Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà.. a..[r]
(1)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC DẠNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
Dạng 1: Dạng0
0
Phương pháp:Bản chất việc khử dạng không xác định0
0là làm xuất nhân tử chung để:
Hoặc khử nhân tử chung để đưa dạng xác định
Hoặc đưa giới hạn dạng giới hạn bản, quen thuộc biết rõ kết cách giải Ghi chú:
Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x0 f(x) = (x – x0).g(x) Liên hợp biểu thức
ab là ab
a blà a b
ab là3 a2 b a3 b2
ab là3 a2 b a3 b2
Bài toán 1:Dạng0
0của hàm phân thức đại số
Phương pháp: Cụ thể tính
( ) lim
( ) x x
f x g x
, f(x), g(x) hàm đa thức nhận x = x0 làm nghiệm
Khi đó:
0 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k
x x x x x x
k k
x x f x f x f x
f x
g x x x g x g x g x
, với điều kiện
2
0
( ) ( )
k k
f x g x
Ví dụ 1: Tính giới hạn
a
3
4
1
2 lim
2 x
x x
x x x x
b 1 lim
1 m
n x
x x
Bài giải
a
3
4
1
2 lim
2 x
x x
x x x x
=
2 2
3
1
1 2 2 2 5
lim lim
2
1
x x
x x x x x
x x
x x x
b
n m x
x x x x
x x
x x x x
x
n n
m m
x n
n m m
x n
m
x
1
1 lim
) )(
1 (
) )(
1 ( lim 1
lim 1 2
2
1
1
(2)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài toán 2: Dạng0
0của hàm chứa thức
Loại 1: Với giới hạn
( ) lim
( ) x x
f x a g x
, đó f x( 0) a vàg x( 0)0
Phương pháp:Nhân tử mẫu đa thức cho với f x( )a Sau áp dụng dạng0
0của hàm
phân thức đại số để tính Ví dụ 2: Tính giới hạn
a
2
lim
6
x
x x
b 2
3
lim
4
x
x x
x
Bài giải:
a Nhân tử mẫu phân thức cho với( x 22) ta
6 6
2 ( 2)( 2)
lim lim lim
6 ( 6)( 2) ( 6)( 2)
x x x
x x x x
x x x x x
=
1
lim
4 2 x x
b Nhân tử mẫu phân thức cho với (x 3x2) ta
2
2
( 2)( 2)
lim lim
( 4)( 2) ( 4)( 2)
x x
x x x x x x
x x x x x x
( 1)( 2)
lim
( 2)( 2)( 2)
x
x x
x x x x
2
1
lim
16
( 2)( 2)
x
x
x x x
Loại 2: Với giới hạn
( ) lim
( ) x x
f x a
g x b
, đó f x( 0) avà g x( 0)b
Phương pháp:
0
2
2
( ) ( )
( )
lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x
g x b f x a
f x a
g x b f x a g x b
Sau áp dụng dạng0
0của hàm phân thức
đại số để tính
Ví dụ 3:Tính cácgiới hạn sau
a
2 lim
5 x
x
x
b
1 lim
3
x x
x
(3)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a
2 lim
5 x
x
x
= 1
( 1)( 2)
lim lim
( 1)( 1)
x x
x x x
x x x
b
0 0
1 (3 9)
lim lim lim
2
3 ( 1) 2( 1)
x x x
x x x x
x x x x
Loại 3: Với giới hạn
1( ) 2( )
lim
( )
x x
f x f x
g x
, đó f x1( 0) f x2( 0)vàg x( 0)0
Phương pháp:Nhân tử mẫu với f x1( )0 f x2( )0
Ví dụ 4:Tính giới hạn sau
a
2
lim
1
x
x x
x
b
2
2
5
lim
2 x
x x
x x
Bài giải:
a
1 1
2 1 1
lim lim lim
1 ( 1)( ) 2
x x x
x x x
x x x x x x
b
2 3
2 2 2 3
1
5
lim lim
2 ( 2)( 5 9 )
x x
x x x x
x x x x x x
2
2 3
1
( 2)( 2)
lim lim
( 2)( 1)( ) ( 1)( )
x x
x x x x x
x x x x x x x
1
2
Loại 4: Với giới hạn
1
1
( ) ( )
lim
( ) ( )
x x
f x f x
g x g x
, f x1( 0) f x2( 0) và g x1( 0) g x2( )0
Phương pháp:
0
