Kỹ thuật đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng sử dụng phần tử biên tỉ lệ

Bài viết trình bày phương pháp đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng bằng phần tử biên tỉ lệ. Phần tử đại diện (Representative Volume Element- RVE) được rời rạc hóa thành các miền đa giác với số cạnh bất kỳ. Phần tử biên tỉ lệ (Scale Boundary Element Method-SBEM) được sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị của bài toán vi mô.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 KỸ THUẬT ĐỒNG NHẤT HÓA CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ DỊ HƯỚNG SỬ DỤNG PHẦN TỬ BIÊN TỈ LỆ Nguyễn Hoàng Phươnga,∗, Lê Văn Cảnha , Hồ Lê Huy Phúca Bộ môn kỹ thuật xây dựng, Đại học Quốc Tế - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Khu phố 6, quận Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam O O F a Nhận ngày 14/10/2020, Sửa xong 03/11/2020, Chấp nhận đăng 12/11/2020 Tóm tắt TE D PR Bài báo trình bày phương pháp đồng hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng phần tử biên tỉ lệ Phần tử đại diện (Representative Volume Element- RVE) rời rạc hóa thành miền đa giác với số cạnh Phần tử biên tỉ lệ (Scale Boundary Element Method-SBEM) sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị tốn vi mơ Biến dạng điểm vật liệu cấp độ vĩ mô chuyển thành điều kiện biên phần tử đại diện Các số đàn hồi hữu hiệu vật liệu đa tinh thể xác định thông qua kỹ thuật đồng hóa phần tử đại diện RVE Ví dụ số thực cho mẫu vật liệu đa tinh thể với hướng góc α thay đổi Kỹ thuật làm mịn lưới biên phần tử áp dụng nhằm đánh giá độ hội tụ phương pháp Kết so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn thông thường FEM nghiệm cận cung cấp từ nghiên cứu giải tích Từ khố: phương pháp đa tỉ lệ; kỹ thuật đồng hóa; vật liệu đa tinh thể; phần tử biên tỉ lệ EC HOMOGENIZATION TECHNIQUE FOR RANDOM ORIENTATED POLYCRYSTAL MATERIALS USING SCALED BOUNDARY ELEMENT Abstract N C O R R This paper presents a scaled boundary element (SBEM) for computational homogenization of random polycrystal materials A Representative Volume Element RVE is discretized into the domains of polygons with arbitrary number of edges The Scaled Boundary Element Method (SBEM) is used to approximate the displacement field of representative volume element Strains at a material point of macro problem are transferred as the boundary condition for micro problem The effective elastic constants for polycrystal materials can be determined by the homogenization method overall the representative volume element RVE The refining technique is applied for edge in order to study the convergence of presented method The numerical examples are implemented for polycrystal materials with the random angle α The obtained results are compared with the analytical and numerical solutions based on FEM Keywords: multiscale methods; homogenization techniques; crystal materials; scaled boundary element © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) U Giới thiệu Vật liệu đa tinh thể thường cấu tạo mảng đơn tinh thể với góc hướng thay đổi ngẫu nhiên Điều dẫn đến việc thơng số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dao động khoảng Qua đó, việc dự đoán ứng xử đàn hồi vật liệu phương pháp thí nghiệm chưa bao qt hết khả vật liệu Một hướng tiếp cận giải tích xây dựng nguyên lý biến phân phương pháp cận, nghiên cứu cận Voigt [1], nghiên cứu ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: nhphuong@hcmiu.edu.vn (Phương, N H.) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng O R 2.1 Phần tử biên tỉ lệ R Cơ sở lý thuyết EC TE D PR O O F cận Reuss [2] dựa nguyên lý biến phân bậc nhất; cận cận với nguyên lý biến phân bậc hai Hashin Shtrikman [3] Các nghiên cứu phát triển cho vật liệu đa tinh thể dị hướng thực Berryman [4], Chinh cs [5–7], Kube Arguelles [8] Các nguyên lý biến phân giúp ước lượng khoảng dao động số đàn hồi hữu hiệu dựa theo thể tích đặc trưng pha vật liệu khác hỗn hợp Tuy nhiên, phân bố vị trí hình dạng pha vật liệu chưa kể đến hướng tiếp cận Một hướng tiếp cận khác giải vấn đề cách xây dựng phần tử đại diện-RVE thực kỹ thuật đồng hóa nhằm xác định thơng số hữu hiệu cần thiết Hướng tiếp cận ngày trọng tính tốn học vật liệu vi mơ đặc tính đảm bảo mơ tả cách xác phân bố pha vật liệu Phần tử đại diện RVE rời rạc hóa đồng hóa phương pháp phần tử hữu hạn [9–14] Một tính chất phần tử hữu hạn thông thường miền thực tích phân giới hạn phần tử có hình dạng tam giác FEM-T3 hay tứ giác FEM-Q4 Một phương pháp khác đáp ứng tốt với miền đa giác có số cạnh phương pháp phần tử biên Boundary Element Method-BEM xây dựng cho toán động học Beskos [15] Ma trận độ cứng tốn phân tích tĩnh xây dựng theo hướng tiếp cận động học hàm bán giải tích phương pháp biên tỉ lệ Scaled Boundary Element