Bài viết trình bày một hướng tiếp cận số nhằm xác định đặc trưng hữu hiệu của vật liệu đa tinh thể dị hướng. Kỹ thuật đồng nhất hóa được xây dựng trên mối liên hệ giữa hai cấp độ vật liệu (cấp độ vi mô và cấp độ vĩ mô). Cấp độ vi mô thể hiện cấu tạo vi mô của vật liệu bao gồm các pha vật liệu đa tinh thể dị hướng.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 13 (4V): 129–138 XÁC ĐỊNH ĐẶC TRƯNG HỮU HIỆU CỦA VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ DỊ HƯỚNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT HĨA Nguyễn Hồng Phươnga,∗, Lê Văn Cảnha , Nguyễn Trung Kiênb a Bộ môn kỹ thuật xây dựng, Đại học Quốc Tế, Đại học Quốc gia TP HCM, Khu phố 6, quận Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam b Khoa Xây Dựng, Đại học Sư phạm kỹ thuật TP HCM, Võ Văn Ngân, quận Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 10/08/2019, Sửa xong 10/09/2019, Chấp nhận đăng 11/09/2019 Tóm tắt Bài báo trình bày hướng tiếp cận số nhằm xác định đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng Kỹ thuật đồng hóa xây dựng mối liên hệ hai cấp độ vật liệu (cấp độ vi mô cấp độ vĩ mô) Cấp độ vi mô thể cấu tạo vi mô vật liệu bao gồm pha vật liệu đa tinh thể dị hướng Phân bố hướng đơn tinh thể thay đổi ngẫu nhiên phụ thuộc vào loại vật liệu khác Thuộc tính hữu hiệu vật liệu đa tinh thể tính tốn trung bình thể tích mẫu phần tử đại diện Giá trị trung bình thể tích đặc tính hữu hiệu sử dụng cho điểm vật liệu thuộc cấp độ tính tốn vĩ mơ Kết nghiên cứu so sánh với nghiên cứu lý thuyết Từ khoá: đồng hóa; phần tử đại diện; vật liệu đa tinh thể; phương pháp đa tỉ lệ; đặc trưng hữu hiệu DETERMINATION OF THE EFFECTIVE PROPERTIES OF RANDOM ORIENTATION POLYCRYSTALS USING HOMOGENIZATION METHOD Abstract This research presents a numerical approach to determine the effective elastic properties of polycrystalline materials with random orientations of constituent crystals The homogenization method is based on two scale of materials (micro scale and macro scale) The Micro scale can show the details and structure of the components with various orientation of materials The effective elastic properties of polycrystals, which have random of principle directions, can be calculated by averaging the Representation Volume Element (RVE) The result will be compared with analytical solutions Keywords: homogenization method; representation volume element; polycrystals materials; multiscale method; the effective properties https://doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(4V)-12 c 2019 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Việc nghiên cứu tính chất đàn hồi vật liệu thu hút quan tâm toán kỹ thuật Vật liệu đa tinh thể dị hướng đóng vai trò quan trọng ngành xây dựng vật liệu thể rắn hầu hết cấu tạo dạng đa tinh thể Sự xếp chồng ngẫu nhiên lớp tinh thể với phân bố hướng khác thể không đồng vật liệu Ứng xử vật liệu vĩ mô chịu tác động lớn phân bố kết cấu hình thái tinh thể Để tiên đốn xác ứng xử tồn thể nhóm tinh thể phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu, hướng tiếp cận