y2 < +) A, B nằm cùng phía với trục Ox y1 y2 > AB ⊥ d +) A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d , với I là trung điểm AB I ∈ d +) A, B cách đường thẳng d AB // d trung điểm I AB thuộc đường thẳng d Chú ý : Trong số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = nhẩm nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = có ba nghiệm phân biệt Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x + mx + m − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 + (2m + 1) x − (m2 − 3m + 2) x − (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (7) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x − mx + (2m − 1) x − (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía trục tung Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 3mx + 2m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu các điểm A, B cho A, B đối xứng qua đường thẳng Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = d : x – 2y + = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = − x3 + x + x + hai cách Bài 2: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số sau : a) y = x3 + (m + 1) x + x − m b) y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + (2m + 1) x − (m2 − 3m + 2) x − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + m x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng qua đường thẳng d : y = x− 2 Đ/s : m = Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = ± Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + x + m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng qua đường thẳng d : x − y − = Đ/s : m = Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó chứng minh các điểm này nằm hai phía trục Oy Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đường thẳng d : x − y − = Đ/s : m = Hướng dẫn : m 2m − 2 x + + +) Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là y = +) A, B cách d nên xét hai trường hợp : AB // d và trung điểm I AB thuộc d Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (8) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P4 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng Một số ứng dụng phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu Phương pháp: +) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu +) Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử đường thẳng viết có dạng ∆ : y = ax + b Ta có số trường hợp thường gặp a = A ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B b ≠ B ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B a A = −1 nd n∆ aA + bB ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B góc φ nào đó thì cos φ = = nd n∆ a + b A2 + B Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn cực đại, cực tiểu ta giá trị cần tìm tham số m x3 − mx + (5m − 4) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = d : x + y + = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : x + y + = Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + y − = góc 450 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : x + y − = Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : x − y − = Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m − 1) x + (2m − 3m + 2) x − m + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + y − 20 = góc 450 Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (9) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C ) : ( x − m) + ( y − m − 1) = Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1) x + (m − 4m + 1) x − 2(m + 1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d:y= x + Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số: y = − x3 + 3mx + (1 − m2 ) x + m3 − m2 Xác định m để hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu A, B cho ∆OAB vuông O Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx − x + m + Chứng minh với m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu Xác định m cho khoảng cách các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx − 3mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + góc 450 Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + 3m x + (với m là tham số thực) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho a) đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : x + y + = b) AB = 5, với A, B là tọa độ các điểm cực trị c) xCÑ + xCT = Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + (với m là tham số thực) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + (với m là tham số thực) AMB = 900 với M (−2; 2) Tìm m để hàm số có đạt cực trị A, B cho Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3x + (m − 6) x + m − (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm A(1; −4) đến đường thẳng qua 12 hai điểm cực trị 265 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (10) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P5 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 6mx + x + 2m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng qua cực đại, cực tiểu Đ/s : m = ±1 x − mx − x + m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách hai điểm này nhỏ Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = Đ/s : m = 0; ABmin = 13 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành tam giác cân Đ/s : m = − Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx − 4mx − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho biểu thức A = m2 x22 + 5mx1 + 12m + đạt x12 + 5mx2 + 12m m2 giá trị nhỏ Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + mx + 1, với m là tham số thực 11 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm I ; đến đường thẳng qua hai điểm 2 cực đại và cực tiểu là lớn Lời giải: Ta có y = x − x + mx + ⇒ y ' = x − x + m 2 +) Hàm số có cực trị m < m m x 1 2m 2m +) Chia y cho y ' ta y = − y '+ − x + +1 ⇒ y = − x + + là phương trình 3 3 đường thẳng qua các điểm cực trị m 2m Đặt ∆ : y = − x + +1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (11) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ta có d ( I ; ∆ ) = Đặt u = t − Đặt 2m 11 m − − + +1 2 2m − +1 = 2m 11 − 2m − +1 Facebook: LyHung95 = 2m − 2 − 2m − +1 t− = t2 +1 u ⇒d = = 25 3 1+ + u + +1 2u 16u 4 =a⇒d = u 1+ 3a 25a + 16 Dâu xảy a = − = 1+ = 3a 25a + 16 ≤ 5a 16 + + 25 5 ⇒ d max = 4 12 25 2m ⇔u=− ⇔t =u+ =− ⇔ − = − ⇔ m = 25 12 3 Vậy m = là giá trị cần tìm Bài này còn cách giải khác khá hay và độc đáo, đó là sử dụng điểm cố định Các em tìm hiểu thêm nhé! Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cho khoảng cách từ điểm CĐ đến trục hoành khoảng cách từ điểm CT đến trục tung Lời giải: x = m ⇒ y = m3 + 3m + m − 2 Ta có : y ' = 3x − ( m + 1) x + 3m ( m + ) = ⇔ x = m + ⇒ y = ( m + ) ( m − 1) + m − ( ) ( Do m ≠ m + (∀m) nên hàm số luôn có CĐ A m; m3 + 3m2 + m − , CT B m + 2; ( m + ) + m − 2 m3 + 3m + m − = m + m = 1, m = −2 Từ giả thiết ta có: m3 + 3m + m − = m + ⇔ ⇔ m = 0, m = −1 m + 3m + m − = − m − Đ/s : m = 0; m = −2; m = ±1 ( ) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + m2 − x + 4m − m3 − Tìm m để hàm số có cực trị A,B cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O là trực tâm biết C ( 2;1) Lời giải: x = m −1 +) Ta có: y ' = x − 6mx + m2 − = ⇔ x − 2mx + m − = ⇔ (1) x = m +1 ( ) PT (1) luôn có nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có cực trị A, B +) Gọi A ( m − 1; m + 1) , B ( m + 1; m − 3) ⇒ AB = ( 2; −4 ) m = 2.2 − 1.4 = AB ⊥ OC +) Do O là trực tâm tam giác ABC nên ⇔ ⇔ m = − ( m − 3)( m + 1) + m ( m − 3) = AC ⊥ OB Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ) (12) Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đáp số: m = 3, m = − Facebook: LyHung95 là các giá trị cần tìm ( ) Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3x − m − x + m3 + ( C ) Tìm m > để hàm số có CĐ A, CT B cho tứ giác ABDO là hình thang có đáy lớn AB = 2OD Biết D thuộc đường thẳng x − y = Lời giải: x = − m ⇒ y = ( x − 1)3 − 3m x + m3 + = 3m ( m − 1) + +) Ta có: y ' = x − x − m − = ⇔ x = + m ⇒ y = 2m3 − 3m ( m + 1) + = −m ( m + 3) + ( ) ( ) ( +) Với m > hàm số luôn có cực trị A − m;3m ( m − 1) + , B + m; − m ( m + 3) + ) m = t +) Mặt khác: AB = 2m; −4m3 = 2OD = ( t ; t − 3) ⇔ ⇔ m =1 −2 m = t − ( ) Với m = ta có: A ( 0; ) , B ( 2; −2 ) ⇒ AB : x + y − = Vì O ∉ AB nên m = là giá trị cần tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1 Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x1, cực tiểu x2 đồng thời x1 ;x2 là hai cạnh góc vuông tam giác có độ dài cạnh huyền 10 Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m + 6) x + Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu m x + mx + x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x + x + mx + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách hai điểm này 15 Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + 3(m − 1) x + 6m(1 − 2m) x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = x − x + 3x Gọi A, B là hai điểm cực trị hàm số Tìm điểm M trên Ox cho tam giác ABM có diện tích Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! (13)