So phuc LTDH 2012

Bài 4: Xác định t ập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z th õa mãn m ột trong các điều kiện sau... Bài 7: Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phứ c bi ểu diễn các số z thỏa m[r]

DĐ: 01694 013 498

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Vnmath.com

DĐ: 01694 013 498

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1 Một số phức biểu thức có dạng abi, a, b số thực số i thoả mãn i2  1 Ký hiệu số phức z viết zabi (dạng đại số)

i gọi đơn vị ảo

a gọi phần thực Ký hiệu Re z a

b gọi phần ảo số phức zabi, ký hiệu Im z b Tập hợp số phức ký hiệu C

Chú ý:

- Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b =

- Số phức zabi có a = gọi số ảo số ảo

- Số vừa số thực vừa số ảo

2 Hai số phức nhau.

Cho zabi z’a’b i’ '

’

'

a a

z z

b b

 

  

 

3 Biểu diễn hình học số phức.

Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z abi

4 Phép cộng phép trừ số phức.

Cho hai số phức z abi vàz’a’b i’ Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')

' ( ') ( ')

z z a a b b i

z z a a b b i

    

 

    



5 Phép nhân số phức.

Cho hai số phức z abi vàz’a’b i’ Ta định nghĩa:

' ' ' ( ' ' ) zz aabb  ab a b i 6 Số phức liên hợp

Cho số phức zabi Số phức za–bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy zabi abi

Chú ý:

1) z z  z z gọi hai số phức liên hợp với

2) z.z = a2 + b2

- Tính chất số phức liên hợp:

(1): zz (2): zz' z z' (3): 'z z z z '

(4): z.z= a2b2 (zabi)

DĐ: 01694 013 498

Cho số phức zabi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực khơng âm xác định sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phức zabi, z  OM  a2 b2 

- Nếu zabi, z  z z  a2 b2 8 Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức zabi0 (tức là 2

0 a b  )

Ta định nghĩa số nghịch đảo z1 số phức z ≠ số

1

2 2

1

z z z

a b z



 



Thương z'

z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau:

1

' '

z z z

z z

z z



 

Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân

phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường

II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1 Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z

Như  acgumen z, acgumen có dạng: + 2k, k  Z 2 Dạng lượng giác số phức.

Xét số phức zabi a b, R z, 0

Gọi r môđun z  acgumen z

Ta có: a = rcos , b = rsin cos sin 

zr i  đór 0, gọi dạng lượng giác số phức z  z = a + bi (a, b  R) gọi dạng đại số z

r a2b2 môđun z

 acgumen z thỏa

cos sin

a r b r

  

 

 

 

 

3 Nhân chia số phức dạng lượng giác.

Nếuz rcosisin,z'r' cos '  isin'r0, ’r 0

thì:z z 'r r ' cos 'isin' cos ' sin ' ' '

z r

i

z  r        4 Công thức Moivre.

Với nN* rcosisinn rncosnisinn

DĐ: 01694 013 498

Căn bậc hai số phức zrcosisin (r > 0) cos sin

2

r  i 

 

cos sin os isin

2 2

r  i  r c    

          

      

A BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH Dạng 1: Các phép tính Số phức

Phương pháp:

- Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức

Chú ý:

Trong tính tốn số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng

hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức…

Bài 1: Cho số phức

2

z  i Tính số phức sau: z; z2;  z 3; 1 z z2 Giải:

a Vì 3

2 2

z  i z  i

b Ta có

2

2 3 3

2 4 2

z   i   i  i  i

 

 

2

2

3 3

2 4 2

z  i i i i

        

 

   z  z z12 23i    2312i 43 12i34i 43 i

   

Ta có: 1 3 3

2 2 2

z z i i   i

        

Nhận xét:

Trong tốn này, để tính  z 3ta sử dụng đẳng thức số thực Tương tự: Cho số phứcz

2 i

   Hãy tính : 1 z z2

Ta có 3

4

z    i Do đó: 1 3

2 2

z z  i  i

         

   

Bài 2:

a Tính tổng sau: 2009

1 i i i   i

DĐ: 01694 013 498

Ta có –i2010 1 –i1 i i2 i3   i2009 Mà  i2010 2 Nên 2009

1

i i i i

i i

    



  

b Đặt z1 a1 b i z1; 2 a2 b i2

Từ giả thiết ta có

2 2

1 2

2

1 2

1

( ) ( )

a b a b

a a b b

    

 

   

 

Suy 2(a b1 1 a b2 2) 1 (a1a2)2 (b1b2)2  1 z1z2 1 Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a

5 2009

2

4 2010

( 1)

i i i i

P i

i i i i

   

  

  

b 10

1 (1 ) (1 ) (1 )

M   i  i   i

c N 1i100 Giải:

a Ta có    

1003

5 2009 2004

2

1

1 i

i i i i i i i i i i

i



          



   

4 2010 2010

2011

1 1

(1 )

1 2

i i i i i i i i i i i i

i i

i i P i

i i

             



         

 

b M tổng 10 số hạng cấp số nhân có số hạng u1 1 , cơng bội

(1 )

q i  i

Ta có :

10 10 10

1

1 (2 ) 1025(1 )

205 410

1 2

q i i

M u i

q i i

   

     

  

c N 1i100  1i250  ( )i 50  ( 2) ( )50 i 50  250 Bài 4:

a Cho số phức 1

i z

i  

 Tính giá trị

2010

z

b Chứng minh 1 i2010 4 1i i2008 4 1 i2006 Giải:

a Ta có :

2

1 (1 )

1

i i

z i

i

 

  



nên z2010 i2010 i4 502 2  i4 502 i2 1.( 1)  1

b Tacó: 1 i2010 4 1i i2008 4 1 i2006 3 1 i4 4 1i i2 41i4  4

2

4i

    (đpcm)

Bài 5: Tính số phức sau: a

16

1

1

i i

z

i i

 

   

   

 

    b  

15

DĐ: 01694 013 498 Giải:

a Ta có: (1 )(1 )

1 2

i i i i i

i i

i i

   

     

 

Vậy  

16

8 16

1

2

1

i i

i i

i i

 

   

    

   

 

   

b Ta có:

 2  14  7

1i  1 – 1i 2i 1i  2i 128. i  128.i

 15   14     

1 1 128 128 128 – 128

z i  i i   i i    i  i

Bài 6: Tính: 105 23 20 34

–

i i i i

Giải:

Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau:

Ta có: i2  1; i3  i i; i i3 1;  i5 i i;   1

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n 1; i4n1 i i; 4n2  1; i4n3  i;  n N* Vậy in  1;1;i i; ,  n N

Nếu n nguyên âm,  1   n

n n

n

i i i

i 

 

  

    

 

Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được:

105 23 20 34 4.26 4.5 4.5 4.8

– – – 1

i i i i i   i  i i  i i  

Bài 7: a Tính :

1 2 i

b (TN – 2008) Tìm giá trị biểu thức: P(1 )i (1 )i Giải:

a Ta có:

1 3

1

2 2

1 2

1 3

2 2

1

1

2

i i

i

i i

i

 

  

 



   

    

   

b P 4

Dạng 2: Số phức và thuộc tính nó Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo

Phương pháp:

DĐ: 01694 013 498

a.z i 24i  32i b z  ( i)3 (2 )i c

2010

(1 )

i z

i

 



Giải:

a z0 2 3  4 2i  1 i

Vậy số phức cho có phần thực − 1, phần ảo −

b Kết quả: + 10i

c

2010 1005

1004 1004 1004

(1 ) (2 ) (1 )

2 (1 ) 2

1

i i i

z i i i

i

 

      



Bài 2:

a Tìm phần thực, phần ảo số phức i2 – 4i – – 2i

b (TN – 2010) Cho hai số phức:z1  1 ,i z2 23i Xác định phần thực phần ảo số phứcz1 2z2 c (TN – 2010) Cho hai số phức:z1 25 ,i z2  3 4i Xác định phần thực phần ảo số phứcz z1 2

d Cho số phức z thỏa mãn

1 z

i z

z    

 

 

Tìm số phức liên hợp z

Giải:

a Ta có: i2 – 4i – – 2i  02  4 i   2i  – 3   3 2i 1 –i Vậy số phức cho có phần thực – 1, phần ảo –

b Phần thực – ; Phần ảo

c Phần thực 26 ; Phần ảo

d Theo giả thiết

   

2

2

2

2

1

2

2 41

1

a b ab

a b ab

a b



   

 



 

   

 

   

2 2

2 2

2 2

2 2

z i z i

z i z i

 

   

 

 

 

 

     

 

 

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức

a  1 i3 2i

b z 1 1i  1i2 1i3  1i20 c 1i2009

Giải:

a Ta có:

       

 

3 2 3

3 3

1 3 2

2

i i i i i

i i i

          

DĐ: 01694 013 498  i3  2i 10i

     

Vậy số phức cho có phần thực 2, phần ảo 10 b Ta có

21

20 (1 )

1 (1 ) (1 ) i

P i i

i

 

      

10

21 10 10

(1i) (1i)  (1i)(2 ) (1i i) 2 (1i)

 

10

10 10

2 (1 )

2

i

P i

i

  

    

Vậy: phần thực 210 , phần ảo: 2101 c Ta có     

1004

2009 1004 1004 1004 1004

1i  1i (1i) ( )i (1i)2 (1i)2 2 i

Vậy phần thực số phức 21004 ảo 21004

Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết    

2

2

z i  i

Giải:

Ta có:       

2

2

2 2 2 2

z i  i   i  i   i i i   i

5

z i

  

Phần ảo số phức z 

Bài 5: (CD – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2 Tìm phần thực phần ảo z

Giải:

Gọi zabiaR b, Rzabi

Đẳng thức cho trở thành

       2

2 3 i abi  1 abi   3 i 6a4b2(ab i)  8 6i(coi phươn trình bậc

theo i)

Đồng theo i hệ số hai vế ta

6

2

a b a

a b b

   

 

 

  

 

Vậy số phức z cho có phần thực 2, phần ảo

Bài 5: (CD – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn 1i 2 2i z   8 i 1 2 i z Tìm phần thực phần ảo

z Giải:

Ta có: 1i 2 2i z   8 i 1 2 i z

1  2  1  2 

z i i i  i z i i i i

             

 

8 1 

8 15 10 15

2

2 5

i i

i i i

z i

i

 

   

      



Vậy số phức z cho có phần thực 2, phần ảo -3

DĐ: 01694 013 498

   

4

log n– log n9 3 Giải:

Điều kiện:

3

n N

n

  

 

Phương trình log4n– 3log4n93log4n– 3n93

 (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 13 n n

   

  

Vậy n =

Khi          

3

7 3

1 n 1 1 (2 ) (1 ).( ) 8

z i  i  i  i   i i  i  i   i

 

Vậy phần thực số phức z Loại 2: Biếu diễn hình học số phức

Phương pháp:

- Sử dụng điểm M a b ;  biếu diễn số phức z mặt phẳng Oxy

Chú ý:

Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức biểu diễn điểm M a b ; ” ta có zabi

… cập nhật

Loại 3: Tính modun số phức

Phương pháp:

Biến đổi số phức dạng zabi, suy modun z  a2 b2 Bài 1:

a Tìm mơđun số phức z 1 4i(1i)3 b (ĐH – A 2010) Cho số phức z thỏa mãn

2

(1 )

i z

i

 

 Tìm môđun số phức ziz

c Cho số phức z thỏa mãn

11

1

1

i i

i z

i i



   

   

 

    Tìm mơ

đun số phúcw z iz d Tính mơ đun số phức: Z  1 4i1 –i3

Giải:

a Vì (1i)3 13 3i3i2 i3  1 3i    3 i 2i Suy : z 1 4i(1i)3   1 2i z  ( 1) 22 

b

3

(1 3i) z

1 i

 



Cách 1: (dành cho ban bản)

Ta có  3 2   2

1 3i 1 3.1  3i 3.1  3i 3 3i  8

DĐ: 01694 013 498

Do 8 1  4 4

1

i

z i z i

i

 



       



 

4 4 8

z iz i i i i

          

Vậy ziz 8

Cách 2: (Dành cho ban nâng cao) Biếu diễn dạng lượng giác

Ta có

 

3

(1 ) cos sin (1 ) cos( ) sin( )

3

i     i   i  i 

             

   

 

8 8(1 )

4

1

i

z i

i

  

     



z iz 4i i( 4i) 8(1 i) z iz

             

c Ta có    

11 8

2

11

1

1

1 2

i i i

i i

i z i z

i i

     



   

        

 

       

 11 1 8 16 16 16

i z i i i z i z i

             

Do w z iz  1 16ii 1 16i 17 17 i Vậy w  172 172 17

d Z  1 4i1 –i3  1 4i 1 3i i2 i3    2i  2

1 Z

    