1 2
1
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
f x f x g x g x
f x f x
g x g x g x g x f x f x
Sau áp dụng dạng
0
hàm phân thức đại số để tính Ví dụ 5:Tính giới hạn sau
2
2
lim
1
x
x x
x x
(4)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
2
2 (2 )( )
lim lim
1 (2 4)( 2 )
x x
x x x x x
x x x x x
=
1
lim
4
2( 2 )
x
x x
x x
Loại 5: Với giới hạn
3 ( ) lim
( ) x x
f x a g x
, đó3 ( )
f x avàg x( 0)0
Phương pháp:Ta thực phép nhân liên hợp3 f2( )x 3 f x( )a2
Mở rộng:Với giới hạn
3
3 ( ) lim
( ) x x
f x a
g x b
, trongđó
0 ( )
f x avà3 ( ) g x b
3 ( ) lim
( ) x x
f x a
g x b
, trongđó
0 ( )
f x avà g x( 0)b
3
1
1
( ) ( )
lim
( ) ( )
x x
f x f x
g x g x
, trongđó
3
1( ) 2( )
f x f x g x1( 0) g x2( )0
3
1
3
1
( ) ( )
lim
( ) ( )
x x
f x f x
g x g x
, trongđó
3
1( ) 2( )
f x f x và3
1( ) 2( ) g x g x
Ta thựchiệnphépnhânliênhợpchocảtửvàmẫusố Ví dụ 6:Tính cácgiới hạn sau
a
0
1
lim
x
x x
d
3
1
2
lim
1 x
x x
x
b
3
3
1 lim
2 x
x
x
e
3
0
1
lim
x
x x
x
c
64
4 lim
8 x
x
x
f
3
3
1
lim x
x x
x
Bài giải:
a
0
1
lim
x
x x
2
0 3 3
4 4
lim lim
3
( (1 ) 1) (1 )
x x
x
x x x x x
b
3
3
1 lim
2 x
x
x
2 3
3 3 3
3
1 3
2 ( 1) 2 2 1
lim lim
1
1
x x
x x x x x
x x
x x x
(5)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
c
3
64 64
4 ( 64)( 8)
lim lim
8 ( 16)( 64)
x x
x x x
x x x x
643
8 16
lim
16 16 16
4 16
x
x
x x
d
3
1
2
lim
1 x
x x
x
3 3
( 1)( 1) lim
(2 1) (2 1) ( 1)
x
x x
x x x x x
3
2
1 3
1
lim
3
(2 1) (2 1)
x
x
x x x x
e
3
2
0 3
1
lim lim
( (1 ) (1 )(1 ) (1 )
x x
x x x
x x x x x x
2
0 3
5
lim
3
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
x
x x x x
f
3
3 3
3
1 3 3
1 (1 )(1 )
lim lim
1 (1 ) 2 (1 ) 4 (1 )
x x
x x x x x
x x x x x x
3
3
2
1 3
1
lim
12 (1 ) (1 )
x
x x
x x x x
Chú ý 1:Có phương pháp khác sử dụng để tính giới hạn dạng0
0gọi phương pháp gọi
hằng số vắng, cụ thể với giới hạn dạng:
1( ) 2( ) lim
( ) x x
f x f x g x
, f x1( 0) f x2( 0)vàg x( 0)0
Cách 1:( Chèn số vắng ) Ta thêm số vắng c vào biểu thức giới hạn, ta
0 0
1( ) 2( ) 1( ) 2( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x x x
f x c c f x f x c c f x
g x g x g x
Cách 2:( chèn hàm số vắng ) Ta thêm hàm số vắng f(x) ( với f(x0) = c ) vào biểu thức giới hạn ta
0 0
1( ) ( ) ( ) 2( ) 1( ) ( ) ( ) 2( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x x x
f x f x f x f x f x f x f x f x
g x g x g x
Ví dụ 7:Tính giới hạn sau:
a
3
0
2
lim
x
x x
x
b
3
2
1
lim
x
x x
x
(6)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a
3
0
2 2
lim lim
x x
x x x x
x x
3
0
2( 1)
lim lim
x x
x x
x x
2
0 3
2
lim lim
( 1) (4 (8 ) )
x x
x x
x x x x x
2
0 3
2 13
lim lim
12
1 (8 )
x x x
x x
b
3
2
0
1 ( 1) ( 1)
lim lim
x x
x x x x x x
x x
3
2
0
1 ( 1) ( 1)
lim lim
x x
x x x x
x x
2
2
0 2 3
( 1)
lim lim
1 ( 1) ( 1) ( 1) (1 )
x x
x x x
x x x x x x x x
2
0 3
1 3
lim lim
2
1 ( 1) ( 1) ( 1) (1 )
x x
