Cực trị hàm số (tt)

Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn Nội dung  Tóm tắt lý thuyết  Ví dụ minh hoạ  Bài tập tự giải Tóm tắt lý thuyết  Cho hàm số y = f(x), nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x 0 ) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x 0 ; f(x 0 )) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.  Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có 2 điểm cực trị x 1 ; x 2 . Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau: • Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) • f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia) • Vì f’(x 1 ) = f’(x 2 ) = 0 nên - f(x 1 ) = Ax 1 + B - f(x 2 ) = Ax 2 + B Giá trị cực trị của hàm số  Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x 0 với v’(x 0 ) ≠ 0 thì  Vậy giá trị cực trị của hàm số là u(x) y v(x) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u(x ) u'(x ) y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0 v(x ) v'(x ) ⇔ ⇔ = 0 0 0 0 0 u(x ) u'(x ) y(x ) v(x ) v '(x ) = = Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1 Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. Lời giải 2 2 x (2m 1)x m m 4 y 2(x m) + + + + + = + 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x 2 m m 1 2 Ta có y ' 0 (x m) 4 0 2 x 2 m m (x m) Hàm s có 2 i m c c tr x = 2 - m và x = - 2 - m 2x 2m 1 2x 2m 1 5 3 y(x ) ;y(x ) 2 2 2 2 V y th hàm s luôn có 2 i m c c tr 5 M 2 m; ; 2 = − ≠ −  = − = ⇔ + − = ⇔  = − − ≠ − +  + + + + ⇒ = = = = −   −  ÷   è ® Ó ù Þ Ë ®å Þ è ® Ó ù Þ [ ] 2 2 3 N 2 m; và 2 5 3 MN (2 m) ( 2 m) 4 2 kh ng i 2 2   − − −  ÷       = − − − − + − − =  ÷       « ®æ Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2 Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y – 3 = 0. Lời giải Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f(x) = mx 2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 x mx 2 y mx 1 + − = − 2 2 mx 2x m Ta có: y' (mx 1) − + = − ' 2 m 0 m 0 m 0 1 0 1 m 0 1 m 1 m 1 m 1 1 m 0 f 0 m m    ≠ ≠  ≠      ⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ − < <       ≠ ±      − ≠ ≠  ÷      Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) Gọi (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: Tọa độ hai điểm cực trị (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y 2 ) thỏa mãn phương trình: Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là { } m ( 1;1) \ 0⇔ ∈ − 1 1 1 1 2 2 2 2 2x 2m 2 y y(x ) x 2 m m 2x 2m 2 y y(x ) x 2 m m + = = = + + = = = + 2 y x 2 m = + Giá trị cực trị của hàm số 2 y x 2 m = + Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với (không thỏa mãn) Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với Chú ý: Cho 2 đường thẳng d 1 : y = a 1 x + b 1 d 2 : y = a 2 x + b 2 d 1 vuông góc với d 2 ⇔ a 1 .a 2 = -1 d 1 song song với d 2 ⇔ a 1 = a 2 và b 1 ≠ b 2 2 y x 2 m = + 2 1 thì . 1 m 1 m 2   − = − ⇔ =  ÷   Giá trị cực trị của hàm số 1 3 : y x 2 2 ∆ = − + Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3 Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x – 2y – 5 = 0 Lời giải Ta có y’ = 3x 2 – 6x + m 2 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y 2 ) là 2 điểm cực trị ⇒ y’ (x 1 ) = y’ (x 2 ) = 0 và theo Vi-ét ta có Lấy y chia cho y’ ta được 2 ' 0 9 - 3m >0 3 m 3⇔ ∆ > ⇔ ⇔ − < < 1 2 2 1 2 x x 2 m x .x 3 + =    =   2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2m 1 y (x 1)y' 2 x m m 3 3 3 2m 1 y y(x ) 2 x m m 3 3 2m 1 y y(x ) 2 x m m 3 3   = − + − + +  ÷     ⇒ = = − + +  ÷     ⇒ = = − + +  ÷   Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt) Vì tọa độ (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y 2 ) luôn thỏa mãn phương trình Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d vuông góc với ∆ và khoảng cách từ (x 1 ; y 1 ) ; (x 2 ; y 2 ) đến ∆ là bằng nhau 2 2 2m 1 y 2 x m m 3 3   = − + +  ÷   2 2 2m 1 d : y 2 x m m 3 3   = − + +  ÷   Giá trị cực trị của hàm số 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2m 1 2 . 1 3 2 m 0 (1) 2(y y ) (x x ) 10 0 (2) x 2y 5 x 2y 5 1 ( 2) 1 ( 2)    − = −   ÷ =     ⇔ ⇔   + − + + = − − − −   =  + − + −  [...]... đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 5 Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều Lời giải Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 0 x = 0 x = 0 ⇔ ⇔ 2 x = m  x = ± m(m > 0) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 (1) 2 2 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; m); B( m; m −... hàm số y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) 2x 2 + 3x + m − 2 Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số y = đạt cực đại tại x 1 x+2 và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2| Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số x 2 − (m + 1)x − m2 + 4m − 2 y= x −1 a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Tìm m để tích các giá trị. .. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số x 2 + 2mx + 2 y= x +1 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) − x 2 + 3x + m Bài 7: Cho hàm số y = x−4 Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn |yCĐ -... thành tam giác đều Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số 1 y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 3 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x... điểm cực trị của đồ thị hàm số  x1 + x 2 = 2  y = y ( x ) = ( 2 − 2m ) x 1 1   1 ⇒ g(x1 ) = g(x 2 ) = 0 và ta có  ⇒ 1 x1x 2 =  y 2 = y ( x 2 ) = ( 2 − 2m ) x 2    m Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt) Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox (2 − 2m)2 ⇔ y1.y 2 < 0 ⇔ (2 − 2m)x1x 2 < 0 ⇔ . Cho hàm số y = f(x), nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x 0 ) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x 0 ; f(x 0 )) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm. = Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1 Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không