nguyên lý biến phân ∗ Tác giả Địa e-mail: nhphuong@hcmiu.edu.vn (Phương, N H.) 129 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng thực toán cận xác định nhanh chóng cận số đàn hồi hữu hiệu vật liệu nhiều pha vật liệu Phương pháp cận Voight-Ruess-Hill [1–3] xây dựng nguyên lý cực tiểu hoá lượng phương pháp đơn giản áp dụng rộng rãi Nguyên lý biến phân Hashin-Shtrikman [4] thu hẹp khoảng cách cận cận so với nghiên cứu Hill Bên cạnh nghiên cứu nước, nghiên cứu tác giả Pham Đức Chính [5, 6] đề xuất phương pháp biến phân để xác định số đàn hồi hữu hiệu Tuy nhiên, hướng tiếp cận theo nguyên lý biến phân đưa khoảng dao động cho số vật liệu Biên dao động tuỳ vào trường hợp phân bố vật liệu Điều giải phương pháp FE2 (sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để rời rạc hố tốn cấp độ vĩ mơ tốn cấp độ vi mơ) Việc chụp XRay mặt cắt vật liệu thực đưa thơng số giúp cho q trình mơ FE2 thuận lợi Điểm quan trọng phương pháp kỹ thuật đồng hoá vật liệu Kỹ thuật đồng hoá thực nghiên cứu vật liệu không đồng Cấu tạo vật liệu không đồng cấp độ vi mô (micro scale) đồng hố tính tốn áp dụng cho điểm vật liệu cấp độ vĩ mô (macro scale) Kỹ thuật thu hút ý nhà nghiên cứu giới vật liệu [7–18] Qua nghiên cứu trên, việc ước lượng đặc trưng đàn hồi vật liệu đa tinh thể dị hướng cách xác u cầu tốn có kích thước nhỏ Trong báo này, phần tử đại diện hai chiều sử dụng rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn Kỹ thuật đồng hóa áp dụng nhằm đưa đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng Lý thuyết sở 2.1 Phần tử đại diện Xem xét vật liệu không đồng liên tục A ∈ Ω2 thay vật liệu đồng liên tục A M ∈ Ω2 (cấp độ vĩ mô - Macro scale) tương đương điểm vật liệu có kết cấu vi mơ (micro scale) khơng đồng Am ∈ Ω2 kèm theo Hình Bài tốn đồng hố thể tích phần tử đại diện Kích thước tốn vi mơ lmicro nhỏ nhiều lần với kích thước tốn vĩ mơ lmacro nên tính tốn cấp độ vi mơ lực thể tích bỏ qua Phương trình cân tốn cấp độ vi mơ ∇ · σm = Am σm ứng suất đàn hồi toán cấp độ vi mô 130 (1) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các đặc trưng cấu tạo vật liệu không đồng thể thơng qua phần tử thể tích đại diện (RVE) nên kích thước RVE cần lựa chọn - Đủ lớn để mơ tả hết tính chất vật liệu - Đủ nhỏ để đảm bảo thỏa mãn yếu tố giảm yếu toán 2.2 Định lý trung bình Tensơ biến dạng vĩ mơ ε M trung bình thể tích tensơ biến dạng vi mơ εm εM = Am εm dAm (2) Am Tensơ ứng suất vĩ mơ σ M trung bình thể tích tensơ ứng suất vi mơ σm σM = Am σm dAm (3) Am Ứng suất cấp độ vi mô thể qua biểu thức sau ∇X = I (4) Xi vectơ vị trí nút biên, I ma trận đơn vị Từ (1) (4) ta xây dựng mối liên hệ sau ∇ (σm X) = (∇σm ) X + (∇X) σm = σm (5) Áp dụng cơng thức (5) vào định lý trung bình (3) ta có σM = Am ∇ (σm X)dAm = Am Am nσm XdΓm = Γm Am fXdΓm = Γm Am Np fi Xi (6) i fi lực nút biên i, Γm Xi biên phần tử đại diện NP số nút biên 2.3 Điều kiện biên toán cấp độ vi mơ Trong tốn vi mơ, biến dạng cấp độ vĩ mô ε¯ M biến đổi thành điều kiện biên chuyển vị cho toán cấp độ vi mô Nhiều quan điểm để áp đặt điều kiện biên khác dẫn đến phương pháp