Method-SBEM đề xuất Song Wolf [16] Sự hiệu phương pháp phần tử biên tỉ lệ thể qua nghiên cứu việc xây dựng đạo hàm cho phần tử SBEM dựa kỹ thuật trọng số dư [17] tốn phân tích q trình phát triển vết nứt [18] Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử biên tỉ lệ SBEM sử dụng với kỹ thuật đồng hóa tốn xác định thông số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng Trường chuyển vị tổng toán phần tử đại diện RVE sử dụng để rời rạc hóa thành phần tử biên tỉ lệ SBEM Kỹ thuật đồng hóa thực nhằm đưa thông số đàn hồi hữu hiệu cách lấy trung bình thể tích phần tử đại diện RVE U N C Khái niệm phương pháp phần tử biên tỉ lệ trình bày cách tóm lược Phần tử biên tỉ lệ [1], Scaled Boundary Element Method-SBEM, thực thơng qua rời rạc hóa toán thành miền đa giác với số cạnh Dạng hình học đa giác phải đảm bảo yêu cầu sau đường thẳng từ tâm tỉ lệ đa giác đến điểm đầu cuối cạnh đa giác không cắt qua cạnh đa giác cịn lại Các nghiên cứu Song cs [16–18] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần tử biên tỉ lệ sử dụng kỹ thuật trọng số dư hay nghiên cứu Deeks Wolf [19] hướng tiếp cận công ảo Tâm tỉ lệ O chọn cho thấy tất cạnh đa giác thông thường trọng tâm đa giác Hình Trong phương pháp này, có biên đa giác rời rạc hóa Chuyển vị nút biên kí hiệu u lực biên kí hiệu F Trong toán phẳng hai chiều, biên Γ miền diện tích Ae rời rạc hóa thành nhiều phần tử đường thẳng Trên cạnh đa giác, hệ tọa độ địa phương (ξ, η) thể Hình 1(a) ξ tọa độ bán kính, tâm tỉ lệ cạnh đa giác η tọa độ địa phương xác định theo phần tử hữu hạn chiều rời rạc hóa dọc theo biên phần tử SBEM (η thay đổi từ −1 đến 1) Biên phần tử SBEM thể Hình 1(b) chuyển phần tử mẫu với vòng tròn xác định ξ = η ∈ [−1; 1] O O F 79 79 giácgiác nàynày phảiphải đảm bảobảo yêuyêu cầucầu nhưnhư sausau cáccác đường thẳng từ từ tâmtâm tỉ lệ đa đa giác đếnđến đảm đường thẳng tỉ lệ giác 80 80 điểm đầuđầu và và cuốicuối củacủa cạnh đa đa giác sẽ khơng cắtcắt quaqua bấtbất kì kì cạnh đa đa giác cịncịn lại.lại điểm cạnh giác khơng cạnh giác 81 81 CácCác nghiên cứu Song cộng [16-18] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần nghiên cứu Song cộng [16-18] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần 82 82 tử biên tỉ lệtỉ sử dụng kỹ kỹ thuật trọng số số dư dư hayhay nghiên cứucứu củacủa Deeks và và Wolf [19] về tử biên lệ sử dụng thuật trọng nghiên Deeks Wolf [19] 83 83 hướng tiếptiếp cậncận công ảo.ảo Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng hướng cơng vớivới tâmtâm lệtỉOlệ O a) (a) Phần tửtửSBE với tâm tỉtỉ lệ a) Phần Phần tửSBE SBE Hình Rời rạcrạc biên miền đađađa giác thành điểm tâmtâm lệtỉOO phần Hình rạc biên miền giác thành điểm lệcủa O phần Hình Rời Rời biên miền giác thành cáccác điểm và tâm tỉtỉ lệ phần tửtử.tử PR 84 84 mẫu b)(b) Phần tửtửtử mẫu b) Phần Phần mẫu 85 85 Tâm tỉ lệtỉ Olệ chọn saosao chocho có có thểthể thấy tất tất cả cả cáccác cạnh củacủa đa đa giác và và thông Tâm O chọn thấy cạnh giác thông 86Tọa thường là trọng tâm đa giác Hình Trong phương pháp này, có biên 86 độthường là trọng nhưphần Hìnhtử1.được Trong pháp qua này,tọa chỉđộ cócủa biêncác Descartes (x, y)tâm củacủa cácđa nútgiác xácphương định thông nút 87 đa giác rời rạc hóa Chuyển vị nút biên kí hiệu u và lực biên giác rời tâm rạc hóa nút biên kí hiệu u và lực biên biên 87 (xb , y đa ) tọađược độ tỉ lệ Chuyển O (x0 , yvị) thông qua công thức b TE D 88 88 kí hiệu F Trong bàibài tốn tấmtấm phẳng haihai chiều, biên miền diện tíchtích AeAđược rờirời kí hiệu F Trong tốn phẳng chiều, biên củacủa miền diện e x = x + ξ × N(η) {x } b 89 89 rạc rạc hóahóa thành nhiều phần tử đường thẳng thành nhiều phần tử đường thẳng y = y + ξ × N(η) {y } (1) 90 90 Trên mỗimỗi cạnh củacủa đa đa giác, hệ hệ tọatọa độ0độ địađịa phương ( ,( b ,) thểthể Hình 1a.1a Trên cạnh giác, phương ) Hình O R R EC 91 91 là tọa độ bán kính, Trong tâmtâm tỉ lệtỉ và cạnh đatuyến giác tọa độ địa làlàtọa bán kính, lệcứu và cạnh đa giác là tọa địa trong N(η) mađộ trận hàm dạng nghiên này, hàm dạng tínhlàđược sửđộ dụng 92tốn xácxác định theo phần tửN(η) hữu hạndạng mộtmột chiều rờirời rạcrạc hóahóa dọcdọc theo biên phẳng hai chiều Vìđịnh vậy, ma trận có 92 phương phương theo phần tử hữu hạn chiều theo biên 93 93 củacủa phần tử SBEM ( (thay đổiđổi từ -1 1) 1) Biên củacủa mộtmột phần tử SBEM thểthể phần tử SBEM thay từ đến -1 đến Biên phần tử SBEM N1 N2 94 94 Hình 1b 1b chuyển phần vớivới mộtmột vòng tròn xácxác định bởibởi =1=1 (2) N(η) = tử mẫu Hình chuyển phần tử mẫu vịng trịn định N1 N2 95 95 và [-1;1] [-1;1] Ni hàm dạng tuyến tính phần tử hữu hạn Trường chuyển vị u (ξ, η) tách biến theo3công thức u (ξ, η) = N (η) uh (ξ) (3) U N C uh (ξ) hàm chuyển vị giải tích thu từ việc giải điều kiện cân phần tử SBEM Điều kiện cân xây dựng nguyên lý công ảo [19] hay