ĐỒ THỊ của hàm số CHỨA dấu TRỊ TUYỆT đối

LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay, có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với vốn kiến thức của mình, cùng với sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) 2 PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f(x)| 3 Dạng 2: y = f(|x|) 14 Dạng 3: y = |f(|x|)| 19 Dạng 4: y = |f(x)|g(x) 22 KẾT LUẬN CHUNG 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1: y = |f(x)| Ta có y = |f(x)| = Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm: + Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) . + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox. Dạng 2: y = f(|x|). Ta có y = f(|x|) = Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy. Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm : + Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). + Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Dạng 3 : y = |f(|x|)|. Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy tắc 1 2. Cụ thể là : + Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x). + Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|. hoặc + y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x). + y = h(x) suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|. Dạng 4 : y= |u(x)|.v(x) Ta có y= |u(x)|.v(x) = Do đó để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x) và từ đó đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm : +Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x) 0. +Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành . B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m). (1) Bước 1 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m). Bước 2 : Vẽ đồ thị hàm số (Cm) : y=f(x,m) trên miền xác định D Bước 3 : Kết luận phương trình có nghiệm  phương trình có k nghiệm phân biệt  đường thẳng y = g(m) cắt (Cm) tại k điểm phân biệt. bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ” PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG I y = |f(x)| I. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m (1) Bài giải: Xét hàm số : y = 2x+1. TXT: D = . x ∞ +∞ y +∞ ∞ BBT Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(1,1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần : + Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1. + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox. Khi đó, số nghiệm của phương trình là số Điểm của (C) và đường thẳng y = m. Vì vậy .Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm .Với m = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm .với m > 0 : phương trình (1) co 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau : | |m|x – 3| = 4 m (2) Bài giải: Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y1 = | |m|x – 3| (3) và cắt nó bằng đường thẳng y2 = 4 – m (4) song song với trục hoành. Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2) Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vô nghiệm. Trường hợp: m ≠ 0 (2)  y1 = hoặc y = Hình 1 Hình 2 Từ phương trình (1) ta có điều kiện :  Nếu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0< m ≤ 4 Từ điều kiện đó suy ra điều kiện đối với đường thẳng y2 như sau 0≤ y2 < 4 Rõ ràng trong hình (1),nếu cắt đường biểu diễn của y1 bởi đường thẳng y2 song song với trục hoành và có giá trị biến thiên từ 0 (kẻ từ O) đến 4 (kẻ từ 4) thi luôn có hai giao điẻm A và B có hoành độ tính như sau: Điểm A : mx + 3 = 4 – m hay x= Điểm B : mx 3 = 4 – m hay x= Nếu m=4 thì đường thẳng y2 cắt đường biểu diễn của y1 tại điểm có hoành độ x= Trong hình 2, y2=4 – m > 0 .Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y2 thì đường thẳng luôn cắt đường biểu diễn của y1 tại hai điểm C,D có hoành độ như sau: Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= Điểm D : mx 3 = 4 – m hay x= Vậy: m = 0 : phương trình (1)vô nghiệm m = 4 : phương trình (1) có 1 nghiệm x= 0 < m < 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm x= và x= m < 0 : phương trình (1) có 2 nghiệm x = và x= Ví dụ 3 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x2 + 2x – 3| = m. (1) Bài giải: Xét hàm số (P) : y = x2 + 2x – 3 MXĐ : D = . BBT: x ∞ 1 +∞ y +∞ +∞ 4 Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A(3,0) và B(1,0) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |x2 + 2x 3| , gồm 2 phần: + Phần phía trên trục hoành của (P). + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua Ox Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m ta được : Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm Với 0 < m < 4 : phương trình (1) có 4 nghiệm Với m = 4 : phương trình (1) có 3 nghiệm. Ví dụ 4 : Với giá trị nào của m thì phương trình : (1) có 4 nghiệm phân biệt. Bài giải: Vì > 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 13 hai vế phương trình (1) ta được: |x2 – 2x| = log13(m2 + m + 1) (2) Đặt log13(m2 + m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x2 – 2x| = a. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  đường thẳng y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt. Xét hàm số y = |x2 – 2x| = Cách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàm y’ = BBT: x ∞ 0 1 2 +∞ y’ + + y +∞ 1 +∞ 0 0 Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt 0 < a < 1  0 < log13(m2 + m + 1) < 1 < m2 + m + 1 < 1 1 < m < 0 Vậy với 1 2  m > 16 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nếu log4m = 2  m = 16 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Nếu 1< log4m < 2  4 < m < 16 thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt. Nếu log4m = 1  m = 4 thì phương trình có 5 nghiệm phân biệt. Nếu 0 < log4m < 1  1 < m < 4 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Nếu log4m = 0  m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nếu log4m < 0  m < 1 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ 7 : Biện luận theo a số nghiệm của phương trình : = a (1). Bài giải: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = = x + 1 + MXĐ :D = {2}. Đạo hàm : y’ = 1 y’= 0  x2 + 4x + 3= 0  Giới hạn , tiệm cận: nên x = 2 là tiệm cận đứng. nên y = x +1 là tiệm cận xiên. BBT: x  3 2 1 + y’ 0 0 y 3 + +   1 Từ đồ thị của hàm số y = suy ra đồ thị của hàm số y = gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x). Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành . Biện luận: Với a < 1: phương trình vô nghiệm. Với a = 1: phương trình có nghiem duy nhất. Với 1< a < 3 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với a = 3 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Với a > 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt. II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau theo m : |x – 1| = 3x + 2m. Với giá trị nào của m thi phương trình trên vô nghiệm. Bài 2 : Xác định a để phương trình sau có 4 nghiệm khác nhau: |2x2 + 10x 8| = x2 – 5x +a ĐS : 4 < a < Bài 3 : a.Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x – 2. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x3 – 3x| + m – 2 = 0. Bài 4: Xác định m để phương trình : = lgm có 8 nghiệm phân biệt. Bài 5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a. b. DẠNG II: y = f(|x|) I VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1) Bài giải: Xét hàm số: y = 2x + 5 Mxđ: D = R Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(2,1) và B(1,3) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 5 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng y = 3m. Ta được: Với 3m < 5  m 5  m>53 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 2|x| + m = 0 (1) Bài giải: Xét hàm số (P): y = x2 + 2x Mxđ: D = R BBT: x 1 y 1 Đồ thị: ta lấy thêm 2 điểm O(0,0), A(2,0). Viết lại phương trình dưới dạng: x2 + 2|x| = m Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x2 + 2|x| gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của (P) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m,ta được: Với m > 1 : phương trình vô nghiệm. Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với 0 < m < 1 : phương trình có 4 nghiệm phân biệt Với m= 0 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3(x1)2 + 1 = m Bài giải: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 Mxđ: D = R Đạo hàm: + y’ = 3x2 + 6x y’ = 0  3x2 + 6x = 0  + y” = 6x + 6 y” = 0  x = 1 BXD: x 1 y 0 + Giới hạn: = x3(1 + = BBT: x 2 0 y’ 0 + 0 y 5 1 Đồ thị của hàm số: b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x 1|3 + 3(x1)2 + 1 = f(|x1|) với đường thẳng y = m. Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước: Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải 1 đơn vị Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm: Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1) Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1 Biện luận: Với m < 1 phương trình vô nghiệm. Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm. Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm. Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình y = f(x) = = m (1) Bài giải: Xét hàm số y = f1(x) = Mxđ: D = R{1} f1’(x)= < 0 BBT: x 1 f1’(x) 2 f1(x) 2 = 2 Tiệm cận ngang y = 2 = Tiệm cận đứng x= 1 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = gồm 2 phần: Bên phải Oy của đồ thị y = f1(x) = Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Khi đó nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m. Ta được: Với m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm. Với 1 < m 2 thì phương trình (1) vô nghiệm Với m > 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của các phương trình sau: a x2 – (4 + a)|x| + 5 + 2a = 0 b |x|3 – 6x2 + 9|x| 3 + a = 0 c |x – 1|3 + 3|x – 1| + 1 = a d = a Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|3 – 3x2 +2 = m có 4 nghiệm phân biệt DẠNG III: y = |f(|x|)| I VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: |||x – 1| 2|1| = m Bài giải: Đặt f(x) = |||x – 1| 2|1| Ta có bảng xét dấu sau: x 2 1 0 1 2 3 4 f(x) ||x+1| 1| ||x – 3| 1| f(x) |x+2| |x| |x – 2| |x – 4| f(x) x 2 x + 2 x x 2 x x 2 4 x x – 4 Nhận xét: Đồ thị của f(x) = |||x – 1| 2|1| nằm phía trên trục hoành Từ đồ thị ta có : Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm. Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm. Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệm Với m = 0 : phương trình có 4 nghiệm. Với m < 0 : phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x2 – 4|x| +3 | = m + 1 (1) Bài giải: Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần: Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C) Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox. Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng y = m + 1, ta được: Với m = 1 hoặc 0 < m < 2: phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Với 1 < m < 0: phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt Với m = 0: phương trình (1) có 6 nghiệm phân biệt Với m = 2: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt Với m > 2: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: y = = m (1) Bài giải: Xét hàm số y = Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y = (C) Gọi (C’) là đồ thị của hàm số y = , gồm 2 phần: Phần phía trên trục hoành của (C) Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = với đường thẳng y = m, ta được: Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm Với 0 < m : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt. II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m: a |x3 – 4|x| + 3| = m +2 b = lg m DẠNG IV: y = |f(x)|g(x) I VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau: x|x – 1| + m = 0 (1) Bài giải: (1)  m = x|x – 1| Vậy nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của: Đường thẳng (D) : y = m Đường cong (P): y = x|x – 1| = Vẽ đồ thị y = x2 + x (P1) Đỉnh (12,14) BBT: x ½ y ¼ Để vẽ (P) ta giữ nguyên đồ thị (P1) khi x và lấy đối xứng (P1) qua Ox khi x < 1 Đồ thị (P1) là đường đứt khúc, đồ thị (P) là đường nét liền Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P1): x2 + x = m  x2 – x + m = 0 = 1 4m x1 = , x2 = (x1 < x2) Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P2): x2 – x = m  x2 – x – m = 0 = 1 + 4m x3 = , x4 = (x3 < x4) Đồ thị cho kết quả : Khi m < 1 4 : một nghiệm đơn : x2 = Khi m = 1 4: Khi 1 4 < m < 0 : 3 nghiệm đơn x3,4 = x2 = Khi m = 0 : 2 nghiệm đơn x2 = 1 và x3 = 0 Khi m > 0 : 1 nghiệm đơn x3 = = Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: = m Bài giải: Xét hàm số y = f(x) = Viết