khác Miehe [7], Molina [19], Kouznetsova [15] Trường chuyển vị tốn cấp độ vi mơ chia thành hai thành phần, trường chuyển vị trung bình u¯ trường chuyển vị biến thiên tuần hoàn u˜ u = u¯ + u˜ (7) Trong trường hợp sử dụng điều kiện biên tuần hoàn u˜ = Γm 131 (8) 2.3 Điều kiện biên tốn cấp độ vi mơ Trong tốn vi mô, biến dạng cấp độ vĩ mô εM biến đổi thành điều kiện biên chuyển vị cho tốn cấp độ vi mơ Nhiều quan điểm để áp đặt điều kiện biên khác dẫn đến phương pháp khác Miehe [7] Molina[19] KouznetsovaPhương, [15] N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình2.2.Các Cácnút nút trên phần RVE Hình phầntửtửđại đạidiện diện RVE ((Font chữ hình Times New Roman, khơng đậm, biến hình để nghiêng giống cơng thức) Chuyển vị trung bình phần tử đại diện RVE u¯ xác định theo biểu thức ε¯ ε ¯ 11 12 X1 u¯ = ε¯ M X = ε¯ ε¯ 22 X2 21 (9) X toạ độ điểm thuộc phần tử đại diện, ε¯ M biến dạng từ cấp độ vĩ mô Điều kiện biên tuần hoàn phần tử đại diện thể qua mối liên hệ tuần hoàn cặp nút biên độc lập Γ+ biên phụ thuộc Γ− u˜ + =u˜ − (10) u˜ + chuyển vị biên trái biên dưới; u˜ − chuyển vị biên phải biên Mối liên hệ biểu thức (10) viết lại theo bậc tự Cu = (11) Ràng buộc tuần hoàn phân loại thành bậc tự độc lập bậc tự phụ thuộc ui ud Ci Cd =0 (12) Mối liên hệ bậc tự phụ thuộc ud bậc tự độc lập ui thể ud = −C−1 d Ci ui = Cdi ui (13) Xem xét toán cấp độ vi mơ, ta xây dựng phương trình tuyến tính hệ thống Ku = f (14) Phương trình tuyến tính hệ thống viết lại Kii Kid Kdi Kdd ui ud = fi fd (15) Phuơng trình tuyến tính hệ thống rút gọn theo bậc tự độc lập K∗ = Kii + Kid Cdi + CTdi Kdi + CTdi Kdd Cdi f ∗ = fi + CTdi fd K ui = f ∗ (16) ∗ 132 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 2.4 Kỹ thuật trung bình hố thể tích Sau tính tốn tốn cấp độ vi mô, ma trận số vật liệu tương đương thỏa mãn biểu thức sau σ M = D M ε¯ M (17) Trong toán 2D, chuyển vị nút góc xác định sau X ε11 X2 ε u¯ i = = TiP ε¯ M 22 X2 X1 ε12 (18) Chuyển vị nút góc RVE tính sau ub = T1P T2P T3P T4P T ε¯ M = TP ε¯ M (19) Phương trình tuyến tính hệ thống viết lại theo bậc tự sau khử điều kiện biên K∗aa K∗ab K∗ba K∗bb u∗a u∗b = fb∗ (20) u∗a chuyển vị nút khơng nằm góc RVE u∗b chuyển vị nút nằm góc RVE Sử dụng phương pháp giảm bậc tự để chuyển bậc tự nút K∗bb = K∗bb − K∗ba K∗aa K∗bb u∗b = fb −1 K∗ab (21) Ứng suất cấp độ vĩ mô tính theo cơng thức (6) thay vào cơng thức (21) σM = T ∗ ∗ T ∗ T ∗ T f = T K u = T K TP ε¯ M Am P b Am P bb b Am P bb (22) Đồng công thức (22) công thức (15) ta thu ma trận số vật liệu DM = T ∗ T K TP Am P bb (23) Với trường hợp phân bố vật liệu ngẫu nhiên tính chất hữu hiệu tính đồng hóa Sau phương pháp Monte-Carlo sử dụng để ước lượng giá trị trung bình thống kê tính chất hữu hiệu kết cấu 2.5 Vật liệu đa tinh thể Thông số vật liệu đơn tinh thể đơn giản (tinh thể đối xứng vuông) thể theo Bảng với ba thông số độc lập D11 D12 (24) D = D12 D11 0 D33 Ma trận vật liệu hữu hiệu tinh thể với hướng ngẫu nhiên α Dα = TTα DTα Tα ma trận xoay trục theo góc α 133 (25) Ma trận vật liệu hữu hiệu tinh thể với hướng ngẫu nhiên a T T DT T a== a