• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số.. Vậy z là số thực.[r]
(1)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
1 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Một số phức z một biểu thức dạng z = a + bi, đó a, b những số thực số i thỏa mãn i2 = –1 Trong đó:
i đơn vịảo
a được gọi phần thực số phức b được gọi phần ảo số phức
Tập hợp điểm biểu diễn số phức kí hiệu C
Chú ý:
♦ Số phức z số thực b = 0, đó z = a
♦ Số phức z sốảo (hay số ảo) nếu a = 0, đó z = bi
♦ Hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '
a a
b b
=
=
♦ Với i đơn vịảo ta có: i2 = −1;i3 =i i2 = −i i; =( )i2 =1;i5 =i i4 =i Từđó suy i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0
Ví dụ: Tính tổng S= + + + + +1 i i2 i3 i2012.
Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức sau
a) z = + 3i b) z = 4i c) z = –1
d) z= 2−2i e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i)
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa số phức ta có a) z = + 3i ⇒ a = 2; b = b) z = 4i ⇒ a = 0; b = c) z = –1 ⇒ a = –1; b = d) z= 2−2i⇒a= 2;b= −2
e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức cho dạng rút gọn
Ta có ( ) ( )1+i − −1 i 2= + +(1 2i i2) (− − +1 2i i2)= − −2i ( )2i =4i⇒a=0;b=4, (do i2 = –1 ) f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = – 2i ⇒ a = 9; b = –2
Ví dụ Tìm số thực x y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) (1 3− x) (+ y+1) (i= x+y) (− 2x+1)i
Hướng dẫn giải:
Ta biết hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '
a a
b b
=
=
a) Ta có 2
3
x x x
y y y
+ = + =
⇒
− = + =
b) Ta có
( )
3
1
2
1 2
5
x x y x y x
y x x y
y
− = +
+ = =
⇔ ⇒
+ = − + + = −
= −
Ví dụ Cho z=(3a+ + −2) (b 4)i Tìm số a, b để: a) z số thực
b) z số ảo
Hướng dẫn giải:
a) z số thực b – = 0, hay b =
b) z số thuẩn ảo 3a + = 0, hay a = –2/3
(2)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Bài tập áp dụng:
Bài Xác định phần thực phần ảo số phức:
1 z= − +3 5i 2 z= − 2i
3 z = 12 4 z =
5 z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) 6 z = (1 + i)2 – (1 – i)2
7 z = (2 + i)3 – (3 – i)3 8 z = (3 – 5i) + (2 + 4i)
9 z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10 z = (2 + i) – (1 + 4i)
Bài Cho z=(2a 1− +) (3b+5 i) với a, b∈R Tìm số a, b để:
1 z số thực 2 z số ảo
Bài Tìm số thực x y, biết: 1 (2x 1+ + = − +) 5i (3y−2 i) 2 (x− 2)− = −4i (y i+ )
2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi (a b, ∈R) biểu diễn điểm M(a; b) (hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (hay gọi mặt phẳng phức)
Trong đó:
- Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b
Ví dụ Cho số phức + 3i; 3; –i; –1 + 2i có điểm biểu diễn lần lượt A, B, C, D a) Chứng minh rằng ABCD một hình bình hành
b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào? 3 MODULE CỦA SỐ PHỨC
Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu |z| được tính theo biểu thức: z = a2+b2 Ví dụ: Tính module của số phức sau
1 z = + 3i 2 z = 2i 3 z= i−
4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức z = a2+b2 ta có 1 z= +1 3i⇒ z = 9+ = 10 2 z=2i⇒ z = 4=2
3 z= i− ⇒ z = 1+ =2
4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2 = + +(4 2i i2) (+ + +1 4i 4i2)= +(3 2i) (+ 4i 3− =) 6i⇒ z =6 4 SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp số phức z kí hiệu z được tính theo biểu thức: z= −a bi
Chú ý:
+ Các điểm M(a ; b) M’(a ; –b) biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục Ox + Các số phức z z có module bằng nhau: z = =z a2+b 2
Ví dụ: Viết số phức liên hợp số phức sau tính module chúng 1 z = – 5i
(3)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
Hướng dẫn giải:
Áp dụng z= −a bi, ta :
1 z= −2 5i⇒z= +2 5i⇒ z = 4+25= 29 2 z=7i⇒z= −7i⇒ z = 49=7
3 z= +6 i⇒z= −6 i⇒ z = 36 1+ = 37 4 z= 3−2i⇒z= 3+2i⇒ z = 4+ = LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Bài Tính z+z ', z−z ', z.z ' với
1) z= +5 2i , z '= +4 3i 2) z= −2 3i , z '= +6 4i
3) z= − −4 7i , z '= −2 5i 4) z i , z '= + = − 3+2i
Bài Thực phép tính sau :
1) ( )1 i− 2) (2 3i+ )2
3) ( )1 i+ 3+3i 4) ( )1 i+ 2010
Bài Viết số phức sau dạng đại số: 1)
( )(1 ) z
1 i 3i
=
+ − 2)
5 6i z 3i − + = +
3) z 2i 6i −
=
−
4)
3 4i z i − = −
5) z
2 3i = − 6) z i 2 = −
7) z 2i i
−
= 8) z i
5i
+ = 9) z 4i
1 i
=
− 10)
1 2i 12i z
12i 2i
+
= +
+
11) z (2 i)(12i) (2i)(1 2i)
2i i
+ +
= +
+
Bài Cho z 3i 2
= − + Hãy tính: 1, z , z , z2 ( )3 , z z2
z + +
Bài Tính modun, tìm số phức liên hợp số phức sau:
1) z
2 3i = + 2) 5i z i + = 3) z 3i
2 i − = − 4) 2i z i − = +
5) z= − − +(2 i)( 2i)(5−4i) 6)
( 1)( ) z
1 2i i
=
+ −
7)
( 3i)( ) z
4 i 2i
+ =
+ − 8)
5 5i 20 z
3 4i 3i
+
= +
− +
9) z 7i 8i 3i 3i
+ −
= +
+ − 10)
3 2i (2 i)(4 3i) z
2 i
+ + − −
=
+
11) z (3 2i)(4 3i) 4i 2i
− +
= + −
− 12)
( ) ( )2 2i i z
1 i
− −
=
+
13) z (3 2i 3i)( ) ( )2 i 3i
+ −
= + −
+ 14)
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
1 2i i z
3 2i i
+ − −
=
+ − +
15)
7 1 z i 2i i = −
16) ( ) ( )( )
33
10
1 i
z i 3i 3i
1 i i
+
= − + − + + − +
(4)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức 17) z 1= + + + +( ) ( ) ( )1 i i 2+ +1 i 3+ + + ( )1 i 20 18)
8
1 i i z
1 i i
+ −
= +
− +
Bài Cho số phức z1 = + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, mơđun, số phức đối số phức liên hợp số phức sau:
1) z= + +z1 z2 z3 2) z=z z1 2+z z2 3+z z3 1 3) z=z z z1 3 4) z= + +z12 z22 z32
5)
2 z z z z
z z z
= + + 6)
2 2 2 z z z
z z
+ =
+
Bài Tính z1+z , z2 1−z , z z , z2 1 2 1−2z , 2z2 1+z2, biết: 1) z1= − +5 6i, z2= −1 2i 2) z1= +3 2i, z2= −4 3i
3) z1 i, z2 1i
2
(5)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
5 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC 5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i
Khi số phức w = z + z’ tính : w = (a + a’) + (b + b’)i
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ tính : u = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý:
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất phép cộng hai số thực tính giao hốn, kết hợp ♦ Tính chất kết hợp :(z+z')+ = +z" z (z'+z")∀z, z , z' "∈ℂ
♦ Tính chất giao hốn : z+ = + ∀z' z' z z, z'∈ℂ ♦ Cộng với :z+ = + = ∀ ∈0 z z z ℂ
