ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29 Nhóm thực hiện: Lê Văn Đẳng Lê Thị Hà Giang Lê Hòa Hải Lê Thị Hải Nguyễn Thị Diệu Hạnh Nguyễn Thị Mỹ Hạnh Phạm Thị Mỹ Hạnh Đề tài : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (Bài kiểm tra học trình ) Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy nhơn, tháng 10 năm 2009. 1 LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay, có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với vốn kiến thức của mình, cùng với sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực hiện 2 MỤC LỤC PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) 2 PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f(x)| 3 Dạng 2: y = f(|x|) 14 Dạng 3: y = |f(|x|)| 19 Dạng 4: y = |f(x)|g(x) 22 KẾT LUẬN CHUNG 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3 A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1: y = |f(x)| Ta có y = |f(x)| = f (x) khi f (x) 0 f (x) khi f (x) 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm: + Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) . + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox. Dạng 2: y = f(|x|). Ta có y = f(|x|) = f (x) khi x 0 f ( x) khi x 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy. Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm : + Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). + Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Dạng 3 : y = |f(|x|)|. Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy tắc 1 & 2. Cụ thể là : + Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x). + Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|. hoặc + y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x). + y = h(x) suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|. Dạng 4 : y= |u(x)|.v(x) Ta có y= |u(x)|.v(x) = u(x).v(x) khi u(x) 0 u(x).v(x) khi u(x) 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Do đó để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x) và từ đó đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm : +Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x) ³ 0. +Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành . B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m). (1) 4 Bước 1 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m). Bước 2 : Vẽ đồ thị hàm số (C m ) : y=f(x,m) trên miền xác định D Bước 3 : Kết luận phương trình có nghiệm ⇔ x D x D Min f(x,m) g(m) M f (x,m)ax Î Î £ £ phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (C m ) tại k điểm phân biệt. bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ” PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG I y = |f(x)| 5 I. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m (1) Bài giải: Xét hàm số : y = 2x+1. TXT: D = . BBT Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(-1,-1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần : + Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1. + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox. Khi đó, số nghiệm của phương trình là số Điểm của (C) và đường thẳng y = m. Vì vậy .Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm .Với m = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm .với m > 0 : phương trình (1) co 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau : | |m|x – 3| = 4 -m (2) Bài giải: Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y 1 = | |m|x – 3| (3) và cắt nó bằng đường thẳng y 2 = 4 – m (4) song song với trục hoành. 6 x -∞ +∞ y +∞ -∞ Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2) Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vô nghiệm. - Trường hợp: m ≠ 0 (2) ⇔ y 1 = m 0 |mx 3| ì > ï ï í ï - ï î hoặc y = m 0 |mx 3| ì < ï ï í ï + ï î Hình 1 Hình 2 Từ phương trình (1) ta có điều kiện : 4 m 0 m 0 ì - ³ ï ï í ï ¹ ï î ⇔ m 4 m 0 ì £ ï ï í ï ¹ ï î Nếu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0< m ≤ 4 Từ điều kiện đó suy ra điều kiện đối với đường thẳng y 2 như sau 0≤ y 2 < 4 Rõ ràng trong hình (1),nếu cắt đường biểu diễn của y 1 bởi đường thẳng y 2 song song với trục hoành và có giá trị biến thiên từ 0 (kẻ từ O) đến 4 (kẻ từ 4) thi luôn có hai giao điẻm A và B có hoành độ tính như sau: Điểm A : -mx + 3 = 4 – m hay x= m 1 m - Điểm B : mx - 3 = 4 – m hay x= 7 m m - 7 y 2 =4 - m 3 m y x B A 0 -3 -2 -1 3 2 1 y 2 =4 - m - y x D C 0 -3 -2 -1 3 2 1 Nếu m=4 thì đường thẳng y 2 cắt đường biểu diễn của y 1 tại điểm có hoành độ x= 3 4 Trong hình 2, y 2 =4 – m > 0 .Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y 2 thì đường thẳng luôn cắt đường biểu diễn của y 1 tại hai điểm C,D có hoành độ như sau: Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= - m 1 m - Điểm D : - mx - 3 = 4 – m hay x= - 7 m m - Vậy: m = 0 : phương trình (1)vô nghiệm m = 4 : phương trình (1) có 1 nghiệm x= 3 4 0 < m < 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm x= m 1 m - và x= 7 m m - m < 0 : phương trình (1) có 2 nghiệm x = - m 1 m - và x= - 7 m m - Ví dụ 3 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x 2 + 2x – 3| = m. (1) Bài giải: Xét hàm số (P) : y = x 2 + 2x – 3 MXĐ : D = . BBT: x -∞ -1 +∞ y +∞ +∞ -4 Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A(-3,0) và B(1,0) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |x 2 + 2x -3| , gồm 2 phần: + Phần phía trên trục hoành của (P). + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua Ox 8 Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m ta được : -Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm -Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm -Với 0 < m < 4 : phương trình (1) có 4 nghiệm -Với m = 4 : phương trình (1) có 3 nghiệm. Ví dụ 4 : Với giá trị nào của m thì phương trình : 2 |x 2x| 2 1 m m 1 3 - æö ÷ ç = + + ÷ ç ÷ ç è ø (1) có 4 nghiệm phân biệt. Bài giải: Vì 2 m m 1+ + > 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình (1) ta được: |x 2 – 2x| = log 1/3 (m 2 + m + 1) (2) Đặt log 1/3 (m 2 + m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x 2 – 2x| = a. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x 2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt. 9 hoặc Xét hàm số y = |x 2 – 2x| = 2 2 x 2x khi x 0 x 2 2x x khi 0 < x < 2 ì - £ ³ ï ï í ï - ï î Cách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàm y ’ = 2x 2 khi x 0 x 2 2 2x khi 0 < x < 2 ì - < > ï ï í ï - ï î BBT: x -∞ 0 1 2 +∞ y ’ + - + y +∞ 1 +∞ 0 0 Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x 2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt ⇔0 < a < 1 ⇔ 0 < log 1/3 (m 2 + m + 1) < 1 1 3 < m 2 + m + 1 < 1 -1 < m < 0 Vậy với -1<m<0 phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Cách 2:Với các em học sinh chưa biết khái niệm đạo hàm thì làm theo cách này: -Vẽ Parabol (P 1 ) : y = x 2 – 2x -Vẽ Parabol (P 2 ) : y = - x 2 + 2x Khi đồ đó thị hàm số hàm số y = |x 2 – 2x| gồm 2 phần: Phần đồ thị của Parabol (P 1 ) lấy với 0 x và x 2£ ³ . Phần đồ thị của Parabol (P 2 ) lấy với 0 x 2< < . 10 hoặc [...]... của phương trình: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = f(|x-1|) với đường thẳng y = m Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước: * Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải 1 đơn vị *Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm: Phần bên phải đường thẳng y = 1 của. .. có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: y= =m (1) Bài giải: Xét hàm số y = Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y = Gọi (C’) là đồ thị của hàm số y = , gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hồnh của (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hồnh qua Ox 23 (C) Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= với đường thẳng y = m, ta được: - Với... luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 - x - 2 =a a x- 3 b x 2 +1 = a- 5 x DẠNG II: y = f(|x|) I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1) Bài giải: Xét hàm số: y = 2x + 5 Mxđ: D = R Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2,1) và B(-1,3) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x... lim [ y - (x +1) ] = 0 nên y = x +1 là tiệm cận xiên x ®¥ x ®- 2 14 (1) BBT: x y’ y -∝ -3 0 -3 -2 +∝ -∝ x 2 + 3x + 3 Từ đồ thị của hàm số y = x +2 -1 0 -∝ +∝ 1 x 2 + 3x + 3 suy ra đồ thị của hàm số y = x +2 gồm: Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị hàm số y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua trục hồnh Biện luận: Với a < 1: phương trình vơ nghiệm Với a = 1: phương trình có nghiem duy... x x ®+¥ BBT: X -∝ 0 2 lim y = lim (x 3 - 3x 2 - 6) = lim x 3 (1- 11 +∝ + 6 ) =- ¥ x3 6 ) = +¥ x3 +∝ y’ + y 0 - 0 + -6 +∝ -∝ -10 Đồ thị hàm số : Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x3 – 3x2 – 6| gồm: Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị y= f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua trục hồnh Biện luận : Với a < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm... vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = m Bài giải: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 Mxđ: D = R Đạo hàm: + y’ = 3x2 + 6x y’ = 0  3x2 + 6x = 0  + y” = 6x + 6 y” = 0  x = - 1 BXD: x y -1 - 0 + 18 Giới hạn: x3(1 - = + ]= BBT: x -2 y’ - y 0 0 + 0 - 5 1 Đồ thị của hàm số: y=f(x) y = f(x-1) y=1 b/ Biện luận theo m số. .. giải: Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần: - Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3 - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hồnh của đồ thị (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hồnh qua Ox 22 Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng y = m + 1, ta được: Với m = -1 hoặc 0 < m < 2:... Mxđ: D = R\{1} f1’(x)= . 0 + y -6 +∝ -∝ -10 Đồ thị hàm số : Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x 3 – 3x 2 – 6| gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y= f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành. -∝ 1 Từ đồ thị của hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + suy ra đồ thị của hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x). Đối xứng phần đồ thị phía dưới. là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy. Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm : + Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). + Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Dạng 3 : y = |f(|x|)|. Từ đồ thị