a DD T DT a a a (25) (25) VớiTTalàlàma matrận trậnxoay xoaytrục trụctheo theogóc góc Với a.a a Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng1.1.Mô Môđun đunđàn đàn hồi hữu hiệu đơn tinh thể Bảng hồi hiệu đơn Bảng Mô đun đàn hồihữu hữu hiệu đơn tinhtinh thể thể Vậtliệu liệu Vật 11=D DD 11=D 22 22 D33D33 Al Al Al 108.0 108.0 108.0 28.3 28.3 28.3 Vật liệu D11 = D22 D12D12 D33 D12 62.0 62.0 62.0 dụsốsố 3.3.VíVídụ Xem Ví dụxét số vật liệu đa tinh thể lục giác với phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu [0º;90º] Xem xét vật liệu đa tinh thể lục giác với phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu [0º;90º] ◦ ◦ thể theo Hình Kích thước phần đại diện tăng dần lục giác Xem xéthiện vật liệu đaHình tinh thể giác với sựcủa phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu [0với ; 90các ] thể thể theo 3.3.lục Kích thước phần tử tử đại diện tăng dần với lục giác Hình Kích thước phần1.tử đại diện tăng dần với cácđược lục giác có bán ngoại đềutheo bánkính kính ngoại tiếp 1.Mỗi Mỗi tinh giác chia thành 24 phần cócóbán ngoại tiếp tinh thểthể lụclục giác chia thành 24 kính phần tử tử tiếp Mỗi tinh thể lục giác chia thành 24 phần tử tam giác T3 tamgiác giácT3 T3 tam Tạp Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2019 Tạp chíchí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 (a) Mẫu 3×4 tinh thể (b) Mẫu 5×8 tinh thể (a) (a)Mẫu Mẫu3×4 3×4tinh tinhthểthể (b)(b) Mẫu 5×8 tinh thểthể Mẫu 5×8 tinh 77 (c) Mẫu 9×16 tinh thể (c) (c)Mẫu Mẫu9×16 9×16tinh tinhthểthể (d) Mẫu 17×32 tinh thể (d)(d) Mẫu 17×32 tinhtinh thểthể Mẫu 17×32 ◦ ◦ Hình Phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu đa tinh thể [0 ; 90 ] Hình nhiên hướng vậtvật liệu đađa tinh thểthể [0º;90º] Hình3.3.Phân Phânbốbốngẫu ngẫu nhiên hướng liệu tinh [0º;90º] Hình 3(a) 3(a) với 368 phần tửphần T3 vàtử406 bậc tự406 bàitự tốn 3×4 tinh thể, Hình 3(b) vớithể, 1504 Hình với 368 vàvà bậcbậc tự bàibài tốn 3×43×4 tinhtinh Hình 3(a) với 368 phần tửT3T3 406 tốn thể, Hình tự tự dodo bàibài tốn 5×8 tinhtinh thể,thể, Hình 134 Hình3(b) 3(b)với với1504 1504phần phầntửtửT3T3vàvà1574 1574bậc bậc tốn 5×8 Hình 3(c) với 6080 phần tử T3 6214 bậc tự tốn 9×16 tinh thể Hình 3(d) 3(c) với 6080 phần tử T3 6214 bậc tự tốn 9×16 tinh thể Hình 3(d) với bậc tựtự dodo bàibài tốn 17×32 tinh thể.thể với24448 24448phần phầntửtửT3T3vàvà24710 24710 bậc tốn 17×32 tinh Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng phần tử T3 1574 bậc tự tốn 5×8 tinh thể, Hình 3(c) với 6080 phần tử T3 6214 bậc tự tốn 9×16 tinh thể Hình 3(d) với 24448 phần tử T3 24710 bậc tự tốn 17×32 tinh thể Cận Voigt Ruess mô đun đàn hồi khối mô đun đàn hồi trượt đa tinh thể hình vng xác định sau D11 + D12 KV = KR = Tạp chí Khoa học Cơng nghệ dựng NUCE 2019 Xây Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 D11 − D12 + × D33 GV = (26) dựng NUCE 2019 Tạp Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây × (D11 − D12 ) × D33 GR = (D11 − D12 ) + × D33 (a)Mẫu Mẫu3×4 3×4tinh tinhthể thể (a) (a) Mẫu 3×4 tinh thể (a) Mẫu 3×4 tinh thể Mẫu 5×8 tinh (b)(b)Mẫu 