Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

[r]

I.

Tóm tắt lý thuyết:

1 Điều kiện để hàm số đồng biến ,nghịch biến:

-.Điều kiện cần đủ để y=f(x) đồng biến /(a,b)  f’ (x) ≥0  x ( , )a b đồng thời f’ (x) =0

xảy số hữu hạn điểm thuộc (a,b)

-.Điều kiện cần đủ để y=f(x) nghịch biến /(a,b)  f’ (x) ≤0  x ( , )a b đồng thời f’ (x) =0

chỉ xảy số hữu hạn điểm thuộc (a,b) 2.Kiến thức bổ trợ:

-Tam thức bậc hai f(x)= ax2 +bx +c (a≠0)

* ) Điều kiện để

0 ( ) ( )

0

f x x R

a   

    



 * ) Điều kiện để

0 ( ) ( )

0

f x x R

a   

    

 

II.Bài tập:

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu tập xác định: Bài 1: Tìm diều kiện để hàm số sau ln đồng biến:

Bài 2: Tìm điều kiện để hàm số sau đơn điệu R Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến sao?

2

( ) 6

y m  m x  mx  x

Bài 3: Tìm điều kiện để hàm số sau nghịch biến R:

3

1

2 (2 1)

3

y x  x  a x a

Bài 4: Tìm điều kiện để hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó::

2 ( 1) 3 1

) ( 0) ) ( )

1

m mx m x

a y x m b y m

x x

  

     



Bài 5: Tìm điều kiện để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó::

2

2 ( 2) (2 1)

) )

1

x m x m m x mx

a y b y

x x

       

 

 

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng, đoạn : Bài 1: Cho hàm số y=y x 3 3(2m1)x2(12m5)x2

Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2;+∞)

Bài 2: Tìm m để

2 6 2

2

mx x

y

x   

 nghịch biến 1; .

Bài 3: Cho hàm số y=

3

1

( 1) ( 3)

3

y x  m x  m x Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0;3) Bài 4: Cho hàm số y x 33x2 (m1)x4m

3

2 2

) ( 1) ( 1) ) ( 1) (3 2)

3

x x

a y a   a x  x b y a  ax  a x

3

2 2

) ( 1) ( 1) ) ( 1) (3 2)

3

x x

Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (-1;1)

Bài 5: Tìm m để

2

2

2

x x m

y

x   

 đồng biến 3; . Hướng dẫn giải:

Dạng 2:

Bài 1: Hàm số đồng biến

'

2

' '

2

(2; ) (2; ) 12 ( 1) (2; )

6

(2; ) 12( 1)

3 ( 2)

( ) ( ) (2; )

12( 1)

5

( ) (2; ) ( ) (2)

12 12

y x x x m x x

x x

m x x

x x

f x f x x

x

f x dong bien tren nen f x f m

             

 

    



 

     



     

Bài 2: Hàm nghich biến

     

 

 

'

2

' '

2

1; 1; 14 1;

14

(2; )

12(2 4)

( ) ( ) 1;

( 2)

14 14

( ) 1; ( ) (1)

5

y x mx mx x

m x

x x

x

f x f x x

x

f x dong bien tren nen f x f m

            



    





      



 

     

Bài 3: Hàm số đồng biến

   

 

 

 

'

2

2

' '

2

(0;3) 0;3 2( 1) 0;3

2

0;3

2

( ) ( ) 0;3

(2 1)

12

( ) 0;3 ( ) (3)

7

y x x m x m x

x x

m x

x

x x

f x f x x

x

f x dong bien tren nen Max f x f m

            

 

   



 

     



   

(do y ‘ =0 liên x=0 vaf x=3 nên BPT f’ (x) x 0;3  y'  0 x 0;3

Bài tập kiểm tra:

Bài 1: Cho hàm số y=

3

1

( 1) (3 2)

3

y m x mx  m x a) Khảo sát biến thiên vẽ ĐTHS với m=2

Bài 2: Cho hàm số y=

4 mx y

x m  



a) Khảo sát biến thiên vẽ ĐTHS với m=1

b) Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng (-∞;1) Bài 3: Cho hàm số y=y x 33x2 mx

a) Khảo sát biến thiên vẽ ĐTHS với m=0

b) Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng (-∞;0) Hướng dẫn giải:

Bài 1: m 2

Bài 2:

 

2 '

2 '

4

D ,

( )

4

0 ( ;1)

1 m

TX D R m y

x m m

ycbt y x m

m 

   



  

           