♦ Với số phức z= +a bi (a, b∈ℝ), nếu kí hiệu số phức a− −bi –z ta có z+ − = − + =( z) ( z) z
Số –z gọi sốđối số phức z
Ví dụ Thực phép cộng, trừ số phức sau
1 z = 2+ 3i ; z’ = – 2i 2 z = –5 + 2i ; z’ = 3i 3 z = – 3i ; z’ = – i
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức z+ = +z' (a a ) (b' + +b )i' ; z z− = −' (a a ) (b' + −b )i' , ta có 1 z+ = + + −z' (2 5) (3 2)i= +7 i ; z z− = − + +' (2 5) (3 2)i= − +3 5i
2 z+ = − + +z' (3 2)i= − +5 5i ; z− = − + −z' (2 3)i= − −5 i 3 z+ = + − +z' (2 2) (3 1)i= −4 4i ; z z− = − + − +' (2 2) ( 1)i= −2i 5.2 Phép nhân hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i
Khi số phức w = z.z’được tính công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Nhận xét :
Với số thực k số phức a + bi (a, b∈ℝ), ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi 0z = với số phức z
Chú ý: Phép nhân số phức có đầy đủ tính chất phép nhân số thực ♦ Tính chất giao hốn : z.z' =z z, z, z' ∀ '∈ℂ
♦ Tính chất kết hợp :(zz )z' " =z(z z ),' " ∀z, z , z' "∈ℂ
♦ Nhân với : 1.z=z.1= ∀ ∈z, z ℂ
♦ Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng
( ' ") ' " ' " z z +z =zz +zz , z, z , z∀ ∈ℂ
Ví dụ Phân tích thừa số số phức biểu thức sau
1 a2 + 2 2a2 +
3 4a2 + 9b2 4 3a2 + 5b2
Hướng dẫn giải:
Sử dụng i2 = –1 ta
1 a2+ =1 a2− = −i2 (a i)(a+i)
2 4a2+9b2 =4a2−9b i2 2=(2a−3bi)(2a+3bi) 3 2a2+ =3 2a2−3i2 =(a 2− 3i a 2)( + 3i) 4 3a2+5b2 =3a2−5b i2 2=( 3a+ 5bi)( 3a− 5bi)
Tài liệu giảng:
01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2
(6)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức 5.3 Phép chia cho số phức khác
♦ Số nghịch đảo số phức z khác số z 12 z z − =
♦ Thương ' z
z phép chia số phức z ’
cho số phức z khác tích z’ với số phức nghịch đảo z, tức '
' z
z z z
− =
Vậy ( )( )
( )
' ' ' '
2 2
a bi a b i z z z
z z a b
− +
= =
+ với z≠0
Nhận xét :
• Với z ≠ 0, ta có 1.z z z
− −
= =
• Thương ' z
z số phức w cho zw = z ’
Có thể nói phép chia cho số phức khác phép tốn ngược phép nhân
• Thực chất phép chia hai số phức nhân tử số mẫu số với biểu thức phức liên hợp mẫu số Ví dụ Thực phép chia số phức sau
1
( )(1 ) z
1 i 3i
=
+ − 2
5 6i z
4 3i
− + =
+
3 z 2i 6i −
=
−
4
3 4i z
4 i
− =
−
Hướng dẫn giải:
1
( )( ) 2
1 7
1 (7 )(7 ) 50 50
i i
z i
i i i i i i
− −
= = = = = −
+ − + + − −
2 ( )(4 ) 22 392 39 (4 )(4 ) 25 25
i i i i
z i
i i i
− + − + − − + −
= = = = +
+ + − +
3 Tính (7 )(8 ) 682 262 17 13 (8 )(8 ) 25 50
i i i i
z i
i i i
− − + +
′ = = = = +
− − + +
Vậy 17 13 17 13 25 50 25 50
i
z z i i
i −
′
= = = + = −
−
Nhận xét :
Ta giải câu theo cách khác sau (sử dụng tính chất số phức):
2
7 7 (7 )(8 ) 17 13 8 8 25 50
i i i i i
z i
i i i
− − + + −
= = = = = −
− − + +
4 (3 )(4 ) 16 132 16 13 (4 )(4 ) 17 17
i i i i
z i
i i i
− − + −
= = = = −
− − + +
6 CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau số phức xếp vào nhóm:
Tính chất 1: Số phức z số thực ⇔ =z z Chứng minh:
Ta có : z= ⇔ +z x yi= − ⇔ =x yi y 0⇒z=x Vậy z số thực Tính chất 2: Số phức z sốảo ⇔ = −z z
Chứng minh:
Ta có : z= − ⇔ +z x yi= − + ⇔ =x yi x 0⇒z=yi Vậy z số ảo
(7)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Chứng minh:
( )
2 2 2
2
2 2 2
( )( )
z z x yi x yi x y i x y
z z z
z x y x y
= + − = − = + → = = + = +
♦ Cho số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất xếp vào nhóm liên hợp: Tính chất 4: z1+ = +z2 z1 z2
Chứng minh:
1 2 2
1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z x x y y i x x y y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y i
+ = + + + = + − + → + = + + = − + − = + − +
Tính chất 5: z z1 2 =z z1 2 Chứng minh:
1 1 2 2 2 1 2 2
1 2 1 2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y x y x y i
= + + = − + + = − − + → = = − − = − − +
Tính chất 6: 1
2 z z z z = Chứng minh:
1 1 2 2 1 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
( ) ( )
( )( )
( )( )
z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y
i
z x y i x y x y x y z
z
z x y i x y i x y i x x y y x y x y
i
x y i x y i x y i x y x y
z + + − − + − = = = + + + + + → − − + + − = = = + − − + + + 2 z z =
Nhận xét :
Ngoài cách chứng minh cổ điển ta sử dụng “thành quả” chứng minh tính chất số Thật vậy, đặt
1
2
z
z z z z
z
= ⇒ =
Theo tính chất ta có:
1 2
2
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 1
2 z z z z =
♦ Cho số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất xếp vào nhóm module: Tính chất 7: z z1 2 = z z1 2
Chứng minh:
1 1 2 2 2
2 2 2
1 2 2 1 2 1
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1)
z z x y i x y i x x y y x y x y i
z z x x y y x y x y x x x y x y y y
= + + = − + +
⇒ = − + + = + + +
2 2 2 2
1 1 2 ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) , (2)
z z = x +y x +y = x x + x y + x y + y y
Từ (1) (2) ta có (đpcm) Tính chất 8: 1
2 z z z = z Chứng minh:
( ) ( ( )( ) )
1 1 1 2 2 1
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
(1)
z x y i x y i x y i x x y y x y x y i
z x y i x y i x y i x y
x y x y
z x x y y x y x y x y
z x y x y x y x y
+ + − + + − = = = + + − + + + + − + ⇒ = + = = + + + +
Nhận xét :
Tương tự nhận xét nêu tính chất 6, ta đặt
1
2
z
z z z z
z
(8)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Theo tính chất ta có: 1 2 2
2
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 1 2 z z
z = z Tính chất 9: z1+z2 ≤ z1 + z2
Chứng minh:
( )
2 2 2
1 2 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
z z z z x x y y x y x y
x x y y x x x y x y x y
x x y y x x x y x y y y
x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + ≤ + + +
⇔ − ≥
Ví dụ Thực phép tính sau :
1
8 i z
i −
=
−
2 z= +(1 i)(3 )− i 3 z= +(2 )i + −(1 i)
4
1 i z
i
+ =
− 5 z= +(5 i)(2 )− i
Hướng dẫn giải:
1 7 (7 )(8 )2 2 17 13 8 8 25 50
i i i i i
z i
i i i
− − + + −
= = = = = −
− − + +
2 z= +(1 i)(3 )− i = +1 i 3 2− i = 12+1 32 2+22 = 26 3 z= +(2 )i + − = + + − = − + + = −(1 i) 3i i 3i i 2i
4 1 1
1 1
i i z
i i
+
+ +
= = = =
− − +
3 z= +(5 i)(2 )− i = +5 i.2 3− = −i (5 i)(2+3 ) 13 13i = + i Ví dụ Tính module của số phức sau
1 z(1 2i)+ = − +1 3i 2 z 2i
1 3i = + − +
3 z (1 2i) 6i
2 3i+ − + = − 4
2 i 3i
z
1 i i
+ =− +
− +
Hướng dẫn giải:
Áp dụng lớp tính chất liên quan đến module ta có:
1 z(1 2i) 3i z(1 2i) 3i z 2i 10 z 10
5
+ = − + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇒ = =
2 z 2i z 2i z 13 z 13 10 130
1 3i = + 3i 3i
⇒ = + ⇔ = ⇒ = =
− + − + − +
3 z (1 2i) 6i z 4i z 4i z 52 13 z 26
2 3i+ − + = − ⇔ 3i+ = − ⇒ 3i+ = − ⇔ 3i+ = = ⇒ =
4 2 iz 3i iz 3i i z 3i z 10 z
1 i i i i i i 5
− +
+ =− + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇔ = ⇒ =
− + − + − +
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính module số phức liên hợp số phức z sau :
1 z= −(2 5i)(3 i)+ ( )1 i z 3+ + = −2i 4z
3 z
(3i 4)(2 i) =
+ − 4
3i z
10 i − =
+
5 z(2 3i)+ = +4 5i 6 (1 2i)z+ = − +( 3i)(2 i)+ 7 (1 3i z− ) (+ +4 3i)= −7 5i 8 z 7i 8i
2 3i 3i
+ −
= +
(9)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức 9 z= +(1 2i)(2 4i)− 10 z 4i
2 i − =
− 11 z i
2 i + =
− 12 z= − − +(2 i)( 2i)(5 4i)−
13 z 5i 20
3 4i 3i +
= +
− + 14
(3 2i)(4 3i)
z 4i
1 2i
− +
= + −
− 15
( 3i)( ) z
4 i 2i + =
+ −
Bài Tìm số phức z biết a)
3 ( )
1 i z
i
− =
+ b) z z+3(z− = −z) 4i c)
1
1 z− = − i Bài Tính mơ-đun số phức z biết
a) 1 i (2 )2i z i
z z
− = − + −
b) Cho số phức
3
1
1 (1 )
4 (1 ) ;
1
i i
z i i z
i
+ − −
= − + − =
+ Tính mơ-đun số phức z=z z1
c) Cho số phức ( ) 3
i z
i
− =
− Tín mơ-đun số phức z+iz
Bài 4: Tìm phần thực phần ảo số phức z= − +( 1 3 )i 2012+ +(1 3 )i 2012 Bài 5: Cho số phức z+ =1 i2013+i2012. Tìm z biết '' z = +z i z
Bài Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau:
a) z2=2z b) z2− z2+ =1 0
c) z2+ =z 0 d)
2 ( )
1
z i
i z++ =
e) ( )
1 2
z z i z z
i
i i
+ − − = +
+ − f) (z+z)(1+ + −i) (z z)(2 )+ i = −4 i
g) z2+2z =0 h) z2+i z =0 i) iz2+ + =z 1 0
Bài Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau: a)
2
2 z
z z
z
−
+ = b) z−3i = −1 i z z
z
− số ảo
c) ( 1)(1 )
1 z
z z i
i
−
= + + +
− d) z− = +1 z 3
2 2 z +z =
e)
2
2
z z i z =
+ =
f)
2
2 z +z z− =
g) 4z+ +(1 )i z=25 21+ i h) 2 35
8
z + z − z=
i) z4=2z z2( −5) j) 3 10
2 109
z z
z i
+ + − =
+ =
(10)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức
I CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN
a) Đường thẳng
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường thẳng như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng : Ax + By + C =
b) Đường trịn
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường trịn như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường trịn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, đó I(a ; b) tâm đường tròn R bán kính đường trịn
c) Đường Elip
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường elip như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường elip
2 2 ( ) :E x y
a +b = , đó a, b tương ứng bán trục lớn bán trục nhỏ elip
Chú ý :
Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm tiêu điểm theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, đồng thời AB = 2c, độ dài tiêu cự elip
Mối quan hệ đại lượng a, b, c elip a2 = b2 + c2
II CÁC VÍ DỤĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1]
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]
d) |z| ≤
e) ≤ |z| ≤
f) |z –1 + 2i| ≤
g) 2i−2z = 2z−1
Hướng dẫn giải :
Gọi z = x + yi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức x = 2y, hay x – 2y = Vậy quỹ tích điểm M(z) đường thẳng d : x – 2y =
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức –2 ≤ x ≤
Vậy quỹ tích điểm M(z) phần mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng x = –2 x =
c) Phần thực z thuộc đoạn [–2; 1] phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức –2 ≤ x ≤ ≤ y ≤
Vậy quỹ tích điểm M(z) miền hình chữ nhật ABCD giới hạn bốn đường thẳng x = –2 ; x = ; y = y =
d) z ≤ ⇔2 x2+y2 ≤ ⇔2 x2+y2 ≤4
Vậy quỹ tích điểm M(z) miền của hình trịn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể điểm nằm đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M điểm biểu diễn số phức z
M1 điểm biểu diễn số phức z1 = ⇒ M1(0; 0)
Theo toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z | = MM1 Từđó ta được MM1≤ 2, (1)
Tài liệu giảng:
02 CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1
(11)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Do điểm M1 cốđịnh, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M miền của hình trịn tâm M1(0; 0), bán kính R =
e)
2
2 2
2
2 3
4 x y
z x y x y
x y
+ ≤
≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔
+ ≥
Vậy quỹ tích điểm M(z) hình vành khăn giới hạn hai hình trịn đồng tâm (C1): x2 + y2 = (C2): x2 + y2 =
f) z− +1 2i ≤ ⇔2 (x− + +1) (y 2)i ≤ ⇔2 (x−1) (2+ y+2)2 ≤ ⇔2 (x−1) (2+ +y 2)2 ≤4
Vậy quỹ tích điểm M(z) miền của hình trịn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (kể điểm nằm đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M điểm biểu diễn số phức z
M1 điểm biểu diễn số phức z1 = – 2i ⇒ M1(1; –2)
Theo toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z –1 + 2i| = MM1 Từđó ta được MM1≤ 2, (2)
Do điểm M1 cốđịnh, nên từ (2) ta thấy quỹ tích M miền của hình trịn tâm M1(1; –2), R =
g) 2i−2z = 2z−1
Ta có z= −x yi, từđó ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
2i−2z = 2z− ⇔1 2i−2 x−yi = x+yi − ⇔ − +1 2x 2y+2 i = 2x− +1 2yi
( )2 ( )2 ( ) ( )
2 2 2
4x y 2x 4y 4x y 2y 4x 4x 4y
⇔ + + = − + ⇔ + + + = − + +
⇔ 4x + 8y + =
Vậy quỹ tích điểm M(z) đường thẳng d: 4x + 8y + =
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z+ + =z b) z− + − =z i c) 2+ = −z i z
Hướng dẫn giải :
Giả sử số phức z = x + yi, có điểm biểu diễn M(x; y)
a) ( ) ( ) ( 3)2 x
z z x yi x yi x x
x
= −
+ + = ⇔ + + − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy quỹ tích điểm M(z) hai đường thẳng x = –1 x = –5
b) z− + − = ⇔z i (x+yi) (− −x yi)+ − = ⇔ +1 i (2y−1)i = ⇔2 1+(2y−1)2 =2
( )2
1
2
1
1
2 y
y y
y
+
=
⇔ + − = ⇒ − = ⇒
−
=
Vậy quỹ tích điểm M(z) hai đường thẳng y= ±
c) 2+ = − ⇔ + +z i z (x yi) = − +i (x yi) ⇔ (x+ +2) yi = − + −x (1 y i)
( )2 2 ( )2 ( ) 2 ( )
2 4
x y x y x x y x y y x y
⇔ + + = + − ⇔ + + + = + − + ⇔ + + =
Vậy quỹ tích điểm M(z) đường thẳng d: 4x + 2y + =
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z+ + =z b) z− + + =z i c) z+3i = + +z i Ví dụ 4. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