phương pháp trọng số dư [16–18] Kết thu phương trình cân phần tử SBEM với trường chuyển vị E0 ξ2 uh (ξ),ξξ + E0 + ET1 − E1 ξuh (ξ),ξ − E2 uh (ξ) = (4) uh (ξ),ξξ uh (ξ),ξ đạo hàm bậc hai bậc hàm uh (ξ) Thông số vật liệu đơn tinh thể đơn giản (tinh thể đối xứng vuông) thể với ba thông số độc lập    D11 D12    D0 =  D12 D11  (5)   0 D33 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Trong q trình gia cơng chế tạo, mảng tinh thể hình thành phát triển vật liệu Khi đó, đơn tinh thể xếp lại hướng ngẫu nhiên α so với đơn tinh thể ban đầu Ma trận vật liệu hữu hiệu tinh thể với hướng ngẫu nhiên α Dα = TTα D0 Tα (6) E0 = BT1 Dα B1 |J| dη −1 E1 = PR BT2 Dα B1 |J| dη −1 (7) (8) BT2 Dα B2 |J| dη (9) TE D E2 = O O F Tα ma trận xoay trục theo góc α Các ma trận hữu hiệu E0 , E1 E2 xác định sau (10) −1 ma trận B1 B2 hai ma trận chuyển vị biến dạng phần tử SBEM; Dα ma trận số vật liệu đơn tinh thể với góc nghiêng α; J ma trận Jacobian xác định sau xη yη xη,η yη,η EC J= R Nghiệm phương trình vi phân bậc hai cho phần tử SBEM thu cách chuyển thành phương trình vi phân bậc với hai hệ số chưa biết O R ξ uh (ξ) qh (ξ) ,ξ = −Z uh (ξ) qh (ξ) (11) N C qh (ξ) vectơ hàm giải tích liên hệ với nội lực theo công thức qh (ξ) = E0 uh (ξ),ξ + ET1 uh (ξ) (12) Z ma trận Hamilton T E−1 E1 T −E2 + E1 E−1 E1 −E−1 −E1 E−1 (13) U Z= Ma trận Z chéo hóa ma trận V theo biểu thức ZV = VS (14) Ma trận đường chéo S xếp theo thứ tự tăng dần S= Sn 0 Sp (15) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Sn S p hai ma trận đường chéo với giá trị âm giá trị dương dọc theo đường chéo ma trận S Ma trận chuyển V phân chia thành ¯u Vu V Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, V NUCE = 2020 ¯ Vq Vq p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 (16) Nghiệm hàm chuyển vị giải tích u h hàm nội lực giải tích q h uh (ξ) = Vu ξ−Sn c uh Vu Sn qh Vq Sn c qh (ξ) = Vq ξ−Sn c c PR 131 O O F ¯ q liên trong127 VuVới V liênVuquan vị phần tử SBEM, Vqq V V¯ uu liên đến quanchuyển đến chuyển vị phần tử SBEM, trongkhi khiđó đóma ma trận trận V quan đến lực phần tử SBEM Với miền bị chặn đa giác xem xét nghiên cứu này, 128 V liên quan đến lực phần tử SBEM Với miền bị chặn đa giác xem ma trận chứaq trị riêng âm Sn chuyển vị nút Vu lực nút Vq dẫn đến chuyển vị hữu hạn 129tỉ lệxét tâm O nghiên cứu này, ma trận chứa trị riêng âm Sn và chuyển vị nút Vu 130 vàcủa lựchàm nút Vchuyển vị u hữu(ξ) hạn tâmnội tỉ lệlực O giải tích q (ξ) q dẫn đến Nghiệm vị chuyển giải tích vàtạihàm h h (17) (17) TE D c số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên tính từ chuyển vị nút 132nhưVới đa giác sauc là số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên và tính từ chuyển vị nút 133 đa giác sau (18) c = V−1 u ub c vec Vu tơ ub chuyển vị điểm nút biên phần tử SBEM ub Ma độ ucứng phần tử SBEM Kcell định nghĩa 134trậnVới biên phần tử SBEM b là vec tơ chuyển vị điểm nút Ma trận độ cứng phần tử SBEM Kcell K = V V−1 định nghĩa cell K cell Vq Vu q Phương trình tuyến tính hệ thống tổng hợp theo bậc tự 136 (19) u EC 135 (18) (19) Phương trình tuyến tính hệ thống tổng hợp theo bậc tự Ku = f Ku = f (20) (20) R 2.3thể Phần thể diện tích đại diện (RVE) 2.2 137 Phần tử tíchtửđại (RVE) U N C O R 138 xét Xem vậtkhông liệu khơng liên diện tíchAA∈ Ω22được Xem mộtxét vậtmột liệu đồngđờng nhấtnhất liên tụctục diện tích đượcthay thaythếthế vật 2 139 đồng vật đượcđương đờng đương diện tích A vùng vật liệu cấu vi mô M liệu nhấtliệu tương diệntương tích A ∈ Ω vùng vật liệu có kết M 2 khơng đồngcónhất Ammơ ∈Ω kèmđờng theonhất nhưđại Hình thước tốn mơ2.lmKích nhỏ nhiều 140 mộtđại kếtdiện cấu vi khơng diện2.AKích kèm theo vi Hình m lần với thước tốn vĩ lmơ l nên tính tốn cấp độ vi mơ lực thể tích 141kíchthước bàibài tốn vi mơ nhỏ nhiều lần với kích thước bài tốn vĩ mơ l nên tính m M M bỏ qua 142 toán cấp độ vi mơ lực thể tích bỏ qua 143 144 Hình Hình 2 Phần Phần tử tử thể thể tích tích đại đại diện-RVE diện-RVE 56 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Biến dạng vĩ mô ε M trung bình thể tích biến dạng vi mơ εm εM = Am εm dAm (21) Am Ứng suất vĩ mơ σ M trung bình thể tích ứng suất vi mô σm Am σm dAm (22) Am O O F σM = Chuyển tích phân diện tích RVE tích phân chu vi RVE ∇ (σm X)dAm = Am σM = Am Γm Np fi Xi (23) i PR Am nσm XdΓm = Am fi lực nút biên i; Xi vectơ vị trí nút biên N p số nút biên 2.3 Điều kiện biên tuần hoàn cho RVE O R R EC TE D Trong tốn vi mơ, biến dạng cấp độ vĩ mô chuyển thành điều kiện biên chuyển vị cho toán cấp độ vi mô Nhiều quan điểm để áp đặt điều kiện biên khác dẫn đến phương pháp số khác Mieh cs [16]; Kouznetsova cs [15] Qua nghiên cứu trên, tỉ lệ kích thước pha vật liệu kích thước phần tử đại diện tương đối việc sử dụng điều kiện biên tuần hoàn cho kết đáp ứng tốt Khi tỉ lệ giảm dần khác biệt sử dụng