Bài 2: Tìm mô đun số phức (1 )(2 )

i i z

i

 





Giải:

Ta có : 1

5

i

z    i Vậy, mô đun z bằng:

2

1 26

1

5

z       

Loại 4: Tìm số đối số phức z

Phương pháp:

Biến đổi số phức dạng zabi, suy số đối z  a bi

…đang cập nhật

Loại 5: Tìm số phức liên hợp số phức z

Phương pháp:

Biến đổi số phức dạng zabi, suy số phức liên hợp z abi

DĐ: 01694 013 498 Giải:

Gọi zabi, a,b số thực

Ta có : z abi z2 (a2 b2)2abi

Khi : z z2  Tìm số thực a,b cho :

2

2

a b a ab b

  



  

Giải hệ ta nghiệm (0;0) , (1;0) , 1; 2

 



 

 

 

, 1;

2

 

 

 

 

 

Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: (1 )(3 )

z i i

i

   

 Giải:

Ta có: 5

(3 )(3 ) 10

i i

z i i

i i

 

     

 

Suy số phức liên hợp z là: 53 10 10 z  i Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z

Phương pháp:

Sử dụng công thức 12 z z  z

…đang cập nhật

Loại 7: Ứng dụng hai số phức để tìm số thực

Phương pháp:

Cho zabi z’a’b i’ '

’

'

a a

z z

b b

 

  

 

Bài 1: Tìm số nguyên x y, cho số phức z xyi thoả mãn z3 1826i Giải:

Ta có

3

3 3

2

3 18

( ) 18 26 18(3 ) 26( )

3 26

x xy

x yi i x y y x xy

x y y

  



       

 

 

Giải phương trình cách đặt ytx x ( 0) ta 3,

t  x y Vậy z 3 i

Bài 2: Tìm số nguyên x y, cho số phức z xyi thỏa mãn1 3 i2xyi 1 i Giải:

Ta có 1 3 i2x yi  1 i 2x3yy6x i  1 i 

DĐ: 01694 013 498

 

1

2 10

6

5 x

x y

y x

y

   

 

 

  

 

  

 

Bài 3: Tìm hai số thực x y, thoả mãn: x(3 ) i  y(1 ) i 9 14 i Giải:

Ta có x(3 ) i y(1 ) i  x(35 )i y( 11 )  i (3x11 )y (5x2 )y i

Do x y, thoả mãn hệ 11

5 14

x y

x y

 

 

 



Giải hệ ta 172

61

x 61 y 

Bài 9: Giải phương trình nghiệm phức: z2  z Giải:

Đặtzabi a b ( , R), ta có:

2

2

( )

2

a b a z z a bi a bi

ab b

  

      

  

Giải hệ ta tìm được( ; ) (0;0); (1;0); 1;

2

a b    

 

 

Vậy 0; 1;

2

z z  z   i

Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn

a.23i z z1 b z22 z z z2 8 z z Giải:

a Ta có: (1 ) 1 1

1 10 10 10 i

z i z i

i

 

        



b 2 2 2

2 4( ) ( ) (1) z  z z z   x y   x y 

2 2 (2) z z  x x

Từ (1) (2) tìm x = ; y = 1 Vậy số phức cần tìm 1i và 1i

Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn :

4

1 z i z i 

 



 



 

Giải:

Ta có 1

2

4

     

  

      

      

  

      

         

 

i z

i z i

z i z i

DĐ: 01694 013 498

TH 1:

2           i z i z 1       z i z i z

TH 2: 0

2                                                      i i z i z i i z i z i i z i z i z i z    z Vậy có số phức thỏa mãn

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn hệ

    1 z z i z i z i              Giải:

Cách 1: (Phương pháp đại số)

Giả sử z xyi, z 1 z z i x yi x yi i z i



          



 2 2  2

1

x y x y x y

       

Ta lại có: z 3i z 3i z i x yi 3i x yi i x2 y– 32 x2 y 12 z i                    1 y x

    Vậy số phức phải tìm z 1 i

Cách 2: (Phương pháp hình học)

Nhận xét:

Với hai số phức z v zà ' z' 0 ta có

' ' z z z  z

Từ (1) z1  zi Gọi A B hai điểm biếu diễn số i tức A1;0 , B0;1 Từ z1  z i MAMB, M M z  điểm biểu diễn số phức z

Vậy M nằm đường trung trực AB tức M nằm đường thẳng y x

Tương tự 2  z3i  zi MA' MB' hay M nằm trung trực A B' ' tức M nằm đường

thẳng y1

Từ (1) (2) ta có M nằm giao hai đường thẳng tức M1;;1z 1 i Bài 4: (ĐH – D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z  z2 số ảo

Giải:

Gọi z = a + bi aR b, R, ta có: 2

z a b 2

2 z a b  abi

Yêu cầu toán tỏa mãn khi:

2 2

2 2

2 1

1

0

a b a a

b

a b b

                        

Vậy số phức cần tìm là: 1i; – ; 1i  i; –  i

Bài 5: (ĐH –B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z2i  10 z z25 Giải:

DĐ: 01694 013 498

Ta có: z2i  a2  b1 ;i

Từ giả thiết ta có: z2i  10 a22b12  10  1 z z25 a2 b2 25  2

Giải hệ (1) (2) ta

4 a a b b           

Vậy số phức cần tìm là: z 3 4i z5 Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn: z2 z 0 Giải:

Gọi z = x + yi x y, R,

Khi đóz2 z 0xyi2 x2y2 0 x2y2 x2y22xyi0

2 2

2 2

2 2

2 2

0 0 0 0 x

x y x y

x y x y

x y x y

x

y xy

y

x y x y

                                                2 0 0 x y y y x x                         0 x y y y x x                    0 0 x y y y x x                                0

0

x y

y

y

x do x

                     0, 0, 0, 0, x y x y x y x y                

Vậy số phức cần tìm là: z0;zi z;  i

Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn : z  2 i Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị

Giải:

Gọi số phức zabi Theo ta có:

   2  2

2 2

3

a b i a b

b a b a

                       2 2 2 a b a b                      

DĐ: 01694 013 498

Đặt zabi (a,b số thực) Ta có

   2  

1 2 2

z z i a b  a b a b i số thực 2a b 20 1 

 2  

1 5

z   a b 

Từ (1) (2) ta có a b;   0; ; 2; 2    Vậy z2 ;i z22i

Bài 9:

a Tìm số phức z để cho:z z 3zz43i

b (ĐH – D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

 

– –

z i  

Giải:

Gọi số phức zx yi (x,yR) Ta có

 

      

3

z z z z i

x yi x yi x yi x yi i

   

         

 

2 2

2

3

1

4

6 15

2

x y yi i x y yi i

y

x y

y

x

         

   

   

 

 

   

 

Vậy: 15 ; 15

2 2

z  i z    i

b Giả sử M a b ;  biểu thị số phức z xyi (x,yR) Theo giả thiết ta có z– – 4 i x– 3y4i

Vậy  z– – 4 i 2 (x3)2 (y4)2 2x– 32 y42 4

Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mp Oxy đường tròn tâm I3; 4  bán kính R = Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn:

2

2

( ) z i z z i z z

    

 

 

  Giải:

Gọi số phức zx yi (x,yR)

Hệ ( 1) (2 2)  1 2 1

4 4

x y i y i x y i y i

xyi xyi



        

 

 

 

 

DĐ: 01694 013 498

   

2

3

2

2

3

0

4

2 1

1

4

x y

x

x y y

y

y x

xyi

y x



 





  

    

  

   

 

  

  

  

 

Vậy số phức cần tìm :

3

1

4

z    i

Bài 11: (ĐH – B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa

mãn z i  1i z Giải:

Giả sửzabi a b, R

Suy : z i  a (b1)i 1i z 1iabi  a–b  ab i Theo giả thiết

      2 2

(1 ) ( 1) ( ) ( )

z i i z  a b i  ab  ab i  a  b  ab  ab

     2

2 2 2 2

– 2 – 1

a b b a b a b b a b

            

Vậy tạp hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịnI0; 1  bán kính R Bài 12: Trong số phức z thoả mãn điều kiện 3

2

z  i  Tìm số phức z có modul nhỏ

Giải:

Giả sửzx yi, đó:

   

3

– 3

2

z  i   x  y i   22  32

x y

    

Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện cho đường tròn  C tâmI2; 3  bán kính R

Môđun z ( z ) đạt giá trị nhỏ M thuộc đường tròn  C gần O

 M trùng với M1 giao đường thẳng OI với đường tròn  C Ta có: OI  49  13

Kẻ M1H  Ox Theo định lý Talet ta có:

1

1

3 13

2

3 13

9 13

13 13

2

M H OM

OI

M H



 



   

 1 13 78 13

26 13

DĐ: 01694 013 498

Lại có:

3 13

26 13

2 13 13

OH

OH





  

Vậy số phức cần tìm là: 26 13 78 13

13 26

z   

Bài 13: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z12i 2, tìm số phức z có modun nhỏ

Giải:

Gọi z = x + yi, M(x ; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có

2 1 

 i

z x12 y22 4

Vậy tập hợp điểm M đường trịn (C) : x12 y22 4 có tâm (1;2)

Đường thẳng OI có phương trình y2x

Số phức z thỏa mãn điều kiện có môdun nhỏ điểm biểu

diễn số phức thuộc đường trịn (C) gần gốc tọa độ O nhất, điểm hai giao điểm đường thẳng OI với (C), tọa độ thỏa mãn hệ

Chọn

 2  2

2

2 5

2

1

1 x

y x

x y

x

    



 

 



   



  

 

Với

5 1 

x

5 2 

 y nên số phức 2

5

z     i

   

Cách 2:

Gọi z = x + yi, M(x ; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có z12i 2x12 y22 4

Vậy tập hợp điểm M đường tròn (C) : x12 y22 4 có tâm I1; 2 R2 Chuyển đường tròn dạng tham số đặt sin 1 sin ; 2 cos 

2 cos

x t

M t t

y t

  

  



 



Modun số phức z độ dài OM

Ta có z2 OM2 1 2sin t2 22 cost2 94 sin t2 cost

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta có    2 2 

sint2 cost  2 sin tcos t 5

5 sint cost z

         

Vậy min sin cos sin , cos

5

z    t t    t   t  

2 4

1 , 2

5 5

x y z    i

          

   

Chú ý:

DĐ: 01694 013 498

max

1

9 sin cos sin , cos

5

z    t t   t  t 

2 4

1 , 2

5 5

x y z    i

          

   

Bài 14: Tìm số phức z có mơđun nhỏ thỏa mãn:

z i

z i

    

Giải:

Gọi zabi (a,b thuộc R) z abi

Ta có    

   

1

1 5

3

3

a b i

z i a bi i

a bi i a b i

z i

  

    

 

     

  Theo giả thiết

   

   

2

2

1

1

2

3 3 1

a b

z i

z i a b

  

 

 

    

   

     

2

2

2

1

2 10 14 *

3

a b

a b a b

a b

  

       

  

 * phương trình đường trịn mặt phẳng phức

Nên số phức có mơđun nhỏ phần thực phần ảo nghiệm đường tròn  * đường thẳng IO với

 5; 7

I   tâm đường tròn

Gọi I tâm mặt cầu (S) Id I1 ; 1 t  t t; , RIA 11t2 2t1

:

7

a t

IO

b t

  

 

  

Phương trình

34 370 37

37 74

37 370 37 t

t t

t

 

  

   

 

  

Khi ta

 

34 370 34 370 37 370 37 370

5 ,

37 37 37 37

z     z     loai

Vậy số phức cần tìm 534 370 734 370

37 37

z    

Bài 15: Trong số số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Tìm số phức z có modun nhỏ

Giải:

Giả sử số phức z xyi (x,yR) Theo giả thiết ta có

     

 2  2  2

2 2

2 4

z i z i x y i x y

x y x y x y y x

          

DĐ: 01694 013 498

Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng y   x

Mặt khác ta có 2  2  2

4 16 2 2

z  x  y  x   x  x  x  x  

min 2 2 2

z   x  y   z  i

Nhận xét:

Qua ta thấy để tìm ta dùng hình học, bất đẳng thức tam thức bậc hai toán sau

Bài 16: Xét số phức z thỏa mãn

   

1

1

m

z m R

m m i



 

 

a Tìm m để z z b Tìm m để

4 z i

c Tìm số phức z có modun lớn

HD:

a m 1 b 1

15 m 15

  

c Ta có

 

2

max

2 2

1

1

1 1

m

z z m z i

m m



        

 

