Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN NÂNG CAO I> TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
DẠNG I:
b a
dx b ax
x p )(
Cần ý : ax bdx a axb c
ln
1 Phương pháp :
* p(x) có bậc lớn cần phải tách phần nguyên cho biểu thức
+Viết ax b
A x
g b x a
x p
( )
) (
g(x) đa thức +
b a
dx b ax
x p )(
=
b a
b a
dx b x a
A dx
x g
)
(
VD: Tính tích phân sau:
2
1
1 0
1 0
3 2
dx 3 x 2
x 3) dx 3 x 2
1 x x 2) dx 1 x
1 x 1)
HD;
1)Ta viết x 1
2 1 1 x
1 x
+ 3
2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 1 x 2 x dx 1 x
2 1
2 1
ln ln
ln
ln
2)Ta viết
3 x 2
1 1 x 2 4 1 3
x 2
4 x 4 x 4 4 1 3 x 2
1 x
x2 2
+
3 8 1 2 1 0 1 3 x 2 2 1 x x 4 1 dx 3 x 2
1 1 x 2 4 1
I 2
1 0
ln
ln
3) Ta viết :
2x 3
27 9 x 6 x 4 8 1 3 x 2
x3 2
Từ ;
+ 16 3
27 24 40
3 16 27 3
40 8 1 0 1 3 x 2 2 27 x 9 x 3 3 x 4 8 1 dx 3 x 2
27 9 x 6 x 4 8 1 dx 3 x 2
x 3 2
1 0
2 1
0 3
ln
ln ln
Bài tập tự luyện phương pháp ; Tính tích phân sau:
dx 2 x 3
1 x 3 x 2 c) dx 3 x 2
5 x b) dx x 1
2 x 3 a
2 0
2 3
1
1 0
2
(2)DẠNG II
b a
n dx
b x a
x p
) (
Phương pháp ; Ta dặt t= a.x+b từ ta có : dt= adx a b t x
VD; Tính tích phân
1 0
2 dx
3 x
1 x 2
Đặt t= x+3 dtdx, xt-3
Vậy ; 12
5 3 4 2 dt t
5 t 2 dt t
5 t 2 dx 3 x
1 x
2 4
3
2 4
3 2 1
0
2
ln
DẠNG III:
b
a
2 bx cdx
x a
x p
) ( Ta phân làm trường hợp
* Trường hợp1 :
ax2 +bx +c = có hai nghiệm thực phân biệt Giả sử ax2 +bx +c= có hai nghiệm x
1 , x2
+ Khi cần xét :
a) p(x) có bậc lớn
Ta cần tách phần nguyên biểu thức viết phân thức dạng sau:
c bx x a
C c
bx x a
b x a 2 B A c bx x a
x p
2 2
2
) (
Đưa việc tính
b a
2 bx c
x a
dx
Để tính tích phân ta làm sau: + Biến đổi ax2 +bx+c = a(x- x
2)(x-x1)
+Áp dụng phương pháp đồng thức ta được:
2 1 2 1 2 x x1
1 x
x 1 x x
1 x
x x x
1
+ Từ ta có ;
a
b x x
x x x x
C c
bx x a B x A dx c bx x a
x p
1 2 1
2 2
b a
2 ( ln ln )
) (
b) Nếu p(x) có dạng mx+n
+
b a
2 bx cdx
x a
n mx
ta cần tìm A,B cho : mx+n=A(2ax +b) +B Từ :
+
b
a 2 2
b a
2 ax bx c
dx B
a b c bx x a A dx c bx x a
n mx
(3)
= a
b x x
x x x x
B a
b c bx x a A dx c bx x a
n mx
1 2 1
2 2
b a
2
ln ln
*
Trường hợp :
ax2 +bx +c = có nghiệm kép
Khi ta viết : ax2 +bx+c = x2 Và ta đặt ẩn phụ t = dx dt
x
Và có x= t
* Trường hợp3:
ax2 +bx +c = vô nghiệm
Chú ý ta biến đổi : ax2+bx +c =
2 2
a 2 a
2 b x a
Khi phép đặt 2a 2a t b
x tan
với t
2
2; để tính tích phân
