Mở đầu về số phức LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1. Trong đó: i là đơn vị ảo. a được gọi là phần thực của số phức b được gọi là phần ảo của số phức Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C. Chú ý: ♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. ♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Một số phức z biểu thức dạng z = a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i2 = –1 Trong đó: i đơn vị ảo a gọi phần thực số phức b gọi phần ảo số phức Tập hợp điểm biểu diễn số phức kí hiệu C Chú ý: ♦ Số phức z số thực b = 0, z = a ♦ Số phức z số ảo (hay số ảo) a = 0, z = bi a = a ' ♦ Hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i b = b ' ( ) ♦ Với i đơn vị ảo ta có: i = −1; i = i i = −i; i = i 2 = 1; i = i i = i Từ suy i n + i n +1 + i n + + i n + = Ví dụ: Tính tổng S = + i + i + i + + i 2012 Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm phần thực phần ảo số phức sau a) z = + 3i b) z = 4i c) z = –1 d) z = − 2i f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 2 e) z = (1 + i) – (1 – i) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa số phức ta có a) z = + 3i ⇒ a = 2; b = b) z = 4i ⇒ a = 0; b = c) z = –1 ⇒ a = –1; b = d) z = − 2i ⇒ a = 2; b = −2 e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức cho dạng rút gọn ( ) ( ) Ta có (1 + i ) − (1 − i ) = + 2i + i − − 2i + i = 2i − ( −2i ) = 4i ⇒ a = 0; b = , (do i2 = –1 ) 2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = – 2i ⇒ a = 9; b = –2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm số thực x y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) (1 − x ) + ( y + 1) i = ( x + y ) − ( x + 1) i Hướng dẫn giải: a = a ' Ta biết hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i b = b ' 2 x + = x + x = a) Ta có ⇒ 3 y − = y + y = 1 − x = x + y 4 x + y = x = b) Ta có ⇔ ⇒ 2 x + y = −2 y = −5 y + = − ( x + 1) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho z = ( 3a + ) + ( b − ) i Tìm số a, b để: a) z số thực b) z số ảo Hướng dẫn giải: Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) z số thực b – = 0, hay b = b) z số thuẩn ảo 3a + = 0, hay a = –2/3 Bài tập áp dụng: Bài 1: [ĐVH] Xác định phần thực phần ảo số phức: z = − 2i z = z = (1 + i)2 – (1 – i)2 z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 10 z = (2 + i) – (1 + 4i) z = −3 + 5i z = 12 z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) z = (2 + i)3 – (3 – i)3 z = (11 – 6i) – (2 – 4i) Bài 2: [ĐVH] Cho z = ( 2a − 1) + ( 3b + ) i với a, b ∈ R Tìm số a, b để: z số thực Bài 3: [ĐVH] Tìm số thực x y, biết: ( 2x + 1) + 5i = −4 + ( 3y − ) i ( z số ảo ) x − − 4i = − ( y + 1) i BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) biểu diễn điểm M(a; b) (hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (hay gọi mặt phẳng phức) Trong đó: - Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b Ví dụ 1: [ĐVH] Cho số phức + 3i; 3; –i; –1 + 2i có điểm biểu diễn A, B, C, D a) Chứng minh ABCD hình bình hành b) Tâm I hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào? MODULE CỦA SỐ PHỨC Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, module số phức z kí hiệu |z| tính theo biểu thức: z = a + b Ví dụ 1: [ĐVH] Tính module