điều kiện biên giảm dần Qua đó, điều kiện biên tuần hồn sử dụng nghiên cứu Trường chuyển vị tổng u tốn cấp độ vi mơ chia thành hai thành phần, trường chuyển vị trung bình từ biến dạng vĩ mô u trường chuyển vị biến thiên tuần hoàn u˜ u = u¯ + u˜ (24) Trong trường hợp sử dụng điều kiện biên tuần hồn u˜ = nút góc (25) U N C Chuyển vị trung bình RVE u¯ xác định   ε¯  11 ¯u = ε M X =   ε¯ 21 ε¯ 12 ε¯ 22      X1 X2 (26) X toạ độ điểm biên phần tử đại diện RVE; ε M biến dạng điểm vật liệu cấp độ vĩ mơ Điều kiện biên tuần hồn nhằm đảm bảo hiệu chuyển vị tổng hai biên đối diện phải số xác định theo biến dạng từ tốn cấp độ vĩ mơ Trong nghiên cứu này, điều kiện biên tuần hoàn xấp xỉ trường chuyển vị tổng thể qua mối liên hệ cặp nút đối xứng (các 154 155 156 157 158 Kouznetsova cộng [15] Qua nghiên cứu trên, tỉ lệ kích thước pha vật liệu và kích thước phần tử đại diện tương đối việc sử dụng điều kiện biên tuần hoàn cho kết quả đáp ứng tốt Khi tỉ lệ giảm dần khác biệt sử dụng điều kiện biên giảm dần Qua đó, điều kiện biên tuần hoàn sử dụng nghiênN cứu Phương, H.,này cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 160 O O F 159 Hình Phân loại nút phần tử thể tích đại diện RVE Hình Phân loại nút phần tử thể tích đại diện RVE 161 Trường chuyển vị tổng 𝐮 toán cấp độ vi mô chia thành hai thành phần, 162 là trường chuyển vị trung bình từ biến dạng vĩ mô 𝐮̄ và trường chuyển vị biến thiên tuần biên 163 bên hoànphải 𝐮 ̃ ΓR biên bên trái ΓL ; biên ΓT biên Γ B ) thông PR nút hệ với chuyển vị nút góc tương ứng Hình qua mối liên uR − uL − u2 + u1 = vR − v L − v2 + v1 = uT − uB − u4 + u1 = (27) TE D vT − vB − v4 + v1 = Mối liên hệ biểu thức (27) xếp lại theo bậc tự (28) EC Cu = O R R Ma trận ràng buộc tuần hoàn C phân loại theo bậc tự độc lập Ci bao gồm nút biên trái, nút biên dưới, nút bên nút góc; bậc tự phụ thuộc Cd bao gồm nút bên phải nút bên ui Ci Cd =0 (29) ud Mối liên hệ bậc tự phụ thuộc ud bậc tự độc lập ui thể ud = −C−1 d Ci ui = Cdi ui (30) U N C Phương trình tuyến tính hệ thống phân loại theo bậc tự độc lập ui bậc tự phụ thuộc ud Kii Kid ui fi = (31) Kdi Kdd ud fd Phương trình tuyến tính hệ thống rút gọn theo bậc tự độc lập ui K∗ ui = f ∗ K∗ = Kii + Kid Cdi + CTdi Kdi + CTdi Kdd Cdi f ∗ = fi + CTdi fd (32) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 2.4 Kỹ thuật đồng hóa phần tử đại diện (RVE) Ma trận số vật liệu hữu hiệu thỏa mãn biểu thức sau σ M = Dc f f ε M (33)   X  i uc =   X X2 X1    ε¯ 11     ε¯ 22     ε¯  12      = Tip ε M     O O F Chuyển vị cưỡng nút góc RVE uic xác định sau (34) Chuyển vị cưỡng nút góc RVE uc xác định theo biến dạng vĩ mô T1P T2p T3P T4P T εM = T pεM PR uc = (35) TE D Phương trình tuyến tính hệ thống viết lại theo bậc tự sau khử điều kiện biên tuần hoàn Kaa Kac ua = (36) Kca Kcc fc uc Trong bậc tự độc lập ui , ua chuyển vị nút không nằm góc RVE; uc chuyển vị nút nằm góc RVE Sử dụng phương pháp giảm bậc tự để chuyển bậc tự nút góc uc EC K∗cc = Kcc − Kca K−1 aa Kac K∗cc uc = fc (37) R Thế công thức (37) công thức (35) vào ứng suất cấp độ vĩ mô σ M ta thu T ∗ T ∗ T T P fc = T p Kcc uc = T K T pεM Am Am Am P cc (38) O R σM = N C Đồng công thức (38) công thức (33) ta thu ma trận số vật liệu hữu hiệu De f f sau T ∗ De f f = T K Tp (39) Am p cc U Ví dụ số Trong ví dụ này, phần tử thể tích đại diện RVE hình chữ nhật với 18 đơn tinh thể Hình mẫu đa tinh thể kim loại đồng Cu xem xét Bảng thể thông số vật liệu đơn tinh thể đồng Cu theo Chinh cs [7] Phần tử đại diện phân chia thành 18 đơn tinh thể hình lục giác với góc hướng α thay đổi Hình có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = Các đơn tinh thể có tính chất đối xứng nên hướng góc ngẫu nhiên α giả định với thay đổi từ 0° đến 90° theo Bảng Các kết số lập trình ngơn ngữ Matlab thực máy tính Core i5-CPU 1,70 GHz với RAM 4G Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 O O F Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình Phần tử đại với phân hướng α ngẫungẫu nhiên cho 18 tinh thể đồng Hình Phần tử đại diện vớidiệnphân bốbốhướng nhiên cho 18 tinh thể đồng Vật liệu D11 Cu 169,0 PR Bảng Mô đun đàn hồi hữu hiệu đơn tinh thể kim loại đồng (GPa) [7] D12 D33 122,0 75,3 góc 73 82 11 82 57 25 TE D Bảng Phân bố góc hướng α (°) ngẫu nhiên cho đơn tinh thể 10 11 12 13 14 15 16 17 18 49 86 87 14 87 86 44 72 13 38 82 18 tinh thể (40) O R Hình Hệ D11 + D12 = 14,5 (GPa) tỉ lệ SBEM cho mẫu lưới phần tử biên D11 − D12 + 2D33 = 49,900 (GPa) Gv = (D11 − D12 ) D33 GR = = 35,821 (GPa) (D11 − D12 ) + 2D33 Kv = KR = R xáctựđịnh nhưmôsau * Tổng số bậc hình EC a) 18 phần tử, sdof*=76 b) đàn 18 hồi phần sdof*=406 phần tử,đồng sdof*=1726 Cận Voigt Reuss mô đun khốitử, mô đun đàn hồi trượtc)18 đa tinh thể U N C Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút biên phần tử thể Hình Kỹ thuật làm