x
x x x x x x
Chú ý 2:Với giới hạn dạng
1 ax
lim
n
x x
, ta đặt ẩn phụ n1 ax
t Khi
1
0 1
1 ax 1
lim lim lim
1
n
n n n
x t t
t a a
t
x t t n
a
Ví dụ 8:Tính giới hạn sau:
a
0
1
lim
x
x x
b
1
4
lim
1
x
x x
Bài giải:
a Đặt
t x Khi đó:
3
0 1
1 1 1
lim lim lim
1
x t t
x t
x t t t
b Đặtt 44x3 Khi đó:
4
1 1
4 1 4( 1)
lim lim lim lim
3
1 1
1
x t t t
x t t
t
x t t t t
(7)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương pháp:
1 Sử dụng định lý thừa nhận sau:
x
sin x
lim
x
Tổng quát ta có
x
sin u x
lim
u x
vớiu 0 0
2 Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể:
Giả sử cần tính giới hạn hàm số lim ( )
xx f x ( lim ( )x f x ), ta thực bước sau:
Bước 1:Chọn hai hàm số g(x), h(x) thỏa mãng x( ) f x( )h x( )
Bước 2:Khẳng định
0
lim ( ) lim ( )
xx g x xx h x L (hoặclim ( )xg x lim ( )xh x L)
Bước 3:Kết luận
0 lim ( )
xx f x L( hoặclim ( )x f x L) Ví dụ 9: Tính giới hạn hàm số lượng giác sau:
a
x x
x x
x 1 sin2 cos2
2 cos sin lim
0
b x
x
x 1 cos
3 sin 1 lim c tgx x cos x sin lim x lim cot x tgx d gx Bài giải:
a
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin 2 sin cos sin cos cos sin cos sin 2
Do đó:
cos sin cos sin lim cos sin cos sin lim
0
x x
x x x x x x x x
b Ta có:
x x x x x x x x x cos sin sin cos sin cos sin 1 cos sin 1 x x x x x x cos cos sin cos sin sin
3 2
1cosx34sin2x
Do đó: lim cos 4sin
cos sin 1 lim
0
x x x
x
x x
c x
(8)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
d
x x x x
x x x
x x x x
gx x
tan cos
cos sin
sin sin cos
sin cos
cos sin
cot
tan
Vậy lim tan
cot
tan lim
4
x gx
x
x x
Ví dụ 10:Sử dụng định lý kẹp tính giới hạn sau: a lim s inx
1
x x b
3sin cos lim
x
x x
x
c
1 lim cos
x x x
Bài giải:
a Ta có
x x
x
x
1 1 sin
Mà
1
lim
x x
Theo định lý kẹp sin
lim
x
x
x
b Ta có:
x x x
x x
x x
x x
x
cos lim sin lim cos sin lim
Vì
x x
x
sin
Mà lim 0
x
x nên
sin
lim
x
x
x
Tương tự lim cos 0
x
x
x
Vậy lim 3sin cos
x
x x
x
=
c Xét hàm số
1
( ) cos
f x x
x
Ta có: f x( ) xcos1 x
x
Mà
0
lim
x x
Theo định lý kẹp
1
lim cos
x x x
Dạng 3: Giới hạn vô
Phương pháp:
Định lý 1:Giả sử
0 lim ( )
xx f x L lim ( )
xx g x M (L M, R) Khi
a)
0
lim ( ) ( )
xx f x g x LM
b)
0
lim ( ) ( )
(9)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
c)
0
lim ( ) ( ) xx f x g x L M
Đặc biệt, c số
0 lim ( ) xx cf x cL
d) Nếu M 0
( ) lim
( ) x x
f x L
g x M
Định lý 2: Giả sử
0 lim ( )
xx f x L Khi đó: a)
0 lim ( ) xx f x L
b)
3
lim ( )
xx f x L
c) Nếu f x ( ) với xJ\ x0 , J khoảng chứa x0, L 0và
0
lim ( )
xx f x L
Ví dụ 11:Tính giới hạn sau:
a
2
3
3
lim
2
x
x x x
b
4
4
2 15
lim
1 x
x x
x
c
6
3 lim
3
x x x
d
6
3 lim
3
x x x
e
2
2 lim
8
x
x x
x x
f xlim 2
x x
x x
Bài giải:
a Chia tử mẫu phân thức cho
x , ta
2 2 3
3
3
3
3
,
1
2 2
x x x x x
x x
x
Vì lim 12 73 lim lim 12 lim 73
x x x x x x xx xx
1
lim 2
x x
nên theo định lý ta có:
2
3
3
lim
2
x
x x
x