số phức sau z = + 3i z = 2i z = − i z = ( + i ) + (1 + 2i ) 2 Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z = a + b ta có 2 z = + 3i ⇒ z = + = 10 z = 2i ⇒ z = = z = − i ⇒ z = + = ( ) ( ) z = ( + i ) + (1 + 2i ) = + 2i + i + + 4i + 4i = ( + 2i ) + ( 4i − 3) = 6i ⇒ z = 2 SỐ PHỨC LIÊN HỢP Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp số phức z kí hiệu z tính theo biểu thức: z = a − bi Chú ý: + Các điểm M(a ; b) M’(a ; –b) biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục Ox + Các số phức z z có module nhau: z = z = a + b Ví dụ 1: [ĐVH] Viết số phức liên hợp số phức sau tính module chúng z = – 5i z = 7i Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 z = + i z = − 2i Hướng dẫn giải: Áp dụng z = a − bi , ta : z = − 5i ⇒ z = + 5i ⇒ z = + 25 = 29 z = 7i ⇒ z = −7i ⇒ z = 49 = z = + i ⇒ z = − i ⇒ z = 36 + = 37 z = − 2i ⇒ z = + 2i ⇒ z = + = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Tính z + z ', z − z ', z.z ' với 1) z = + 2i , z ' = + 3i 2) z = − 3i , z ' = + 4i 3) z = −4 − 7i , z ' = − 5i 4) z = + i , z ' = − + 2i Bài 2: [ĐVH] Thực phép tính sau : 1) (1 − i ) 2) ( + 3i ) 3) (1 + i ) + 3i 4) (1 + i ) 2010 Bài 3: [ĐVH] Viết số phức sau dạng đại số: 1) z = (1 + i )( − 3i ) − 2i 3) z = − 6i 5) z = − 3i 2) z = −5 + 6i + 3i 4) z = − 4i 4−i 6) z = − 2i i 4i 9) z = 1− i (2 + i)(12i) (2i)(1 + 2i) + 11) z = 2i 2+i Bài 4: [ĐVH] Cho z = − + i Hãy tính: , z , z , z 2 z − i 2 2+i 8) z = 5i + 2i 12i + 10) z = 12i + 2i 7) z = () , + z + z2 Bài 5: [ĐVH] Tính modun, tìm số phức liên hợp số phức sau: 1) z = + 3i 2) z = + 5i i 3) z = − 3i 2−i 4) z = − 2i 2+i 5) z = (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) 6) z = (1 + 2i )( − i ) 7) z = + 3i ( + i )( − 2i ) 8) z = + 5i 20 + − 4i + 3i 9) z = + 7i − 8i + + 3i − 3i 10) z = + 2i + (2 − i)(4 − 3i) 2+i Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( − 2i ) (1 − i ) z= (3 − 2i)(4 + 3i) 11) z = + − 4i − 2i ( + 2i )(1 − 3i ) + − i 13) z = ( ) + 3i 15) z = Facebook: LyHung95 12) 14) z = 1+ i (1 + 2i ) − (1 − i ) ( + 2i ) − ( + i ) 10 1+ i 16) z = + (1 − i ) + ( + 3i )( − 3i ) + i 1− i 33 1 1 i − 2i i 1+ i 1− i 17) z = + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) 18) z = + 1− i 1+ i Bài 6: [ĐVH] Cho số phức z1 = + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, 8 20 môđun, số phức đối số phức liên hợp số phức sau: 1) z = z1 + z + z3 2) z = z1z2 + z z3 + z3z1 3) z = z1z z3 4) z = z12 + z 22 + z32 5) z = z1 z z + + z z z1 6) z = z12 + z 22 z 22 + z32 Bài 7: [ĐVH] Tính z1 + z , z1 − z , z1.z , z1 − 2z , 2z1 + z , biết: 1) z1 = −5 + 6i, z = − 2i 2) z1 = + 2i, z = − 3i 1 3) z1 = − + i, z = − + i Bài 8: [ĐVH] Tìm số thực x, y thoả mãn: a) x(2 − 3i)2 + (2 y + 1)(1 + i)3 = −5(7 + 10i) b) (2 x + i)(3 + i)2 − ( x − y)(i − 2)3 = 18 + 76i c) (2 x + 1)(2 − i)3 − y (−3 + 2i)(2 − 3i) = − 85i Bài 9: [ĐVH] Tìm số phức z thoả mãn: a) iz + z − i = b) (3 − 2i) z = − i + z c) (1 − 5i) z + 10 + 2i = − 5i Bài 10: [ĐVH] Tìm số phức z thoả mãn: a) z +i +1+ i = + i 1− i b) − 3i + − 3i = z − 1+ i c) 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i Bài 11: [ĐVH] Cho số phức z thoả mãn z − z = 3(−1 + 2i) Tính w = z + z + z Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!