Dạng 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Loại 1: Số phức z thỏa mãn độ dài (modun), ta sử dụng cơng thức z  a2 b2 Loại 2: Số phức z số thực (thực âm thực dương) Khi ta sử dụng kết a Để z số thực điều kiện b0

b Để z số thực âm điều kiện 0 a b

  

 

c Để z số thực dương điều kiện 0 a b

  

 

d Để z số ảo điều kiện a0

Bài 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức z thoả mãn:

a z  z 3 4i b z i

z i

  

Giải:

a Đặtz x yi x y ( , R), ta có z  z 3 4i  x2 y2  x32 4y2

2 2 2 2

( 3) (4 ) 16 8 25

x y x y x y x x y y x y

                

DĐ: 01694 013 498

b Đặt z xyi x y ( , R), ta có z i z i z i x (y 1)i x (y 1)i z i



          



2 2

( 1) ( 1)

x y x y y

       

Vậy tập hợp điểm cần tìm trục thực Ox

Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức  (1i 3)z2 biết số phức z

thoả mãn: z1 2 Giải:

Đặt zabi a b ( , R)và  x yi x y ( , R) Ta có z1 2(a1)2 b2 4 (1)

Từ (1 3) (1 3)( ) 3

3 3( 1)

x a b x a b

i z x yi i a bi

y a b y a b

                   

     

 

 

Từ (x3)2 (y 3)2 4 ( a1)2 b216 (do (1))

Vậy tập hợp điểm cần tìm hình trịn(x3)2 (y 3)2 16, tâmI(3; 3), bán kính R 4 Bài 3: Giả sử M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm

M thỏa mãn điều kiện sau:

a z 1 i 2 b 2z  z2 c 1 z  1 i Giải:

a Cách 1:

Ta có M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z I1; 1  điểm biểu diễn số phứcz  1 i Theo giả thiết ta có:MI 2

Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I1; 1 bán kính làR2 Cách 2:

Đặt z xyi suy z  1 i x1  y1 i

nên z 1 i 2 (x1)2 (y1)2 2(x1)2 (y1)2 4

Vậy tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường tròn tâm I1; 1  bán kính

R

b Ta có: 2z z– 1 2

Ta có M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z A2; 0 điểm biểu diễn số phứcz  2,

 

B 2; điểm biểu diễn số phức z =

Dựa vào giải thiết ta có: MAMB

 M (nằm bên phải) đường trung trực x0 A B Hay x 0 c Ta có: z  1 i z  ( i)

Ta có M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z A1;1 điểm biểu diễn số phức z  1 i Ta có:1MA2

DĐ: 01694 013 498

a z z 4 b  2

4

z  z 

Giải:

Đặt: zabi a Ta có:

1

4 3

7 a

z z a z z a

a

  

          

   

Vậy M nằm đường thẳng

1 x

x

      

b Ta có:  2

2

4 4

1

M xy

z z abi ab

M xy

 



     

  



Bài 5: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: z zi  Giải:

Gọi zabi ta có:

 

2 2 2

2 2

2 2

3 ( 1) 8 18

9 81 9 9

8 8

4 64 8 8

a bi a b i a b a b b a b b

a b b a b a b

              

       

                  

       

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm 0;9 I 

  bán kính

3 R Bài 6: Tìm tất điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho:z i

z i 

 số thực Giải:

Gọi zabi ta có:

   2  

2 2

0 (1 )

( 1) (1 )

( 1)

0 (1 )

(1 ) ( 1) ( 1)

( ; ) (0;1) a

a b abi

a b i a b i ab

a b i

R b

a b i

a b i a b a b

a b  

   

     

         

 

  

       

 

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z điểm nằm trục tọa độ bỏ điểm (0;1)

Bài 7: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn

điều kiện sau: 2z  i z Giải:

Cách 1:

 2 2  2

DĐ: 01694 013 498

Vậy tập hợp điểm M(z) đường thẳng 4x + 2y + = Cách 2:

Gọi A 2; ,  B0;1  Khi 2z  i z  z ( 2)  zi hay làM z A  M z B  Vậy tập hợp điểm M(z) đường trung trực đoạn thẳng AB

Bài 8: (ĐH – D 2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

kiện z3 4 i 2 Giải:

Gọi z xyixR y, R, ta có: z 3 4ix3  y4i Từ giả thiết ta có: x32y42 2x32y42 4

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I3; 4 , bán kính R =

Bài : (ĐH – B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i  1i z

Giải:

Gọi z xyixR y, R, ta có: 1 

z i  i z  xy1i  xy  xy i  2  2  2

2

1

x y x y x y

       2

2

x y y

      2

1

x y

   

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(0;-1), bán kính R Bài 10: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z i  z i 4

Giải:

Giả sử: z x yi (x, y R) Suy M(x; y) biểu diễn số phức z

Ta có: z i zi 4 x(y1)i  x(y1)i 4 x2 (y1)2  x2 (y1)2 4 (*)

Đặt: F10; ,   F20;1

Thì (*)  MF2 MF1 4F F1 2 2

Suy Tập hợp điểm M elip (E) có tiêu điểm F1, F2 Ta viết phương trình elip (E):

Phương trình tắc (E) có dạng:

2

2

x y

a b   

2 2

0;

ab b a c

Ta có: 2 2

1

2

3

2

MF MF a a

b a c

F F c c

   

 

    

 

   



Vậy  

2

:

4

x y

E  

Bài 11: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức

2 z 1 z z Giải:

DĐ: 01694 013 498

2 z1 z z 2 x yi1  xyi x yi2 2 x 1 yi  22yi

 2 2

2 4

2 x

x y y x x

x

 

         

 

Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng

Bài 12: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

1 z 1 z 2 z  z 2i 3 Giải:

Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

Ta có: z  1 x2 y2  1 x2 y2 1

Vậy: Tập hợp điểm M đường trịn tâm O(0;0) bán kính R =

2 Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

Ta có: z    x2y2 2x2y2 4

Vậy: Tập hợp điểm M hình trịn tâm O(0;0) bán kính R =

3 Biểu diễn số phức z xyi ,x y điểm M(x; y) mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

   2  2

1 3 2 2

z  z i    y i    y   y   y 

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng song song với trục hoành y 1 Bài 13: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:

1 z1 1 zi 1 Giải:

Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

Ta có: z1  1 xyi1  1 x1 yi  1 x12 y2  1 x12  y2 1 Vậy: Tập hợp điểm M đường tròn tâm I(1;0) bán kính R =

Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

Ta có: z  i x yi  i xy1i  1 x2 y12  1 x2 y12 1 Vậy: Tập hợp điểm M đường trịn tâm I(0;1) bán kính R =

Bài 14: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện:

1 z2 số ảo 2  2

z  z zi  z z 2i Giải:

1 Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

 2

2 2

2 z  x yi x  y  xyi

Do z2 số ảo 2   

0

0

x y y x

x y x y x y

x y y x

   



        

    



Vậy: Tập hợp điểm hai đường phân giác: yx y,  x

DĐ: 01694 013 498  2

2 2 2

2

0 x

z z x y xyi x y xyi xyi x y

y

 

            

 

Vậy: Tập hợp điểm trục tọa độ

3 Đặt z xyi ,x y điểm M(x;y) biểu diễn số phức z mặt phẳng phức

 

           

   

2

2

2

2

2 2 2

1 1 1

1

4

z i z z i x yi i x yi x yi i x y i yi i

x y i y i x y i y i x y y

x

x y y y

                  

               

      

Vậy: Tập hợp điểm M parabol

2

4 x y 

Dạng 5: Số phức với bài toán chứng minh

Phương pháp:

- Trong dạng ta gặp tốn chứng minh tính chất, đẳng thức số phức

- Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun số phức chứng minh

Bài 1: Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra:

1

2

z  z2  1 Giải:

Giả sử ta có đồng thời 1

z  z2  1 Đặt zabi a b ( , ) Ta có:

2 2

2 2 2

2 2 2

1

(1 ) 2( ) (1)

2

( ) 2( ) (2)

(1 )

a b a b a

a b a b

a b a b





      

 



 

   

 

    



Cộng vế (1) với (2) ta (a2 b2 2) (2a1)2 0 (vô lý) Suy đpcm

Bài 2: Cho số phức z0 thoả mãn z3 13 z

  Chứng minh rằng: z z

 

Giải:

Dễ chứng minh với hai số phức z z1, 2 ta có z1 z2  z1  z2

Từ

3

3

1 1

3

z z z

z z z

   

    

   

   , suy

3

3

1 1

3

z z z z

z z z z

       

Đặt a z z

  ta

3 ( 2)( 1)

a  a   a a  a (đpcm)

Bài 3: Chứng minh z2 z 0; z z2 1; z3

z

      với

2

DĐ: 01694 013 498

Do

2

1 3

1 ( ) ( )

2 2

z    i z    z  i    i   ;

Lại có

1

1 2 2

1 2

1

2

i

i z

i

 

    

 

Suy z2 z z

  Hơn ta có z3  z z2 1

Bài 4: Cho z1, z2 C.Chứng minh : E z z1 2 z z1 2 Giải:

Để giải tốn ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: z  R  z = z Thật vậy:

Giả sử z = x + yi  z = x – yi

z = z  x + yi = x – yi  y =  z = x  R Giải toán trên:

Ta có E= z z1 2z z1 2 z z1 2z z1 2 = E  E  R Bài 5: Chứng minh rằng:

1 E1 =    

7

2i  2i  R

2 E2 = 19 20

9

n n

i i

i i

 

   



   

 

     R

Giải:

1 Ta có: E1 = 2i 5 7  2i 5 7  2i 5 7 2i 5 7  2i 5 7 2i 57 E1  E1R

   

   

2

19 (9 ) 20 (7 ) 19 20

2

9 82 85

164 82 170 85

2

82 85

n n

n n

n n

n n

i i i i

i i

E

i i

i i

i i

   

   

 

   

       

 

       

 

   

       

   

 E2 E2  E2  R

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A B hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức phương

trìnhz2 6z180 Chứng minh tam giác OAB vng cân

Giải:

Phương trình : z2 6z 1  có  ' 18   9 9i2

nên có hai nghiệm t1  3 3i t2  3 3i Trong mặt phẳng tọa độ số phức t1 có điểm biểu diễn A(3 ;3) số phức t2 có điểm biểu diễn B(3 ;-3)

OAB

 có OAOB3 nên OAB cân O

O A(3; 3)



DĐ: 01694 013 498

Nên OAB vuông O Vậy OAB vuông cân O Bài tập tự giải tổng hợp:

Dạng 1: Các phép toán số phức Bài 1: Thực phép tính:

a

1

i i

A

i i

 

 

  b

7 i B i  

 c

3  4  1 

i i i

C

i

     





d 2 

2 i D i i    

 e   

4

3 i

E i i

i 

   

 f   

3 4

i F i i    

g 1 5 

G i i

i

   



Đs:

b 11 39 15 25 B  i

Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a A( 3 )i 2( 3 )i 2 b P(1 )i (1 )i  2

c P(x 1 i)( x 1 i x)(  1 i x)(  1 i)

Đs:

c P x4 4

Bài 3: Thực phép toán sau:

a.2 

i  i

   

  b  

2

3

i  i

   

 

c 3

3i i 2i

   

    

   

    d

3

3

4 5i 5i 5i

     

      

     

     

e [(32i)(32i)]2 f 3 3

3 ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i       g 2 i i      

  h

10

1

i i

i    i i1i2  i2008 Bài 4: Thực phép tính:

a i

3

 b i i   1 c m i m d a i a a i a   e ) )( ( i i i   

f 2 2

2 ) ( ) ( ) ( ) ( i i i i       g a i b i a

h (2 – i)6

Đs: a i

DĐ: 01694 013 498

e i

5

 f i 17

9 34 21

 g i a

a b

 h 117 – 44i Bài 5: Phân tích thừa số (thực chất phân tích thành tích đa thức)

a a2 + b 2a2 + c 4a4 + 9b2 d 3a2 + 5b2

Đs:

a.a–ia  i b (a 2i 3)(a 2i 3) c (2a – 3bi)(2a + 3bi) d (a 3ib 5)(a 3ib 3) Bài 6: Tính :

a.11i  1i2 1i3 1i20 b 2011

1 i i i  i

c Tính

z

z biết rằng: z1  3i z2  1 3i

Đs:

c

z i z  

Bài 7: Thực phép tính

a 1i10 b 1i8 c 1i3 d 1i3 e

16

1

1

i i

i i

 

   



   

 

   

Đs:

a 32i b 16 c  2 2i d  2 2i Bài 8: Rút gọn biểu thức sau

a  

2

0

1 z

z z

z z





 

b

2

1

m mi

m i m

 

 

(m tham số thực)

c

   

2 2

1 2 2

1 1

z z,

z z z z z z z z

   

  

   

      

Đs:

a z1 b i c

2 2

z z

z z



Bài 9: Cho đa thức P z  z3 2z2 3z1 Tính giá trị củaP z  z  1 i z; 2i

Đs: P1i  4 ;i P2i 3 13 14 i

Bài 10: Cho số phức z x yi x y; , Z thỏa mãn z3 1826i Tính T z22010 4z2010

Bài 11: Rút gon biểu thức

a  

1 3

A z iz   i z  z  i với z23i b Bzz2 2z32 z z2 với 1 1

DĐ: 01694 013 498

Đs:

a A 92 156 i b B7 Dạng 2: Số phức thuộc tính

Loại 1: Xác định phần thực phần ảo số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phứcz2i3 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức:

a

1

i i

x

i i

 

 

 b

2

(1i) (1i)

c 2i3 3i3 d

2

1

1

i z

i

  

  



 

Đs:

a

3 3

và

2

2  

b

c – 16 37 d

2



Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức: 1

i i

x

i i

 

 

 Bài 4: Tìm phần thực phần ảo số phức sau

   2  3  20

1 1i  1i  1i    1i HD:

Áp dụng công thức tính tổng CSN

Với u1 1;q1i v n 21

Đs: phần thực 210, phần ảo 10

2 1

Bài 5: Tìm phần thực phần ảo số phức z biết:

2

z    i

Bài 6: Cho số phức zx yi Tìm phần thực phần ảo số phức:

a u z2 – 2z4i b

1 z i v

iz

 



Đs:

a.x2 –y2 – x và 2xy– y2 b 2 2 ) (

2

 



y x

xy

2

2

1 ( 1)

y x

x y

 

 

Bài 7: Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức

n

i i

    

  

 

3

3

số thực, số ảo?

