Bài giảng số 2: Góc nội tiếp và một số ví dụ minh họa

i) Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và các cạnh cắt đường tròn đó gọi là góc nội tiếp. ii) Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. iii) Các góc nội tiếp cùng chắn một c[r]

BÀI GIẢNG SỐ 2: GÓC NỘI TIẾP VÀ CÁC DẠNG TỐN

I Tóm tắt lý thuyết

i) Góc có đỉnh nằm đường trịn cạnh cắt đường trịn gọi góc nội tiếp

ii) Các góc nội tiếp có số đo nửa số đo cung bị chắn

iii) Các góc nội tiếp chắn cung (hoặc chắn cung nhau) chúng iv) Các góc nội tiếp cung bị chắn

v) Trong trường hợp góc nội tiếp có số đo khơng vượt 900 số đo chúng nửa số đo góc tâm, chắn cung

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC phía ngồi ta dựng hình vng

với tâm với tâm điểm O Chứng minh AO tia phân giác góc vng BAC

Giải:

Với O tâm hình vng nên BOC  900

Lại BAC  900 suy bốn điểm A B O C, , , nằm đường trịn đường kính BC Đối với đường tròn ta thấy:

BAO BCO (cùng chắn BO)

Mà BCO450 BAO 450

Do BAC  900, nên CAO BAC BAO450

Vậy BAO CAO, nghĩa AO tia phân giác

của góc vuông BAC

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O Từ đỉnh A ta kẻ đường cao

AH (H thuộc BC) Chứng minh rằng: BAH OAC

Giải:

Kẻ đường kính AH đường trịn ( )O

Ta thấy ACE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

O

B C

Từ đó: OAC OEC 900 (1)

Từ giả thiết ta có: BAH  ABC 900 (2)

Lại vì: AEC  ABC (cùng chắn cung BC) (3)

Từ (1), (2) (3) suy BAH OAC

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( )O Trên cung BC khơng chứa điểm O ta lấy điểm P (P khác B C) Các đoạn PA BC cắt Q

a) Giả sử D điểm đoạn PA để PB PD Chứng minh tam giác PDB b) Chứng minh rằng: PAPBPC

c) Chứng minh hệ thức: 1 1 1

PQ  PB  PC

Giải:

a) Ta nhận thấy tam giác PBD cân P

Mặt khác: BPD  BPA BCA 600 ( hai góc

nội tiếp chắn cung AB đường tròn ( )O ) Vậy tam giác PDB

b) Ta có PB PD Vậy để chứng minh PAPBPC ta chứng minh DAPC Thật vậy: xét hai tam giác BPC BDA có: BABC (giả thiết)

BABC (do tam giácPDBđều)

Lại vì:  ABDDBC 60 ;0  PBCDBC 600

Nên ABDPBC

O A

B C

D E

Q O A

B

C

Từ đó: BPC  BDA c g c( ), nên DAPC

c) Xét hai tam giác PBQ PBQ ta thấy

  

60 ; 60

BPQ APC ABC  (hai góc nội tiếp chắn cung AC)

Suy ra: BPQ   APC PBQ; PBCPAC (hai góc nội tiếp chắn cung PC)

Từ đó: PBQ PAC g g( ) PQ PC

PB PA

    , hay PQ PA. PB PC.

Theo b) ta có: PAPBPC nên PQ PB.( PC) PB PC. 1 1 1

PQ PB PC

    

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O Gọi A B C', ', ' chân đường vng góc kẻ từ A B C, , cạnh BC CA AB, , , H trực tâm tam giác ABC

a) Chứng minh AA' đường phân giác góc B A C' ' '

b) Cho BAC  600 Chứng minh tam giác AOH cân

Giải:

a) Ta thấy bốn điểmB A H C, ', , ' nằm đường tròn đường kính BH nên

' ' '

C A H C BH

Bốn điểm C A H B, ', , ' nằm đường trịn

đường kính CH nênB CH' B A H' '

Mặt khác: C BH' B CH' ( góc có cạnh tương ứng vng góc)

Do đóAA' đường phân giác góc ' ' '

B A C

b) Giả sử K giao điểm CD với đường tròn ( )O Tứ giác BHAK hình bình hành nên

AH BK (1)

Tam giác vng KBC có BKC BAC 600

nên 1

2

BK  KC OA (2)

Từ (1) (2) suy ra: AH OA, nghĩa tam giác AOH cân

H

O A

B C

B'

C'

Bài tập mẫu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O Tia phân giác góc BAC cắt BC D đường tròn ( )O E

a) Chứng minh rằng: AB AC.  AD AE. b) Chứng minh rằng: ED EA. EB2

Giải:

a) Xét hai tam giác ABC ABC có:

BAE DAC gt( )

AEB ACB ACD

Suy ra: AEBACD g g( ),dẫn đến

AE AB

AC  AD hay AB AC. AD AE.

b) Xét EAB EBD có:

   

EBD EBC  EAC  BAE

Nên EAB EBD g g( )

Suy ra: EA EB EB  ED hay

2

.

ED EAEB

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường trịn ( )O đường kính AB Gọi C điểm cung AB M điểm cung AC. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn ( )O M, tiếp tuyến cắt đường thẳng

OC D Chứng minh MDO2MBO

Hướng dẫn: Chứng minh MBO 1 / 2MAO

và chứng minh MDO MAO

Bài 2: Cho đường tròn ( )O hai dây AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D

và cắt đường tròn ( )O E Chứng minh AB2  AD AE. .

Hướng dẫn: Sử dụng tam giác đồng dạng

Bài 3: Cho đường tròn ( )O điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường trịn A B Chứng minh tích MA.MB khơng đổi

Hướng dẫn: Kẻ cát tuyến MCD, sau chứng tỏ MA MB MC MD

D

O A

B C

Bài 4: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC M điểm cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MB.

a) Hỏi tam giác MBD tam giác gì? Đáp số: Tam giác MBD

b) So sánh hai tam giác BDA BMC Đáp số: BDA BMC.

c) Chứng minh MAMBMC. Hướng dẫn: Suy từ câu b)

Bài 5: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC với A32 ,0 B84 0 Lấy điểm D, E, F

thuộc đường tròn (O) cho AD AB BE, BC CF, CA. Hãy tính góc tam giác

DEF

Đáp số: D 20 ,0 F84 ,0 E76

Bài 6: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC cân A Các đường phân giác hai góc B

và C cắt E cắt đường tròn F D Chứng minh tứ giác EDAF hình thoi

Hướng dẫn:

Cách 1: Chứng tỏ hai đường chéo AE DF vng góc với trung điểm đường

Cách 2: Chứng tỏ tứ giác ADEF có cặp cạnh đối song song với AD AF

Bài 7: Cho góc xAy xAy điểm nằm góc Kẻ đường vng góc MP

và MQ theo thứ tự lên cạnh Ax, Ay (P thuộc Ax, Q thuộc Ay) Kẻ AK vuông góc với

đoạn PQ Chứng minh rằng: PAK MAQ