mịn biên thơng qua việc chia đôi cạnh hệ lưới phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần tử tam giác chia thành hình tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu Kết ma trận vật liệu hữu hiệu mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng thể Bảng Các mẫu có mơ đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f = KV = KR = 145,5 GPa tương đồng với kết nghiệm giải tích Voigt Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f = D33 mô đun đàn hồi kéo dọc trục D11 giảm dần chia nhỏ điểm biên phần tử Hình a) 92 Sai phần tử,nhất sdof*=112 b) 368 phần sdof*=406 c)5888 phần tử, xét sdof*=6034 số nhỏ xem xét mô đun đàn hồi khángtử, trượt hữu hiệu 0,08% 0,01% xem mô đun đàn hồi kéo dọc trục Riêng thơng số D12 có xu hướng tăng dần hội tụ chia nhỏ điểm * Tổng số bậc tự mơ hình biên phần tử có sai số nhỏ 0,02% Qua đó, hội tụ số kết sử dụng phần tử SBEMHình với kỹ thuật làmlưới mịn biêntử phần tử cho Hình 7mẫu tốt sử dụng Hệ phần hữu hạnthể FEM-T3 18khitinh thể.phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm làm mịn phần tử bên Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút biên phần tử thể Hình Kỹ thuật làm mịn biên 9thơng qua việc chia đôi cạnh hệ lưới phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần 208 208 209 209 208 208 208 208 209 Hình209 4.tửHình Phần tửPhương, đại diện với bốphân hướng ngẫu cho 18 đồng tinh thểtinh đồng Phần tửN.đại diện bố nhiên hướng ngẫu nhiên cho 18 thể đồng H., vàphân cs với / Tạp chí Khoa học Cơngnhiên nghệ dựng 4.Hình Phần đại với bố hướng ngẫu 1818Xây tinh thể 2094 tửphân đại diện với bố hướng ngẫu nhiên 18 thể đờng Phần4.Hình tửPhần đại4.diện diện với phân bố hướng ngẫu nhiên cho tinh thểcho đờng 209 Hình Hình tửPhần đại diện với phân bốphân hướng ngẫucho nhiên cho 18 tinh thểtinh đờng Tạp Tạpchí chíKhoa Khoahọc họcCơng Cơngnghệ nghệXây Xâydựng, dựng,NUCE NUCE2020 2020 Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN p-ISSN2615-9058; 2615-9058;e-ISSN e-ISSN2734-9489 2734-9489 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 Bảng Ma trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu tinh đồng Bảng Ma trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dịhướng hướng đồng Bảng 3.3.3 Ma trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu đađa tinh thểthể dịdị hướng đồng Phương pháp Tổng Sai Sai DD3333 SaiSai Phương pháp Tổng Tổng số D11 Saisố số DD D12 Saisố số D33 Sai số Phương pháp sốsố DD sốsố 11 11 Sai số 12 12 Sai số bậc (GPa) (%) (GPa) (%) (GPa) (%) bậc (GPa) (GPa) (%) (%) (GPa) (GPa) (%) (%) (GPa) (GPa) (%) (%) bậc tựtựtự dodo PR 229 229 229 O O F 223 phần tử Hình Sai số nhỏ xem xét mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 223 phần phần Hình nhỏ xem kháng trượt hiệu 223 tửtử Hình 7.SaiSai sốsố nhỏ khikhi xem xétxét mômô đunđun đànđàn hồihồi kháng trượt hữuhữu hiệu 224 0,08% 0,01% xem xét mô đun đàn hồi kéo dọc trục Riêng thơng số DD1212có 224 làlàlà 0,08% 0,01% xem mô đun đàn hồi dọc trục Riêng thơng số12 cóxu xu 224 0,08% 0,01% xem xétxét mô đun đàn hồi kéokéo dọc trục Riêng thông sốtử, D có xu a) 18 phần tử, sdof*=76 b) 18 phần tử, sdof*=406 c)18 phần tử, sdof*=1726 a) 18 phần tử, sdof*=76 b) 18 phần tử, sdof*=406 c)18 phần sdof*=1726 a) 18 phần tử, sdof*=76 b) 18 phần tử, sdof*=406 c)18 phần tử, sdof*=1726 225 hướng tăng dần hội tụ chia nhỏ điểm biên phần tử có sai số nhỏ (a)1818phần phần sdof* = 76sdof*=76 18 phần sdof* = biên 406 (c) 18 phầnsố tử,nhỏ sdof* = 1726 225 hướng hướng dần hội chia nhỏ điểm phần có sai a)tăng 18tử, phần tử, b)(b) 18 phần tử, sdof*=406 c)18 phần tử, sdof*=1726 a) tử, sdof*=76 b)khi 18 phần tử, sdof*=406 c)18 phần tử, sdof*=1726 a) 18 phần tử,tụ sdof*=76 b) 18tử, phần tử, sdof*=406 c)18 phần tử, sdof*=1726 225 tăng dần hội tụ chia nhỏ điểm biên phần tử tử có sai số nhỏ là 210 Tổng bậc tự hình dosố mơtựhình 210 * mơ Tổng bậc mơ hình 210 * Tổng số *bậc tự dosốcủa 226 0,02% Qua đó, hội số kết quả sử dụng phần tử số SBEM với kỹ làm 226 *210 0,02% Qua hội số kết sử dụng phần SBEM với kỹ thuật * Hình Tổng số5 tựđó, mơ hình Hệ lưới phần tửtụtụ biên tỉcủa lệkết SBEM cho mẫu tinh thể (*: Tổng bậc tự môthuật hình) 210 Tổng số210 bậc tự mơ hình *bậc Tổng số bậc tự mô 226 0,02% Qua đó, hội tụ sốhình quảquả sử18 dụng phần tử tử SBEM với kỹ thuật làmlàm 211 Hình Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể 211 Hình Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể 211 Hình Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể 227 mịn biên phần thể 8tỉ8tốt sử dụng phần tửtửhữu hạn 227 211 mịn biên phần tử Hình tốt sử dụng phần Hình Hệ lưới phần tửtỉphần biên tỉHình lệ SBEM cho mẫu tinh thể 211 Hình Hệtửtử lưới phần tửhiện biên lệ SBEM mẫu 18 tinh thể 211 Hình thể Hệ lưới tử biên SBEM cho mẫu 18 tinh 227 mịn