Bài 8: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:

c ;

1

7

   

 



i i

i d i  i  i i i

i

3

1

1 10

2

           

 

DĐ: 01694 013 498 a 1

Loại 2: Viết số phức dạng đại số Bài 1: Viết số phức dạng đại số

a    

   

3

2

1

3 2

i i

z

i i

  



  

b

  

5

1

i z

i i

 

 

b z2i10 i3 d zi2007 i2008

Đs:

a 44

318 318

z  i b 12

3 13 z  i

c z  2 i d z 1 i

Loại 3: Hãy biểu diễn số phức z

Bài 1: Cho số phức zmm3 , i mR

a Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác thứ haiy x; b Tìm m để biểu diễn số phức nằm hypebol y

x   ;

c Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ nhỏ

Bài 2: Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức

4

; (1 )(1 );

1

i i

i i

i i



 

 

a Chứng minh ABC tam giác vuông cân;

b Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vng

Bài 3: Tìm số phức liên hợp với số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức

Bài 4: Cho số phức zabi Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện để a Điểm biểu diễn cúng nằm dải đường thẳng x 2 x2 b Điểm biểu diễn cúng nằm dải đường thẳng y 3i y 3i

c Điểm biểu diễn cúng nằm hình trịn tâm O, bán kính

Bài 5: Cho ABCD hình bình hành với A, B, C điểm biểu diễn số phức1i, 23i,3i Tìm số phức z có điểm biểu diễn D

Loại 4: Tìm mơđun số phức z

Bài 1: Tìm mơđun acgument số phức

21

5 3

i z

i

  

  



 

Bài 2: Tính |z|, biết rằng:

a    

  

2

2

1

2

i i

z

i i

 



 

b

2

z

i i i

DĐ: 01694 013 498 c 2 1 2 

2

i i i

z

i

  



 d z2i1 2 i34i

e tan tan

i z

i

 

 

 f

1

1

i z

i

 



 

Đs:

a b 47

10 c 45

13 d 25 e f

Bài 3: Cho ba số phức x, y, z có modun So sánh modun số xyz xyyzzx

Đs: xyz  xyyzzx

Loại 5: Tìm số phức liên hợp số phức z Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo số phức z biết

a z 3 4i b z  3 2i

Đs:

a 25 25i

z   b

1 13 13i z   Loại 6: Sự bàng hai số phưc

Bài 1: Tìm hai số thực x, y thỏa mãn đẳng thức

a x 1 4iy1 2 i3  2 9i b

x yi

i i



  

c 1i x 42i y  1 3i d 32i x 57i y  1 3i

Đs:

b x y

  

 

c

8 11

7 11 x

y

        

d

5 3 x

y

         

Bài 2: Tìm hai số thực x, y cho z23i x 1 4 i y

a Là số thực b Là số ảo c Bằng d Bằng i Đs:

a 3x4y0 b 2xy0 c x y0 d

1 11

2 11 x

y

         

Bài 3: Tìm số nguyên x, y cho số phức zxiy thỏa mãn z3 1826i

Đáp số: z = + i

Bài 4: Với điều kiện số phức z = a + bi thỏa mãn:

a z z b z z c z z

DĐ: 01694 013 498

a b = b a = c a = b =

Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z

Đáp số: max 2 4

2

z    z    i; min 2 4

2

z    z    i

Bài 2: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 3; z2 3; z1z2  37 Tìm số phức

z z

z



Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z 20 3i z

  

Bài 4: Với giá trị thực xvà y số phức z1 9y2  4 10xi5 z2 8y2 20i11 liên hợp

nhau ?

Bài 5: Tìm số nguyên n để số phức

1

n i z

i

  

  



 

số thực

Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn z142z12z42 1 Bài 7: Cho số phức z,z' thỏa mãn điều kiện

' 1

z i

z

   

 

 

 

Tìm z,z' cho zz' nhỏ

Bài 8: Cho biết z a z

  Tìm số phức có module lớn , module nhỏ Đáp số: Các số phức cần tìm :

( )

i

z a a 

( )

i

z a a  Bài 9:

a Trong số z thoả mãn :2z 2 2i 1 tìm số z có moidule nhỏ

b Trong số z thoả mãn : z5i 3 tìm số z có acgumen dương nhỏ

Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn : z 2z  1 8i Bài 11: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 12

8

z

z i

 



4 z z

 



Đs: Có hai số phức thỏa mãn z6 17 i z68i Bài 12: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z z

z  z  Dạng 4: Các toán tập hợp điểm

Bài 1: Hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

DĐ: 01694 013 498

a Tập hợp là điểm nằm đường tròn tâm O bán kính R = b Tập hợp hình trịn tâm I1; 0 bán kính R =

c Tập hợp điểm nằm đường tròn tâm I 1;1 bán kính R1

d Tập hợp điểm hình vành khăn tâmI1;1 có bán kính lớn nhỏ

Bài 2: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức: 2zi  z z 2i

Đs: Tập hợp Parabol

2

4 x

y

Bài 3: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

2

z z  i z

Bài 4: Tìm tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện sau

a z2  i z

b z4i  z4i 10

Đs:

a Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn AB: 4x2y 3

b Tập hợp điểm M đường Elip  

2

:

9 25

x y

E  

Bài 5: Tìm tập hợp điểm M x y ;  mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa 5

z z  i z

 

 

Bài 6: Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức  (1i 3)z2 biết số phức z thoả mãn: z 1

Bài 7: Xác đỉnh tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa m điều kiện

sau:

a 2ziz số ảo tùy ý b | 2z1 | |z i |

Đs:

Bài 8: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a z2i số thực b z 2 i số ảo

c .z z9 d z 3i z i

 

 số thực

e (2z i)( z) số ảo tùy ý f

Bài 9: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z3 1 b zi  z 2 3i c |z2 ||z2 | 10

Bài 10: Hãy xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thoả mãn điều kiện sau:

a z 1 b 1 z i c 2i2z  2z1 d 2iz1 2 z3

Bài 11: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau:

DĐ: 01694 013 498 a

2

x

x  b y  

Bài 12: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn ,

k i z

z



 (k số thực dương cho trước)

Bài 13:

a Tìm số phức z, biết z 2 phần ảo z hai lần phần thực

b Tìm hai số phức biết tổng chúng tích chúng

c d) Tìm số phức z biết z 4 z số ảo

d Trên mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z 3

e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z i Bài 14:Tìm tất số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện:  2

z  z z 

Đs: Tập hợp điểm hypeboly 1, y

x x

  

Bài 15: Tìm số phức z cho A(z2)(zi) số thực

Bài 16: Tìm tất số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện: |z| =   z

i z

số thực

Bài 17: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số z 1 2i biết số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 i 1 Dạng 5: Chứng minh tính chất số phức

Bài 1: Các vectơ

   

' ,u

u mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’

a Chứng minh tích vơ hướng  ' '

1 '

.u zz zz

u  

   

; b Chứng minh

   

' ,u

u vng góc |zz|'|zz|'

Bài 2: Chứng minh với số phức z, w, ta có zw  z  w Đẳng thức xảy nào? HD:

Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z, w, z + w Ta có z OA w, OB z, w OC Từ OC  OA + AC suy zw  z  w

Hơn OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn thẳng OC Khi O  A (hay z  0)

điều có nghĩa có số k  để AC kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng zw  z  w )

Vậy zw  z  w z = z0 tồn kR để wkz Bài 4: Chứng minh    

 

5 10

10

1

1

i i

z

i

 



 

DĐ: 01694 013 498

Bài 5: Chứng minh a bi cdi2 a2b2 c2d2n HD:

 n  n

abi cdi abi  cdi

   2  

2 2 2 2 2

n

n n

a bi c di c di a b c d

         

Bài 6: Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z12z22 z z1 2 Chứng minh z1  z2  z1z2 Bài 7: Cho

2

z   i Chứng minh : z 1 Bài 8: Chứng minh 1 i2010 4 1i i2008 4 1 i2006 Bài 9: Cho hai số phức z, w chứng minh:  0

0 z z w

w

 

  

 

Bài 10: Chứng minh số phức có mơđun viết dạng x i

x i 

 với x số thực mà ta phải xác định

Bài 11: Cho z z' hai số phức Chứng minh :

a (zz')zz' b zz' zz' c 'z z  z z ' d ( ' 0)

' '

z z

z z z  

 

   

e z z '  z z ' f | |, ' ' | ' |

z z

z

z  z 

Bài 12: Các điểm A,B,C A B C,, ,, , mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số

1i, 3 i, 3i 3i, 2 i, 2 i

Chứng minh hai tam giác ABC A B C, , , có trọng tâm

Dạng 6: Giải phương trình bậc với số phức Bài 1: Giải phương trình sau tập số phức

a

i i z

i i

     

2 1

2

b )

2 ]( )

[(      i iz i z

i c z2z24i d z2 z0 e z2  z 0 f z2  z2 0

Đs:

a i

25 25 22

 b ;1

2 i

  c

3 i

d 0; -1; i i

2 ,

3



 e 0; ;i i f bi (bR)

Bài 2: Giải phương trình

a z z 1 2i b z z 2i

DĐ: 01694 013 498 a 2;

3

a b  b 3; a b Bài : Giải phương trình sau

a 1i z 2i1 3 i 2 3i b 2z3i 7 8i c 1 3 i z 4 3 i 7 5i d 1i z  3 2i4z e 1 

2 z

i i

i    

B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1: Tìm bậc hai số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai số phức sau:

a. 5 12i b 86i c 33 56 i d  3 4i Giải:

a Gọi z xiy bậc hai  5 12 i tức

 2 2

5 12 12

xiy    ix y  ixy   i

2 2

2

2 2

5

5

2 12 13

x y x

x y

xy x y y

     

     

  

     

  

2 x y

    

  

Do b120 x y, dấu

3 x y

  

 

3 x y

   

  

Vậy  5 12icó bậc hai z1 23i z2   2 i b Tương tự gọi z xiy bậc hai 86i tức

 2 2

8

xiy   ix y  ixy  i

2 2

2

2 2

8

8

2 10

x y x

x y

xy x y y

    

    

  

     

  

3 x y

    

  

Do b60x y, dấu

1 x y

  

 

1 x y

   

  

Vậy 86icó bậc hai 3i  3 i

c Gọi z xiy bậc hai 33 56 i tức

 2 2

33 56 33 56

xiy   ix  y  ixy  i

2 2

2

2 2

33 49

33

4

2 56 65 16

x y x x

x y

y

xy x y y

      

     

   

 

       

  

Do b 560x y, trái dấu

4 x y

  

  

4 x y

   

 

Vậy bậc hai 33 56 i 74i  7 i4

DĐ: 01694 013 498

 2 2

3 4

xiy    ix y  ixy   i

2 2

2

2 2

3 1

3

2

2

x y x x

x y

y

xy x y y

       

      

   

 

      

  

Do b40x y, dấu

2 x y

  

 

2 x y

   

  

Vậy bậc hai  3 ilà 2 i  1 i

Bài 2: Tìm căn bậc hai số phức sau:

a + i b 6i 

Giải:

a Giả sử z xiy x y,  bậc hai w46 5i

Khi đó:  