5×8 tinh thểthể (b) Mẫu 5×8 tinh thể (b) Mẫu 5×8 tinh thể (c) Mẫu 9×16 tinh thể (d) Mẫu 17×32 tinh thể (c)Mẫu Mẫu9×16 9×16tinh tinhthể thể Mẫu 17×32 tinh (c) (d)(d)Mẫu 17×32 tinh thểthể (c) Mẫu 9×16 tinh thể (d) Mẫu 17×32 tinh thể Hình Phân bố mô đun đàn hồi trượt hữu hiệu D33 đa tinh thể dị hướng nhơm Hình 4.Phân Phânbố bốcủa củamô môđun đunđàn đànhồi hồitrượt trượt hữu hiệu Dcủa tinh dị hướng nhơm Hình hữu hiệu D33 đađa tinh thểthể hướng nhơm 33 Hình4.4 Hình Phânbố mơ đun đàn hồi trượt hữu hiệu D đa tinh thể dịdịhướng nhôm 33 Biểu đồ phân bố mô đun đàn hồi chịu kéo mẫu thử thể Hình Đường Biểuphối đồphân phânbố bốmơ mơ đunđàn đàn hồichịu chịu kéocủa mẫu thử Biểu đồ đun hồi chịu kéo mẫu thử thểthể Biểu đồ phân bố mô đàn thể cong phân chuẩn ướcđun lượng vớihồi độ tin cậykéo 95%của sai số mẫu chuẩnthử nhỏđược 0,02 Qua đó, tỉ Hình 4.4 phối chuẩn ước lượng với độđộ tin cậy 95% vàsai Hình 4.Đường Đường cong phân phối chuẩn ước lượng với tin cậy 95% vàsai sai lệ tinhcong thể phân kích thước RVE giảm dần lượng biên độ với dao động giá trịvà ngẫu nhiên Hình Đường cong phân phối chuẩn ước độ tin cậy 95% sốsốsố Hình chuẩn tinh thểthể vàvà kích thước RVE giảm chuẩn nhỏhơn hơn0,02 0,02.Qua Quađó, đó,khi khitỉ tinh kích thước RVE giảm 135 chuẩnnhỏ chuẩn nhỏ 0,02 Qua đó, tỉ tỉlệ lệlệgiữa tinh thể kích thước RVE giảm dần trịtrịngẫu ngẫu nhiên giảm dần Điều thểthể dần thìbiên biênđộ độdao daođộng độngcủa củacác cácgiá giátrị ngẫu nhiên giảm dần Điều dầnthì dần biên độ dao động giá nhiên giảm dần Điều thể sựsự thể vàvà mô đun đàn hồi hữu hiệu trung bình thay sựgiảm giảmyếu yếutốtốtốdị hướngcủa củacác cáctinh tinhthể thểvà mơ đun đàn hồi hữu hiệu trung bình thay giảm yếu dịdịhướng hướng tinh mô đun đàn hồi hữu hiệu trung bình thay đổi khơng đáng kể kích thước mẫu RVE đủ lớn Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng giảm dần Điều thể giảm yếu tố dị hướng tinh thể mô đun đàn hồi hữu hiệu trung bình thay đổi khơng đáng kể kích thước mẫu RVE đủ lớn Hình Ảnh hưởng kích thước RVE đến mơ đun đàn hồi trượt đa tinh thể nhôm Biên độ dao động mô đun đàn hồi hữu hiệu mẫu thử ngẫu nhiên lớn với trường hợp 3×4 mẫu tinh thể giảm dần đến 17×32 mẫu tinh thể Hình Giá trị trung bình theo thống kê trường hợp tương đồng với kết giải tích [1–4] Qua đó, đại lượng đặc trưng trung bình theo thống kê thể Bảng Mô đun đàn hồi khối hữu hiệu trường hợp với K0 = KV = KG = 85 GPa Mô đun đàn hồi trượt hữu hiệu trung bình giảm dần chưa vào khoảng cận [1, 2] Điều giải thích tượng “size effect” (ảnh hưởng tỷ lệ) hay tỉ lệ kích thước phần tử đại diện bán kính đơn tinh thể Trường hợp tỉ lệ lớn, kết cấu dị hướng nhanh chóng hội tụ Ngược lại, trường hợp tỉ lệ nhỏ, bất đẳng hướng vật liệu thể rõ phải thực nhiều mẫu hội tụ Các thơng số vật liệu có biên dao động lớn nằm ngồi vùng dự đốn phương pháp giải tích Khi tiếp cận theo hướng tính tốn số, thơng số vật liệu xác định theo phân bố hướng ngẫu nhiên cụ thể thống kê lại Việc dẫn đến tiết kiệm thực thí nghiệm cấp độ vi mô để xác định thông số đặc trưng hữu hiệu vật liệu Bảng Mô đun đàn hồi hữu