b Chia tử mẫu phân thức cho
0
(10)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
4 4
4
4 15
2 15
lim lim
1
1 1
x x
x x x x
x
x
c Chia tử mẫu phân thức cho
x 0, ta
6 6
3
3
2
lim lim
1
3
3
x x
x x
x
x
d Với x 0, ta có:
3 3
6 6 6 6
3 3
3
2 2
1 1
2
1
3 3
3
x x
x x x x
x x x
x
Do đó:
6
3 lim
3
x x
x
=
6
3
1 lim
1 3
3 x
x
x
e Đặt
2
2 ( )
8
x x
f x
x x
Khi
2
2
2
2
lim ( ) lim lim
1
8 8
x x x
x x x
f x
x x
x x
3
lim ( )
2
x f x
f Chia tử mẫu phân thức cho x20, ta
2
2
0
lim lim
1
2 1
x x
x x x
x x
x x
Ví dụ 12:Tính giới hạn sau:
a
lim
x x x x b
2
lim
x x x c
4 lim
1 x
x x
x
(11)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a Ta có: 3
2
1
2x x 3x x (2 ), x
x x x
Vì
lim
xx và
1
lim 2
xx x x x
Nên
lim
x x x x
b Với x 0, ta có 2 5
3x 5x x x
x x
Vì lim
x x vàxlim x nên
2
lim
x x x
c Vớix 0, ta có:
x x
x x
x x
x x x
2
1
2
1
2
2 3
2
Vì lim 1
x
x ,
2
lim 2
x x
x
2
2
x
x với x0 nên
x
x x
xlim 1 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tínhcácgiớihạnsau
a
2
2
5
lim
8 15 x
x x
x x
b
4
3
3
6 27
lim
3
x
x x
x x x
c
2 20
3 10
2
( 2)
lim
( 12 16) x
x x
x x
d
3
3
1 lim
1 x
x
x x x
e
2
2
2 lim
2 x
x
x x
f
(1 )(1 )(1 ) lim
x
x x x
x
ĐS: a)
2
b)
10 72
c) d)
2
e)
1 2
2
f)
Bài 2:Tínhcácgiớihạnsau
a
2
lim ,
x
x a x a
a
x a
e
3
0
1
lim
2 1
x
x x
x x
i
7
0
2004 2004 lim
x
x x
x
b
3
1
3
lim
1
x
x x
x
f
3
2
4
lim
x
x x
j
5
5 1
lim
x
x x
c
2
1
1 lim
3
x
x
x x x
g
2
1
1 lim
1
x
x x x
x
k
3
1
2 1
lim
1
x
x x
(12)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
d
2
6 2
lim
1
x
x x
h
5
1
2
lim
1
x
x x
x
ĐS: a) 2a b)
3
2 c) -2 d) e) f)
1
g) HD:
2
3
1 1
1
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x x x
x x x
ĐS:
2
h) HD: chèn số vắng c = ĐS
10
i) HD: chèn hàm số vắng f(x) =
x ĐS: 4008
7
j) k)
3
Bài 3:Tìm giới hạn sau:
a
1 x x
1 x x lim 60
100
1
x
b
3
1
x (x 1) x x lim
c
2 x
2 x 10 lim
3
2
x
d 3 2cosx
) x sin( lim
6
x
e
2
x (1 sinx) x cos lim
f
x cos x
sin x
x lim
2
0
x
ĐS: a)
24 49
, b
9
, c
12
, d 1, e , f
3
Bài 4:Sử dụng limsin
0
x
x
x , tính giới hạn sau đây: a
x x
x
tan lim
0
b
cos lim
x x
x
c 3
0
sin tan lim
x x x
x
d nx
mx
x sin
sin lim
0
e 2
0
3 cos cos
lim
x x x
x
f x
x x
cos
2 cos cos lim
ĐS: a , b
2
, c
2
, d n m
, e , f
Bài 5:Sử dụng e
x 1 lim
x
x
, tính giới hạn sau đây: a
2 x
x x 1
1 x lim
b
2 x
2
x x 1
1 x
lim
(13)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
c x
1
0
x (1 sinx) lim
d
2 x
1
0
x cos2x x cos
lim
Đs : a
e , b 2
e
, c e , d
e
Bài 6:Sử dụng định lý kẹp tính giới hạn sau:
a
2
2
2 sin
lim
cos x
x x x
x x x
b
os10 sin10 lim
2 x
c x x x
x x
c
2 2
sin cos lim
x x
x x
x
d lim8sin 2 cos 19
2 13
x
x x
x x
e
3sin(2 1) cos( 2) lim
3 21
x
x x
x x
Bài 7: Tính giới hạn sau
a
5 3
2
2
lim
(2 1)( x ) x
x x
x x x
b
2
lim
5 x
x
x x
c
2
2 lim
2
x
x x x
x
d
lim ( 1)
2
x
x x
x x
e e
3
5 2 lim
3 x
x x x x
f
2 lim
10 x
x x x
x
ĐS: a) b) c)