Bài tập hàm số lượng giác đầy đủ các dạng

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.[r]

CHUYÊN ĐỀ 7

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác. -Ta chứng minh Bổ đề : Xác định điều kiện a,b,c để phương trình: asin x b cosx c (1) có nghiệm.

.Điều kiện i) : a2 b2 0

.Điều kiện ii) : asinx b cosx c

2 2 2

sin

a b c

x

a b a b a b

  

  

Khi : (1) 2

sin(x ) c

a b



  



Do sin(x) 1 , nên :

2 2 2

2

1 c a b c a b c (*)

a b

      



Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm :

2 2 (*)

a b c

Ta vận dụng điều kiện để giải số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau:

Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

cos 2sin sin

x x

y

x  

 (1)

Giải

-Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : Do sin x 0  x R

.Khi : (1) y(2 sin ) cos x  x 2sinx

2 sin cos 2sin

2 sin 2sin cos

2 ( 2)sin cos (*)

y y y x x

y y x x x

y y x x

   

   

   

Phương trình (*) có nghiệm : (y 2)2  1 (2 )y

2

2

4 4

3 (**)

y y y

y y

    

   

-Lập bảng xét dấu (**) y

-∞

2 19  

2 19  

f(y) + - +

Vậy : Tập giá trị y :

2 19 19

[ ; ]

3

y    

Hay :

2 19 y  

max

2 19 y  

-Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

2cos sin sin cos

x x y

x x

 



  .(1)

Giải

Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm :

.Do cosx sinx 2 cos(x 4) x R



       

.Khi : (1) y(2 cos xsin ) 2cosx  x sinx

2 cos sin cos sin

sin sin cos 2cos (*)

y y x y x x x

y x x y x x y

     

     

Phương trình (*) có nghiệm : (y1)2 (y 2)2 (2y1)2

2 2

2

2 4 4

2 (**)

y y y y y y

y y

        

   

-Lập bảng xét dấu (**) y

-∞

3 17  

3 17  

+∞ f(y) + - +

Vậy : Tập giá trị y :

3 17 17

[ ; ]

2

y    

Hay :

3 17 y  

max

3 17 y  

-Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

2

2

cos sin cos

1 sin

x x x

y

x

 

Giải

Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : Do sin x0  x R

.Khi :

2

2

2cos 2sin cos

(1)

2 2sin

x x x

y

x



 



1 cos sin cos

3 cos cos sin (1 ) cos sin (*)

x x

y

x

y y x x x

y x x y

 

 



    

    

Phương trình (*) có nghiệm : (1y)2  1 (3y 1)2

2

2

1

8 (**)

y y y y

y y

      

   

-Lập bảng xét dấu (**) y

-∞

2

4 

2

4 

+∞ f(y) + - +

Vậy : Tập giá trị y :

2 6

[ ; ]

4

y  

Hay :

2

4 y  

max

2

4 y  

-Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

sin 2cos sin cos

x x

y

x x

 



  .(1)

Giải

-Xét biểu thức : sinxcosx  2 2 0 , nên y xác định với x R.

-Khi : (1) y(sinxcosx2) sin x2cosx

sin cos sin 2cos

sin sin cos 2cos

( 1)sin ( 2) cos (*)

y x y x y x x

y x x y x x y

y x y x y

     

     

     

Ta có : (y 1)2 (y 2)2  (1 )y

2 2

2

2 4 4

2

2 (**)

y y y y y y

y y y y

        

   

   

-Lập bảng xét dấu (**)

y -∞ 2 +∞ f(y) + - + Tập giá trị y : y  [ 2;1]

Vậy : ymin  ymax 

-Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

cos 2sin 2cos sin

x x

y

x x

 



  .(1)

Giải

-Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm :

.Do 2cosx sinx 4  x R ( sinx 1, cosx  1,   x) Khi : (1) y(2 cosx sinx4) cos x2sin x3

2 cos cos sin 2sin

(2 1) cos ( 2)sin (*)

y x x y x x y

y x y x y

      

     

Phương trình (*) có nghiệm :

2 2

2 2

2

(3 y) (2 1) ( 2)

9 24 16 4 4

11 24 (**)

y y

y y y y y y

y y

    

        

   

-Lập bảng xét dấu (**) y

-∞

11 +∞ f(y) + - +

Vậy : Tập giá trị y :

2 [ ; 2]

11 y 

Hay : 11 y 

ymax 2

-Bài 6-Tìm giá trị lớn hàm số :

2 cos sin cos

x y

x x

 

  .(1)

Giải

Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm :

.Do sinxcosx 0  x R (do sinx, cosx khơng đồng thời 1) Khi : (1) y(sinxcosx 2) cos  x

sin cos 2 cos

sin ( 1) cos 2(1 ) (*)

y x y x y x

y x y x y

     

    

Phương trình (*) có nghiệm :

2 2

2 2

2

( 1) 4(1 )

2

2 10 (**)

y y y

y y y y y

y y

   

      

   

-Lập bảng xét dấu (**) y

-∞

5 19  

5 19  

+∞ f(y) + - +

Vậy : Tập giá trị y :

5 19 19

[ ; ]

2

y    

Hay :

5 19 y  

max

5 19 y  

-Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. -Ta nhắc lại số bất đẳng thức liên quan:

1-Bất đẳng thức Cauchy cho số dương :a b c  33 a b c . 2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :

a).Cho số thực :    

2 2 ( )2

a b c d  ac bd

-Đẳng thức xảy : ( , 0)

c d

a b

a b 

b).Cho số thực :      

2

2 2 2

a b c d e  f  ad be cf 

-Đẳng thức xảy : ( , , 0)

d e f

a b c

-Bài 7-Tìm giá trị lớn hàm số :

2

1

1 cos 2sin

2

y   x   x

.(1)

Giải

-Biến đổi tương đương :

2

1

1 cos 2sin

2

y   x   x

2

1

1 cos sin (1')

2

y x x

    

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho số :

2

1

1, 1, cos , sin

2 x x

 

, được:

2 2 2

1 1

1 cos sin 1 cos sin

2 x x x x

       

9 22

2 .1 (*)

4 2

  

Hay :

22 y 

Vậy : max

22 y 

.Đẳng thức xảy :

2

1

1 cos sin

2 x x

  

2

1

(cos sin )

2 4

1 cos

2

2

3

x x

x

x  k  x  k

    

 

     

-Bài 8-Cho cos2 xcos2 ycos2 z Tìm giá trị lớn hàm số : y  cos x  cos y  cos z (1)

Giải

1, 1, 1, cos ,2 x cos2 y, cos2 z :

2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 cos cos cos

1 1 cos cos cos

3 (cos cos cos )

2 ( cos cos cos 1)

x y z

x y z

x y z

do x y z

     

       

   

   

Hay : y 2 Vậy : ymax 2

-Bài 9- Cho , ,x y z  0 x y z



  

Tìm giá trị lớn hàm số y  tan tan x y  tan tan y z  tan tan z x.(1)

Giải

-Ta xét giả thiết : x y z



  

2

tan( ) tan( )

tan tan

tan tan tan tan tan tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan (*) x y z

x y z

x y

x z y z x y

x y z

x y y z z x





   

   



     



   

-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho số :

1, 1, 1, tan tan ,x y tan tan ,y z tan tanz x :

2 2

1 tan tan tan tan tan tan

1 1 tan tan tan tan tan tan

3 (tan tan tan tan tan tan )

2 ( tan tan tan tan tan tan 1)

x y y z z x

x y y z z x

x y y z z x

do x y y z z x

     

       

   

   

-Bài 10-Tìm giá trị nhỏ hàm số :

2

2

2

1

sin cos

sin cos

y x x

x x

   

     

    (1)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho số :

2

2

1

1, 1, sin , cos

sin cos

x x

x x

 

:

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

1

sin cos

sin cos

1

2 sin cos

sin cos

1 1 1

sin cos sin cos

sin cos sin cos

1

1

2 sin

1

(1 4)

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

x

   

   

   

 

   

 

    

       

   

 

 

     

            

     

 

    

 

   25

2

Hay :

25

y 

Vậy :

25

y 

-Đẳng thức xảy :

2

sin cos

4

x x x  k

-Phần 3- Sử dụng cơng cụ đạo hàm

Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : y cosx sin x.(1)

Giải

-Hàm số xác định : cosx 0, sinx 0.Ta khảo sát 0;

2



-Tính :

sin cos

y'

2 cos sin

x x

x x



 

sin cos

y'

2 cos sin

x x

x x

  

3

sin cos

(sin cos )(1 sin cos )

sin cos (1 sin cos 0)

x x

x x x x

x x x x

x 

 

   

   

 

-Bảng biến thiên: x

0





y’ + -y

48

1

Vậy : ymin 1 ymax 48 .