lại hàm số dưới dạng: y = f(x) = x – 4 + Mxđ: D = R{2} y’ = 1 y’ = 0  x2 + 4x – 5 = 0  Giới hạn, tiệm cận : = x = 2 là tiệm cận đứng = 0 y = x – 4 là tiệm cận xiên BBT: x 5 2 1 y’ + 0 0 + y 12 0 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = với đường thẳng y = m Ta có: (C) : y = = Do đó đồ thhị của hàm số (C) gồm : Phần đồ thị y = f(x) trên miền x>2 Đối xứng phần từ đồ thị y = f(x) trên miền x 12 : phưong trình có 4 nghiệm II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a |x – 2|(x+1) + a = 0 b |x|(3 – 4x2) = a c = a d (x +1)2 – a|x + 2| = 0 KẾT LUẬN CHUNG Nhìn tổng quát các vấn đề mà chúng tôi trình bày trong đề tài thì rõ ràng tính chất quan trọng của mỗi bài toán đều nằm chủ yếu ở phần vẽ đồ thị hàm số . Việc nắm vững các dạng đồ thị là rất cần thiết . Thông qua các ví dụ minh họa cũng như bài tập chúng tôi nhận thấy rằng việc giải và biện luận phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối theo tham số có cách làm khá rõ ràng theo từng bước nhất định . Mặc dù có thể phân thành nhiều dạng đồ thị khác nhưng sau khi đọc và nghiên cứu chúng tôi đã đúc kết lại bốn dạng đồ thị cơ bản nhất về hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Trong đề tài, ở mỗi dạng chúng tôi chỉ nghiên cứu và trình bày được các hàm số bậc 1, bậc 2, bậc 3, bậc 4 và hàm hữu tỉ . Riêng các hàm số như lượng giác, mũ, logarit chúng tôi còn băn khoăn vì chưa làm được . Do thời gian có hạn, tài liệu còn hạn chế nên việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót. Nếu có thời gian chúng tôi sẽ bổ sung hoàn thiện hơn . TÀI LIỆU THAM KHẢO 1Phương pháp giải toán : Hệ vô tỉ Hệ chứa giá trị tuyệt đối (thạc sĩ Lê Hồng Đức (chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc) 2 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn tóan đại số sơ cấp NXB Hà Nội(2004). Tác giả : Trần Phương – Lê Hồng Đức 3 Phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối – Nguyễn Văn Ban. 4 http:www.diendan.hocmai.vn 5 http:www.chihao.info4rum

LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay, có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với vốn kiến thức của mình, cùng với sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! 1 MỤC LỤC PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) 2 PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f(x)| 3 Dạng 2: y = f(|x|) 14 Dạng 3: y = |f(|x|)| 19 Dạng 4: y = |f(x)|g(x) 22 KẾT LUẬN CHUNG 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2 A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1: y = |f(x)| Ta có y = |f(x)| = f (x) khi f (x) 0 f (x) khi f (x) 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm: + Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) . + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox. Dạng 2: y = f(|x|). Ta có y = f(|x|) = f (x) khi x 0 f ( x) khi x 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy. Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm : + Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). + Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Dạng 3 : y = |f(|x|)|. Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy tắc 1 & 2. Cụ thể là : + Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x). + Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|. hoặc + y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x). + y = h(x) suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|. Dạng 4 : y= |u(x)|.v(x) Ta có y= |u(x)|.v(x) = u(x).v(x) khi u(x) 0 u(x).v(x) khi u(x) 0 ì ³ ï ï í ï - < ï î Do đó để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x) và từ đó đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm : +Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x) ³ 0. +Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành . B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m). (1) 3 Bước 1 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m). Bước 2 : Vẽ đồ thị hàm số (C m ) : y=f(x,m) trên miền xác định D Bước 3 : Kết luận phương trình có nghiệm ⇔ x D x D Min f(x,m) g(m) M f (x,m)ax Î Î £ £ phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (C m ) tại k điểm phân biệt. bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ” PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG I y = |f(x)| 4 I. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m (1) Bài giải: Xét hàm số : y = 2x+1. TXT: D = . BBT Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(-1,-1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần : + Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1. + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox. Khi đó, số nghiệm của phương trình là số Điểm của (C) và đường thẳng y = m. Vì vậy .Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm .Với m = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm .với m > 0 : phương trình (1) co 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau : | |m|x – 3| = 4 -m (2) Bài giải: Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y 1 = | |m|x – 3| (3) và cắt nó bằng đường thẳng y 2 = 4 – m (4) song song với trục hoành. 5 x -∞ +∞ y +∞ -∞ Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2) Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vô nghiệm. - Trường hợp: m ≠ 0 (2) ⇔ y 1 = m 0 |mx 3| ì > ï ï í ï - ï î hoặc y = m 0 |mx 3| ì < ï ï í ï + ï î Hình 1 Hình 2 Từ phương trình (1) ta có điều kiện : 4 m 0 m 0 ì - ³ ï ï í ï ¹ ï î ⇔ m 4 m 0 ì £ ï ï í ï ¹ ï î Nếu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0< m ≤ 4 Từ điều kiện đó suy ra điều kiện đối với đường thẳng y 2 như sau 0≤ y 2 < 4 Rõ ràng trong hình (1),nếu cắt đường biểu diễn của y 1 bởi đường thẳng y 2 song song với trục hoành và có giá trị biến thiên từ 0 (kẻ từ O) đến 4 (kẻ từ 4) thi luôn có hai giao điẻm A và B có hoành độ tính như sau: Điểm A : -mx + 3 = 4 – m hay x= m 1 m - Điểm B : mx - 3 = 4 – m hay x= 7 m m - 6 y 2 =4 - m 3 m y x B A 0 -3 -2 -1 3 2 1 y 2 =4 - m - y x D C 0 -3 -2 -1 3 2 1 Nếu m=4 thì đường thẳng y 2 cắt đường biểu diễn của y 1 tại điểm có hoành độ x= 3 4 Trong hình 2, y 2 =4 – m > 0 .Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y 2 thì đường thẳng luôn cắt đường biểu diễn của y 1 tại hai điểm C,D có hoành độ như sau: Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= - m 1 m - Điểm D : - mx - 3 = 4 – m hay x= - 7 m m - Vậy: m = 0 : phương trình (1)vô nghiệm m = 4 : phương trình (1) có 1 nghiệm x= 3 4 0 < m < 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm x= m 1 m - và x= 7 m m - m < 0 : phương trình (1) có 2 nghiệm x = - m 1 m - và x= - 7 m m - Ví dụ 3 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x 2 + 2x – 3| = m. (1) Bài giải: Xét hàm số (P) : y = x 2 + 2x – 3 MXĐ : D = . BBT: x -∞ -1 +∞ y +∞ +∞ -4 Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A(-3,0) và B(1,0) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |x 2 + 2x -3| , gồm 2 phần: + Phần phía trên trục hoành của (P). + Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua Ox 7 Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m ta được : -Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm -Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm -Với 0 < m < 4 : phương trình (1) có 4 nghiệm -Với m = 4 : phương trình (1) có 3 nghiệm. Ví dụ 4 : Với giá trị nào của m thì phương trình : 2 |x 2x| 2 1 m m 1 3 - æö ÷ ç = + + ÷ ç ÷ ç è ø (1) có 4 nghiệm phân biệt. Bài giải: Vì 2 m m 1+ + > 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình (1) ta được: |x 2 – 2x| = log 1/3 (m 2 + m + 1) (2) Đặt log 1/3 (m 2 + m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x 2 – 2x| = a. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x 2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt. 8 hoặc Xét hàm số y = |x 2 – 2x| = 2 2 x 2x khi x 0 x 2 2x x khi 0 < x < 2 ì - £ ³ ï ï í ï - ï î Cách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàm y ’ = 2x 2 khi x 0 x 2 2 2x khi 0 < x < 2 ì - < > ï ï í ï - ï î BBT: x -∞ 0 1 2 +∞ y ’ + - + y +∞ 1 +∞ 0 0 Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x 2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt ⇔0 < a < 1 ⇔ 0 < log 1/3 (m 2 + m + 1) < 1 1 3 < m 2 + m + 1 < 1 -1 < m < 0 Vậy với -1<m<0 phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Cách 2:Với các em học sinh chưa biết khái niệm đạo hàm thì làm theo cách này: -Vẽ Parabol (P 1 ) : y = x 2 – 2x -Vẽ Parabol (P 2 ) : y = - x 2 + 2x Khi đồ đó thị hàm số hàm số y = |x 2 – 2x| gồm 2 phần: Phần đồ thị của Parabol (P 1 ) lấy với 0 x và x 2£ ³ . Phần đồ thị của Parabol (P 2 ) lấy với 0 x 2< < . 