Giới hạn hàm số

1.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Kiểm tra bài cũ

3.Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực

2.Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

4.Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số

Chú ý:

Với mọi k nguyên d ơng ta đều có

a) lim x ; b) lim x





 



Nếu k chẵn Nếu k lẻ

Các vấn đề cần ghi nhớ

0

xlim f (x)x L

0

xlim f (x)x

Bài 1: áp dụng định nghĩa về giới hạn của hàm số tìm các giới hạn sau:

2

1

1

x

x x a

x



 



Giải

a)Với ta có: x 1 

2

3x x 4

f (x)

x 1

 





  4

3 x 1 x

3

x 1

   



Với mọi dãy số (xn) trong tập hợp R \ {1} mà lim xn= 1, ta có:

lim f(xn) = lim (3xn + 4) = 3.1 + 4 = 7

Vậy

2

x 1

x 1







  2

b) lim

 





XÐt hµm sè

 2

2x 1

f (x)

x 2







  2

x 2

2x 1 b) lim

x 2

 





Víi mäi d·y (xn) mµ xn - 2 víi mäi n vµ lim xn = - 2 , ta cã :

n

n

2x 1

f (x )

x 2







Cã lim (2 xn +1) = 2(- 2) +1 = - 3 < 0, lim (xn+2)2 = 0

vµ (xn + 2)2 > 0 víi mäi n nªn lim f (x )  n

VËy

lim

 



 



T×m giíi h¹n sau

*Bµi sè 30 (SGK -159 )

2

x 2

f ) lim

 



4 2

x 3

b) lim





*Bµi sè 31(SGK - 159)

Bµi 2:

*Bµi sè 32(SGK - 159)

3

x

a) lim

 

*Bµi 30 (SGK -159 )

2

x 2

2 x 1 5 x 3

f ) lim

2x 3

 

  



2

x 2

2 x 1 5 x 3 lim

2x 3

 





 

 

2



2 1 5

1 3

 





*Bµi 31(SGK - 159)

4 2

x 3

b) lim





Víi mäi ta cã: x 3 

4 2





3

2



2



2

x 3

lim







4 2

x 3

lim





2



= 9

2





Gi¶i

Bµi 32(SGK - 159)

3

x

2x x 1 a) lim

(2x 1)(x x)

 

 

x

lim

 

T×m

2



Víi mäi x ta cã

0



x

 

x

lim

 



2

1 2.1

3 3

x

 

VËy

Bài 32( SGK – 159) 159)

1

x 1 2x

x 2x 3

 





Tìm các giới hạn sau:

x

x

; d) lim x 1

   

Giải c) Có hàm số f(x) = xác định khi :

2

x x 2x 2x 3

 

 2





3 x

2

 

 



Với ta có:

3

x 1; x

2

1

x 1 2x

x 3

x 2

x

  



 



 

 

1

1 2 x 3 2 x

  



 



 

 

mà

2

x

c) lim

2x 3

  



x

1

x

  

3

x

  

Vậy:

x

1 lim f (x)

2

2 1

x 1 2x

x

f (x)

2x 3

 

 

 

 





  4 2 x

x d) lim x 1

2x x 1

  

 

Có xác định với f (x)  x 1 4 x 2

2x x 1

 

Với mọi x > 0 ta có:

2

x x 1 x

f (x) x 1

2x x 1 2x x 1



3 2

4 2

x 2x x 2x x 1

 



 

4 2 3

2 4

1 2 1

x x x

1 1 2

x x

 



 

mà

4 2 3 x

2 4

1 2 1

0

x x x

1 1 2 2

x x

 

 

 

 

Bµi 3: Chøng minh sù tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè

Bµi sè 22(SGK – 159) 151)

Cho hµm sè vµ hai d·y sè (x’1 n) vµ (x”n) víi:

( ) cos

f x

x



 

' 1 " 1

;

2

 a) T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè (x’n) , (x”n) , (f(x’n)) vµ (f(x”n))

b) Tån t¹i hay kh«ng

0

1 lim cos ?

lim x ' lim 0

2n

lim (2n 1)

2



1 lim x" lim 0

(2n 1)

2



 Suy ra: lim f (x ' ) lim cos 2nn    1 lim f (x" ) lim cos(2n 1)n 0

2

V× lim x 'n lim x"n 0 mµ lim f (x ' )n  lim f (x" )n

Nªn kh«ng tån t¹i

1 lim cos

x



Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại

lim sin 2

 

H ớng dẫn: +) Chọn hai dãy số (xn) và (x’n) với ; '

4

x  n x   n   

+)Tìm lim xn , limx’n , lim f(xn) , lim f(x’n)

Giải

Khi đó lim x n ; lim x n'

limf(xn) = lim sin2xn= lim sin 2n 0

limf(x’n)= lim sin2x’n = lim sin 2 1

2

Vì lim f(xn) lim f(x’ n) nên không tồn tại xlim sin 2  x

Bµi tËp vÒ nhµ

+) Hoµn thµnh c¸c bµi tËp trong SGK

+)Lµm bµi tËp 4.39, 4.44, 4.45(SBT – 159) tr 140;141)