b a
2 bx c
x a
dx
VD1:
Tính tích phân sau;
0 1
2 2
dx 6 x 5 x
x
=I
Ta có :x2 - 5x +6 = có hai nghiệm x= 2, x=3
+ Trước hết ta có : x 5x 6 6 x 5 1 6 x 5 x
x
2 2
2
+ Mặt khác ta cần tìm A,B cho; 5x-6 = A(2x-5)+B Ta có:
x = 65AB,
x= 2
13 B 2
5
10 25 A
2 x
1 3 x
1 2 13 6 x 5 x
5 x 2 10 25 1 6 x 5 x
x
2 2
2
+Vậy 8
9 2 13 2 1 10 25 1 0
1 2 x
3 x 2 13 6 x 5 x 10 25 x
I ln 2 ln ln ln
VD2; Tính tích phân I=
3 2
2 1dx
x 2 x 3
Xác định A ,B cho 3x+2 =A(2x) + B
+ Ta có ; với x= B= , x= -1 -1= -2A +B Giải hệ ;
B A 2 1
B 2
(4)+ Từ ;
3 2
2 1dx
x 2 x 3
=
3 2
2 3
2
2 x 1
dx 2 dx 1 x
x 2 2 3
= x 1 dx
1 1 x
1 2
3 1 x 2
3 3
2
2
ln
= 2
3 3 8 2 3
ln ln
VD3;
Tính tích phân ;
1 0
2 2
dx 4 x 4 x
3 x
Ta có nhận xét ; x2 -4x+4=(x-2)2
+ ta đặt t= x-2 xt2 , dt= dx
+I = 2 4 2
3 2 1 t 1 t 4 t dt t
1 t 4 1 dt t
1 t 4
t 1
2
2 1
2 2 2
ln
ln
VD 4;
Tính tích phân sau; I = x 2x 5dx
1 x 2
1 1
2
+ Ta cần phân tích : x 2x 5 1 x 2
2
phương pháp đồng thức + Ta tìm A, B cho 2x+1 = A (2x+ 2) +B
+x= 1=2A+B, x= -1 B=-1
Giải hệ :
1 B
1 A B
1
B A 2 1
Vậy : x 2x 5dx
1 x 2
1 1
2
=
1
1 2 2
1 1
1 1
2
2 x 2x 5 2 J
dx 1
1 5 x 2 x 5 x 2 x
dx dx
5 x 2 x
2 x 2
ln ln
+ Để tính tích phân: J =
1 1
2 2x 5
x dx
ta làm sau:
Biến đổi : x2 2x5x12 4 vàđặt x+1=2tant , dx21tan2tdt đổi cận : x= -1 t=0, x= 1t =4
+
1
1
2 2x 5
x dx
=
4 0
4 0 2
2
8 dt 2 1 t 1
4
dt t 1
2
tan tan
Đ/s: Vậy I =ln2 - 8
VD5: Tính tích phân sau I =
0
1
2 x 1dx
x
3 x 4
+ Ta tìm A,B cho : 4x+3 = A(2x+1) +B
Bẳng phương pháp đồng thức ta tìm A= 2, B=
+ I =
0 1
0 1
2 2
2 1 J 0 J J
0 1 x x 2 1 x x
dx dx
1 x x
1 x 2
(5) 0 1 2 4 3 2 1 x dx J
Ta đặt : 2 1 t
3 dx t 2 3 2 1
x tan tan2
Đổi cận : x= -1 t 6
, x = t 6
+
9
3 2 3 3 3 2 dt t 1 4 3 t 1 2 3 J 6 6 2 2 tan tan
Bài tự luyện :
Tính tích phân sau: Bài 1: 1 0 1 0 2 1 5 5 6 4 2 3 1 0 2 2 3 1 0 1 0 1 0 2 3 dx x 1 x x -1 7) dx 1 x 1 x 6) dx 2 x x 2 x 1 x 4 5 dx 9 x 2 x 1 x 10 x 2 x 4) dx 3 x 2 x 3 x 3) dx 1 x 4x 2) dx 3 x 9 x 2 1 ) )
x 1 x dx
1 x 2 8) dx 1 x 1 x 7) dx 3 x 4 x 4 4x 6) dx 3 x 2 x 4 5 2 x 2 x dx 4) dx 1 x x 3) dx 5 x 4 x 3 2) dx x 4 x 1 0 2 0 -1 1 0 3 1 2 6 6 4 2 2 2 2 1 0 1 0 2 1 0 0 -1 2 2 4 2 2 2 ) )
II > TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VƠ TỶ THƯỜNG GẶP
DẠNG I:
n d cx b x a x
R ,
dx
Phương pháp giải : Ta thường đặt cx d b x a tn
VD; Tính tích phân sau: I=