(12)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
a)
2 z
z i− số thực
b) z i
z i
+
+ số thực
c) (z−2)(z+i) số thực
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z+ − = +2i z i Tìm điểm M biểu diễn số phức z cho MA ngắn nhất, với A(1; 4)
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2z+ =i 2z− +3i Tìm điểm M biểu diễn số phức z cho MA ngắn nhất, với 1;3
4 A
Đ/s: 1;
4 M− −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho số phức z = a + bi Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện để
a) Điểm biểu diễn chúng nằm dải đường thẳng x = –2 x =
b) Điểm biểu diễn chúng nằm dải đường thẳng y = –3i y = 3i
c) Điểm biểu diễn chúng nằm hình trịn tâm O, bán kính Bài 2. Tìm quỹ tích điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) 1≤ ≤z phần ảo lớn
2 b) z 1+ <1
c) 1< − <z i 2 d) 2iz 1− =2 z 3+
Bài 3. Tìm quỹ tích điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) (2 z (i− ) +z)là số thực tùy ý, (2 z (i− ) +z)là sốảo tùy ý
b) z (3 4i)− − =2 c) z i− = − +z z 2i
d) z2−(z)2 =4
Bài 4. Tìm quỹ tích điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) z i− + =2 b) z 3i− = + −z z 2i
c) z 1− + + =z d) z 2i− − + + −z 2i =6
Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:
a) Phần thực z
b) Phần ảo z thuộc khoảng (−1;3)
c) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [−2; 2]
Bài 6. Tìm quỹ tích điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) z ≤3 b) 1< ≤z 3
(13)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức
III MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO VỀ QUỸ TÍCH PHỨC
Cho hai số phức z1 z2được biểu diễn điểm tương ứng M1 M2 Khi z1−z2 =M M1 2 Chứng minh:
Giả sử z1 = x1 + y1i ; z1 = x2 + y2i → M1(x1 ; y1), M2(x2 ; y2) Từđó ta được:
Khi ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2
1 1 2 2
2
1 2
1 2
;
z z x x y y
z z x y i x y i x x y y i
M M x x y y M M x x y y
− = − + −
− = + − + = − + −
⇔
= − −
= − + −
1 2
z z M M
→ − =
Ví dụ 1. Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z− + +4i z 4i =10, (1)
Hướng dẫn giải:
Gọi M điểm biểu diễn số phức z
A điểm biểu diễn số phức z1 = 4i ⇒ A(0; 4) B điểm biểu diễn số phức z2 = –4i ⇒ B(0; –4) Khi đó, (1) ⇔ MA + MB = 10, (2)
Hệ thức chứng tỏ quỹ tích điểm M(z) elip nhận A, B làm tiêu điểm Gọi phương trình elip
2
2 2
2 1, ( ; )
x y
b a b a c a +b = > = + Từ (2) ta có 2a =10 ⇒ a =
AB = 2c ⇔ = 2c ⇒ c = 4, từđó b2 = a2 + c2 = 41 Vậy quỹ tích M(z) Elip có phương trình
2 25 41 x + y =
Ví dụ 2. Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức (1+i 3)z+2
z− ≤
Hướng dẫn giải:
Đặt w= +(1 i 3)z+2
w z
i
− =
+
Do theo giả thiết z− ≤1 2
w i
−
⇔ − ≤
+ ⇔ − +w (3 i 3) ≤2 1+i ⇔ − +w (3 i 3) ≤4
Vậy tập hợp cần tìm hình trịn có tâm I( )3; , bán kính R = kể cảđường trịn biên Đó hình trịn có phương trình (x−3)2+(y− 3)2≤16
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau với ẩn số phức z λ tham số thực khác 0:
4
(1)
2
1 (2)
z i
i z
z
z i
− −
= λ
+
−
=
+
Hướng dẫn giải:
+ Gọi A, B theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức 4+2i, −2 Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn đường kính AB, trừ hai điểm A B Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức 1 i+ bán kính
2
R= + i = + =3 i 10 nên có phương trình ( ) (2 )2
1 10
x− + y− = (1’)
Tài liệu giảng:
(14)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức + Gọi C, D theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức 2, 2i− Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) đường trung trực đoạn thẳng CD Đường trung trực qua trung điểm H(1; 1− ) đoạn thẳng CD nhận CD(− −2; 2)
làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình ( ) ( )
2 x y x y
− − − + = ⇔ + = (2’)
Suy giao điểm đường tròn đường trung trực nghiệm hệđã cho Đó điểm ( )x y; thỏa mãn (1’) (2’), tức nghiệm hệ phương trình sau
( ) (2 )2
1 10
x y
x y
+ =
− + − =
( 1) (2 1)2 10
y x
x x
= −
⇔
− + − − =
y x
x
= −
⇔
= ±
2 x y
=
⇔
= −
2 x y
= −
=
Vậy hệđã cho có hai nghiệm z= −2 2i z= − +2 2i
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau với z ẩn số
1 (3)
2 (4)
2
z i
z i
z i
− − =
+ +
=
+ −
Hướng dẫn giải:
+ Gọi E điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức 1 4i+ Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) đường trịn tâm E, bán kính R=3
Phương trình đường trịn (x−1) (2+ y−4)2 =9 (3’) + Gọi A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức
3 ,
2
i i
− − − + Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (4) đường tròn (x+1) (2+ y−2)2=5 (4’) Suy nghiệm hệđã cho giao điểm hai đường tròn (3’) (4’), tức điểm ( )x y; thỏa mãn hệ phương trình sau ( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
1
x y
x y
− + − =
+ + − =
2
2
2 8
x y x y
x y x y
+ − − + =
⇔
+ + − =
2
2
2
x y
x y x y
+ − =
⇔
+ + − =
( )2 ( )
2
2
y x
x x x x
= −
⇔
+ − + − − =
2
2
y x
x x
= −
⇔
+ − =
1 x y
=
⇔
=
2 x y
= −
=
(15)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn số phức z : (5)
2 (6) z i
z i
− − ≤
− − ≥
Hướng dẫn giải:
Gọi z= +x yi (x y, ∈ℝ) tọa vị của điểm M bất kỳ mặt phẳng phức + Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (5) hình trịn tâm
( )3;1
A , bán kính R = ( kể biên )
+ Ta có (6)
2
z i
⇔ − − ≥
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (6) phần mặt phẳng nằm bên ngồi
hình trịn tâm 9;1 B
, bán kính R= (kể biên )
Vậy nghiệm hệ bất phương trình cho giao hai tập hợp Đó “ hình trăng lưỡi liềm ” khơng bị bơi đen hình vẽ
Ví dụ 6: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn số phức z :
3
1 (7)
1 2 (8) z i
z z i + −
≥
+
− − ≤
Hướng dẫn giải:
Gọi z= +x yi (x y, ∈ℝ) tọa vị của
điểm M bất kỳ mặt phẳng phức + Tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) nửa mặt phẳng khơng chứa điểm A có bờ đường trung trực đoạn thẳng AB ( kể cảđường trung trực ), với A(−3; 2)
( 1;0)
B −
+ Tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn (8) hình trịn tâmE( )1; , bán kính R = (kể biên )
Vậy nghiệm hệ bất phương trình cho
giao hai tập hợp Đó phần hình trịn kể biên khơng bị bơi đen hình vẽ
Ví dụ 7: Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng?
