Bài giảng số 1: Đại cương về hàm số và đồ thị hàm số

Tập giá trị của hàm số y = f(x) là tập tất cả các giá trị của y có thể nhận được khi x chạy.. trên tập xác đinh..[r]

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

BÀI GIẢNG SỐ 01: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

Dạng Tập xác định hàm số

Tập xác định hàm số y = f(x) tập giá trị biến số x cho f(x) có nghĩa

A Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau:

a) 2 x y

x x



 b)

1 x y

x  



Giải:

a) Hàm số xác định

2

2

2 x

x x

x      

 

Vậy tập xác định hàm số DR\ 0; 2  b) Hàm số xác định

0

0

4

x x

x

x x



  



   

 

   

 



Vậy tập xác định hàm số D 0;  \

Ví dụ 2:Tìm tập xác định hàm số

a) b)

2

2

5

y x x

x x

   

 

Giải:

a) Hàm số xác định

2

0

1

x x

x x

x x

     

 

  

 

  

  



( vô nghiệm)

Vậy tập xác định hàm số D  

b) Hàm số xác định

1    



y x

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

2

2

1

5

3

5

5

x

x x

x x

x x

x       

 

      

 

  



   



Vậy tập xác định hàm số D    5; 1

Ví dụ 3: Cho hàm số:

1 x y

x m  

 

Tìm m để hàm số xác định 1;1

Giải:

Hàm số xác định

2

xm  xm

Do tập xác định hàm số DR\m2

Khi đó, để hàm số xác định 1;1 điều kiện

  1

2 1;1

2

m m

m

m m

   

 

    

  

 

Vậy với m m

    

thỏa mãn điều kiện toán

B Luyện tập:

Bài 1:Tìm tập xác định hàm số sau:

a) 1

 



y x

x b)

1

1

 

 

y

x

x c)

2

3 2 2

y x  x  x  x

d) y 22x

2x x

 

  e)

2

1

2

y x

x

  

 f)

3x y

(x 2) x  

 

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

a) 0;  \

b)  1; \ 2 c) 1;1 d)  

( , ) \

  e)  f) ( 4, ) \ 2 

Bài 2: Cho hàm số:

1

2

y x m

x m     

 

Tìm m để hàm số xác định 0;1  ĐS: m  1;

Dạng Tập giá trị hàm số

Tập giá trị hàm số y = f(x) tập tất giá trị y nhận x chạy

trên tập xác đinh

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Tìm tập giá trị hàm số

a) y 2x28x 9 b) 42  

 x y

x Giải:

a) Tập xác định D = R

Xét giá trị y0 thuộc tập giá trị hàm số Khi tồn giá trị

xDsao cho y0  2x28x9 2x28x 9 y0 0 (1) Phương trình (1) phải có nghiệm x

  ' 162(9y0)0 2y0340 y0 17 Vậy tập giá trị hàm số ;17

b) Tập xác định D = R

Xét giá trị y0 thuộc tập giá trị hàm số Khi tồn giá trị

xDsao cho

1 x y

x  



2

0 4

y x y x y x x y

         (1)

Phương trình (1) phải có nghiệm x

0 0 0

' y y( 3) y 3y y

              

Vậy tập giá trị hàm số 1, 4

B Luyện tập:

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

a) yx23x1 b) y 2x23x2 c) 

 y

x

d)

1  



x y

x e)

2

4

x y

x x

 

 

ĐS:a) 5,

 

   

  b)

7 ,

8

 

 

 

 c) (0,) d) \ 1  e)

4 19 19 ;

15 15

    

 

 

Dạng Sự đồng biến nghịch biến hàm số

Cho hàm số y = f(x) khoảng (a; b) Với x x1, 2( ; )a b thì:

 Hàm f(x) đồng biến khoảng (a; b) f x( )1  f x( 2)x1x2  Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (a; b) f x( )1  f x( 2)x1x2

Phương pháp: Với x x1, 2( ; )a b , lập tỉ số 2

( ) ( )

f x f x

A

x x

 



 Nếu A > hàm số đồng biến khoảng (a; b)  Nếu A < hàm số nghịch biến khoảng (a; b)

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 5:Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số sau:

a)

yx 4x 1 khoảng ( , 2) ( 2, )

b) y 1x tập xác định hàm số

c) yx33x26x tập xác định hàm số

Giải:

a) Ta có: Với x1 x2

   

1 2

1

1

1 2

4

( ) ( )

4

x x x x

f x f x

A x x

x x x x

    



    

 

Trên khoảng ; 2 hàm số nghịch biến vì:

1

x vàx2   ; 2x1  x  2 Ax1x2  Trên khoảng   hàm số đồng biến 2; 

1

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

b) Tập xác định D   ;1

Ta có: Với x x  1, 2  ;1và x1 x2

 

  

2

1

1

1 2 2

1

( ) ( )