9 hoặc Từ đồ thị suy ra 0 < a < 1 ⇔ 0 < log 1/3 (m 2 + m + 1) < 1. ⇔ - 1 < m < 0. Vậy với – 1 < m < 0 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: | x 3 – 3x 2 – 6| = a. Bài giải: Xét hàm số y = f(x) = x 3 – 3x 2 – 6. MXĐ: D = . y’ = 3x 2 – 6x y’ = 0 ⇔ 3x 2 – 6x = 0 ⇔ x 0 x 2 é = ê ê = ë y’’ = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1. x - ∝ 1 +∝ y ’’ - 0 + Giới hạn: 3 2 3 3 x x x 3 6 lim y lim (x 3x 6) lim x (1 ) x x ®+¥ ®+¥ ®+¥ = - - = - - =+¥ BBT: X -∝ 0 2 +∝ 10 3 2 3 3 x x x 3 6 lim y lim (x 3x 6) lim x (1 ) x x ®- ¥ ®- ¥ ®- ¥ = - - = - - =- ¥ [...]... của phương trình: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = f(|x-1|) với đường thẳng y = m Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước: * Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải 1 đơn vị *Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm: Phần bên phải đường thẳng y = 1 của. .. có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: y= =m (1) Bài giải: Xét hàm số y = Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y = Gọi (C’) là đồ thị của hàm số y = , gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hồnh của (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hồnh qua Ox 22 (C) Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= với đường thẳng y = m, ta được: - Với... luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 - x - 2 =a a x- 3 b x 2 +1 = a- 5 x DẠNG II: y = f(|x|) I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1) Bài giải: Xét hàm số: y = 2x + 5 Mxđ: D = R Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2,1) và B(-1,3) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x... lim [ y - (x +1) ] = 0 nên y = x +1 là tiệm cận xiên x ®¥ x ®- 2 13 (1) BBT: x y’ y -∝ -3 0 -3 -2 +∝ -∝ x 2 + 3x + 3 Từ đồ thị của hàm số y = x +2 -1 0 -∝ +∝ 1 x 2 + 3x + 3 suy ra đồ thị của hàm số y = x +2 gồm: Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị hàm số y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua trục hồnh Biện luận: Với a < 1: phương trình vơ nghiệm Với a = 1: phương trình có nghiem duy...y’ + y 0 - 0 + -6 +∝ -∝ -10 Đồ thị hàm số : Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x3 – 3x2 – 6| gồm: Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị y= f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua trục hồnh Biện luận : Với a < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm... vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = m Bài giải: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 Mxđ: D = R Đạo hàm: + y’ = 3x2 + 6x y’ = 0  3x2 + 6x = 0  + y” = 6x + 6 y” = 0  x = - 1 BXD: x y -1 - 0 + 17 Giới hạn: x3(1 - = + ]= BBT: x -2 y’ - y 0 0 + 0 - 5 1 Đồ thị của hàm số: y=f(x) y = f(x-1) y=1 b/ Biện luận theo m số. .. giải: Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần: - Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3 - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hồnh của đồ thị (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hồnh qua Ox 21 Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng y = m + 1, ta được: Với m = -1 hoặc 0 < m < 2:... Mxđ: D = R\{1} f1’(x)= . 0 + y -6 +∝ -∝ -10 Đồ thị hàm số : Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x 3 – 3x 2 – 6| gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y= f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành. -∝ 1 Từ đồ thị của hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + suy ra đồ thị của hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x). Đối xứng phần đồ thị phía dưới. (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = gồm 2 phần: - Bên phải Oy của đồ thị y = f 1 (x) = - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy 19 Khi đó nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C)