biên phần thể Hình 8cho tốtlệ sử18 dụng phần tửthể hữuhữu hạnhạn 228 thông thường FEM-T3 với thuật làm làm mịn phần bên 228 thông thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm làm mịn phần bên 228 thường FEM-T3 với kỹkỹ thuật làm làm mịn phần tửtửtử bên 11 11 11 11 U N C O R R EC TE D 181,456 109,544 48,481 181,456 - - - 109,544 109,544 - - - 48,481 48,481 - -181,456 phần sdof* = 112 368 phần tử, sdof* =tử, 406 (c) 5888 phần tử, = 6034 a)(a)9292phần tử,phần sdof*=112 b)sdof*=112 368 phần tử,phần sdof*=406 c)5888 phần tử,c)5888 sdof*=6034 a) 92tử, tử, sdof*=112 b)(b) 368 tử,0,31 sdof*=406 c)5888 phần tử,phần sdof*=6034 a) 92 phần tử, b) 368 phần sdof*=406 tử,sdof* sdof*=6034 180,904 110,096 0,50 1,99 186 180,904 110,096 47,534 0,31 0,50 1,99 186 180,904 110,096 47,534 0,31 0,50 1,99 186 a) 92tử, phần tử, sdof*=112 b) 368 phần tử, sdof*=406 c)5888 phần tử,47,534 sdof*=6034 a) 92 phần sdof*=112 b) 368 phần tử, sdof*=406 c)5888 phần tử, sdof*=6034 a) 92 phần tử, sdof*=112 b) 368 phần tử, sdof*=406 c)5888 phần tử, sdof*=6034 212 212 * Tổng số *bậc tự dosố mô Tổng bậc tự hình dosố mơtựhình 212 *Hệ Tổng bậc dotử củahữu mơ hình Hình 6.của lưới phần hạn FEM-T3 cho mẫu 18 tinh thể (*: Tổng số bậc tự mơ hình) *SBEM Tổng số bậc tự hình hình 212 *212 Tổng số212 bậc tự mơ 180,714 110,286 47,261 0,11 0,17 0,58 406 180,714 110,286 47,261 0,58 0,11 0,17 47,261 0,58 * Tổng số bậcmô tự mơ hình SBEM 406 180,714 0,11 0,17 SBEM 406 213 213 Hệ lưới phần hữu hạn FEM-T3 cho 110,286 mẫu 18 tinh thể 7.Ma Hệ lưới phần tử hữu FEM-T3 18hướng tinh 18 thể 213 Hình 7.Hình Hình 7.tử Hệ lưới phần tửcho hữu mẫu tinh thể Bảng trận vật liệu hữu hiệuhạn vậthạn liệuFEM-T3 đacho tinhmẫu thểcho dị đồng 213 Hình Hệ lưới phần tử hữu hạn FEM-T3 cho mẫu 18 tinh thể 213 phần tử hữu hạn FEM-T3 cho mẫu 18 tinh thể 213 Hình Hệ lưới Hình Hệ lưới phần tử hữu hạn FEM-T3 cho mẫu 1847,156 tinh thể 0,22 180,646 110,354 0,04 0,06 846 110,354 47,156 0,04 0,06 0,22 846 214 214 Hệ lướiHệ phần biên tỉphần lệ 846 SBEM vớitỉkỹ thuật mịn nút biên phần tử thể 180,646 110,354 47,156 0,04 0,06 0,22 214 Hệ lưới tử biên lệ 180,646 SBEM với kỹlàm thuật làm mịn nút biên phần tửthể thể lướitử phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹlàm thuật mịn nút biên phần tử Phương pháp Tổng số bậc tự D (GPa) Sai số (%) D (GPa) Sai số (%) D (GPa) Sai số (%) 214 Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút biên phần tử thể 11 12 33 214 Hệ phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút biên phần tử thể 215 215 hiệnlưới Hình Kỹ thuật làm mịn biên thông qua việc chia đôi cạnh hệ lưới 214 Hệ lưới phần tử thuật biên tỉlàm lệ SBEM với kỹ thuật làmqua mịn nút biên phần tử thể 215 trong Kỹ thuật mịn biên thông việc chia đôi cạnh hệ lưới Hình 5.Hình Kỹ mịnlàm biên thơng qua việc chia đôi cạnh hệ lưới 180,623 110,377 47,118 0,01 0,02 0,08 1726 180,623 110,377 47,118 0,01 0,02 0,08 1726 180,623 110,377 47,118 0,02 0,08 1726 215 Hình 5.Hình Kỹlàm thuật làm mịn biên thơng qua việc chia đôi cạnh ởhệ hệ lưới hệ SBEM 76 181,456 -0,01 109,544 - chia 48,481 - lưới 215 Hình Kỹ thuật mịn biên thơng qua việc chia đôi cạnh lưới 216 216 phầntrong tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử 215 Kỹ thuật làm mịn biên thông qua việc đôi cạnh 216 tử.phần tử.186 Hệ lưới tử hữu hạnthường thông thường FEM-T3 với kỹlàm thuật mịntử1,99 phần tử phần Hệ lưới phần tửphần hữu180,904 hạn thông FEM-T3 với kỹ0,50 thuật mịnlàm phần 0,31 110,096với 47,534 216 phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 kỹlàm thuật làm mịnlàm phần tử-phần 112 182,276 - -thường 108,724 - -mịn 49,576 216 phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật phần tử 112 182,276 108,724 49,576 217 217 bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần 112 182,276 108,724 49,576 216 phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông FEM-T3 với kỹ thuật mịn tử 217 bênđược trong6.Hình Qua mỗilàm bước mịn lưới47,261 FEM-T3, bên thểđược hiệnthể Hình Qua bước mịnlàm lưới FEM-T3, phần 406 180,714 0,11 110,286 0,17 0,58phần 217 bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần 217 bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần 846 180,646 110,354 0,06 47,156 0,22phần 218 218 tử tam217 giác thành 4thành hình tam giác đờng dạng với tam với giác ban đầu Kết thể Hình 6.giác Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, 218 tử tam giác chia thành 0,04 hình tam giác đờng dạng với tam giác ban đầu Kết tử tamsẽbên giác sẽchia chia 4181,354 hình tam đồng dạng tam giác ban đầu Kết 406 0,51 109,646 0,84 48,257 2,73 406 181,354 0,51 109,646 0,84 48,257 2,73 406 181,354 0,51 109,646 0,84 48,257 2,73 1726 180,623 0,01 110,377 0,02 47,118 0,08 218 tử tam giác chia thành hình tam giác đờng dạng với tam giác ban đầu Kết 