1

1

x x

x x

f x f x A

x x x x x x x x x x

   

 

   

        

Trên khoảng ;1hàm số nghịch biến

1

x vàx2  ;1x1 x 2 1 1x1 0 1x2 0 A0 c) Tập xác định D = R

Với x x1, 2Rvà x1 x2, ta có:

3

1 1 2

1 2

( ) ( ) ( 1) ( 1)

f x f x x x x x x x

A

x x x x

       

 

 

3 2

2

1 2

1 2

1

( ) 3( ) 6( )

3( )

x x x x x x

x x x x x x

x x

    

      



 2  2  

1 2

1

3

2 x x x x x x

      

=1  1 22 6 1 2 1 12 22

2 x x x x x x

       

 

 2  2

1 2

1

3 0,

2 x x x x

       vớix x1, 2R x1 x2 Vậy hàm số đồng biến R

B Luyện tập

Bài 1:Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số sau:

a) y x22x khoảng 5 (,1) (1,)

b) 1

 



x y

x khoảng (;1) (1;)

c) yx310trên khoảng ( , )

d) y 2 x

e)

y x

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

(HD: b)

2 1

y y

x x (1 x )(1 x ) 



   Hs đống biến (;1) (1;)

c) Hs đồng biến ( , )

d) TXĐ:

1 ;

2

D  

  Hs nghịch biến

e) TXĐ: D = R Hs đồng biến R

Dạng Tính chẵn lẻ hàm số

1 Hàm số y = f(x) miền D gọi là:

 Hàm số chẵn như

( ) ( )

x D x D

f x f x x D

     



   



 Hàm số lẻ

( ) ( )

x D x D

f x f x x D

     



     

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 6:Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y 1x 1x c) |1 2| |1 | | |

x x

y

x x

   



b) 3

2 3

y x  x d) y x  1 x

Giải:

a) Hàm số xác định D   1;1 tập đối xứng

Ta có: f(x) ( x) ( x) 1x 1x  f x( ) Vậy hàm số chẵn

b) Hàm số xác định D = R tập đối xứng

Ta có: f(x) 32(x) 3 32(x) 3  3 2x 3 2x 3 f x( ) Vậy hàm số chẵn

c) Hàm số xác định trênDR\ 0; 1   tập đối xứng

Ta có: ( ) 21 ( ) 2 ( ) ( )

x x x x

f x f x

x x x x

      

    

   

Vậy hàm số lẻ

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

Ta có: f(x)     x 1 ( x)  1 x  1 x  f x( ) Vậy hàm số lẻ

Ví dụ 7: Cho hàm số:

2 2( 1) y

mx m x m



  

Tùy theo m xét tính chẵn, lẻ hàm số

Giải:

Ta xét trường hợp:

Trường hợp1: Với m = 0, ta

2 y

x  

Hàm số xác định DR\ 0  tập đối xứng có

1

( ) ( )

2( )

f x f x

x x

     

 Do hàm lẻ

Trường hợp 2: Với m = 1, ta

2

1 y

x 



Hàm số xác định DR\1;1 tập đối xứng có:

2

1

( ) ( )

( ) 1

f x f x

x x

   

   Do hàm chẵn

Trường hợp 3:Với m m

  

 

, hàm g x( )mx22(m1)x m không chẵn không lẻ,

đó khơng chẵn khơng lẻ

Kết luận:

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tn –Hotline: 098.770.8400

 Ngồi khơng chẵn, khơng lẻ B Luyện tập:

Bài 1:Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:

a) | |   y x

x b)

3

| |

 

y x x x c)

2

1 



x y

x

ĐS: a) hàm chẵn b) hàm lẻ c) khơng chẵn, khơng lẻ( xDnhưng  x D)

Bài 2: Cho hàm số ymx3x22 (m m1)x

Xác định m để hàm số chẵn

ĐS: m =

Dạng Điểm cố định hàm số

Định nghĩa:Cho họ đường cong Cm:y f x m ;  phụ thuộc tham số m Điểm M x y 0; 0 gọi điểm cố định họ đường cong Cm y0  f x m 0; ,m

Cách giải: Để tìm điểm cố định họ đường cong Cm:y f x m ;  ta có

Bước 1: Gọi điểm cố định M x y 0; 0 Suy y0  f x m 0; ,m

Bước 2: Sắp sếp y0  f x m 0; theo phương trình ẩn m bậc giảm dần, chẳng hạn bậc có dạng Bm C 0

Bước 3: Khi y0  f x m 0; ,mBm C 0,m Điều xảy  tất hệ số ẩn

m

0 ?

