ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁNLỚP SƯ PHẠM TOÁN K29 Đề tài : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Bài kiểm tra học trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

KHOA TOÁNLỚP SƯ PHẠM TOÁN K29

Đề tài :

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

(Bài kiểm tra học trình )

Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ

Quy nhơn, tháng 10 năm 2009

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối làmột kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt Đây là mảng kiếnthức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào màbiểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phươngtrình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp Hiện nay,

có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiềuphương pháp giải cho dạng toán này Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp

mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu Với vốn kiến thức của mình, cùngvới sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này Mặc

dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng không thểtránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo vàquý bạn đọc Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Nhóm sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

A Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1

B Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) 2

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f(x)| 3

Dạng 2: y = f(|x|) 14

Dạng 3: y = |f(|x|)| 19

Dạng 4: y = |f(x)|g(x) 22

KẾT LUẬN CHUNG 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x)

+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox

+ Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x)

+ Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Ta có y= |u(x)|.v(x) = u(x).v(x) khi u(x) 0

u(x).v(x) khi u(x) 0

+Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x)³ 0

+Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành

B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) (1)

Bước 1 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm sốy=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m).

Bước 2 : Vẽ đồ thị hàm số (Cm) : y=f(x,m) trên miền xác định D

Bước 3 : Kết luận

phương trình có nghiệm ⇔ Min f (x,m) g(m) Mx D x Daxf (x,m)

Î £ £ Îphương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (Cm) tại k điểm phân biệt

bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ”

PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG I y = |f(x)|

+ Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1.

+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox

Khi đó, số nghiệm của phương trình là số

Điểm của (C) và đường thẳng y = m

Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y1 = | |m|x – 3| (3)

và cắt nó bằng đường thẳng y2 = 4 – m (4) song song với trục hoành

x -∞ +∞

y +∞

-∞

Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2)

Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vô nghiệm

íï ¹

ïî ⇔ m 4

m 0

ì £ïï

íï ¹ïîNếu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0< m ≤ 4

Từ điều kiện đó suy ra điều kiện đối với đường thẳng y2 như sau 0≤ y2 < 4

Rõ ràng trong hình (1),nếu cắt đường biểu diễn của y1 bởi đường thẳng y2 song song với trục hoành và có giá trị biến thiên từ 0 (kẻ từ O) đến 4 (kẻ từ 4) thi luôn có hai giao điẻm A và B có hoành độ tính như sau:

Điểm A : -mx + 3 = 4 – m hay x= m 1

m-

Điểm B : mx - 3 = 4 – m hay x= 7 m

m-

y2=4 - m

3 m

y

x

BA

0

-3-2-1

321

0

-3-2-1

321

Nếu m=4 thì đường thẳng y2 cắt đường biểu diễn của y1 tại điểm có hoành độ x= 3

4Trong hình 2, y2=4 – m > 0 Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y2 thì đường thẳng luôn cắt đường biểu diễn của y1 tại hai điểm C,D có hoành độ như sau:

Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= -m 1

m-

+ Phần phía trên trục hoành của (P)

+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua Ox

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m

ta được :

-Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm

-Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm

-Với 0 < m < 4 : phương trình (1) có 4 nghiệm

-Với m = 4 : phương trình (1) có 3 nghiệm

Đặt log1/3(m2 + m + 1) = a Khi đó phương trình (2) được viết lại |x2 – 2x| = a

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt

hoặc

Xét hàm số y = |x2 – 2x| =

2

2

x 2x khi x 0 x 22x x khi 0 < x < 2

ïï

íï ïîCách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàm

Vậy với -1<m<0 phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Cách 2:Với các em học sinh chưa biết khái niệm đạo hàm thì làm theo cách này:-Vẽ Parabol (P1) : y = x2 – 2x

-Vẽ Parabol (P2) : y = - x2 + 2x

Khi đồ đó thị hàm số hàm số y = |x2 – 2x| gồm 2 phần:

Phần đồ thị của Parabol (P1) lấy với 0 x và x£ ³ 2

Phần đồ thị của Parabol (P2) lấy với 0 x< < 2

hoặc

Với a < 0 : phương trình (1) vô nghiệm.

Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm

Với 0< a < 6 hoặc a>10: phương trình (1) có 2 nghiệm

Với a = 6 hoặc a = 10 : phương trình (1) có 3 nghiệm.

Với 6 < a < 10 : phương trình (1) có 4 nghiệm

Ví dụ 6 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x4 - 2x2 -1| = log4m

Bài giải:

Xét hàm số y= f(x) = x4 - 2x2 -1

MXĐ: D = y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ ©ªªª«xx==±01 y” = 12x2 – 4 y’’ = 0 ⇔ x = 1 3 ± x -∝ - 13 13 +∝

y’’ + - +

Đồ thị lõm lồi lõm 1 , 14 9 3 æ ö÷ ç- - ÷

ç ÷ çè ø 1 14, 9 3 æ ö÷ ç ÷ ç ÷ çè ø BBT: x -∝ -1 0 1 +∝

y’ 0 + 0 - 0 +

y +∝ -1 +∝

-2 -2

Đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 -1 cắt trục hoành tại x= ± 1+ 2 Ta có y = |x4 - 2x2 -1| = |f(x)| = ìï ïíï - ³ < ïî f(x) neáu f(x) 0 f(x) neáu f(x) 0 Từ đó ta có đồ thị của hàm số y= |x4 - 2x2 -1| gồm hai phần: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 -1 Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua Ox

Biện luận:

Nếu log4m > 2 ⇔ m > 16 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu log4m = 2 ⇔ m = 16 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Nếu 1< log4m < 2 ⇔ 4 < m < 16 thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt.Nếu log4m = 1 ⇔ m = 4 thì phương trình có 5 nghiệm phân biệt

Nếu 0 < log4m < 1 ⇔ 1 < m < 4 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt Nếu log4m = 0 ⇔ m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu log4m < 0 ⇔ m < 1 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 7 : Biện luận theo a số nghiệm của phương trình :

2

x 3x 3

x 2

+ + + = a (1)

BBT:

x -∝ -3 -2 -1 +∝

y’ 0 0

y -3 +∝ +∝

-∝ -∝ 1

Từ đồ thị của hàm số y = x2 3x 3 x 2 + + + suy ra đồ thị của hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành

Biện luận:

Với a < 1: phương trình vô nghiệm

Với a = 1: phương trình có nghiem duy nhất

Với 1< a < 3 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với a = 3 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Với a > 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt

II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 1:

Tìm nghiệm của phương trình sau theo m : |x – 1| = 3x + 2m

Với giá trị nào của m thi phương trình trên vô nghiệm

Bài 2 : Xác định a để phương trình sau có 4 nghiệm khác nhau:

|-2x2 + 10x -8| = x2 – 5x +a

ĐS : 4 < a < 43

4Bài 3 :

Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng y =3m Ta được:

Với 3m < 5  m<5/3 thì phương trình (1) vô nghiệm

Với 3m = 5  m = 5/3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Với 3m > 5  m>5/3 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 - 2|x| + m = 0 (1)

Viết lại phương trình dưới dạng: - x2 + 2|x| = m

Gọi (C) là đồ thị hàm số y = -x2 + 2|x| gồm 2 phần:

* Phần phía bên phải Oy của (P)

* Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y

= m,ta được:

- Với m > 1 : phương trình vô nghiệm

- Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

- Với 0 < m < 1 : phương trình có 4 nghiệm phân biệt

- Với m= 0 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Giới hạn: = x3(1 - + ] =

BBT:

x -2 0

y’ 0 + 0

y 5

1

Đồ thị của hàm số:

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = f(|x-1|) với đường thẳng y = m Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước: * Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải 1 đơn vị

*Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm:

Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1)

Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1 Biện luận:

Với m < 1 phương trình vô nghiệm

Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm

Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm

Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

y = f(x) = = m (1)

Bài giải:

Xét hàm số y = f1(x) =

Mxđ: D = R\{1}

f1’(x)= < 0

BBT:

x 1

f1’(x) - -

2

f1(x) 2

= 2 Þ Tiệm cận ngang y = 2 = Þ Tiệm cận đứng x= 1

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = gồm 2 phần:

- Bên phải Oy của đồ thị y = f1(x) =

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Khi đó nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y

= m Ta được:

-Với m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

-Với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

-Với 1 < m 2 thì phương trình (1) vô nghiệm

-Với m > 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm.

Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm

Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệm

Với m = 0 : phương trình có 4 nghiệm

Với m < 0 : phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

|x2 – 4|x| +3 | = m + 1 (1)

Bài giải:

Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần:

- Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần:

- Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C)

- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng

y = m + 1, ta được:

Với m = -1 hoặc 0 < m < 2: phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Với -1 < m < 0: phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt

Với m = 0: phương trình (1) có 6 nghiệm phân biệt

Với m = 2: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Với m > 2: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình:

- Phần phía trên trục hoành của (C)

- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = với đường thẳng y = m, ta được:

- Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm

- Với 0 < m : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

- Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt

II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m:

a/ |x3 – 4|x| + 3| = m +2

Đồ thị (P1) là đường đứt khúc, đồ thị (P) là đường nét liền

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P1):

-x2 + x = m  x2 – x + m = 0

= 1 - 4m

- Khi m = 0 : 2 nghiệm đơn x2 = 1 và x3 = 0

- Khi m > 0 : 1 nghiệm đơn x3 = =

Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: = m

Bài giải:

Xét hàm số y = f(x) =

Viết lại hàm số dưới dạng:

y = f(x) = x – 4 +

Mxđ: D = R\{-2}

y’ = 1 -

y’ = 0  x2 + 4x – 5 = 0 

Giới hạn, tiệm cận :

= Þ x = -2 là tiệm cận đứng

= 0 Þ y = x – 4 là tiệm cận xiên

BBT:

x -5 -2 1

y’ + 0 - - 0 +

y -12

0

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = với đường thẳng y = m Ta có: (C) : y = =

Do đó đồ thhị của hàm số (C) gồm :

- Phần đồ thị y = f(x) trên miền x>-2

- Đối xứng phần từ đồ thị y = f(x) trên miền x <-2 qua Ox

Biện luận:

- Với m < 0 : phương trình vô nghiệm

- Với m = 0: phương trình có 1 nghiệm

- Với 0 < m < 12 : phương trình có 2 nghiệm

- Với m = 12 : phương trình có 3 nghiệm

- Với m > 12 : phưong trình có 4 nghiệm

KẾT LUẬN CHUNG Nhìn tổng quát các vấn đề mà chúng tôi trình bày trong đề tài thì rõ ràng tínhchất quan trọng của mỗi bài toán đều nằm chủ yếu ở phần vẽ đồ thị hàm số Việcnắm vững các dạng đồ thị là rất cần thiết Thông qua các ví dụ minh họa cũng nhưbài tập chúng tôi nhận thấy rằng việc giải và biện luận phương trình có chứa dấu giátrị tuyệt đối theo tham số có cách làm khá rõ ràng theo từng bước nhất định Mặc dù

có thể phân thành nhiều dạng đồ thị khác nhưng sau khi đọc và nghiên cứu chúng tôi

đã đúc kết lại bốn dạng đồ thị cơ bản nhất về hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong đề tài, ở mỗi dạng chúng tôi chỉ nghiên cứu và trình bày được các hàm số bậc

1, bậc 2, bậc 3, bậc 4 và hàm hữu tỉ Riêng các hàm số như lượng giác, mũ, logaritchúng tôi còn băn khoăn vì chưa làm được Do thời gian có hạn, tài liệu còn hạn chếnên việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót Nếu có thời gian chúng tôi sẽ bổ sung hoànthiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO[1]Phương pháp giải toán : Hệ vô tỉ - Hệ chứa giá trị tuyệt đối

(thạc sĩ Lê Hồng Đức (chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc)[2]- Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn tóan đại số sơ cấp NXB Hà Nội(2004) Tác giả : Trần Phương – Lê Hồng Đức

[3] Phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối – Nguyễn Văn Ban.[4 ] http://www.diendan.hocmai.vn/

[5] http://www.chihao.info/4rum/