218 tử tam giác chia thành hình tam giác đờng dạng với tam giác ban đầu Kết 219 219 quả ma trận vật liệu hữu hiệu mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng thể FEM-T3 FEM-T3 218 tử tam giác chia thành hình tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu Kết FEM-T3 219 ma quả hữu liệu đa thể dị đồng hướngđược đồngthể quả trậnma vậttrận liệu vật hữuliệu hiệu củahiệu mẫucủa vậtmẫu liệuvật đa tinh thểtinh dị hướng hiệnthể 1546 180,904 0,25 110,096 0,41 47,556 1,47 FEM-T3 112 182,276 -0,25 108,724 49,576 1546 180,904 0,25 110,096 0,41 47,556 1,47 219 quả ma trận vật liệu hữu hiệu mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng thể 1546 180,904 110,096 0,41 47,556 1,47 219 quả ma trận vật liệu hữu hiệu mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng thể 220 220 Bảng Các mẫu có mơ đun đàn hồi khối hữu hiệu K =K =K =145,5 GPa tương eff đa V tinh R thể dị hướng đồng thể 219 ma trận vật liệu hữu hiệu liệu Các có mơ đun đàn hời khối K=K GPa tương ở220 Bảngquả 3.Bảng Các mẫu đềumẫu có mô đun đàncủa hồimẫu khốivật hữu hiệuhữu Keffhiệu =KV0,84 GPa tương eff=K V=K R=145,5 R=145,5 406 181,354 0,51 109,646 48,257 2,73 220 Bảng Các mẫu có mơ đun đàn hồi khối hữu hiệu K =K GPa tương eff V=K R=145,5 220 Bảng Các mẫu có mô đun đàn hồi khối hữu hiệu K =K =K GPa tương 221 đồng với kết quả nghiệm giải tích Voigt và Reuss Mơ đun đàn hời kháng trượt hữu hiệu eff V R=145,5 6034 180,714 0,11 110,286 0,17 47,256 0,63 ởđờng Bảng 3.1546 Các mẫunghiệm có mơ đun đàn hồi hữuMô hiệu K =K =K GPa tương 180,904 110,096 0,41 47,556 1,47 6034 180,714 0,11 110,286 0,17 47,256 0,63 eff V47,256 R=145,5 221 với với kết quả giải tíchvà0,25 Voigt vàkhối Reuss đun đàn hời kháng trượt hữu hiệu 6034 180,714 0,11 110,286 0,17 0,63 221 220 đờng kết quả nghiệm giải tích Voigt Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 221 đồng với kết quả nghiệm giải tích Voigt và Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 6034 180,714 0,11 110,286 0,17 47,256 0,63 222 đồng Geff=D và mô đun đàn hồi kéo dọc trục D giảm dần chia nhỏ điểm biên 221 với kết quả nghiệm giải tích Voigt và Reuss Mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 33 11 với nghiệm tích Voigt vàDReuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Gvà và quả mô hồi giảm dần chia nhỏ cáctrên điểm biên 222 221 G222 mô33kết đun đànđun hồiđàn kéogiải dọckéo trụcdọc D11trục giảm dần chia nhỏ điểm biên eff=D 11 eff=Dđồng 33 230 230 G 230 222 Geff và mô đun đàn hồi kéo dọc trục D giảm dần chia nhỏ điểm biên 33 đun 11dần 222 và=D mô đàn hồi kéo dọc trục D giảm chia nhỏ điểm biên eff=D222 33 11 Geff=D33 và mô đun đàn hồi kéo dọc trục D11 giảm dần chia nhỏ điểm biên 76 7676 11 a)(a) DD a)a) D11 D 1111 231 231 231 (b) D12 b)b) DD b) D1212 12 11 11 ef f c)c) G GGGeffeff c)(c)eff Hình Hằng số vật liệu hữu hiệu cho mẫu 18 tinh thể dị hướng đồng Hình 7.7.7 Hằng sốsố vật liệu hữu hiệu cho mẫu 1818 tinh thểthể dịdị hướng đờng Hình Hằng vật liệu hữu hiệu cho mẫu tinh đờng Hình Hằng số vật liệu hữu hiệu cho mẫu 18 tinh thể dịhướng hướng đờng 232 44thể thời gian tính tốn thực phương pháp SBEM vàvà phương pháp 232 Bảng thời gian tính tốn thực phương pháp SBEM phương pháp 232 Bảng Bảng 4thể thể thời gian tính tốn thực phương pháp SBEM và phương pháp 10hiện 233 FEM-T3 Qua đó, phương pháp SBEM với 1726 bậc tự đạt thời gian tính tốn thấp 233 233 FEM-T3 FEM-T3.Qua Quađó, đó,phương phươngpháp phápSBEM SBEMvới với1726 1726bậc bậctựtựdo dođạt đạtthời thờigian giantính tínhtốn tốnthấp thấp 234 khoảng 55lần sososo với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc tựtự Trong khikhi đó,đó, saisai 234 khoảng với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc Trong 234 hơn khoảng 5lần lần với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc tựdo Trong đó, sai 235 hai phương pháp làlàlà 0,05% DD ; 110,08 %%% D12 0,29% đốiđối vớivới 11 235 biệt biệt hai phương pháp 0,05% D11 0,08 0,29% 235 biệt hai phương pháp 0,05% ; ;0,08 DD;1212 ; ;0,29% Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng thể thời gian tính tốn thực phương pháp SBEM phương pháp FEM-T3 Qua đó, phương pháp SBEM với 1726 bậc tự đạt thời gian tính tốn thấp khoảng lần so với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc tự Trong đó, sai biệt hai phương pháp 0,05% D11 ; 0,08% D12 ; 0,29% D33 Bảng Thời gian tính tốn sử dụng phương pháp số Số phần tử SBEM 76 186 406 846 1726 18 18 18 18 18 FEM-T3 112 406 1546 6034 92 368 1472 5888 Thời gian (s) O O F Tổng số bậc tự 0,4 0,5 0,6 1,8 9,7 0,4 0,4 2,2 48,5 TE D PR Phương pháp Kết luận O R R EC Nghiên cứu trình bày hướng tiếp cận kỹ thuật đồng hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng với phần tử biên tỉ lệ SBEM Phương pháp hội tụ dần chia nhỏ cạnh biên phần tử SBEM Qua đó, thơng số đàn hồi hữu hiệu mẫu đa tinh thể dị hướng xác định Mô đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f số mẫu mơ hình Điều tương đồng với nghiên cứu giải tích Voigt Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f giảm dần hội tụ kỹ thuật làm mịn lưới áp dụng Kết sử dụng phần tử biên tỉ lệ với kỹ thuật làm mịn biên phần tử hội tụ nhanh so sánh với sử dụng phần tử hữu hạn Lời cảm ơn N C Tác giả xin chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Trường Đại học Quốc tế ĐHQG-HCM cho đề tài có mã số T2019-02-CE Tài liệu tham khảo U [1] Voigt, W (1889) Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticităatsconstanten isotroper Kăorper Annalen der Physik, 274(12):573–587 [2] Reuß, A (1929) Berechnung der fließgrenze von mischkristallen auf grund der plastizităatsbedingung făur einkristalle ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift făur Angewandte Mathematik und Mechanik, 9(1):4958 [3] Hashin, Z., Shtrikman, S (1962) A variational approach to the theory of the elastic behaviour of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 10(4):343–352 [4] Berryman, J G (2005) Bounds and self-consistent estimates for elastic constants of random polycrystals with hexagonal, trigonal, and tetragonal symmetries Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 53 (10):2141–2173 11 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng U N C O R R EC TE D PR O O F [5] Pham, D C (2006) Revised bounds on the elastic moduli of two-dimensional random polycrystals Journal of Elasticity, 85(1):1–20 [6] Chinh, P D (2012) Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals International Journal of Solids and Structures, 49(18):2646–2659 [7] Pham, D C., Le, C H., Vuong, T M H (2016) Estimates for the elastic moduli of d-dimensional random cell polycrystals Acta Mechanica, 227(10):2881–2897 [8] Kube, C M., Arguelles, A P (2016) Bounds and self-consistent estimates of the elastic constants of polycrystals Computers & Geosciences, 95:118–122 [9] Terada, K., Hori, M., Kyoya, T., Kikuchi, N (2000) Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches International Journal of Solids and Structures, 37(16):2285–2311 [10] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., Baaijens, F P T (2001) An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials Computational Mechanics, 27(1):37–48 [11] Coenen, E W C., Kouznetsova, V G., Bosco, E., Geers, M G D (2012) A multi-scale approach to bridge microscale damage and macroscale failure: a nested computational homogenization-localization framework International Journal of Fracture, 178(1-2):157–178 [12] Miehe, C., Schotte, J., Lambrecht, M (2002) Homogenization of inelastic solid materials at finite strains based on incremental minimization principles Application to the texture analysis of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50(10):2123–2167 [13] Teferra, K., Graham-Brady, L (2018) A random field-based method to estimate convergence of apparent properties in computational homogenization Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 330:253–270 [14] Phương, N H., Cảnh, L V., Kiên, N T (2019) Xác định đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng phương pháp đồng hóa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 13 (4V):129–138 [15] Beskos, D E (1987) Boundary element methods in dynamic analysis [16] Song, C., Wolf, J P (1997) The scaled boundary finite-element method—alias consistent infinitesimal finite-element cell method—for elastodynamics Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 147(3-4):329–355 [17] Wolf, J P., Song, C (2000) The scaled boundary finite-element method–a primer: derivations Computers & Structures, 78(1-3):191–210 [18] Ooi, E T., Song, C., Tin-Loi, F., Yang, Z (2012) Polygon scaled boundary finite elements for crack propagation modelling International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(3):319–342 [19] Deeks, A J., Wolf, J P (2002) A virtual work derivation of the scaled boundary finite-element method for elastostatics Computational Mechanics, 28(6):489–504 12 ... trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu tinh đồng Bảng Ma trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể d? ?hướng hướng đồng Bảng 3.3.3 Ma trận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu đa? ?a tinh th? ?thể d? ?dị. .. SBEM cho mẫu 18 tinh thể 211 Hình Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể 211 Hình Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể 227 mịn biên phần thể 8tỉ8 tốt sử dụng phần tửtửhữu... mịn biên phần tử Hình tốt sử dụng phần Hình Hệ lưới phần tửt? ?phần biên tỉHình lệ SBEM cho mẫu tinh thể 211 Hình Hệt? ?tử lưới phần tửhiện biên lệ SBEM mẫu 18 tinh thể 211 Hình thể Hệ lưới tử biên