Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Bài 1. Gọi 1 2 z , z là hai nghiệm phức của phương trình : 2 z 4z 20 0 + + = . Tính giá trị của biểu thức : 2 2 1 2 A z z = + và 2 2 1 2 2 2 1 2 z z B z z + = + . Bài 2. G ọ i 1 2 z , z là hai nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình: 2 z 2z 10 0 + + = . Tính giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c 2 2 1 2 A z z = + . (Chính thức…….khối A năm 2009) Bài 3. G ọ i 1 2 z , z là hai nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình : ( ) 2 z 1 i 2 z 2 3i 0 − + + − = . Khơng gi ả i ph ươ ng trình hãy tính giá tr ị c ủ a các bi ể u th ứ c sau: 1) 2 2 1 2 A z z = + 2) 2 2 1 2 1 2 B z z z z = + 3) 3 3 1 2 C z z = + 4) 3 3 1 2 1 2 D z z z z = + 5) 1 2 2 1 z z E z z = + 6) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 F z z z z z z = + + + . Bài 4. Gọi 1 2 z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2 z 2z 4 0 − + = . Tính giá trị của biểu thức : 2010 2010 1 2 1 2 z z A z z + = + . Bài 5. Gọi 1 2 3 4 z , z , z , z là bốn nghiệm của phương trình: 4 3 2 z 2z 6z 8z 8 0 − + − + = . Tính t ổ ng : 4 4 4 4 1 2 3 4 1 1 1 1 z z z z + + + . Bài 6. Cho s ố ph ứ c z th ỏ a mãn: 2 z 6z 13 0 − + = . Tính 6 z z i + + . Bài 7. Cho s ố ph ứ c z th ỏ a mãn ( ) 2 1 3i z 1 i − = − . Tìm mơđun của số phức z iz + . (Chính thức…….khối A năm 2010) Bài 8. Cho 1 2 z , z C ∈ , sao cho 1 2 1 1 z z 3; z z 1 + = = = . Tính 1 2 z z − . Bài 9. Tìm mơ đ un c ủ a s ố ph ứ c : 2 2 4 4 x y 2xyi z . xy 2 i x y − + = + + CHUYÊN ĐỀ. SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 10. Tìm số n ngun nếu 1) ( ) ( ) n n 1 i 1 i + = − 2) n n 1 i 1 i 0 2 2 + − + = . Bài 11. Biểu diễn số phức z 4 3i = − dưới dạng đại số. Bài 12. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện 2 z z là số th ự c và z z 2 3 − = . Tính z . Bài 13. Tính giá tr ị bi ể u th ứ c 2 n 2 2 2 1 i 1 i 1 i 1 i P 1 . 1 . 1 1 2 2 2 2 + + + + = + + + + . Bài 14. Tính giá tr ị bi ể u th ứ c 2 n 2 2 2 1 i 1 i 1 i 1 i P 1 . 1 . 1 1 2 2 2 2 − − − − = + + + + . Bài 15. Cho s ố ph ứ c z là m ộ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 2 z z 1 0 + + = . Rút g ọ n bi ể u th ứ c 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 P z z z z z z z z = + + + + + + + . TÌM SỐ PHỨC z THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z 1 1 z i − = − và z 3i 1 z i − = + . Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: ( ) z 2 i 10 − + = và z.z 25 = . (Chính thức…….khối B năm 2009) Bài 3. Tìm số phức z thoả mãn z 2 = và 2 z là số thuần ảo. (Chính thức…….khối D năm 2010) Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z 1 = và ( ) 2 2 z z 1 + = . Bài 5. Tìm số phức z sao cho z 1 = và z z 1 z z + = . Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z z = . Bài 7. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 − + = , tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất. Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Bài 1. Giải phương trình sau trên tập phức: 2 8 1 63 16 0 − − + − = z ( i)z i . Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2 z z 6z 8 16 0 z − + − − = . Bài 3. 