a) z '= +(1 i)z+2i biết z+ + =z
b) z '=3z iz+ biết z+2i = − +z i
c) z '= +(2 i)z 1+ biết z i+ − =2 4zz 1+
Ví dụ 8: Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng?
a) z '= +(1 i)z+2i biết z+ + =z
b) z '=3z iz+ biết z+2i = − +z i
(16)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức Ví dụ 9: Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ ?
a) z+ − = + −1 i z 3i 2 b) z+2i = + +z 3i
Ví dụ 10: Trong số phức z thỏa mãn z− +2 2i =1, tìm số phức z có mơ-đun nhỏ
Ví dụ 11: Trong số phức z thỏa mãn z− − =2 i 52, tìm số phức z cho z− +4 2i đạt max, min? Đ/s: max 13 ( 2; 7)
min 13 (6; 5)
M M
= ⇒ −
= ⇒ −
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng?
a) z '= −(1 i)z 1+ biết z i− ≥2 3zz 10−
b) z '=2z i+ biết z i+ ≤1
c) z' (1 i 3)z 1= − + biết z+ − ≥2i 12 9zz 3+
d) z ' 2z i 1= + − biết z 3− =2
Bài Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ ?
a) z− −2 4i = −z 2i Đ/s: z= +2 2i
b) z+ −1 5i = + −z i Đ/s: 2 6
5 5
z= + i
c) z = − +z 4i
Bài Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ lớn
a) z− −2 4i = 5 Đ/s:
max
1
3
z i z
z i z
= + ⇒ =
= + ⇒ =
b) z+ +1 2i =4 5 Đ/s:
max
1
3
z i z
z i z
= + ⇒ =
= − − ⇒ =
c) 3
2
z+ − i = Đ/s:
max
2
4 2
z i z
z i z
= − + ⇒ =
= − + ⇒ =
Bài Trong số phức z thỏa mãn z− +1 2i = 10, tìm số phức z cho z+ −1 4i max, min? Đ/s: max 10 ( 2; 7)
min 10 (0;1)
M M
= ⇒ −
= ⇒
Bài Trong số phức z thỏa mãn z i+ = 5, tìm số phức z cho z+ +4 3i max, min?
Đ/s: max (2; 0)
min ( 2; 2)
M M
= ⇒
= ⇒ − −
(17)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
I CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi bậc hai số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi
Chú ý :
Khi b = z = a, ta có trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a>0⇒ω= ± a
+ TH2 : a<0⇒z=i a2 ⇒ω= ±i a
Khi b ≠ 0, để tìm bậc của z ta giải hệ phương trình từđồng thức: (x + yi)2 = a + bi hay
2 2
2
2
x y a x y xyi a bi
xy b − =
− + = + ⇔
=
Ví dụ Tìm căn bậc hai số phức sau
a z = b z = –7 c z= − −1 6i
Hướng dẫn giải:
a z=5⇒ω= ±
b z= − =7 7i2⇒ω= ±i
c Gọi w = x + yi căn bậc hai số phức z= − −1 6i, ta có
( )
2 2
2 2
2
6
2
1 2 6
6
2
1
y x
x x y
x yi i x y xyi i
xy y
x x
x
−
=
=
− = −
+ = − − ⇔ − + = − − ⇔ ⇔ ⇔ −
−
= − =
− = −
Hệ phương trình có nghiệm ( 2;− ;) (− 2; 3) Vậy có bậc hai của 6i− − 2− 3i − 2+ 3i Ví dụ Tính căn bậc hai số phức sau :
a z= − +1 3i b z= +4 5i c z = –18i d z = 4i e z= − −5 12i f z= +11 3i
g z= − +40 42i h
4
z= + i i z = −8 + 6i Ví dụ Viết số phức sau dạng phương ?
a) z = −21 + 20i =
b) z= +1 3i= c) z = −15 + 8i =
d) z= − −1 2i= e) z = − 12i =
f) z= +13 3i= g) z=22 10 2− i=
Tài liệu giảng:
03 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
(18)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
II PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC
Xét phương trình phức bậc : Az2 + Bz + C = có ∆∆∆∆ = B2 – 4AC
TH1: Các hệ số A, B, C số thực Tính ∆ =B2−4AC + Nếu ∆ > phương trình có nghiệm thực
2 B z
A
− ± ∆ =
+ Nếu
2 B i
i i z
A
− ± ∆
∆ < ⇒∆ = − ∆ ⇒ ∆ = ± ∆ ⇒ =
TH2: Các hệ số A, B, C số phức.
Tính ∆ = B2−4AC= + = +a bi (x yi)2
Khi phương trình có nghiệm ( ) B x yi z
A
− ± + =
Ví dụ 1. Giải phương trình sau tập hợp số phức
a z2+2z 5+ =0 b z2−4z+20=0 c (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) =
Hướng dẫn giải:
a z2+2z+ =5 0.