2

2

2

3

(1)

4

45

4 (2) y

x y x

z w x yi i

xy

x x 

 

  

 

      



 

  

 



(2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± x =  y =

x = -3  y = -

Vậy số phức w = + 5i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i b Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i

Khi đó: z2 wxyi2   1 6i

2

2

6

(1)

6 2

1 (2) y

x y x

xy

x x

 

 

   

 



 

 

 

   

  (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ±

x =  y = - x = -  y =

Vậy số phức w = + 5i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i Dạng 2: Phương trình bậc hai

Bài 1: Giải phương trình sau:

   

2

a x  34i x5i 1 0; (1) b x  1i x  2 i 0; (2) Giải:

a Ta có  34i2 4 5 i1  3 4i Vậy  có hai bậc hai 1+ 2i −1 − 2i Do pt (1) có hai nghiệm là: 1 2 ; 2

2

i i i i

DĐ: 01694 013 498

Do pt (2) có hai nghiệm là:

1 3

1;

2

i i i i

x       x        i Chú ý:

PT (2) dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c =

Bài 2: Giải phương trình sau:

a  

3x x20 b

1 (2)

x x  c

1 (3)

x  

Giải:

a Ta có

23 23 i

      nên ta có hai bậc hai là: 23

i i 23 Từ nghiệm pt (1) là: 1,2 23

i

x   

b Ta có     3 3i2 0 nên (2) có nghiệm là: 1,2

i

x   

c Ta có (3)  1 1 2

1 0; (*) x

x x x

x x   

      

   

Theo b Pt (*) có hai nghiệm 1,2

i

x   Từ ta có nghiệm pt (3) là:x1; 1,2

i

x   

(Các nghiệm pt (3) gọi bậc ba 1)

Bài 3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:  43 ;i    2 5i HD:

Theo ta có:   2 8i;     23 14i.

kết pt bậc hai cần lập là: x2 28i x 14i230

Bài 4: Tìm m để phương trình: x2 mx3i0 có tổng bình phương nghiệm

Giải:

Theo ta có: x12 x22 8x1x22 2x x1 2 8(1) Theo Vi−et ta có

1

x x m

x x i    

  

Thay vào (1) ta m2 6i 8 m2  8 6i m bậc hai 86 i Vậy: có giá trị m là: + i −3 − i

Bài 5: Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai

0

z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm 4i

 Giải:

Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình cho B abi với a b, 

Theo đề phương trình bậc hai z2 Bz i có tổng bình phương hai nghiệm 4i nên ta có : z12 z22 (z1z2)2 2z z1 2 S2 2P ( B)2 2i 4i hay B2  2i hay

2 2

(abi)  2ia b 2abi 2i Suy :

2

0

2

a b ab

  



  

DĐ: 01694 013 498

Bài 6: Cho z z1; nghiệm pt    

1i z  32i z  1 i Khơng giải pt tính giá trị biểu thức sau:

2 2 2

1 2

2

a.A z z ; b B z z z z ; c.C z z

z z

     

Giải:

Theo Vi−et ta có:

1

1

3 2

3

1

1 2

3

1 i

z z i

i i

z z i

i

   

   



 



  

   

 

 a Ta có  

2

1 2

3 2 2 11 30

2

3 3 9

A z z  z z     i      i    i

   

b 1 2 1 2 2 2 2 10

3 3 9

Bz z z z     i       i     i

   

c Ta có

2

1

1

6 26 18

1 2

3

z z A i

C

z z

i

  

  

 



Bài 7: Giải phương trình nghiệm phức tập số phức

a z2 8(1i z) 63 16 i 0 b 23i z 4i3z  1 i HD:

a Ta có  ' 16(1i)2 (63 16 ) i  63 16 i(1 ) i Từ ta tìm hai nghiệm z1  5 12i; z2  3 4i b Ta có 23i  4i3  1 i

1

1 1;

13 i z  z   

Bài 8: (CĐ – 2010) Giải phương trình z21i z  6 3i0 tập hợp số phức

Giải:

Phương trình có biệt thức  1i24 3  i 24 10 i 1 5i 2

Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i z3 i

Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau tập hợp số phức: 4z 7i z 2i z i

 

  

Giải:

DĐ: 01694 013 498

Phương trình cho tương đương với  

4 z   i z  i

Phương trình có biệt thức  4 3 i24 7  i 3 4i 2i2

Phương trình có hai nghiệm là: 2

i i

z      i 3

i i

z     i Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức : z 25 6i

z

  

Giải:

Giả sử z abi với ; a,b  R a,b không đồng thời Khi z a bi ; 1 a2 bi2

z a bi a b 

   

 

Khi phương trình z 25 6i a bi 25(2a bi2 ) 6i

z a b



       





2 2

2 2

( 25) 8( ) (1)

(2)

( 25) 6( )

a a b a b

b a b a b

    

 

   

 

Lấy (1) chia (2) theo vế ta có

b a vào (1) ta a = a = Với a =  b = ( Loại)

Với a =  b = Ta có số phức z = + 3i

Bài 11: Tìm số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = nhận số phức z = + i làm nghiệm

Giải:

Vì z = + i nghiệm phương trình: z2 + bx + c = ( b, c  R), nên ta có :

 2    

1

2

b c b

i b i c b c b i

b c

   

 

            

  

 

Bài 12: Giải pt sau:

z z 0 Giải:

Giả sử z x yi, x,y

Ta có    

2

2 2 2

z 2 0

2

x y x

z x y xyi x yi x y x xy y i i

xy y

   

                

 

DĐ: 01694 013 498

 

2

2

2

2

2

2

0 0

1

0

0

0

3

3

0 0

2

2 4

2 1

3

2 2

2

1

x y x

x

x x

x y x y

y

x y x y

x y x

y

y x y x y

y x

x

x y

x

x

  

   

  

 

   

      



  

      

     

    



             



   

   

 

   

  

   

   

  

 

  

 

1

3 2

3 x y

x

y

x

y

      

  



 

   



 

  



 

   



  

  

Vậy: Có bốn số phức cần tìm là: 1 0, z2 1, z3 , z3

2 2

z      i   i

Bài 13: Tìm m để pt

3

z mz i có hai nghiệm z z1, 2 thỏa 2

1

z z  Giải:

Ta có: z12 z22 8z1 z22 2 z z1 2 8 Với z1 z2 b m, z 1z2 c 3i

a a

      

Suy ra:z12 z22 8z1z22 2 z z1 2 8  m2 2.3i8 m2  8 6i 3i2 m 3i Bài 14: Cho số phức z thoả mãn

2

z  z  Gọi f z  số phức xác định

17 15 14

( )

f z z z  z  z  z Tính mơ đun f z  Giải:

Ta đặt

2 (1)

z  z 

(1) có    2 nên (1) có nghiệm phức 1 2

2

1

| | | |

1

z i

z z

z i

  

  



  

17 15 14 15 14 2

( ) ( 3) ( 3) 3( 3)

f z z z  z  z  z  z z  z  z z  z  z  z z

nếu zz1 f z( )1  z1| ( ) | |f z1  z1| zz2  f z( )2 z2| ( ) | |f z2  z2| Vậy | f z( ) |

DĐ: 01694 013 498

Bài 1: Cho phương trình sau:

     

3

2 – – – 10 z  i z  i z i 

a Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo

b Giải phương trình (1) Giải:

a Đặt z = yi với y  R

Phương trình (1) có dạng:  iy 2 i2 yi  5 4i yi – 10i0

3 2

– 2 – 10 0

iy y iy iy y i i

       

đồng hoá hai vế ta được:

2

3

2

2 10

y y

y y y

  

 

    

 

giải hệ ta nghiệm y =

Vậy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i

b Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái (1) phân tích dạng:

      

3 2

2 – – – 10 – ( , )

z  i z  i z i z i z azb a bR

đồng hoá hai vế ta giải a = b =

    

1 z– 2i z 2z

      2

2

1 2

1 z i z i

z i

z z

z i

  

 

   

 

  

    

 Vậy phương trình (1) có nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: z3 – 27 =

2 z3 = 18 + 26i, z = x + yi ; x,y  Z Giải:

1    2

2,3

1

– 27 – 3 3 3

3

2 z

z

z z z z i

z z z

  

 

        



   





Vậy phương trình cho có nghiệm

2 Ta có: x yi3  x3 – 3xy2 3x y2 – y3i 1826i

Theo định nghĩa hai số phức nhau, ta được:

3

2

3 18

3 26

x xy

x y y

  

 

 

 

Từ hệ trên, rõ ràng x  y 

Đặt y = tx , hệ  3  2

18 3x y– y 26 x – 3xy

 

 3  2   

18 3t t 26 3t 18t – 78t – 54t 26 3t 3t – 12 – 13t

         

Vì , 3

3

DĐ: 01694 013 498 Bài 3:

1 Tìm số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 =

3 Cho phương trình: z35z216z300(1), gọi z1, , z2 z3 nghiệm phương trình (1) tập số phức Tính giá trị biểu thức:A z12 z22 z32

Giải:

1 Giả thiết 3    

3 – 63 3 –

z z z z a z b a z b

       

3

6 3

21 63

a

a b a

b b

  

  

   

 

 



2 Áp dụng phần ta có: z3 3z2 3 – 63z 0z– 3z2 6z210

3

3 3 z

z i

z i

  

   

   



Vậy phương trình cho có nghiệm

3

5 16 30

z  z  z 

có nghiệm là: z13;z2  1 ;i z3  1 3i

2 2

1

A z z

     

Bài 4: Giải phương trình: z4 – 4z37z2 – 16z120 1 

Giải:

Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z =

         

1  z– z – 3z 4 – 12z 0 z– z– z 4 0

2

1

3

2

2 z z

z z

z i

z

z i

 

  



 

  

 

   

  



Vậy phương trình cho có nghiệm

Bài 5: Giải phương trình:z4 4z3 7z2 16z120 Giải:

Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có:

4 2

1 16 12 ( 1)( 3)( 4) z

z z z z z z z z

z i   

           

     Bài 6: Giải phương trình  

2z 5z 3z 3 2z1 i0, biết phương trình có nghiệm thực

Giải:

Phương trình có nghiệm thực

3

2 3

2

z z z

z z

   

   

  

DĐ: 01694 013 498

Phương trình 2z1z2 3z 3 i0 giải phương trình ta

2

z  ; z2i z;  1 i

Bài 7: Giải phương trình    

1 2

z   i z  i z i  , biết phương trình có nghiệm ảo

Giải:

Giả sử phương trình có nghiệm ảo zbi, thay vào phương trình ta

 3   2     2  

2

3

1 2 2

0

1

2

bi i bi i bi i b b b b b i

b b

b z i

b b b

             

  



    

    

 

Vậy phương trình tương đương với ziz2 1i z 20 giải phương trình nghiệm

Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải phương trình: z2 z2 4z2 z120 Giải:

Đặt

t z z, phương trình cho có dạng:



2

2

1 23

6 1 23

4 – 12

2 2

1

i z

t z z i

t t z

t z z

z z

  

   

     

  

      

  

  

  

  

Vậy phương trình cho có nghiệm

Bài 2: Giải phương trình:z2 3z62 2z z 3z6 – 3 z2 0 Giải:

Đặt

3

t z  z phương trình cho có dang:

  

2

2 – –

3

t z

t zt z t z t z

t z

 

      

  

- Với – 2

1

z i

t z z z z z z

z i

   

          

   

- Với 3 6 3

3

z

t z z z z z z

z

   

            

   

DĐ: 01694 013 498

Bài 3: Cho phương trình:  

2 – – 1 z  z z z  a Bằng cách đặt y z

z

  đưa phương trình dạng: y2 – – 3y 0 b Từ giải (1)

Giải:

Do z0 không nghiệm (1)  chia hai vế phương trình cho z2 ta được:

2

2

1

–

z z

z z

   

Đặt y z z

   phương trình có dạng: – – 3 y

y y

y

  

  

 

- Với 1 1

2 i

y z z

z

 

       

- Với 3

2

y z z

z



     

Vậy phương trình cho có nghiệm

Bài 4: Giải phương trình:  

2

4

1

z

z z    z

Giải:

Do z0 khơng phải nghiệm phương trình (1) nên:

(1) 1 12

2 z z

z z

     

2

1

0

z z

z z

   

      

   

Đặt y z z

   pt có dạng:  2

1

5

– –

1

2 i y

y y y y

i y

 

 

      

   

- Với 1    

2 – – 2

2

i i

y z z i z

z

 

      

Ta có :  1 3 i2 16 8 6i 3i2

 phương trình (2) có nghiệm: z1  1 i

1 2 z    i

- Với 1    

2 – –

2

i i

y z z i z

z

 

