Bài giảng số 3: Hàm số bậc hai và các dạng bài tập

Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình.[r]

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 03: HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Hàm số có dạng y =f(x)= ax2 + bx + c (a 0) gọi hàm số bậc hai  Với a > 0, ta có:

 Hàm số nghịch biến khoảng ; b a        

 Hàm số đồng biến khoảng ; b a        

 Khi

2 b x

a

  hàm số đạt cực tiểu

2 b y f a a        

 Với a < 0, ta có:

 Hàm số đồng biến khoảng ; b a        

 Hàm số nghịch biến khoảng ; b a        

 Khi

2 b x

a

  hàm số đạt cực đại ax

2 m b y f a a         

 Đồ thị: Đồ thị hàm bậc hai Parabol (P) có đỉnh ; b S a a      

  nhận

đường thẳng b x a 

 làm trục đối xứng

 Nhận xét:

+ Nếu  0, (P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt + Nếu  0, (P) tiếp xúc với trục hoành

+ Nếu  0, (P) khơng cắt trục hồnh  Hàm số hàm chẵn

 Từ đồ thị hàm số y = f(x) (P) suy đồ thị hàm số:  y = f x( ) (P1)

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

 y = f  x (P2)

Giữ nguyên đồ thị (P) bên phải Oy sau lấy đối xứng qua Oy với phần (P) bên phải Oy

 y f  x (P3)

Vẽ (P3) cách kết hợp vẽ (P1) (P2) B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0) Bước 2: Dựa vào điều kiện cho để xác định a, b, c

Trong bước ta ý điều kiện thường gặp:

 Điểm

0 0 0

( ; ) ( ) ax

A x y  P  y  bx c

 (P) có đỉnh

0 0 ( ; ) b x a S x y

y a            

 (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0

0 a y a         ( 0 a y a         )

 (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hồnh độ x0)

0 a b x a         (hoặc 0 a b x a         )

 (P) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng b x a   

Bước 3: Kết luận:

Ví dụ 1: Lập phương trình (P) biết

a) (P) qua ba điểm A( 1;8); B(2; 1); C(1; 0)

b) (P) có đỉnh S(2; 1) cắt trục tung điểm có tung độ

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) qua ba điểm A( 1;8); B(2; 1); C(1; 0) nên ta có:

8

4

0

a b c a

a b c b

a b c c

   

 

 

      

 

     

 

Vậy (P) cần tìm có dạng: y = x2 – x +

b) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có đỉnh S(2; 1)  2

4

b a

a b c

 

  

   



(1)

Vì (P) cắt trục tung điểm có tung độ nên c = (2) Từ (1) (2) ta có:

4

7

4

2

b a b a c

c c b

a b a b

a  

    

 



 

      

        

   



Vậy (P) cần tìm có dạng:

y x  x

Ví dụ 2: Lập phương trình (P) biết

a) (P) có đỉnh S(1; 5) qua điểm A(– 1; 1)

b) (P) có giá trị cực tiểu – qua hai điểm A(2; 1); B(0;3)

Giải:

a) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có đỉnh S(1; 5)  b

a a b c

 

  

    

(1)

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

2 2

5 4

1

b a b a b a a

a b c a c a b

a b c a c a c c

                                               

Vậy phương trình (P) cần tìm là:

2

y x  x

b) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có giá trị cực tiểu – nên 2

0

1 4

4 a

a

b ac a

a                 (1)

Vì (P) qua hai điểm A(2; 1); B(0;3) nên

2

4

3

a b c

c         (2)

Từ (1) (2) ta có:

2

2

2

4

3 2 12 16 a a b c c a b

b a a

a b a

                           

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) yx2 2x2 b) y x2x

Giải:

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Ví dụ 4:

a) Khảo sát vẽ parabol (P): y x22x3

b) Dựa vào đồ thị (P) câu a), giải thích vẽ hệ toạ độ khác đồ thị

2

( ) :P y f x( )x 2x3 (P2) :y f  x  x22 | | 3x 

   

3 :   | 2 3 |

P y f x x x  P4 :y f  x  | x22 x 3 |

2

(P ) : y  f x( ) x 2x3 (P6) :y x1 ( x 3)

Giải:

a

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Dạng 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị

Ví dụ

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a) x22 | |x m b) | 2x25x2 | 2 m 1