Ta có ∆ = − =' 4i2⇒ ∆ = ±2i⇒z= − ±1 2i
b Ta có ∆ = − =' 16 16i2⇒ ∆ = ±4i⇒z= ±2 4i
c
2
2
2
( )( 1)
2
z i z i z iz
z iz
= −
+ − − = ⇔
− − =
TH1 : ( )
2
2 2
1
1 1 2
(1 )
1
2 2
2
z i
i
z i z i i i
z i
= −
−
+ = ⇔ = − = − = − = ⇒
= − +
TH2 : z2−2iz− = ⇔1 z2−2iz+ = ⇔ −i2 (z i)2 = ⇔ =0 z i
Vậy phương trình cho có nghiệm 1 1 ; 2 1 ; 3
2 2
z = − i z = − + i z =i Nhận xét :
Ngoài cách giải chuẩn mực trên, giải tắt mà khơng cần tính tốn ∆ hay ∆’ sau
a z2+2z+ = ⇔ +5 (z 1)2+ = ⇔ +4 (z 1)2−4i2 = ⇔ +0 (z 1)2 =(2 )i 2⇒z= − ±1 2i b z2−4z+20= ⇔ −0 (z 2)2+16= ⇔ −0 (z 2)2 =16i2 =(4 )i 2⇒z= ±2 4i
d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) =
Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2
Vậy nghiệm phương trình cho
2
3 1 2
3 1
1
i i
z i
i i
z i
− + +
= =
− − −
= = −
Ví dụ 2. Giải phương trình sau tập hợp số phức
a)
2
3
3
2
iz iz
z i z i
+ +
− − =
− −
b) z3− =8
c) 4z4−3z2− =1
Hướng dẫn giải:
a)
2
3
3
2
iz iz
z i z i
+ +
− − =
(19)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
Đặt 3
4
t iz
t t t
t z i
= −
+ = ⇒ − − = ⇔
=
−
Với 4 4( ) ( 4) 8 ( )2 ( 4) 35
2 16 17
i i
iz i i
t iz z i z i i z
z i i i
− − +
+ − − − −
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ − = − − ⇒ = = =
− − − −
4 35 17 17
z i
⇒ = +
Với 3 ( )1 3 (2 23)( )1
2 1
i i
iz i i
t iz i z z i i z
z i i i
− −
+ − −
= − ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇒ = = =
− + − −
1 2
z i
⇒ = − +
Vậy phương trình cho có nghiệm phức 1 35 ; 2
17 17 2
z = + i z = − +
b) z3 – = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + ) =
TH1 : z – = ⇔z =
TH2 : z2+2z+ = ⇔ +4 (z 1)2 = − =3 3i2 ⇒z= − ±1 i
Vậy phương trình cho có nghiệm phức z1=2; z2 = − −1 i 3; z3= − +1 i
c) 4z4−3z2− =1
Đặt z2 = t Phương trình cho tương đương với
1
4 1
4 t t t
t
=
− − = ⇔ = −
Giải phương trình tìm được t = hoặc t − =
Với t = ta được z2 = ⇒ z = ±
Với
2
0
4
i i
t= − = = ⇔ = ±z
Vậy phương trình cho có nghiệm phức 1; i z= ± z= ±
Ví dụ 3. Gọi z1, z2 nghiệm phương trình z2 + 2z + = Tính giá trị biểu thức sau
2 2
1 ;
A= z + z B= z + z − z z
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
2
1
2 ( 1) (2 )
1
z i
z z z i
z i
= − +
+ + = ⇔ + = − = ⇒ = − −
Khi ta có
1
1
z z
= + =
= + =
1
1
5
1
z
z i
z i z
= = − −
⇒
= − + =
A= z12+ z22 = + =5 10
B= z12+ z22−4 z z1 = + −5 5 5= −10 Vậy A = 10 B = –10
Ví dụ 4. Giải phương trình sau tập hợp số phức:
a) z2+2z+ =5 0 b) z2−4z+20=0
c) −3z2+ − =z 5 0 d) 4z2+ =9 0
e)
3z − + =z 0 f) z2− 3z 0+ =
Ví dụ 5. Giải phương trình sau tập hợp số phức:
a)
z +2(i−2)z 2i+ − =0 b)
(20)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức
c)
z − +(3 i)z+ + =4 3i 0 d)
iz − + + =z i 0 e)
iz +2iz− =4 0 f)
z − −(3 i)z+ − =4 3i 0 g)
3iz −2z− + =4 i 0 h) z2−8(1 i)z− +63 16i− =0
Ví dụ 6. Giải phương trình sau tập hợp số phức:
a) z3− =8 0 b) z3+4z2+6z+ =3 0
c)
z − +z 6z − − =8z 16 d)
z − − =z 12
e)
z −2z − =8 g) 4z −3z − =1
g)
z −6z + =8 h)
z − =16
Ví dụ 7. Giải phương trình sau tập hợp số phức:
a)
(1 i)z+ = − +1 7i b)
(z−i)(z +1)(z + =i)
c) (2 + 3i)z = z – d) ( ) (2 )
z +z +4 z + − =z 12
e) (z+ −3 i)2−6 z( + − + =3 i) 13 f)
2
iz iz 3 z 2i z 2i
+ +
− − =
− −
g) (z2+1)2+ +(z 3)2 =0 g) ( )( ) z +9 z − + =z
i) ( )( ) z+3i z −2z+ =5
Ví dụ 8. Giải phương trình sau tập hợp số phức:
a) z4+16=0 b)
4 z i
1 z 2i
+
=
−
c) (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+ −6) 3z2=0 d) (z 1)+ 4+2(z 1)+ 2+ +(z 4)2+ =1 0 Ví dụ 9. Giải phương trình sau:
a)
7 11
z − z+ + =i b)
2(1 )
z + − i z− − =i
Đ/s: a) z= −5 i z; = +2 i b) z= +1 ;i z= − +3 2i
c)
2(2 )
z − −i z+ − =i d)
(2 ) z − +i z+ + =i Đ/s: c) z= +3 i z; = −1 3i d) z=1;z= +1 i
Ví dụ 10. Giải phương trình sau (bậc ba):
a)
(2 ) (2 )
z − +i z + + i z− =i biết phương trình có nghiệm z = i Đ/s: z=i z; = ±1 i
b) z3+4z2+ +(4 i z) + + =3 3i 0 biêt phương trình có một nghiệm z = – i Đ/s: z= −i z; = − +1 i z; = −3
c)
(2 )
(21)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
1 Khái niệm về dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a + bi, số phức gọi dạng đại số số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) gọi dạng lượng giác số phức Trong đó:
r: module của số phức ϕ: argument của số phức
2 Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác
Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm module argument số phức
Bằng việc đồng biểu thức hai số phức ta có:
2 2
2
2
r a b
r a b
a a
a r cos cos , (1)
r a b
b r sin
b b
sin , (2)
r a b
= +
= +
= ϕ ⇔ ϕ = =
+
= ϕ
ϕ = =
+
Hệ phương trình cho phép thực việc chuyển đổi dễ dàng từđại số sang lượng giác
Chú ý:
♦ Từ hệ thức (1) (2), kết hợp với kiến thức lượng giác cung góc lượng giác ta xác định
ϕ
♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác dễ làm “lầm tưởng” dạng lượng giác Nhưng không, việc chuyển đổi linh hoạt công thức từ cos sang sin ngược lại ta thu được dạng lượng giác “chính gốc”
♦ Trong biểu thức cho phép xác định ϕ thường có hai giá trịϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trịϕ = –5π/6 ϕ = 7π/6 chấp nhận được)
Ví dụ Tính modun argument của số phức sau
a) z = + i b) z= 3+i
c) z= i− d) z= +1 i Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức
2
2
2
r a b
a a
cos
r a b
b b
sin
r a b
= +
ϕ = =
+
ϕ = =
+
, ta có
a) z= +1 i⇒r= a2+b2 = 1+ =
Đồng thời
a
cos
r
b
sin
r
ϕ = =
π
⇒ϕ =
ϕ = =
Tài liệu giảng:
(22)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức
b)
r
r
3
z i cos
r
6
1
sin
r
= + =
=
= + ⇒ ϕ = = ⇒ π