      

Ta có :  1 3 i2 16 8 6i3i2

 phương trình (3) có nghiệm: z3  1 i

DĐ: 01694 013 498

Bài 5: Giải phương trình: z4 6z2 250 1  Giải:

Đặt

z t Khi (1) có dạng:  

– 25 t t 

Ta có:   ’ 1616.i2 0 nên pt (2) có hai nghiệm t 3 i Mặt khác 34i có hai bậc hai là: 2i  2 icịn

34icó hai bậc hai là: i  2 i

Vậy: pt (1) có nghiệm là: z1 2i z; 2   2 i z; 3 2i z; 4   2 i

Bài 6: Giải phương trình (ẩn z) tập số phức:

3          z i i z Giải:

Điều kiện: zi

Đặt z i i z w  

 ta có phương trình: w3 1(w1)(w2 w1)0

                         3 1 1 i w i w w w w w

- Với 1 0     z z i i z w

- Với (1 3) 3

2 3                

 i i z i z

z i i z i w

- Với (1 3) 3

2 3              

 i i z i z

z i i z i w

Vậy pt có ba nghiệm z0;z z

Bài 7: Giải phương trình:z2 3z62 2z z 3z63z2 0 (*) Giải:

Đặt: 2

3 (*) ( )( )

3

u z

z z u u zu z u z u z

u z                    2 2 5

3 6

3 6 3 3

3

z i

z i

z z z z z

z z z z z z

z                                           

DĐ: 01694 013 498 Giải:

PTz z( 2)(z1)(z3)10(z2 2 )(z z2 2z3)0

Đặtt z2 2z Khi phương trình trở thành t23t100

2

5

z i

t

t z

   

  

  

   

 

Vậy phương trình có nghiệm: z1 6;z1i Bài 9: Giải phương trình tập số phức:

2

z  z z  z 

Giải :

Phương trình z4 2z3 z2 2z z2 (z2 12) 2(z 1) (z2 12) 2(z 1)

z z

z z

 

                 

 

(z = không nghiệm phương trình)

Đặt w z z

  ; phương trình trở thành: w2 + 2w – =0 

 

   

3 w w

   

 

          

         

2

1 3

1

2

1

1

2

z z

z z

z

i z

z z z

z

Vậy phương trình có bốn nghiệm:

2

1 i

z  ;

2 3  

z

Bài 10: Tìm số thực a, b, c để có: 2

2(1 ) 4(1 ) ( )( )

z  i z  i z i zai z bzc Tìm mơđun nghiệm

HD:

Cân hệ số ta a = 2, b = –2, c =

Từ giải phương trình: z3 2(1i z) 24(1i z) 8i 0trên tập số phức

Phương trình (z2 )(i z2 2z4)0 z2 ;i z  1 ;i z  1 3i z 2 Dạng 3: Giải hệ phương trình:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

2

1

1

5 (1) (2)

z z i

z z i

   



  

 Giải:

Từ (2) ta có 2

1 2 15

z z  z z   i Kết hợp với (1) ta có z z1 2 55i

Vậy ta có hệ phương trình:

1

4 5

z z i

z z i

  

 

  

Do z z1, nghiệm phương trình  

2

4 5

DĐ: 01694 013 498

Vậy ta có

1

2

4

3

4

1 2 i i z i i i z i                   

2 z i z i       

Bài 2: Giải hệ phương trình: w w z i iz        Giải:

Coi i tham số ta có:

1 1 D i i       ; 1 1 w x z y D z D i D i D i D                     

và w

1 i D

i

 

Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 w 2 w w z z z          Giải: Hệ

 2

w w

w w

z z z z             

Đặt: w 2 2

v w 2 15

u v u v

u z

z u v u u

                        2

5 3 3

5 13 ( ; w) ;

13 2

3 14 14

3 ( ; w) ;

5 2

u i i

X X z

v

u

X X z

v                                                 

Bài 4: Giải hệ phương trình:

2 2 3 ( , ) x y x x y

x y R

x y y x y                 Giải:

Từ hệ suy ra: x yi (3x y)2 (x2 )y i x yi 3(2x yi2) i x(2 yi2)

x y x y x y

    

       

  

Đặt z x yi ta PT ẩn zC:

2

3

3

i z i

z z

z z

 

( )   ( ) 

DĐ: 01694 013 498

3

w 3(1 ) (1) w 9( ) (2)

z i

z i

  

 

   

 Giải:

Từ (2) ta có: zw3 – 3zw z w9 1 i  

Thay (1) vào (3) ta được: 27 1 i3 – 9zw1i9 1 i

 3  

3 3i 3i i –zw i i

        5

1 i

zw i

i  

  

 Vậy ta có hệ phương trình: w 3(1 )

.w

z i

z i

  

 

 

Theo định lý Viet  z, w nghiệm phương trình:t2 3 1 i5i0 4 

Ta có:   2i1 – i2

 Phương trình (4) có hai nghiệm

1

t i

t i

  

  



Vậy hệ cho có hai nghiệm (z;w) 2i;1 ; 2 i   i i Bài 6: Giải hệ phương trình ẩn z w:

1

1 2 3

1

1 (1) (2) (3) z z z

z z z z z z z z z

  

 

  



 

 Giải:

Ta có z1, , z2 z3 nghiệm phương trình: z–z1z–z2zz30

   

3

1 2 3 1

–

z z z z z z z z z z z z z z z

       

3

– – 1

z z z z và z i

      

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (là hốn vị ba số 1, i –i)

Bài 7: Giải hệ phương trình sau tập số phức:

 

2

2

2 2

6

6 a a

a a a b ab b a a 

  



 

     



Giải:

Điều kiện: a2 a0

Từ (1) (a2a)25(a2 a)60

   

 

   

6

2

a a

a a

Khi

1

2

1

2 i a

a a

i a

  

  

   

  

  

DĐ: 01694 013 498

2

1 23

6

1 23

i b

b b b b

i b                      

Khi

 a a        a a

Thay vào (2)

2

1

2

6 6

1

2 b

b b b b

b                     

Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:

                      ; 23 , ; 23

1 i i i i

;                      ; 23 , ; 23

1 i i i i

;                                           ; , ; , ; , ;

Bài tập tự giải:

Bài 1: Giải phương trình bậc sau tập hợp số phức

 

2

– 2 – – z i z i

Bài 2: Tìm số thực b, c để phương trình z2 bz c nhận số phức z 1 i làm nghiệm Đs:

Vì z 1 i nghiệm phương trình: z2 bz c 0nên

2

(1 ) (1 ) (2 )

2

b c b

i b i c b c b i

b c                       

Bài 3: Cho số phức w1  1 , i w2 3 – i Xác định số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn điều

kiện w z1 số thực



z w

, từ lập phương trình bậc hai có nghiệm số số phức tìm được?

Bài 4: Cho số phức z nghiệm phương trình:

1 z   z

Rút gọn biểu thức

2 2

2

2

1 1

P z z z z

z z z z

       

           

       

Bài 5: Giải phương trình tập số phức: x2 5i x   8 i Bài 6: Giải phương trình tập số phức:z22z 1 6i0

Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi z z1, 2 hai nghiệm phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức

2 2

1 z

z

A 

DĐ: 01694 013 498

2

1, 2

36 36i z i z z 10 A 20

           

Đs: A = 20

Bài 8: Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z2 4z110 Tính giá trị biểu thức

 

2

1

2

1

z z

A

z z

 



HD:

Giải pt cho ta nghiệm: 1 , 2

2

z   i z   i

Suy

2

1 2

3 22

| | | | ;

2

z  z     z z 

 

Do

2

1

2

1

11

4

( )

z z

z z



 



Bài 9: Giải phương trình:

a z2  z 0 b z2 3z62 2z z 3z63z2 0

Đs:

a z{0;i;i} b z  3 3; z  1 5i Bài 10: Giải phương trình: z2 z 0

Đs: z0, z 1,

2

z   i

Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

a  =  5i b  =   i c  = -i

Bài 12: Giải phương trình z2 cosisinz  isin cos  0 , R tập số phức Đs: z1 cos ; z2 isin

Bài 13: Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 2z40 Tính giá trị

2

1 2

A z z 3z z

Bài 14: Chứng minh phương trình az2 bz c (a, b, c  R) có nghiệm phức   R  nghiệm phương trình

Bài 15: Giải phương trình sau tập số phức:

a.z 2i2 2z2i 3 b

2

4

5

z i z i

z i z i

 

 

  

 

 

 

Bài 16: Chứng minh rằng:

a Nếu xiy bậc hai hai số phức abi x yi bậc hai số phức abi b Nếu xiy bậc hai số phức abi x yi

k  k bậc hia số phức 2 a b i

k k (k  0) Bài 17: Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z z1, 2 thỏa mãn điều kiện ra:

DĐ: 01694 013 498

b z2 3mz5i0 điều kiện: 3

1 18

z z  Bài 18: Giải phương trình sau C a

 

 x

x b.3 2

 

 x

x c x2 – (3 – i)x + – 3i = d

3x   x e

3x 22x 3 20 f 3i.x2 – 2x – + i =

Đs:

a i

2

3

 b (1 )

6

i

 c 2i ;1 – i

d 23 i



e 6

6  i f

1 10 10

1  

 

 i

Bài 19: Cho phương trình z2 2i z  3 5i0 Khơng giải phương trình tính

2 4

1 2

z z z z

Bài 20: Giải phương trình:z2 ( osc i sin ) zicos sin  0 HD:

        

2

2

(cos sin ) cos sin cos sin 2 sin

cos sin cos sin cos sin

i i i i

i i i

      

     

      

         

   

 

   

 

1

( os i sin ) os - +i sin - i sin

1

( os i sin ) os - +i sin - os

z c c

z c c c

    

    



 

   

  

 

     

 



Bài 21: Giải phuơng trình sau tập số phức

1 z3 z z   z 4i (1i z) 2 2 11i 0

Phương trình bậc cao:

Bài 1: Tìm số thực a, b, c để có z32 1 i z 4 1 i z 8izaiz2bzc

Từ giải phương trình z32 1 i z 24 1 i z 8i0 tập số phức Tìm modun nghiệm Đáp số: a2,b 2,c4 z 2

Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z2  2mz + m2  2m) = Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình:

a Chỉ có nghiệm phức

b Chỉ có nghiệm thực

c Có ba nghiệm phức

Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo:

a.z3 iz2 2iz 2 b z3(i3)z2 (44 )i z7 4 0.i

Bài 4: Giải phương trình z32 1 i z 24 1 i z 8i0, biết phương trình có nghiệm ảo Đáp số: Phương trình có ba nghiệm z2 ;i z 1 i

Bài 5: Tìm số thực a, b, c thỏa mãn:

      

3 2

– –

DĐ: 01694 013 498

Từ giải phương trình: z3 – 1 i z    i z – 8i 0

Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức:

– – – 16

z z  z z 

Đáp số:

1 ( 1)( 2)( 8)

2 2 z

z

z z z

z i

z i

   

 

     

      

Bài 7: Giải phương trình: z5 z4 z3 z2   z HD: Đặt thừa số chung

Đáp số: 1, ,

2 2

z  z   i z    i

Bài 8: Giải phương trình sau C :

a

2

2

   

z z z

z cách đặt ẩn số phụ

z z w 1 ; b z23z622zz23z63z2 0

c z2 12 z32 0

Bài 9: Giải phương trình sau C :

a ziz21z3i0 b z2z24z2z 120 Bài 10: Giải phương trình z3 1i z 3i z 3i 0

Bài 11: Gọi z z z z1; 2; 3; 4 nghiệm phương trình z4 2z3 6z2 8z 8 C Tính tổng 4 4 4 4

1

1 1

S

z z z z

   

Bài 12: Cho đa thức      

3 10 18 30 P z  z   i z   i z i a Tính P3i

b Giải phương trình P z 0

Đs:

a P3i0 b z 3 ,i z 3 i Bài 13: Giải phương trình

a

2

1

7 z z

z 

 

  



  biết z  3 4i nghiệm phương trình b z6 z5 13z4 14z313z2   z

c

3

1

z i z i z i

z i z i z i

  

     

   

     

  

     

Đs:

a z9; z 3 4i b ; 3;

2 i

z   z   z 

DĐ: 01694 013 498 Hệ phương trình

Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1,z2 sau :

         i z z i z z 2 2

Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1,z2 sau :

          i z z i z z 5 2 2

Bài 3: Giải hệ phương trình sau tập số phức:

a 2

3

x y i

x y i

         b 2

1 1 2 i x y

x y i

          

c 2 25

8

x y i

x y i

  

 

  



d

7 x y xy i       

e 2 25

x y i

x y i

  

 