-Bài 12-Tìm giá trị lớn hàm số :

ysinx3sin 2x.(1)

Giải

-Hàm số xác định với x  R

-Tính : y' cos x6cos 2x12cos2 xcosx

2 cos

3 '

3 cos

4 x y

x   

 

.y đạt giá trị lớn điểm mà y’ = +Khi

2

cos sin

3

x  x

Khi :

5 sin 3sin sin 6sin cos

3 y x x x x x 

(*) +Khi

3 7

cos sin

4

Khi :

7 sin 3sin sin 6sin cos

8 y x x  x x x 

(**) Xét (*) (**) cho ta : max

5 y

3 

,

2 5

cos sin

3

x  x

-Phần 4- Một số dạng khác.

Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :

2

cos cos

(0 )

2 cos

x x

y

x x

 

 



 

  

  .(1)

Giải

-Ta xét biểu thức :

2 2 cos 1 2 cos cos2 sin2 ( cos )2 sin2 0

x  x   x  x       x     (do :0    ) Vậy y xác định với xR.

-Biến đổi tương đương :

2

2

2

(1) ( cos 1) cos cos

2 cos cos cos

( cos ) 2( cos 1) cos (*)

y x x x x

yx xy y x x

y x y x y

  

  

  

     

      

      

Ta giải biện luận phương trình (*): +Khi y cos

2

2

(1) 2(cos 1)

(2sin ) sin 0

x y y

x x x



 

     

     

Vậy x      Hay : y ymin  ymax 1 (a) +Khi y cos Điều kiện có nghiệm :

   

 

2

2 2

2

2

' cos cos

cos 1 cos

sin ( 1)

1

1

y y

y y y

y

 

 



      

    

  

  

   

Vậy x      Hay : y ymin  ymax  (b) Từ (a) , (b) Ta có : ymin  ymax 

-Bài 14-Gọi α góc cho trước.Tìm giá trị nhỏ hàm số : ytan (2 x) tan ( x ).(1)

Giải

-Ta xét đẳng thức:

2 1( )2 1( )2

2

a b  a b  a b

2 2

2 2

1

( ) ( )

2 a b ab a b ab

a b ab ab a b

     

     

-Đặt a tan(x) , btan(x ) -Khi đó:

2

1

[tan( ) tan( )] [tan( ) tan( )]

2

y  x  x   x  x 

2

2 2

2

2

2

2

1 sin sin

2 cos ( ).cos ( ) cos ( ).cos ( ) sin sin

2cos ( ).cos ( ) 2(sin sin )

(cos cos ) x

x x x x

x

x x

x x



   



 

 

 

   

 

 

 



+Do α cho trước, nên tử thức đạt giá trị lớn : sin 2x 0 , suy :

cos 2x 1

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn : (1 cos )  

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn : ( cos )   

Vậy :

+Khi cos 2 0 :

2

2

min

2sin

y tan

(1 cos )



 

 



+Khi cos 2 0 :

2

2

min

2sin

y cot

(1 cos ) 

 

 



-Bài 15-Tìm giá trị nhỏ hàm số :  

2

1 cos sin

sin cos

y x x

x x

  

.(1)

-Ta xét  

3 3

1 cos sin 2 ( )

4 y  x x  cos x 

.mà

3

1

2 cos ( ) 2 2

x    y 

Đẳng thức xảy :

5 cos( ) cos

4

x     x  

-Ta xét 2 2

1

cos sin sin y

x x x

 

.mà 2

4

sin 2x   y  .Đẳng thức xảy :

5

sin ,

4

x  x x 

Vậy : ymin 2 4. ( :

5 x  

) Bài 16-Tìm giá trị lớn nhất, bé :

   

   

tan tan tan tan

y ( , ; )

2 tan tan

     

 

 

    

    

   

(1) Giải

-Biến đổi tương dương :

   

   

tan tan tan tan y

1 tan tan

   

 

 



 

2

sin sin sin sin cos cos cos cos

1

cos cos sin( ) cos( )

1

sin 2( ) (*)

   

   

 

   

 

   

 

   

   



 

 

   

   

  

 

Do :

1

y

2



 

-Do , 2;

     

 , nên max

1

( )

4 y y



      

-Do , 2;

     

 , nên

1

( )

4 y y



Vậy :

1 y

2  

max y

2 

-Bài 17 –Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn : y x 3(1 x2)

Giải

-Điều kiện : x 1, ta đặt : x sinu ( u 2)

 



   

sin cos sin cos 2sin

3

y u u u u u  

        

 

-Do

5

2sin 2sin 2sin

2 u u 6 u

       

    

          

 

   1 y

+Khi y  1 x  Vậy ymin  1 x1 +Khi

1

2 y   x

.Vậy max

1

2 y   x