ϕ =
ϕ = =
c)
r
r
3
z i cos
r
6
1
sin
r
= + =
=
= − ⇒ ϕ = = ⇒ π
ϕ = −
ϕ = − = −
d)
r
r
1
z i cos
r
3
3
sin
r
= + =
=
= + ⇒ ϕ = = ⇒ π
ϕ =
ϕ = =
Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác
a) z= − 6−i b) z= − +2 3i
c) z= − −1 i d) z= − −5 3i Hướng dẫn giải:
a)
r 2 r 2
r 2
6 6
z i cos cos 7
r 2 r
6
2
2 sin
sin
r
r 2
= + = =
=
− − − −
= − − ⇒ ϕ = = ⇔ ϕ = = ⇒ π
ϕ =
− − − −
ϕ = =
ϕ = =
Từđó z i 2 cos7 i sin7
6
π π
= − − = +
b)
r 12
r
2 2
z 2 3i cos 2 z cos i sin
r 3
3
2 3
sin
r
= + =
=
− − π π
= − + ⇒ ϕ = = ⇒ π⇒ = +
ϕ =
ϕ = =
c)
r
r
1 4
z i cos 4 z cos i sin
r 3
3
3
sin
r
= + =
=
− − π π
= − − ⇒ ϕ = = ⇒ π⇒ = +
ϕ =
− −
ϕ = =
(23)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
d)
r 25 75 10
r 10
5 4
z 5 3i cos 4 z 10 cos i sin
r 3
3
5 3
sin
r
= + =
=
− − π π
= − − ⇒ ϕ = = ⇒ π⇒ = +
ϕ =
− −
ϕ = =
Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác: z sin 2i sin2 ϕ = ϕ +
Hướng dẫn giải:
Biến đổi số phức cho ta 2φ φ φ φ φ φ φ
z sinφ 2i sin sin cos 2i sin sin cos i sin
2 2 2 2
= + = + = +
Do module số phức số dương nên ta xét trường hợp sau
TH1: sinφ z sinφ cosφ i sinφ
2 2
> ⇒ = +
TH2: sinφ z sinφ cos φ π i sin φ π
2 2
< ⇒ = − + + +
Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác
1 z= − i− 2 z= − +1 i
3 z= −1 i 3 4 z= −5 3i
5 z= −2 2i 6 z = i
7 z = 8i 8 z = –4i
3 Nhân chia hai số phức dạng lượng giác
a) Nhân hai số phức dạng lượng giác
Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2)
Khi số phức z = z1.z2được cho công thức z=z z1 =r r cos(1 2[ ϕ + ϕ +1 2) i sin(ϕ + ϕ1 2)] Từđó ta có số phức z = z1.z2 có module argument thỏa mãn r = r1.r2 ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh:
Thật ta có: z=z z1 2 =r cos1( ϕ +1 i sinϕ1) r cos2( ϕ +2 i sinϕ2)=
( ) ( ) [ ]
1 2 2 2 2
r r cosϕ.cosϕ −sinϕ.sinϕ +i cosϕ.sinϕ +sinϕ.cosϕ =r r cos(ϕ + ϕ +) i sin(ϕ + ϕ )
Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số
a) z= cos18( 0+i sin180)(cos 720+i sin 720)
b) z=3 cos120( 0+i sin1200)(cos150+i sin150)
Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z=z z1 =r r cos(1 2[ ϕ + ϕ +1 2) i sin(ϕ + ϕ1 2)] ta có
a) z= cos18( 0+i sin180)(cos 720+i sin 720)= cos 18 ( 0+720)+i sin 18( 0+720)
( 0)
2 cos90 i sin 90 i z i
= + = ⇒ =
b) z=3 cos120( 0+i sin1200)(cos150+i sin150)=3 cos 120 ( 0+150)+i sin 120( 0+150)
( 0) 1 3
3 cos135 i sin135 i z i
2 2
= + = − + ⇒ = − +
Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác
(24)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức ♦ Với hồn tồn thực phép nhân chuyển kết thành lượng giác, thường argument số phức khó tìm kết quảđẹp nên chuyển biểu thức sang lượng giác thực phép nhân sau
♦ Với dạng toán chuyển sang lượng giác thực nhanh mà khơng phải trình bày rườm rà thao tác chuyển (tức phải pro cách chuyển đó)
a) Ta có: i cos i sin
4
π π
+ = +
; i cos i sin
−π −π
− = +
Khi z ( )1 i ( i) cos i sin cos i sin 2 cos i sin
4 6 12 12
π π −π −π π π
= + − = + + = +
b) Ta có: 2 i 2 cos i sin
3
π π
+ = +
; i cos i sin
−π −π
− = +
Khi z ( i i 3)( ) 2 cos i sin cos i sin 2 cos i sin 0( )
3 3
π π −π −π
= + − = + + = +
b) Chia hai số phức dạng lượng giác
Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi số phức
2 z z
z
= cho công thức 1[ ]
1 2
2
z r
z cos( ) i sin( )
z r
= = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ
Từđó ta có số phức z z
z
= có module argument thỏa mãn r r
r
= ϕ = ϕ1 – ϕ2 Chứng minh:
Thật ta có ( )
( ) 1( 1) 2( 2)
1 1
1
2
2 2 2
r cos i sin r cos i sin r cos i sin
z z
z r cos i sin r
ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ = = = ϕ + ϕ ( ) ( ) [ ]
1 2 2 1
1 2
2
2
r r cos cos sin sin i sin cos cos sin r
cos( ) i sin( )
r r
ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ
= = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ
Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số
a)
0
0
cos 85 i sin 85 z
cos 40 i sin 40 +
=
+ b)
2
2 cos i sin
3
z
2 cos i sin
2 π π + = π π +
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức 1[ ]
1 2
2
z r
z cos( ) i sin( )
z r
= = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ , ta được:
a) ( ) ( )
0
0 0 0
0
cos 85 i sin 85 1
z cos 85 40 i sin 85 40 cos45 i sin 45 i
cos 40 i sin 40 2
+
= = − + − = + = +
+
b)
2
2 cos i sin
2 2
3
z cos i sin cos i sin i
2 3 2 6 4
2 cos i sin
2 π π + π π π π π π = π π = − + − = + = + +
Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác
a) z i 2i
− =
+ b)
1 3i z i − + = +
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: i cos i sin
4
−π −π
− = +
; 2i 2(1 i) 2 cos4 i sin4
π π
+ = + = +
(25)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức cos i sin
1 i 4 1
z cos i sin cos i sin i
2 2i 4 4 2 2
2 cos i sin
4
−π −π
+
− π π π π −π −π
= + = π π = − − + − − = + = −
+
b) Ta có: 3i cos2 i sin2
3
π π
− + = +
; i cos6 i sin6
π π
+ = +
Khi
2
2 cos i sin
1 3i 3 2
z cos i sin cos i sin z i
3 6 2
3 i
2 cos i sin
6
π π
+
− + π π π π π π
= = = − + − = + ⇒ =
π π
+ +
Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số
a) z cos i sin cos i sin
6 4
π π π π
= + +
b)
0
0
2(cos 45 i sin 45 ) z
3(cos15 i sin15 ) +
=
+
4 Công thức Moiver ứng dụng dạng lượng giác của số phức
a) Công thức Moiver
Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn[cos(nϕϕϕϕ) + isin(nϕϕϕϕ)] được gọi là công thức Moiver
Ví dụ:
( )4 ( )4 ( )
z i 2cos i sin cos i sin 4 cos i sin
4 4
π π π π
= + = + = + = π + π = −
Bằng phép tính toán đại số ta dễ dàng thu kết trên!!!