  



f 3 31

2 x y

x y i

         g 2 1

5 x y x y           h

1 17

26 26

x y i

i x y           

Bài 4: Giải hệ phương trình sau

a 12 8 z z i z z              b 1 z z i z i z i              c

1

1

1

1

z z z

z z z

z z z

           

d 12 2

1

5

z z i

z z i

   



    

e 12 22

1

4

z z i

z z i

         g 2 ( )

z z z z        

Bài 5: Giải hệ phương trình: a          i z z i z z 2 2 b           i z z i z z 5 2 2 c 2

u v uv u v i

   

   

d

1

z i z

z i z

          Đs:

a 3 – ; 2.i  i ((1 ; – )  i i

DĐ: 01694 013 498

Bài 6: Giải hệ phương trình:

1

3

( , )

7

x

x y

x y R

y

x y

  

 

  



  

 

 

  

 

 

 



Bài 7: Giải hệ phương trình sau:

1

1

1

2

z z

z z

   

  



Đs: ;

4

i i

   

 

 

 

;

4

i i

   

 

 

 

Bài 8: Giải hệ phương trình: a

2 10 20 (1 ) 30 x iy z

x y iz ix iy i z

  

 

  



    



b

3

2010 2011

2

1

z z z

z z

    

 

  

 

c 2

2

2

4 z i z z i z z

    

 

 

 

d

1

1

3

1

5

z z i

i

z z

  

 

 

 

 

Căn bậc hai số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai số phức:

a z1720 i b

4 i c 4042i d 11 3i Bài 2: Tìm căn bậc hai số phức sau:

a -1 + b + 6.i c -1 - 2.i d -5 + 12.i i

Đs:

a ( 32.i) b (3 5.i) c ( 2 3.i) d  (2 + 3i) Bài 3: Tìm căn bậc hai số phức sau:

a 14 3i b 46 5i c 12 6i

C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Viết số phức dạng lượng giác

Bài 1: Viết số phức sau dạng lượng giác

1

a (1 3)(1 ) b

i

i i

i



 



DĐ: 01694 013 498 Giải:

a.1 cos( ) sin( )

3

i   i  

      

 ;1 i cos4 isin

 

 

    

 

Do (1 3)(1 ) 2 cos( ) sin( )

12 12

i i   i  

       

 

b Từ phần ta có kết

1 7

2 cos sin

1 12 12

i

i i

 

     

     

     

c Ta có sin cos cos( ) sin( )

2

z i     i  

d tan5 sin5 cos5 cos7 sin7

5

8 8 8

cos cos

8

z  i  i   i 

 

    

        

   

Bài 2: Tuỳ theo góc, viết số phức sau dạng lượng giác(1 cos isin )(1 cos  isin ).

Giải:

Xét số phức z(1 cos isin )(1 cos  isin ) , ta có

2

(2 sin sin cos )(2 cos sin cos )

2 2 2

z  i    i  

2

4 sin cos (sin cos )(cos sin )

2 2 2

2 sin (sin cos sin cos (cos sin ))

2 2 2

i i

i

     

     



  

   

 

2 sin sin icos

  hay z2 sin (sin cos ) i  (*) - Nếu sin  > 0, từ (*) có z 2sin cos( ) sin( )

2 i

 

   

     

 

- Nếu sin  < 0, từ (*) ta có z 2 sin ( sin  icos )

2sin cos( ) sin( )

2 i

 

   

      

 

- Nếu sin  =  z = 0, nên khơng có dạng lượng giác xác định Bài 3: Viết số sau dạng lượng giác:

1 cosa – isina, a  [0;2) sina + i(1 + cosa), a  [0;2) cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2)

Giải:

Ta có:

1 cosaisinacos(2 a)isin(2 a) a  [0;2) z2 sinai1 cos a 2sin

2 a

cos a

+ 2icos2 a

= 2cos a

(sin a

+ i cos a

) - Nếu a  [0; )  cos

2 a

>  z2 = 2cos a

(cos(



- a

) + i sin (



-2 a

DĐ: 01694 013 498 - Nếu a  ( ;2 )  cos

2 a

<  z2 = -2cos a

(cos(3



- a

) + i sin (3



-2 a

) - Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)

3 z3 cosasinaisina– cosa (cos

a 

 



 

 + i sin a



 



 

 

Bài 4: : Viết số phức sau dạng lượng giác:

a (1- i )(1 + i) b

i i



 c

1 22i Giải:

1 Ta có: 1- i = cos sin

3 i

 

    

  

   

 

   

 

(1+ i) = cos sin

4 i

 

 



 

 

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:

(1- i )(1 + i) = 2 cos sin

12 i 12

 

    

  

   

 

   

 

Tương tự

b

i i



 =

7

cos sin

12 i 12

 

    

  

   

 

   

 

c 22i=

1 (1 ) i =

1

2 cos sin

4 i

 

    

  

   

 

   

 

= cos sin

2 i

 

    

  

   

 

   

 

Bài 5: Viết số phức  

2

3

z i dạng lượng giác Giải:

Cách 1: Khai triển đẳng thức chuyển sang dạng lượng giác.

 2 2 3

3 3 2 4

4 2

4 cos sin cos sin

3 3

z i i i i i i

i i

   

   

             

   

 

     

        

      

Cách 2: Viết dạng lượng giác trước áp dụng công thức Moa – vrơ.

3

3 2 cos sin cos sin

2 6 6

i  i   i       i  

            

       

 

 

Suy ra:  

2

3 cos sin cos sin

6 3

i      i       i   

            

       

   

 

Dạng 2: Các bài tập tính tốn tổng hợp dạng lượng giác

DĐ: 01694 013 498 a

2z

 b (sin 0)

2

z z   c (cos3 0) z z   Giải:

Số phức z viết dạng: zcosisin

a

       

1 1

cos sin cos sin

2 cos sin 2

2z  i   i   i 

         



   

1

cos sin

2  i  acgument 

b cos sin 2 cos sin  2sin3 sin cos3 sin

2 2

z z  i   i        i - Nếu sin 2sin sin3 cos3

2 z z 2 i

    

      

 

3 3

2 sin sin cos

2 2 i 2 Acgument 2

       

          

   

 

- Nếu sin 2 sin sin3 cos3

2 z z 2 i

    

       

 

3 3

2sin sin cos

2 2 i 2 Acgument 2

           

           

   

 

c  2   3

os i sin os i sin os os os sin

2 2

z  z c    c    c c   c  i

- Nếu 3

cos cos cos sin

2 z z 2 i

    

      

 

2 Acgument 

 

- Nếu 3

cos cos cos sin

2 z z 2 i

   

 

     

            

   

 

2 Acgument  

  

Bài 2: Tính:    

 

5 10

10

1

1

i i

z

i

 



 

Giải:

 

10

10

5 10 10

7

2 cos sin cos sin

4 6

4

2 cos sin

3

i i

z

i

   

 

   

 

   

   



 



 

DĐ: 01694 013 498

10

10

35 35 5

2 cos sin cos sin

2 6

40 40 cos sin

3

i i

i

   

 

   

 

   

   



 



 

 

55 55 cos sin

3

cos sin 40 40

cos sin

3

i

i i

 

 

 

 



 

 

    

 



 

 

Bài 3: Viết số phức z dạng lượng giác biết rằng: z1  zi i z có acgument

là



Giải:

2

2

cos sin cos( ) sin( )

2 2

(cos sin )

1 3

( ) 1

2 2 2

i z ri r r i

z r i

r r r r

r i i iz r r

    

     

 

 

           

 

 

 

            

 

2

2

3 3

4

r r

zi      r  r

  iz z i r z cos3 isin3

 

        

Bài 4: Viết dạng lượng giác số phức z biết z  acgumen

1 z

i



3



 Giải:

Gọi  acgumen z  acgumen z mà 1i có acgumen

4

 nên

1 z

i



có acgumen

4

 

 

Theo giả thiết ta có 2 ( )

4 k l l

  

   

        

Vậy dạng luợng giác z là: cos sin

2

z   i 

 

Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính tốn

Bài 1: Tính giá trị

10

10

(1 ) ( ) ( 3)

i i

A

i

 



  Giải:

Biểu diễn lượng giác cho số phức:

7

1 cos sin

4

i   i  

    

 ; i cos6 isin

 

 

    

 

4

1 cos sin

3

i   i 

     

 

DĐ: 01694 013 498

a

 

10

(1 )

A i

i

 



b cos sin 5(1 )7

3

B  i  i  i

  c

2009

2009

1 z

z

 Biết z 1 z  

Giải :

a

10

9

9

5

2 cos sin cos sin

4 2 1

(cos sin )

3 16

2 cos sin

2 cos sin

2

6

i i

A i

i i

   

 

 

 

    

 

 

   

 

   

     

 

   

 



 

   

 

 

Vậy phần thực 16

  phần ảo =

b

7

5

cos sin (1 ) = cos sin cos sin

3 i i i i i i

         

       

     

         

         

 

7 7 7

2 cos sin cos sin cos sin 2 128

3 i 3 i i i i i i

   

 

      

            

     

 

Vậy phần thực phần ảo 128

c Từ

1

cos sin

1 3

1

1

cos sin

2 3

i

z i

z z z

z i

z i

 

 

 

  

 

      

     

    

    

   



Khi cos sin

3

z  i  Ta có

2009 2009

2009

2009

1

cos sin

3

cos sin

3

z i

z

i

 

 

 

 

 

      

    

 

 

2009 2009

2009 2009

cos sin cos sin cos sin

3 3 3

2009 2009 2

cos sin cos 669 cos

3 3

i i i

i

     

   



 

       

          

        



   

       

   

Tương tự : cos sin 2009 20091

3

z i z

z

 

   

      

   

Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết z2   2 3i Giải:

Ta chuyển  2 3isang dạng lượng giác từ dạng lượng giác ta chuyển dạng đại số

1 2

2 4 cos sin

2 3

i  i   i  

        

   

DĐ: 01694 013 498

2

2

4 cos sin

3.2 3.2

2

2 cos sin

3 2

4 cos sin

3.2 3.2

1

2

2 cos sin

2

3

1

2 cos sin -2 1 3

3 2 2

z i

z i z i

z i

z i i

z i

z i z i i

 

 

 

 

 

  

   



 

  

       



   

  

  

 



  

       

 

     





   



  

    



       

     

 

   

Vậy: Phần thực phần ảo z -1  Ứng dụng dạng lượng giác

Bài 1: Chứng minh rằng:

sin 5t 16 sin5t– 20sin3t5sint

cos 5t 16 cos t– 20 cos t5 cost Giải:

Dùng công thức Moivre công thức khai triển nhị thức costisint5

Ta được:

5 3 4 5

cos 5tisin 5tcos t5 cosi tsint10 cosi tsin t10 cos sini t t5 cos sini t ti sin t

   2  2  

5 2 2

cos 5t isin 5t cos t 10 cos t cos t 5cos sint t i5 sin t sin – 10 sint t sin t sin t

          

 

 

Đồng hai vế ta điều phải chứng minh

Bài 2: Giải phương trình: z5 z4 z3 z2   z 1 

Giải:

Ta có:  1  z4z1z2z1  z10

  

4

1

1

1 z

z z z

z z   

      

  



Xét phương trình:

2

4 2

2

1 2

os i sin

1 2 3

1

2 2

os i sin

2 3

z i c

i

z z z

z i c

 

 



    



  

     

    

      

    

   



Từ

cos sin

2 3

cos sin

3

cos sin

3

z i

z i

z i

 

 

 



 



   

   

DĐ: 01694 013 498

Từ

cos sin

3

2

cos sin

3

cos sin

3

z i

z i

z i

 

 

 

    

    



   

    

    



       

    

    

   



Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm:

z  ; z =

2

z   i;

2

z    i;

2

z  i;

2

z    i

Bài 3: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1  1 i z2 1 –i a Xác định dạng đại số dạng lượng giác

2

z z

b Từ suy giá trị xác của: cos7 12



sin7 12



Giải:

Ta có

1 3

1 2

z i

i

z i

 

  

    

  

Ta có: z1 = 2(cos



+ isin



); z2 = (cos



 



 

  + isin



 



 

 )



2

z

z = (cos 12



+ isin7 12



)

 cos7 12



=



và sin7 12



=



Bài 4: Cho số phức z0 có mơđun argument

5



A CMR z0 nghiệm phương trình z5 – 10 b Rút gọn biểu thức z– 1  z z2 z3 z4 c Hãy suy z0 nghiệm phương trình:

2

1

z z

z z

   

  

   