1 0 dx x 1 x 1
Ta đặt 2 22
2 2 t 1 t 4 dx t 1 t 1 x x 1 x 1 t x 1 x 1 t
Vậy; I=
1 0 1 0 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 I 4 I 4 dt t 1 1 4 t 1 dt 4 dt t 1 t 4
(6)I=
4
0
4 0 2
2 1
4 du du
u 1
u 1
I
/
tan tan
Để tính I2 ta biến đổi +
1
0
2 2 2
t 1
dt I
4 0
4 0 4
0 2 4
0
2 2
2 2
du u 2 s co 1 2 1 du u du
u 1
1 du
u 1
u 1
cos
tan tan
tan
= 4
1 8 2 1 4 2 1 0
4 u 2 2 1 u 2 1
sin
Vậy: I= 2 1 21
Chú ý:
Nếu tích phân có dạng :
dx x a
x a x
R , )
(
người ta thường đặt x = a.cos2t + Nếu tích phân tính sau:
Đặt x= cos2t dx2sin2tdt
Và ta có :
+
dt t 2 s co 1 2 tdt 4
dt t 2 t 2 tdt 2 t 2 s co 1
t 2 s co 1 2 dx x 1
x
1 4
0 4
0 2 4
0 4
0 1
0
sin
sin tan sin
=
1 2 0
4 t 2 2 1 t
2
sin
DẠNG II:
s
r n
m
d cx
b x a d x c
b x a x
R ,
,
m,n, s, r số nguyên dương ,a,b,c,d
hằng số
Phương pháp ta thường đặt t=
k
d x c
b x a
với k = BSCNH mẫu số( n,s ) VD; Tính tích phân :
2 1
dx 1 x 1
x
=I
Ta đặt t= x1 2tdtdx, đổi cận x= 1 t=0, x=2 t=1
+I=
1 0
1 0
2 2
2 4 3 11 dt t 1
2 2 t t 2 dt t 1
1 t t
2 ln
VD2: Tính tích phân; I =
0
1 3
dx 1 x 1
(7)Ta đặt t= 6 x16t5dtdx
đổi cận : x= -1 t=0, x= t=1
+I =
1 0
2 3 4 5 7 1
0
2 2
3 4 6 2
8 5
0 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 7
t 6 dt 1 t
1 t 1 t t t t t 6 dt t 1
t t
+
2 3 2 3 70 199 1 t
dt 6 1 t
1 t d 3
1 0
2 1
0 2
2
ln
Bài tập tự luyện :
Tính tích phân sau:
2
0
2 63
0
1
0 3
3
1 x 3 x
dx 3)
1 x 2 1 2x
dx 2)
dx 2 x 3
1 x 1)
DẠNG III: Rx, a.x2 bxcdx a,b,c số thực, a Phương pháp : Ta dùng phương pháp lượng giác hoá cách biến đổi ,
ax2 +bx+c =
2 2 2
a 4
ac 4 b a 2
b x a
đặt t= x+2a b
để đưa dạng sau;
x t dt
R 2 2
, Thì ta đặt t tanu +Rx, 2 t2dt Thì ta đặt t sinu +Rx, t2 2dt Ta đặt u
1 t
cos
Chú ý:
nhiều lượng giác hố gặp khó khăn cần sử dụng phương pháp đại số hoá sử dụng phép biến đổi Euler
+ Nếu a >0 đặt a.x2 bxc t ax +Nếu c > đặt a.x2 bxc tx c +nếu ax2 +bx+c =0 có nghiệm x
1, x2 đặt 1
2 bx c t x x
x
a đặt
2
2 bx c t x x
x
a
Chú ý :
+
C a x x a
x
dx 2 2
2
2
ln
Vd1: Tính tích phân sau I=
1
1 x2 2x 5
dx
(8)Đặt x-1 =2tantdx21tan2tdt, đổi cận x= -1 ta có t= -4
, x=1 ta có t =4
I=
4 4 t 1
t 1 2 1 t d t 1
1 t
1 1 2
1 dt t 1
st co dt
st co
1 dt
st co
1 2
t
1 4
4
4
4 2
4
4 4
4
2
sin
sin ln sin
sin sin
sin
tan
= ln 21
Ta nhận thấy cách đặt đổi biến lượng giác vâyh có phần phức tạp ta đổi biến đại số sao?
+ Ta thử đổi biến phép biến đổi sau Đặt x2 2x5 x12 4 tx1
+ Khi x 2x 5
dx t
dt dx 5 x 2 x
1 x 1
dt
2
2
+ Đổi cận : x=-1t2 21, x= t= +
2
1 2 2
1 2 t
dt
I ln
DẠNG IV :
dx
c bx x
a
dx n mx
2
.
Bàng phương pháp đồng thức ta tìm A,B cho : mxn A2abB + Từ ta có ;
+
dx
c bx x a
dx n mx R
2
=
c bx x a
dx B
dx c bx x a
b a 2 A
2
2 .
Như ta tích phân quen thuộc biết cách tìm
VD: Tính tích phân:
1
0 x2 4x 5
dx 4 x
+ Ta tìm A, B cho : x+4 =A(2x+4) +B Bằng phép đồng thức hai vế A= 2
1
, B= + ;
1
0 x2 4x 5
dx 4 x
= 2 5
10 3 2 5 10 5
x 4 x
dx 2
5 x 4 x
5 x 4 x d 2 1 1
0
1
0 2
2 2
ln
)
(
Bài tập tự luyện
Tính tích phân sau:
-2 3
- 2
0 1
2
1 2
2 x 2x 3
dx 4 -7x c) 5 x 12 x 4
dx 1 x 2 b)
2 x 2 x
(9)DẠNG V: mxn ax bxc
dx
2
(m2 +n2 0)
Phương pháp ; ta đặt t mxn t mx n 1
Ta đặt t a.x2 bxc t ax bx c
1 . 2
, ngồi ta đổi biến lượng giác
VD; Tính tích phân : I=
2 1
2
1 2x 3 4x2 12x 5
dx
+ Ta biến đổi :I=
2 1
2
1 2x 3 4x2 12x 5
dx
=
2 1
2
1 2
2 1
2
1 2 2x 3 2x 3 4
3 x 2 d 2
1 4 3 x 2 3 x 2
dx
+Đặt t2
dt 3
x 2 d 3 x 2 t 1
( )
+Đổi cận x= 4
1 t 2 1 x 2 1 t 2 1
,
+ :I=
2 1
2
1 2x 3 4x2 12x 5
dx
=
4
1
2 1
2 1
4
1 2
2
t 4 1
dt 2
1 4 t
1 t
dt 2
1
+ Bằng phép đỏi biến lượng giác : đặt t=2 u 1
sin
, t= 2 u 2
1 t 6 u 4
1
,
+dt= 2 udu 1
cos
Khi : I=
2
6
4
6
12 du 4 1 du u u 4
1
cos cos
Bài tập tự luyện :
Tính tích phân sau;
3
2
5
1 0
1
0 2
2
2 x 7 3 2x x
dx 3)
5 x 4 x 1 x
dx 2)
4 x x
dx 1)
(HD; đặt x=1+2cos2t)
(10)