b) Ứng dụng dạng lượng giác
♦Ứng dụng 1: Tính tốn biểu thức số phức với lũy thừa lớn
Ví dụ Tính module viết số phức liên hợp số phức sau
a) z= − +( i 3)6 b)
100
1 i z
1 i −
= +
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: ( )
6
2 2
1 i cos i sin z i cos i sin
3 3
π π π π
− + = + ⇒ = − + = +
( )
6 12 12 6
2 cos i sin cos4 i sin z 64
3
π π
= + = π + π = ⇒ =
Từđó ta có z =64; z=64
b) Ta có: i cos i sin
4
−π −π
− = +
2 cos i sin
1 i 4
1 i cos i sin cos i sin i
4 i 2
2 cos i sin
4
−π −π
+
π π − −π −π
+ = + ⇒ = = + = −
π π
+
+
100 100
1 i 100 100
z cos i sin cos i sin
1 i 2 2
− −π −π − π − π
⇒ = = + = + =
+
(26)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức
Ví dụ Tính module của số phức sau
a) ( ) ( )
( )
8
5
1 i 3 i
z
1 i
+ −
=
− b)
( ) ( )
( )
4
5
1 i 3i
z
1 3i
+ −
=
−
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
♦ ( )8 8 8 2
1 i cos i sin i cos i sin cos i sin
3 3 3
π π π π π π
+ = + ⇒ + = + = +
♦ ( )6 6 6 ( ) ( )
3 i cos i sin i cos i sin cos i sin
6 6
−π −π − π − π
− = + ⇒ − = + = −π + −π
♦ ( )5 ( )5 5 5
1 i cos i sin i cos i sin cos i sin
4 4 4
−π −π − π − π − π − π
− = + ⇒ − = + = +
Từđó ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
8
8
14
2
2 cos i sin cos i sin cos i sin
1 i 3 i 3 3 2
3
z
5
5
1 i 4 cos i sin cos i sin
4
4
π π
−π −π
+ −π + −π +
+ −
= = = − π − π
− π − π
− + +
14 14 14
2 5 11 11
cos i sin cos i sin z
3 4 12 12
4 4
−π π −π π π π
= + + + = + ⇒ =
b) Ta có:
♦ ( )6 ( )6 6 3
1 i cos i sin i cos i sin cos i sin
4 4 2
π π π π π π
+ = + ⇒ + = + = +
♦ 3i i( ) cos i sin ( 3i) ( )4 cos i sin
4 4
−π −π − π − π
− = − = + ⇒ − = + =
3
36 cos i sin
2
− π − π
= +
♦ ( )5 5
1 3i cos i sin 3i cos i sin
3 3
−π −π − π − π
− = + ⇒ − = +
Từđó ta có:
( ) ( )
( )
4
5
5
3 3
8 cos i sin 36 cos i sin
1 i 3i 2 2 2 2 cos0 i sin 0
z
5
5
1 3i cos i sin cos i sin
3
3
π π − π − π
+ +
+ − +
= = = − π − π
− π − π
− + +
5
9 cos i sin z
3
π π
= + ⇒ =
♦Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n số phức - Khái niệm bậc n:
Cho số phức z, số phức w gọi bậc n số phức z wn = z - Cách tìm bậc n số phức z
Giải sử số phức z cho z = r(cosϕ + isinϕ), số phức w w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi điều kiện wn = z tương đương với:
( ) n ( ) n ( ) ( ) ( )
r ' cos ' i sin 'ϕ + ϕ =r cosϕ +i sinϕ ⇔r ' cos n 'ϕ +i sin n 'ϕ =r cosϕ +i sinϕ
(27)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên Số phức Từđó ta suy
n
n r ' r
r ' r
k2
n ' k2 '
n
=
=
⇒
ϕ + π
ϕ = ϕ + π ϕ =
, với k = 0, 1, 2…n –1
Vậy bậc n số phức z n k2 k2
w r cos i sin , k 0, n
n n
ϕ + π ϕ + π
= + = −
Ví dụ Tìm căn bậc n theo yêu cầu
a) Căn bậc z= i−
b) Căn bậc z = i
Hướng dẫn giải:
a) Ta có z i cos i sin
6
−π −π
= − = +
Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) bậc z, w3 = z Theo cơng thức tính bậc n số phức ta có
k2 k2
6
w cos i sin , k 0,
3
−π −π
+ π + π
= + =
Với k = ta 3
1
6
w cos i sin cos i sin
3 18 18
−π −π
−π −π
= + = +
Với k = ta 3
2
2
11 11
6
w cos i sin cos i sin
3 18 18
−π −π
+ π + π
π π
= + = +
Với k = ta 3
3
4
23 23
6
w cos i sin cos i sin
3 18 18
−π −π
+ π + π
π π
= + = +
Vậy số phức cho có ba bậc ba w1, w2, w3
b) Ta có z i cos i sin
2
π π
= = +
Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) bậc z, w4 = z Theo cơng thức tính bậc n số phức ta có:
4
k2 k2 k2 k2
2 2
w cos i sin cos i sin , k 0,
4 4
π π π π
+ π + π + π + π
= + = + =
Với k = ta w1 cos2 i sin cos i sin
4 8
π π
π π
= + = +
Với k = ta 2
2
5
2
w cos i sin cos i sin
4 8
π+ π π+ π
π π
= + = +
Với k = ta 3
4
9
2
w cos i sin cos i sin
4 8
π+ π π+ π
π π
= + = +
Với k = ta 4
6
13 13
2
w cos i sin cos i sin
4 8
π+ π π+ π
π π
(28)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun Số phức Vậy số phức cho có bốn bậc bốn w1, w2, w3, w4
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài Viết số phức sau dạng đại số
a) z= +( )1 i 8(1 i 3− )6 b) z= −(2 3i)15 c) z cosπ i sinπ i (15 3i)7
3
= − +
d)
( ) ( )
( )
4
3 3i i z
3 i
− −
=
+
Bài Viết số phức sau dạng lượng giác
a) z=( i− )7( )1 i− 10 b) z=( 6−i 2) (8 3−i)10 b) ( )
( )
7
1 i z
3 i + =
− d) ( ) ( )
8
z= −1 i i 3+
Bài Viết số phức sau dạng lượng giác
a) z=( 3+i) (7 i 3− )10( )1 i+ b) ( )
( )
5 11
3 i z
1 i + =
−
c)
20
1 i z
1 i
+
= −
d)
( )
( )
6 7
10
3 i (3i) z
1 i − =
+
Bài Tìm căn bậc của:
a) z = b) z = + i
c) z = – i d) z= +1 3i
Bài Tìm căn bậc của:
a) z= i− b) z= −2 2i
c) z= +1 i 3 d) z= −i
Bài Tính: z2010 20101 z
+ biết z 1 z