Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng MN và mặt phẳng (SCD). Bài 5: Cho hình chóp OABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng với đầu mút [r]
(1)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Bài giảng số 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Trong hình học khơng gian, ta cơng nhận tính chất sau đây, gọi tiên đề:
Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng mà thơi
Tiên đề 2: Qua ba điểm không thẳng hàng có mặt phẳng chứa chúng
Tiên đề 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt nằm mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng
Tiên đề 4: Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng
Tiên đề 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn điểm chung khác
Hệ quả: Theo tiên đề 5, hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng
Chú ý 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Khi hình hợp bốn tam giác ABC, ACD, ADB, BCD gọi hình tứ diện
Chú ý 2: Cho đa giác lồi A A1 2 A điểm S ngồi mặt phẳng chứa đa giác Khi hình hợp n
đa giác A A1 2 A n tam giác n SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A gọi hình chóp Ký hiệu n 1 S A A 1 2 A Ta n
gọi S đỉnh hình chóp, cịn A A1 2 A đáy hình chóp n
Tứ diện xem trường hợp đặc biệt hình chóp
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Cách giải: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt mặt phẳng Khi đường thẳng qua hai điểm vừa tìm giao tuyến chúng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến (SBM) (SAC)
Giải:
Trong mp SCD kẻ SM cắt CD N Trong mp ABCD kẻ
AC cắt BN K
Ta có: SSBM SAC
A
S
D M
N
C
(2)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
KACK SAC , NSM NSBM KBN KSBM
K SBM SAC
Vậy SK giao tuyến hai mặt phẳng SBM SAC
Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng
Cách giải: Để tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P), ta làm sau:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d;
Bước 2: Tìm giao tuyến (P) (Q);
Bước 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I d ;
Bước 4: Kết luận I giao điểm d (P)
Ví dụ 2: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP=2PD
a) Tìm giao điểm CD với mp(MNP);
b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ABD)
Giải:
a) Ta có: CDBCD
BCD MNPNP Kẻ NP cắt CD I Khi I giao điểm CD với
mp MNP
b) Do M N trung điểm ,
à
AC v BC nên MN AB
mà PMNP ABD nên giao tuyến hai
mặt phẳng MNP ABD đường thẳng
qua P song song với MN AB
Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Cách giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt
A
B C
M
N
P
D
(3)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, O tâm đáy, M, N trung điểm SA SC Gọi (P)
mặt phẳng qua M, N, B Tìm giao điểm E, F DA, DC với (P) chứng minh E, B, F thẳng hàng
Giải:
Ta có DA DC nằm
trong mp ABCD
Do M N trung điểm ,
của SA SC nên MN AC,
mà MN P , ACABCD
B P ABCD Giao tuyến P ABCD đường thẳng d qua B song song với
à MN v AC
Do E d AD F d DC
Vì E F B, , d nên E F B thẳng hàng , ,
Dạng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Cách giải: Tìm giao điểm I hai ba đường cho, sau chứng minh đường thẳng cịn lại cũng qua I
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có O giao điểm AC BD Một mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SD M, N, P, Q Chứng minh MP, NQ SO đồng quy
Giải:
Do MP SO, SAC nên MP cắt SO I
Ta tìm giao tuyến P SBD Dễ dàng chứng minh
được QN P SBD
Mặt khác ISOSBD I P nên I P SBD
Do IQN
Vậy MP, NQ SO đồng quy I
D C
B
A N
M S
O
F E
A
S
C B
O
D
M N
P Q
(4)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Ví dụ 5: Cho hai hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB khơng nằm mặt phẳng
a) Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng (AEC) (BFD); (BCE) (ADF);
b) Lấy M điểm đoạn DF Tìm giao điểm AM (BCE);
c) Chứng minh AC BF không cắt
Giải:
a) Trong mp ABEF kẻ AE cắt BF I Khi
I AEC BFD
Trong mp ABCD kẻ AC cắt BD J Khi
J AEC BFD
Vậy IJ giao tuyến mặt phẳng AEC BFD
Trong mp ABEF kẻ AF cắt BE K Khi
K BCE ADF
Trong mp ABCD kẻ AD cắt BC N Khi
N BCE ADF
Vậy KN giao tuyến mặt phẳng BCE ADF
b) Do MDF nên AM ADF Vì giao điểm AM
BCE giao điểm H AM KN
c) Giả sử AC BF cắt X Khi X nằm giao tuyến hai mặt phẳng AEC
BFD, tức X IJ hay X J I (Vô lý)
Vậy AC BF không cắt
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến (IBC) (KAD)
b) Gọi M, N hai điểm hai đoạn AB AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN)
K
F E
I
A
D
N
C
B
(5)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD AB CD khơng song song Tìm giao tuyến của:
a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD)
Bài 3: Cho hình chóp O.ABC Trên đoạn thẳng OA, OB, OC ta lấy M, N, P không trùng với các đầu mút đoạn thẳng Gọi I điểm thuộc mặt phẳng (ABC) nằm tam giác ABC Tìm giao điểm của:
a) Đường thẳng NP mặt phẳng (OAI)
b) Đường thẳng OI mặt phẳng (MNP)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD với AB khơng song song với CD; M N hai điểm SA SB Tìm giao điểm (nếu có) đường thẳng MN mặt phẳng (SCD)
Bài 5: Cho hình chóp OABC Gọi M, N, P điểm lấy đoạn thẳng OA, OB, OC không trùng với đầu mút đoạn thẳng Chứng minh cặp đường thẳng MN AB, NP BC, PM CA cắt D, E, F ba điểm D, E, F thẳng hàng
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng (P) Giả sử đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) D, E, F Chứng minh D, E, F thẳng hàng
Bài 7: Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng (P) không chứa AB cắt cạnh AC, BC, BD, AD tại M, N, R, S Giả sử MN, RS, AB đôi không song song Chứng minh ba đường thẳng AB, MN và RS đồng quy
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E không trùng với hai điểm S C a) Tìm giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Giả sử AB không song song với CD, chứng tỏ ba đường thẳng AB, CD EF đồng quy
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi I J trung điểm SA, SB M điểm tuỳ ý SD
a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SBC)
b) Tìm giao điểm K IM với mặt phẳng (SBC)
c) Tìm giao điểm N SC với mặt phẳng (IJM)