hiệu đa tinh thể dị hướng nhôm ef f ef f Vật liệu D11 D12 Ge f f Ke f f GRL L Ghs GU hs GU V Al (3×4) Al (5×8) Al (9×16) Al (17×32) 110,606 110,613 110,639 110,697 59,394 59,387 59,361 59,303 25,694 25,687 25,661 25,603 85,00 85,00 85,00 85,00 25,38 25,48 25,49 25,63 136 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các thơng số đàn hồi hữu hiệu mô đun kháng trượt hữu hiệu Ge f f có giá trị nhỏ so với đơn tinh thể Việc phân bố ngẫu nhiên hướng tinh thể làm giảm yếu khả chịu lực vật liệu Bên cạnh đó, trường hợp mà số vật liệu nằm cận nghiên cứu theo phương pháp nguyên lý biến phân Điều giúp xác định ngưỡng tỉ lệ đơn tinh thể kích thước phần tử đại diện mà vật liệu dị hướng xem gần đẳng hướng Vì thay đổi hướng đơn tinh thể khơng ảnh hưởng lớn đến đặc trưng vật liệu hữu hiệu phần tử đại diện Ngồi ra, xem xét mơ đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f không thay đổi vật liệu tinh thể đối xứng vuông nhôm Kết luận Kỹ thuật đồng hóa áp dụng nhằm xác định thông số đặc trưng hữu hiệu vật liệu có cấu trúc đa tinh thể dị hướng Kích thước RVE tăng dần ảnh hưởng đến thông số đặc trưng vật liệu đa tinh thể dị hướng Kết trung bình thống kê đại lượng đặc trưng vật liệu tương đồng với kết giải tích Tuy nhiên biên dao động số vật liệu hữu hiệu với trường hợp kích thước RVE nhỏ nằm ngồi ước lượng cận hướng tiếp cận giải tích Ngược lại, kích thước RVE đủ lớn, kết hội tụ dần tính dị hướng giảm dần Qua đó, ước lượng xác đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng ứng với kích thước mẫu vật liệu vi mô Lời cảm ơn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài quỹ NCKH trường Đại học Quốc tế - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh cho đề tài “Xác định đặc trưng đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng kỹ thuật đồng hoá” Tài liệu tham khảo [1] Voigt, W (1889) Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticităatsconstanten isotroper Kăorper Annalen Der Physik, 274(12):573587 [2] Reuss, A (1929) Berechnung der flieògrenze von mischkristallen auf grund der plastizităatsbedingung făur einkristalle ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift făur Angewandte Mathematik und Mechanik, 9(1):49–58 [3] Hill, R (1952) The elastic behaviour of a crystalline aggregate Proceedings of the Physical Society Section A, 65(5):349 [4] Hashin, Z S H T R., Shtrikman, S (1962) A variational approach to the theory of the elastic behaviour of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 10(4):343–352 [5] Chinh, P D (1999) Bounds for the effective elastic properties of completely random planar polycrystals Journal of Elasticity, 54(3):229–251 [6] Chinh, P D (2002) Bounds on the elastic moduli of completely random two-dimensional polycrystals Meccanica, 37(6):503–514 [7] Michel, J.