0 ?

x B

C y



 



 

 

 

Bước 4: Kết luận

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 8:Tìm điểm cố định đồ thị

a) (m1)x(2m3)ym1 (dm)

b)

2

2( 1)

    

y x m x m  

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

Giải:

a) Gọi M(x0; y0) điểm cố định mà họ (dm) qua

Vậy ta phải có:

m1x02m3y0 m

x0 2y0 1m x0 3y0

      

0 0

0 0

2

3

x y x

x y y

   

 

 

    

 

Vậy (dm) qua điểm cố định M(5; -2)

b) Gọi M x y 0; 0là điểm cố định mà họ Cmln qua Khi đó:

0 2( 1)

y  x  m x  m

2

0 0

y x mx x m

     

2

0 0

(2x 3)m x x y

      

0

2

0 0

0

2 2

5

5

4

x x

x x y

y

 

   



 

 

   



  

 

Vậy Cm qua điểm cố định 5; ,

M  m

 

B Luyện tập:

Bài 1:Tìm điểm cố định họ đường thẳng sau đây:

a) y2mx m  b) ymx x 

ĐS: a)

;1

 

 

  b) 0; 3 

Bài 2:Tìm điểm cố định họ parabol sau

a) yx22(m1)x3m5 b) yax2(a1)x6a

ĐS: a) 1,

 



 

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

Dạng Tâm đối xứng hàm số

Phương pháp:

Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I (a; b) làm tâm đối xứng, ta làm theo bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ

X x a x X a

Y y b y Y b

   

 



 

   

 

Hàm số có dạng: Y b f X( a)Y F X( ) (1)

Bước 2: Nhận xét hàm số (1) hàm lẻ

Bước 3: Kết luận đồ thị hàm số nhận I(a; b) làm tâm đối xứng

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 9: Cho hàm số: yx33x2

Chứng minh đồ thị hàm số nhận điểm I (1; -1) làm tâm đối xứng Giải:

Với phép biến đổi tọa độ

1

1

X x x X

Y y y Y

   

 



 

   

 

Khi hàm số có dạng

3

1 ( 1) 3( 1) Y  X   X 

3

Y X X

   (1)

Ta thấy Y(X) X33X  (X33 )X  Y X( ) hàm (1) hàm lẻ

Vậy đồ thị hàm số nhân I (1; -1) làm tâm đối xứng

Ví dụ 10: Xác định m để đồ thị hàm số sau nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng

3

1

3

y x mx

m 

  

Giải:

Với phép biến đổi tọa độ

1

X x x X

Y y y Y

   

 



 

 

 

Hàm số có dạng

3

1

( 1) ( 1)

Y X m X

m 

     hàm lẻ

Ta có: Y 1(X 1)3 (m X 1)2 m



Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

3

1 1

3 3

X m X m X m

m m m m

    

           

   

Hàm (1) hàm lẻ khi:

2

3

1

1

3

1

3

m

m m

m

m m

m m

  

 

 

   

     

 

  

 

   

 

Vậy với m = đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng B Luyện tập

Bài 1:Chứng minh đồ thị hàm số sau nhận I làm tâm đối xứng:

a) y x33x2với I(0, 2) b) 1  



x y

x với I(–1, 2)

ĐS: a) Y  X33X b) Y X  

Dạng Trục đối xứng hàm số

Phương pháp:

Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ

X x a x X a

Y y y Y

   

 



 

 

 

Hàm số có dạng: Y  f X( a)Y F X( ) (1)

Bước 2: Nhận xét hàm (1) hàm chẵn

Bước 3: Kết luận đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 11:Cho hàm số: yx44x32x212x

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

Giải:

Với phép biến đổi tọa độ

1

X x x X

Y y y Y

   

 



 

 

 

Hàm số có dạng Y (X 1)44(X 1)32(X 1)212(X1) 1

4

8

Y X X

    (1)

Ta thấy 4

( ) ( ) 8( ) ( )

Y X  X  X   X  X  Y X

hàm (1) hàm chẵn

Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng

Ví dụ 12:Cho hàm số: yx44mx32x212mx

Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

Giải:

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy đường thẳng x = a (a 0) Khi

Với phép biến đổi tọa độ

X x a x X a

Y y y Y

   

 



 

 

 

Hàm số có dạng

 4  3  2  

4 12

Y  X a  m X a  X a  m Xa hàm chẵn

Ta có:

Y X44(am X) 32(3a26am1)X24(a33ma2  a )m X a44ma32a212ma (1)

Hàm (1) hàm chẵn

3

4( )

1

4( 3 )

a m

m

a ma a m

 



   

   

Trung tâm luyện thi Edufly –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Hotline: 098.770.8400

Vậy với m  1 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

B Luyện tập

Bài 1:Chứng minh parabol yax2bx nhận đường thẳng c x b 2a

  làm trục đối xứng

2 aX

4 b

Y c

a

  

Bài 2:Chứng minh đồ thị hàm số 3

4

    

y x x x x nhận đường thẳng x = làm trục

đối xứng 11

Y X X

4