Giải:

a) Ta có: x22 | |x m (1)

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C)

2

yx  x đường

thẳng y = m (d)

Hàm

2

yx  x hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy Do ta vẽ đồ thị (C)

sau

+ vẽ đồ thị hàm số 2

yx  x, ứng với x 0

+ Lấy đối xứng phần đồ thị qua Oy ta đồ thị (C) hình vẽ

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

+ Nếu m < - (d) khơng cắt (C)  phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu m = - (d) cắt (C) điểm phương trình (1) có nghiệm + Nếu < m < - (d) cắt (C) điểm phương trình (1) có nghiệm + Nếu m = (d) cắt (C) điểm phương trình (1) có nghiệm + Nếu m > (d) cắt (C) điểm phương trình (1) có nghiệm Kết luận:

Vậy m < -1 , phương trình vô nghiệm

m

m      

, phương trình có nghiệm

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

b) Ta có: | 2x25x2 | 2 m 1  2x25x2 2m1 (1)

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C) hàm số

2

2

y x  x đường thẳng (d): y = 2m –

+ Vẽ đồ thị hàm số

2

y x  x (P) với đỉnh 5; S  

 

+ Giữ nguyên đồ thị (P) Ox lấy đối xứng với phần Ox (P) qua Ox

Hợp hai phần đồ thị ta đồ (C) hình vẽ

Nhìn vào đồ thị ta thấy

+)

2

m  phương trình vơ nghiệm

+)

0

9 m

m      

phương trình có nghiệm phân biệt

+)

8

m  phương trình có nghiệm phân biệt

+)

8

m

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Ví dụ 6:

a) Xác định m để phương trình

0

x x m

    có nghiệm

b) Xác định m để phương trình 2

2x 3x2 5m8x2x có nghiệm

Giải:

a) Ta có:

0

x x m

     x2 x m (1)

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C) hàm số

y x  x

và đường thẳng (d): y = m

Hàm

y x  x hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy nên ta vẽ đồ thị (C) sau

+ vẽ đồ thị hàm số

y x x, ứng với x 0

+ Lấy đối xứng phần đồ thị qua Oy ta đồ thị (C) hình vẽ

Nhìn vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm m

 

b) Ta có:

2

2

2 2 2 0,

2 16

x  x  x  x   x    x

   

Vậy phương trình cho trở trành

2 2

2x 3x 2 5m8x2x 4x 5x 2 5m (2) Số nghiệm (C) số giao điểm (P):

4

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Vẽ (P): đỉnh 7; 16 S 

 , cắt trục tung A(0; 2) hình vẽ

Nhìn vào hình vẽ ta thấy để phương trình (2) có nghiệm 7

16 80

m m

   

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số

ax ( 0)

y bx c a 

a) Biết đồ thị (P) hàm số cho có đỉnh S(1; 4) cắt trục tung điểm có tung độ Tìm a, b, c

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số câu a) c) Từ đồ thị (P), suy đồ thị hàm số:

2

y x  x  (P1),

2

2

y x  x  (P2)

d) Bằng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình

2

x x m

    

ĐS: a) a 1,b2,c3

b) Hàm số đồng biến khoảng ;1, nghịch biến khoảng 1; 

d) m > 5,pt có nghiệm m = 4, pt có nghiệm

m = 5, pt có nghiệm đơn nghiệm kép < m < 4, pt có nghiệm

< m < 5, pt có nghiệm m = 1, pt có nghiệm

m < 1, pt vô nghiệm

Bài 2: Cho hàm số: y = ax2 + bx + c có đồ thị (P)

a) Xác định a, b, c để (P) cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ và (P) qua điểm M( – 1; 8)

b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số tìm câu a)

c) Bằng đồ thị giải biện luận theo m số nghiệm phương trình:

4

x  x m

Bài 3:

a) Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

b) Tìm k để phương trình 2

2x 3x x 5x k

      có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm

HD: a) Viết phương trình dạng

2

x  x   m dùng đồ thị để giải biện luận

b)

2

2 23

2

4

x x x 

         

  nên

2

2x 3x 2x 3x

      

phương trình có dạng

2

x  x k Dùng đồ thị tìm k

Bài 4: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( ) :P y f x( )x x| 3 | 4. Dựa vào (P), biện luận theo a