1) Tìm các s ố th ự c a, b sao cho: ( ) ( ) 4 2 2 2 z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b − − − = − − + + ∀ z ∈C. 2) Giải phương trình: 4 2 z 4z 16z 16 0 − − − = . Bài 4. Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 2 2 z w zw 8 z w 1 − − = + = − . Bài 5. Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 i 1 3i z 1 i 2 i + − + = − + . TÌM TẬP HP ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Bài 1. Tìm số thực k, để bình phương của số phức k 9i z 1 i + = − là số thực. Bài 2. Tìm tất cả các số phức z sao cho z' (z 2)(z i) = − + là s ố thực. Bài 3. Tìm tất cả các số phức z sao cho 1 z z = . Bài 4. Tìm t ấ t c ả các s ố ph ứ c z sao cho 1 z z i 2 − = + . Bài 5. Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy, tìm t ậ p h ợ p đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z thõa mãn đ i ề u ki ệ n: ( ) z 3 4i 2 − − = . (Chính thức…….khối D năm 2009) Bài 6. Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy , tìm t ậ p h ợ p đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n: ( ) z i 1 i z . − = + (Chính thức…….khối B năm 2010) Bài 7. Xác đị nh t ậ p h ợ p các đ i ể m trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z tho ả mãn đ i ề u ki ệ n sau: 1) z k z i = − , k là 1 s ố th ự c d ươ ng. 2) z 5 = vµ z 7i z 1 + + lµ sè thùc. Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 8. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn ñiều kiện sau: 1) z 2 z 2 5 − + + = . 2) z 2 z 2 3 − − + > . 3) Rez c ≥ . 4) Imz 0 < . 6) ( ) ( ) 2 3 27 3 2 1 log 2 z i log 0. 2 z i + + + = + − 5) z Rez 1 = + . 7) 2 z 2 i u 2 z 2 i u 1 0, u . − + − − + + > ∀ ∈ ℝ 8) z 1 2 z i − ≥ − . 9) z i 1 z i 1 9 − + + + − = 10) z i 2 z i 4 + + − = . Bài 9. . . . Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m bi ể u di ễ n trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c c ủ a s ố ph ứ c 1 3 2 ω = + + ( i )z bi ế t r ằ ng s ố ph ứ c z th ỏ a mãn: 1 2 − ≤ z . Bài 10. Tìm các ñ i ể m bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z sao cho 1 z 2 z + = . CHÖÙNG MINH Bài 1. Ch ứ ng minh n ế u 1 2 1 2 z z 1, z z 1 = = ≠ thì 1 2 1 2 z z 1 z z + + là số thực. Bài 3. Chứng minh mọi số phức z, ta ñều có 1 z 1 2 + ≥ hoặc 2 z 1 1 + ≥ . Bài 4. Cho 1 2 3 z , z , z là ba số phức thỏa 1 2 3 z z z R 0 = = = > . Chứng minh rằng 2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 z z z z z z z z z z z z 9R − − + − − + − − ≤ . Bài 5. Cho hai số phức z, ω . Chứng minh rằng: z ω z ω 2 z ω z ω + + ≤ + . Bài 6. Cho hai s ố ph ứ c z, ω . Ch ứ ng minh r ằ ng: z ω z ω z ω 1 z ω 1 z ω 1 z 1 ω + + ≤ ≤ + + + + + + + + . Bài 7. Giả sử z a bi, z 1 = + ≠ ± . Chứng minh rằng z 1 ω z 1 − = + là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 2 a b 1 + = . Bài 8. Chứng minh rằng 1 2 z , z là những số phức liên hợp khi và chỉ khi 1 2 z z + và 1 2 z .z là những số thực. Biờn son : GV HUNH C KHNH Bi 9. Chng minh rng 1) Nu n 3 thỡ n n 1 i 3 1 i 3 2 2 2 + + = 2) Nu n 3 / thỡ n n 1 i 3 1 i 3 1 2 2 + + = Bi 10. Cho hai s phc 1 2 z , z .Chng minh ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z z z 2 z z + + = + . Gii thớch ý ngha hỡnh hc hờn thc ủó chng minh. Bi 11. Cho hai s phc 1 2 z , z .Chng minh 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z 1 z z z z . = + + 2) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z 2 z z Re z z . + = + 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z 1 z z z 1 z 1 . + + = + + Bi 12. Cho A v B l hai ủim trong mt phng phc ln lt biu din cỏc s phc z 1 , z 2 khỏc khụng tha món 2 2 1 2 1 2 z z z z + = . Chng minh rng tam giỏc OAB ủu ( O l gc ta ủ ). Bi 13. Xột cỏc ủim A, B , C trong mt phng phc theo th t biu din cỏc s phc 4i 1 i ; ( ) ( ) 1 i 2 i + ; 2 6i 3 i + . 1) Chng minh ABC l tam giỏc vuụng cõn. 2) Tỡm s phc biu din bi ủim D, sao cho ABCD l hỡnh vuụng. DAẽNG LệễẽNG GIAC CUA SO PHệC Bi 1. Tỡm phn thc v phn o ca mi s phc sau 1) ( ) ( ) 10 9 1 i 3 i + + . 2) ( ) 7 5 cos isin .i . 1 3i 3 3 + + . 3) 2010 2010 1 z z + nu 1 z 1 z + = . Bi 2. Tỡm s nguyờn dng n sao cho n i33 i.33 Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1) là một số thực. 2) là một số ảo. Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n n 1 i 3 1 i 3 2 2 2 − + − − + = . Bài 4. Cho z cos φ sinφ = + . Hãy tìm n n n n z z ; z z , n + − + ∈ ℤ Bài 5. 1) Cho z cos φ sinφ = + , chứng minh rằng n + ∀ ∈ ℤ ta có: n n n n 1 1 z 2cosn φ ; z 2isinnφ z z + = − = 2) Chứng minh rằng: 4 1 cos φ (cos4φ 4cos2φ 3) 8 = + + 5 1 sin φ (sin5φ 5sin3φ 10sinφ) 16 = − + Bài 6. Viết dưới dạng lượng giác của các số phức 1) ( ) [ ] 1 cos φ isinφ . 1 cosφ isinφ − + + + . 2) ( ) 1 cos φ isinφ 1 cos φ isinφ − + + + . Bài 7. Tìm acgument của số phức 2 4 ω z z = − , biết argz φ = và z 1 = . Bài 8. Cho 2 π 2π α 3 cos isin 3 3 = + . Tìm các số phức β sao cho 3 β α. = Bài 9. Xét các số phức z thỏa mãn ñiều kiện: 2z 2 i 2 1 − − = 1) Tìm tập hợp các ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện ñã cho. 2) Trong tất cả các số phức z thỏa ñiều kiện ñã cho, tìm số phức z có acgumen dương và nhỏ nhất. Bài 10. Tìm số phức z sao cho z i 1 z 3i − = + và z 1 + có m ộ t acgument b ằ ng π 6 − . BAÁT ÑAÚNG THÖÙC Bài 1. Cho s ố ph ứ c z th ỏ a mãn z 1 = . Tìm GTNN và GTLN c ủ a bi ể u th ứ c: 1 P z z = + . Bài 2. Cho s ố ph ứ c z th ỏ a mãn z a 0 = > . Tìm GTNN và GTLN c ủ a bi ể u th ứ c: 1 P z z = + . Bài 3. Cho s ố ph ứ c z th ỏ a mãn 1 z 1 z + = . Tìm GTNN và GTLN c ủ a z . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 1 z a 0 z + = > . Tìm GTNN và GTLN của z . Bài 5. Cho số phức z 0 ≠ thỏa mãn 3 3 1 z 2 z + ≤ . Tìm GTLN của biểu thức: 1 P z z = + . Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn z 1 = . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 2 P z 1 z z 1 = + + − + . Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn z 1 = . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 3 2 P 1 z 1 z z = + + + + . HẾT . Bài 3. Tìm số phức z thoả mãn z 2 = và 2 z là số thuần ảo. (Chính thức…….khối D năm 2010) Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z 1 = và ( ) 2 2 z z 1 + = . Bài 5. Tìm số phức z sao. k, để bình phương của số phức k 9i z 1 i + = − là số thực. Bài 2. Tìm tất cả các số phức z sao cho z' (z 2)(z i) = − + là s ố thực. Bài 3. Tìm tất cả các số phức z sao cho 1 z z = = . Bài 11. Biểu diễn số phức z 4 3i = − dưới dạng đại số. Bài 12. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện 2 z z là số th ự c và z z 2 3 − = . Tính z .