    + =

d Giải phương trình câu c

e.Từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos

5



sin2



Giải:

a Ta có: z0 = cos2



+ i sin2



Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos

5



+ i sin2



)5 = cos2  + isin2 =  z0 nghiệm phương trình z5 – =

b Khai triển đẳng thức ta

–

z 

DĐ: 01694 013 498

mà z0   z0 nghiệm phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 =  z2 ( 12 z +

1

z + + z + z

) (với z  0)

 z0 nghiệm phương trình 12 z +

1

z + + z + z

= (*)  đpcm

d Đặt y = z +

z  phương trình (*) có dạng:

2

1,2

1

–

2

y y   y   

e) Từ câu ta có: z0 nghiệm hai phương trình sau: z +

z = y1 z + z = y2 - Xét phương trình: z +

z = y1  z

– y1z + =  z2 +



z + =

2

1

2

1 5

1 5 5 2

4

2 2 1 5 5 5

4 2

i z

i

i z

   

  

 

     

 

       

    

       

 



- Xét phương trình: z +

z = y2 z

– y2z + =  z2+

1

2



z + =

2

1

2

1 5

1 5 5 2

4

2 2 1 5 5 5

4 2

i z

i

i z

   

  

 

     

 

       

    

       

 



Vì cos2



sin2



dương  phần thực phần ảo z0 dương

0

1 5

4 2

i

z z   

    cos2

5

  

  sin2 5

5 2

 



Bài 5: Tìm n số nguyên dương n1,10 cho số phức 1 3 n

z  i số thực

Giải:

Ta có: + i = os i sin

3

c  

 



 

   z =

n

os i sin

3

n n

c  

 



 

 

Để z  R  2n.sin n

=  sin n

=  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9] Bài 6: Giải phương trình:  

64 z   Giải:

Giả sử z x yir(cosisin )

Ta có: 6464(cos isin )

6 6

64 (cos sin ) 64(cos sin ) 64

Z   r i    i  r  r

Và cos6  + isin6  = cos  + isin   =  +2k  (k  Z)  = k

 

DĐ: 01694 013 498

Với k =  z1 = os isi

6

c  n

 



 

  = +i

Với k = -1  1 os - isi

6

z  c    n i

   

 

Với k =  1 cos sin

2

z    i   i

 

Với k = -2  1 cos sin

2

z   i    i

   

 

Với k = -3  1 cos sin

6

z     i     i

   

 

Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z 4 acgumen i

z





 Giải:

Ta có z 4 z4(cosisin ) z 4(cos()isin())

3

3 cos sin cos sin

6 6

i

i i i

z

   

 

  

     

            

      

Theo giả thiết

6

  

 

     

Vậy cos sin 2

3

z   i    i

   

 

Bài 8: Tính tổng sau: 2008 2008

(1 ) (1 )

S  i  i

Giải:

2008 1004

2008 1004

1 2(cos sin ) (1 ) (cos 502 sin 502 )

4

1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( ))

4 4

(1 ) (cos( 502 ) sin( 502 ))

i i i i

i i i

i i

 

 

   

 

      

      

     

Do đóS 21005cos(502 ) 21005

Bài 9: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác

Giải:

Xét phương trình z3 1 , có nghiệm zr(cosisin )  Khi

3

1 (cos sin )

3 ,

r

z r i

k k

 

 

 

     

 

 

DĐ: 01694 013 498

- Với k = ta có z cos1 sin2 3;

3 i i

 

    

- Với k = ta có 2 cos4 sin4

3 2

z   i    i

Nên có ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z , z , z 0 1 2 Khi 1; ;

3

OA  OB  OC  AOB  BOC  Từ suy tam giác ABC tam giác

Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta nhiều kết hay bất ngờ tổ hợp

Một số ứng dụng khác

Bài 1: Tính giá trị S C20090 C20092 C20094  C20092006 C20092008 Giải:

Xét khai triển:

   

2009

2009 2008 2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

0

(1 ) k k

k

i C i C C C C C C C C i



            

Mặt khác (1 )2009 ( 2)2009 2009 sin2009 21004 21004

4

i cos  i   i

     

 

So sánh phần thực phần ảo ta đợc 1004

2

S 

Nhận xét

Bằng việc xét khai triển (1i)n ta có kết tổng quát sau:

0

*

1

( 2)

( ) ( 2) sin

4 n

n n n

n

n n n

n

C C C cos

n n

C C C

  

   

 

 

    

 



Bài 2: Tính tổng S = C20100 C20102 C20104  C20102010 Giải:

Ta có S = C20100 i C2 20102 i C4 20104  i2010C20102010

Do giải sau:

Cách 1: S =

2010 2010

(1 ) (1 )

i i

  

Cách 2: S phần thực số phức 1i2010(do 1i2010và 1i2010 hai số phức liên hợp)

Bài tập tự giải:

Viết dạng lượng giác số phức Bài 1:

DĐ: 01694 013 498

b Viết dạng lượng giác số phức z2 ( ).i i

Bài 2: Viết số phức z dạng đại số: z( 2 i 2 ) Bài 3: Viết dạng lượng giác số phức sau:

a 1i b + i c (1i 3)(1i) d i i

 

1

e 2.i.( 3i) f

i 2

1

 g.zsini.cos

Đs:

a cos sin

3 i

 

    



   

 

   

 

b 

  

 



4 sin cos

2  i  c.2 cos( ) sin( )

12 i 12

 

 

  

 

 

d cos( ) sin( )

12 i 12

 

 

  

 

  e 4(cos3 sin 3)

 

i

 f cos( ) sin( )

4 i

 

 

  

 

 

g 

  

 

 

   

 

  



2 sin

cos i

Bài 4: Cho số phức z 1 i Hãy viết dạng lượng giác số phức z Bài 5: Viết dạng lượng giác số

2

z   i.Suy bậc hai số phức z

Bài 6: Viết số sau dạng lượng giác:

a z1 = + 6i b 2

4

z   i

c 3

2

z   i d z3 9 – 9i e z5  4i

Đs:

1 12 os i sin

3

z  c   

 ;

1 2

os i sin

2 3

z  c    

 ;

4

os i sin

3

z c   

4

5

18 os i sin

3

z  c    

 ;

3

4 os i sin

2

z  c    

 ;

Bài 12: Viết số phức sau dạng lượng giác:

a cos sin

6 i

 

 

   

  b cos17 isin17

 

 



 

 

c sin cos 17 i 17

 

 



 

  d – cosaisin , a a[0; )

Đs:

a 2(cos7



+isin7



) b cos

17



 



 

 + isin 17



 



 

 

c cos15 34



+ isin15 34



DĐ: 01694 013 498 - Nếu a  (0;2 )  sin

2 a

>  z2 = 2sin a

(cos(



- a

) + i sin (



-2 a

)) - Nếu a =  không tồn số phức dạng lượng giác

Bài : Tìm một acgumen số phức sau:

a 22 3.i b 4i c - d .i

4 sin

cos i  e

8 cos

sin i 

 f (1i 3)(1i)

Đs: a

3 2

b 3

c



 d

4



 e

8 5

 f

12





Dạng toán tính tốn:

Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:

a 1  ;

3 sin

cos i i5  i7

  

 

 



b  

 9

10

3

i i

 

; c 2000 20001 z

z  biết 1 1 z z

Bài 2: Chứng minh rằng:

12

3

i i

  

 

  

 

là số thực

Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :

12

3

64

i i

  

 

 

  

 

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau

a

 

10

(1 i) i

 

b cos sin 51 37

3 i i i

 

 

 

 

 

HD: Sử dụng công thức Moivre Đáp số: a Phần thực

16

 , phần ảo

b Phần thực 0, phần ảo 128

Bài 5: Áp dụng cơng thức Moivre để tính

a (cos15o isin15 )o b cos 30 o isin 30o7 c (1i)16 d

12

1

2 i

 



 

 

Bài 6: Hãy tính tổng S   1 z z2z3 zn1 biết z cos2 isin2

n n

 

 

Bài 7: Thực phép tính

a.3 cos120 oisin120o (cos 45oisin 45 )o b cos18 oisin18o(cos 72oisin 72 )o c 5(cos sin )3(cos sin )

6 i i

   

  d cos85 sin 85 cos 40 sin 40

i i

 

 

DĐ: 01694 013 498

e

2

2(cos sin )

3

2(cos sin )

2 i i      

f (cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 )

i i      

g (cos sin ) (15 )7 i i i

 

  h.z2008 20081 z

 biết z 1 z

 

i )

4 sin (cos ) sin

(cos i   i 

Đs: a 2 2 i

 b 3(cos5 sin5 ) 12 i 12

   c d i

 e

4 i

 f

6 2 i 

Bài 8: Tìm môđun z argument:

a  

      8

2 1

1 2 3 2

i i z i i      

b  

   

4

10

1

3

i z i i      

c z1i 3 n  1i 3n

Đs:

a |z| = 213 113

z   ; arg z   b 19

2

z  ; arg z =  c os5

3

n n

z   c  ; argz {0; }

Bài 9: Thực phép tính:

a cos 20 o  sin 20i ocos 25o  sin 25i o b

) 15 sin 15 (cos ) 45 sin 45 (cos 0 0 i i   c ) sin (cos ) sin (cos     i i  

d ) sin (cos ) sin

(cos i   i 

Đs: a 2 2 i  b 6 2 i

 c

4 i

 d 15(cos )

12 sin 12

5 

i  Bài 10: Tính:

a (cos12o + isin12o)5 b

7

0

2(cos 30 isin 30 )

  

  c

6

)

DĐ: 01694 013 498

d (1 + i)16 e

12        

i f

2008        i i g 21 3           i i Đs a i

 b 4 6i.4 c 26 d e f 1004

1 

h 221

Bài 11: Tìm một acgumen số phức sau:

a 22 3.i ĐS: 2

b – 4i ĐS:

4 3

c - i ĐS:



 d

4 sin

cos i  ĐS:   e cos

sin i 

 ĐS:

8 5

 f (1i 3)(1i) ĐS:

12



 Bài 12: Cho hai số phức z1  2 2i z2  1 3i

a Tính mơđun argument hai số phức nói b Tính mơđun argument z13 z22

3 2 z z

c Từ suy giá trị xác cos 12  sin 12  Đs:

a Ta có |z1| = 2; 1 =



; |z2| = 2; 2 =



b |z13| = 8; 3 =



; |z2| = 4; 4 =  ; 2 z

z = 2; 5 = 12



c.cos 12



=



và sin 12



=



Bài 13: Tìm căn bậc hai số phức sau:

a z 1 i b

2

i

 c 2 1 i 3 d 724i

Đs:

a

2

4

2 cos sin

2 k k k z i                    

, k  {0;1}

b 2 2 cos sin 2 k k k z i      

  , k  {0;1}

c 2 4 os isin k k k z c      

DĐ: 01694 013 498

d

4

2

3

2 os isin

2

k

k k

z c

 

 

 

 

 

   

 

 

 

, k  {0;1}

Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau:

a  32 

2 i i i

 

   

 

 

 

b 1i 2 2i i c.2 ( 4i  4 ) 3i   i d 1 i 5 5i

Đs:

a 12 (cos7



+ isin7



) b 4(cos0 + isin0) c 48 (cos5

12



+ isin5 12



) d 30(cos



+ isin



) Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn z 3i

z i

 

 z1 có acgumen





Đs: z2 2  i

Bài 16: Viết dạng lượng giác số phức z cho

z  acgumen

z i 

3





Đs: cos sin

3 2

z   i  

 

Bài tập tự giải phần ứng dụng: Bài 1: Cho n nguyên dương

a Chứng minh rằng: 20 22 24 27 26 22 22

n n n

n n n n n

n C  C  C  C  (  ) C  cos  b Tính S = 2 10 20

20 20 20 20

C  C  C   C Bài 2: Cho số nguyên dương n

a Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n b Chứng minh

  2 12

4 4 4 4 4

1C n C n C n  C nn  C n C n C n C n  C nn 16n Bài 3:

a Cho zcosisin (R) Chứng minh với số nguyên n1, ta có



n z

zn 1n 2cos ; i n

z

DĐ: 01694 013 498

 

sin5 5sin3 10sin  16

1 sin

, cos 4 cos cos

5

 

 

 



 



 



Bài 4: Cho số thực a,b, c số phức

2

z   i

Chứng minh rằng:abzcz2abz2 cz0.Dấu bất đẳng thức xảy nào? LỜI KẾT:

Trong năm gần đây, số phức xuất nhiều kì thi TN, CĐ, ĐH trở thành một phần thiếu đề thi, nhiên cịn có mặt hạn chế kiến thức đưa vào chương trình PT thể mà em cịn cảm thấy lo lắng sợ gặp tốn số phức

Vì tơi viết chun đề hi vọng em học tốt hơn, bạn đồng nghiệp có

thêm tài liệu giảng dạy…xin chân thành cảm ơn

Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa