Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biếnHàm số y = fx xác định trên khoảng a;b.. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó...
Trang 2C©u 1: Số gia hàm số của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 được tính theo công thức:
a y = f( x)
b y = f(x) – f(x f(x 0 )
c y = f( x) – f(x)
d y = f( x+ x) – f(x f(x)
b
Trang 3C©u 2: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) của đồ thị hàm số y = f(x) là :
a f ’(x)
b f(x)
c f ’(x 0 )
d f(x 0 )
c
Trang 4C©u 3: Hệ số góc của cát tuyến AB với đồ thị hàm số y = f(x), biết hoành độ của hai điểm A và B lần lượt là x1, x2 , được cho bởi công thức:
a
b
c
2 1
( ) ( )
f x f x
x x
Trang 61 Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b).
-Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu với mọi
x 1 ,x 2 (a;b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ).
-Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu với
mọi x 1 ,x 2 (a;b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ).
Dễ dàng nhận thấy rằng
f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) y/ x > 0 trên khoảng (a;b).
f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) y/ x < 0 trên khoảng (a;b).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một
khoảng được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó
Trang 7
Từ đó ta có:
f(x) đồng biến trên (a;b) thì f’(x) =
0
lim
x
y x
0
trên khoảng đó.
f(x) nghịch biến trên (a;b) thì f’(x) =
0
lim
x
y x
0
trên khoảng đó.
Trang 82 Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lí 1( Định lí Lagrăng )
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại điểm c (a;b) sao cho:
f(b) – f(a) = f’(c) (b – a) hay f c'( ) f b( ) f a( )
b a
Ý nghĩa hình học của định lí Lagrăng
Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) trong đó tọa độ của điểm
A là (a;f(a)), của điểm B là (b;f(b)).
y
A
B C
a
f(a)
b c
f(b) f(c)
Hệ số góc của cát tuyến AB là
( ) ( )
f b f a
b a
Đẳng thức
( ) ( ) '( ) f b f a
f c
b a
Có nghĩa là
Trang 9O x
y
A
B
C
a
f(a)
b c
f(b) f(c)
Hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c;f(c)) bằng
hệ số góc của cát tuyến AB Vậy nếu giả thiết của định lí lagrăng được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB
Trang 10Định lí 2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a ) Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
Chứng minh đ/lí 2
Lấy x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) trên khoảng (a;b).
Áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số y = f(x) trên đoạn
[x1;x2],
Tồn tại điểm c (x 1 ;x 2 ) sao cho: f(x 2 ) – f(x 1 ) = f’(c) (x 2 – x 1 )
b)Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì f’ (c) < 0 , mặt khác x2 – x1> 0
Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ( a;b)
nên f(x2) – f(x1) < 0, tức là f(x 1 ) > f(x 2 ).
Trang 11Định lí 3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) 0 (hoặc f’(x) 0) , và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
Định lí mở rộng của định lí 2:
Trang 12Ví dụ 1 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
y = x 3 – 6x 2 + 9x
Giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x R.
Bảng biến thiên
y’
y
3
y’ = 0 x = 1 hoặc x = 3
4
0 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ;1) và (3; + ),
nghịch biến trên khoảng (1;3).
Trang 13Ví dụ 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
y = 3
x
Giải
Ta có: y’ = 3 32 3 x2 2 1
Bảng biến thiên
y’
y
-1
11 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ;-1) và (1; + ), nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (0;1).
Dấu của y’ là dấu của x 2 – 1.