-C., Moulinec, H., Suquet, P (1999) Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational approach Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 172(1-4):109–143 [8] Ghosh, S., Mukhopadhyay, S N (1991) A two-dimensional automatic mesh generator for finite element analysis for random composites Computers & Structures, 41(2):245–256 [9] Smit, R J M., Brekelmans, W A M., Meijer, H E H (1998) Prediction of the mechanical behavior of nonlinear heterogeneous systems by multi-level finite element modeling Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 155(1-2):181–192 137 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [10] Feyel, F (2003) A multilevel finite element method (FE2 ) to describe the response of highly non-linear structures using generalized continua Computer Methods in applied Mechanics and engineering, 192 (28-30):3233–3244 [11] Feyel, F., Chaboche, J.-L (2000) FE2 multiscale approach for modelling the elastoviscoplastic behaviour of long fibre SiC/Ti composite materials Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 183 (3-4):309–330 [12] Terada, K., Kikuchi, N (2001) A class of general algorithms for multi-scale analyses of heterogeneous media Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190(40-41):5427–5464 [13] Miehe, C., Schotte, J., Lambrecht, M (2002) Homogenization of inelastic solid materials at finite strains based on incremental minimization principles Application to the texture analysis of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50(10):2123–2167 [14] Coenen, E W C., Kouznetsova, V G., Geers, M G D (2010) Computational homogenization for heterogeneous thin sheets International Journal for Numerical Methods in Engineering, 83(8-9):1180– 1205 [15] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., Baaijens, F P T (2001) An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials Computational Mechanics, 27(1):37–48 [16] Budiansky, B (1965) On the elastic moduli of some heterogeneous materials Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 13(4):223–227 [17] Hershey, A V (1954) The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals Journal of Applied Mechanics-Transactions of the ASME, 21(3):236–240 [18] Bình, T A (2017) Sử dụng phương pháp XFEM/Level-set để khảo sát ảnh hưởng kích thước, hình dạng cốt liệu tới hệ số dẫn nhiệt hiệu vật liệu không đồng Tạp Chí Khoa Học Cơng Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) - ĐHXD, 11(1):19–24 [19] Molina, A J C., De Souza Neto, E A., Peric, D (2005) Homogenized tangent moduli for heterogenous materials Proceedings of the 13th UK National Conference of the Association of Computational Mechanics in Engineering, Citeseer, 17–20 138 ... rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn Kỹ thuật đồng hóa áp dụng nhằm đưa đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng Lý thuyết sở 2.1 Phần tử đại diện Xem xét vật liệu không đồng liên... 17×32 tinhtinh th thể Mẫu 17×32 ◦ ◦ Hình Phân bố ngẫu nhiên hướng vật liệu đa tinh thể [0 ; 90 ] Hình nhiên hướng vậtvật liệu đa a tinh th thể [0º;90º] Hình3.3.Phân Phânbốbốngẫu ngẫu nhiên hướng liệu. .. b của củamô môđun đunđàn đànhồi hồitrượt trượt hữu hiệu Dcủa tinh dị hướng nhơm Hình hữu hiệu D33 đa a tinh th thể hướng nhơm 33 Hình4.4 Hình Phânbố mô đun đàn hồi trượt hữu hiệu D đa tinh thể