Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chọn A. Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến. Hìn[r]

Trang

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 11

DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN 13

Trang

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Các tính chất

• Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt • Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng

• Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng

• Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng

• Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng 2 Các cách xác định mặt phẳng

• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC))

• Một điểm đường thẳng khơng qua điểm thuộc mặt phẳng (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b))

3 Các quy tắc vẽ hình, biểu diễn hình khơng gian

• Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng

• Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt

• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt

4 Hình chóp hình tứ diện a) Hình chóp

Trong mặt phẳng ( ) cho đa giác lồi A A1 2 An Lấy điểm S nằm ( )

Lần lượt nối S với đỉnh A A1, 2, ,An ta n tam giác SA A SA A1 2, 3, ,SA An Hình gồm đa giác

1 n

A A A n tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA An 1được gọi hình chóp, kí hiệu S A A 1 2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A A1 2 An đáy, đoạn SA SA1, 2, ,SAn cạnh bên,

1 2, 3, , n

A A A A A A cạnh đáy, tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ,SA An 1 mặt bên…

b) Hình Tứ diện

Cho bốn điểm A B C D, , , khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC ABD, ,

ACD (BCD gọi tứ diện ABCD )

B - BÀI TẬP

Câu 1: Cho đường thẳng a b, cắt không qua điểm A Xác định nhiều bao nhiêu mặt phẳng a, b A ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Có mặt phẳng gồm ( ) (a b, , A a, ) (, B b , )

Trang

A 5 B 6 C 7 D 8

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Có

4 + =1

C mặt phẳng

Câu 3: Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm cho ?

A 2 B C 4 D 6

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn ba điểm thẳng hàng số bốn điểm Cứ ba điểm khơng thẳng hàng xác định mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt lập từ bốn điểm cho

4 =4

C

Câu 4: Trong mp( ) , cho bốn điểm A , B , C , D khơng có ba điểm thẳng hàng Điểm

( )



S mp  Có mặt phẳng tạo S hai số bốn điểm nói trên?

A 4 B 5 C 6 D 8

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điểm S với hai số bốn điểm A , B , C , D tạo thành mặt phẳng, từ bốn điểm ta có cách chọn hai điểm, nên có tất mặt phẳng tạo S hai số bốn điểm nói

Câu 5: Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD , điểm E( ) Hỏi có mặt phẳng tạo ba năm điểm A B C D E, , , , ?

A 6 B 7 C 8 D 9

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Điểm E điểm điểm A B C D, , , tạo thành mặt phẳng, bốn điểm A B C D, , , tạo thành mặt phẳng

Vậy có tất mặt phẳng

Câu 6: Cho năm điểm A , B , C , D , E khơng có bốn điểm mặt phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo ba số năm điểm cho?

A 10 B 12 C 8 D 14

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Cứ chọn ba điểm số năm điểm A , B , C , D , E ta có mặt phẳng Từ năm điểm ta có 10 cách chọn ba điểm số năm điểm cho, nên có 10 phẳng tạo ba số năm điểm cho

Câu 7: Trong hình sau :

(I) (II) (III)

(IV)

Hình hình biểu diễn hình tứ diện ? (Chọn Câu nhất)

A (I) B (I), (II) C (I), (II), (III) D (I), (II), (III), (IV)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Hình (III) sai hình phẳng

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C D

A

B C

Trang

Câu 8: Một hình chóp có đáy ngũ giác có số mặt số cạnh :

A 5 mặt, cạnh B 6 mặt, cạnh C 6 mặt, 10 cạnh D 5 mặt, 10 cạnh Hướng dẫn giải:

Chọn C

Hình chóp ngũ giác có mặt bên + mặt đáy cạnh bên cạnh đáy

Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy n giác, có số mặt số cạnh : A n+2 mặt, 2n cạnh B n+2 mặt, 3n cạnh

C n+2 mặt, n cạnh D n mặt, 3n cạnh Hướng dẫn giải:

Chọn A

Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác (n=3) có mặt cạnh  đáp án B

Câu 10: Trong hình chóp, hình chóp có cạnh có số cạnh bao nhiêu?

A 3 B 4 C 5 D 6

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hình tứ diện hình chóp có số cạnh

Câu 11:Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng cịn có vơ số điểm chung khác B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung

C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung D Nếu ba điểm phân biệt M N P thuộc hai mặt phẳng phân biệt chúng thẳng hàng , , Hướng dẫn giải:

Chọn B

Trang

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp

Cơ sở phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) cần thực hiện: - Bước 1: Tìm hai điểm chung A B ( ) ( )

- Bước 2: Đường thẳng AB giao tuyến cần tìm (AB=( ) ( ) )

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có ACBD=M ABCD=N Giao tuyến mặt phẳng

(SAC mặt phẳng ) (SBD đường thẳng )

A SN B SC C SB D SM

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Giao tuyến mặt phẳng (SAC mặt ) phẳng (SBD đường thẳng ) SM

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có ACBD=M ABCD=N Giao tuyến mặt phẳng

(SAB mặt phẳng ) (SCD đường thẳng )

A SN B SA C MN D SM

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ABCD (AB/ /CD Khẳng định sau )

sai?

A Hình chóp S ABCD có mặt bên

B Giao tuyến hai mặt phẳng (SAC ) (SBD SO ( O giao điểm AC BD ) )

C Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD ) (SBC SI ( I giao điểm AD BC ) )

D Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB ) (SAD đường trung bình ABCD ) Hướng dẫn giải:

Trang

Hình chóp S ABCD có mặt bên (SAB , ) (SBC , ) (SCD , ) (SAD nên A ) S , O hai điểm chung (SAC ) (SBD nên B )

S , I hai điểm chung (SAD ) (SBC nên C )

Giao tuyến (SAB ) (SAD SA , rõ ràng SA khơng thể đường trung bình hình thang ) ABCD

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi O điểm bên tam giác BCD M điểm đoạn AO Gọi I J, hai điểm cạnh BC , BD Giả sử IJ cắt CD K , BO cắt IJ E cắt

CD H , ME cắt AH F Giao tuyến hai mặt phẳng (MIJ ) (ACD đường thẳng: )

A KM B AK C MF D KF

Hướng dẫn giải:

Chọn D

DoK giao điểm IJ CD nên

( ) ( )



K MIJ ACD (1)

Ta có F giao điểm ME AH

Mà AH (ACD , ) ME(MIJ nên )

( ) ( )



F MIJ ACD (2)

Từ (1) (2) có (MIJ) (ACD)=KF

Câu 5: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến hai mặt phẳng (ACD )

(GAB là: )

A AM , M trung điểm AB B AN , N trung điểm CD

C AH , H hình chiếu B CD D AK , K hình chiếu C BD

Hướng dẫn giải:

Trang A điểm chung thứ (ACD ) (GAB )

G trọng tâm tam giác BCD , N trung điểm CD nên NBG nên N điểm chung thứ hai

(ACD ) (GAB Vậy giao tuyến hai mặt phẳng ) (ACD ) (GAB AN )

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD Gọi I trung điểm SD , J điểm SC không trùng trung điểm SC Giao tuyến hai mặt phẳng (ABCD ) (AIJ là: )

A AK , K giao điểm IJ BC B AH , H giao điểm IJ AB

C AG , G giao điểm IJ AD D AF , F giao điểm IJ CD

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A điểm chung thứ (ABCD ) (AIJ )

IJ CD cắt F , cịn IJ khơng cắt BC , AD , AB nên F điểm chung thứ hai (ABCD ) (AIJ Vậy giao tuyến ) (ABCD ) (AIJ AF )

Câu 7: phẳng (MBD ) (ABN là: )

A MN B AM

C BG , G trọng tâm tam giác ACD D AH , H trực tâm tam giác ACD

Hướng dẫn giải:

Chọn C

B điểm chung thứ (MBD ) (ABN )

G trọng tâm tam giác ACD nên GAN G, DM

G điểm chung thứ hai (MBD ) (ABN Vậy giao ) tuyến hai mặt phẳng (MBD ) (ABN BG )

Trang

A SD B SO , O tâm hình bình hành ABCD

C SG , G trung điểm AB D SF , F trung điểm CD

Hướng dẫn giải:

Chọn B

S điểm chung thứ (SMN ) (SAC )

O giao điểm AC MN nên OAC O, MN

do O điểm chung thứ hai (SMN ) (SAC ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SMN ) (SAC )

SO

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J trung điểm SA SB Khẳng định sau sai?

A IJCD hình thang

B (SAB) ( IBC)=IB

C (SBD) ( JCD)=JD

D (IAC) ( JBD)=AO , O tâm hình bình hành ABCD Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có (IAC) ( SAC ) (JBD) ( SBD ) Mà

(SAC) ( SBD)=SO O tâm hình bình hành ABCD

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ABCD (AD BC€ ) Gọi M trung điểm CD

Giao tuyến hai mặt phẳng (MSB ) (SAC là: )

A SI , I giao điểm AC BM B SJ , J giao điểm AM BD

C SO , O giao điểm AC BD D SP , P giao điểm AB CD

Hướng dẫn giải:

Chọn A

S điểm chung thứ (MSB ) (SAC )

Trang 10

Câu 11: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD , M trung điểm CD , I điểm đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng (ACD J Khẳng định sau sai? )

A AM =(ACD) ( ABG ) B A , J , M thẳng hàng

C J trung điểm AM D DJ =(ACD) ( BDJ )

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có A(ACD) ( ABG , )

( ) ( )

 

  

  

M BG

M ACD ABG

M CD nên

( ) ( )

= 

AM ACD ABG

Nên AM =(ACD) ( ABG A )

A , J , M thuộc hai mặt phẳng phân biệt

(ACD) (, ABG nên A , J , M thẳng hàng, B )

Vì I điểm tùy ý AG nên J lúc là trung điểm AM

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ABCD AD/ /BC Gọi I giao điểm AB DC , M trung điểm SC DM cắt mặt phẳng (SAB J Khẳng định sau sai? )

A S , I , J thẳng hàng B DM mp SCI ( )

C JM mp SAB ( ) D SI =(SAB) ( SCD )

Hướng dẫn giải:

Chọn C

S , I , J thẳng hàng ba điểm thuộc hai mp (SAB )

(SCD nên A ) ( )

  

M SC M SCI nên DMmp SCI B ( )

( )



M SAB nên JM mp SAB C sai ( )

Trang 11

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp

Cơ sở phương pháp tìm giao điểm I đường thẳng d mặt phẳng ( ) xét hai khả xảy ra:

- Trường hợp 1: ( ) chứa đường thẳng   cắt đường thẳng d I Khi đó: I = d  = I d ( )

d



I

d





I

- Trường hợp 2: ( ) không chứa đường thẳng cắt d + Tìm ( )  d ( ) ( ) = ;

+ Tìm =I d;  = I d ( )

Câu 1: Cho bốn điểm A B C D, , , không nằm mặt phẳng Trên AB AD, lấy điểm M N cho MN cắt BD I Điểm I không thuộc mặt phẳng đây:

A (BCD ) B (ABD ) C (CMN ) D (ACD )

Hướng dẫn giải:

Chọn D

( ), ( )

  

I BD I BCD ABD

( )

  

I MN I CMN

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD với đáy ABCD có cạnh đối diện khơng song song với M điểm cạnh SA

a) Tìm giao điểm đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD ) A Điểm H, =E ABCD ,H=SAEM

B Điểm N, =E ABCD ,N=SBEM N

D B

A

C M

Trang 12

C Điểm F, E= ABCD ,F=SCEM

D Điểm T, E= ABCD ,T =SDEM b) Tìm giao điểm đường thẳng MC mặt phẳng (SBD ) A Điểm H, I = ACBD , H =MASI

B Điểm F, I = ACBD , F=MDSI

C Điểm K, I = ACBD , K =MCSI

D Điểm V, I = ACBD , V =MBSI Hướng dẫn giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi

= 

E AB CD

Trong (SAB gọi )

Ta có NEM (MCD) N (MCD ) 

N SB nên N =SB(MCD )

b) Trong (ABCD gọi =) I ACBD Trong (SAC gọi ) K=MCSI Ta có KSI (SBD ) KMC nên

( )

= 

K MC SBD

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , M điểm cạnh SC , N cạnh BC Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng(AMN )

A Điểm K, K=IJSD , =I SOAM , O= ACBD J, =ANBD B Điểm H, H=IJSA , =I SOAM , O=ACBD J, =ANBD C Điểm V, =V IJSB , =I SOAM , O= ACBD J, =ANBD D Điểm P, =P IJSC , =I SOAM , O= ACBD J, =ANBD Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng (ABCD gọi ) ,

=  = 

O AC BD J AN BD

Trong (SAC gọi =) I SOAM

= 

K IJ SD

Ta có IAM (AMN),JAN(AMN )

( )

IJ  AMN

Do K IJ (AMN) K (AMN )

Vậy K =SD(AMN )

D A

C

N K

I

E S

M

B

J I

O S

A

B

D

C M

Trang 13

DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN

a) Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai

mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng

d





A B C

tức là:

- Tìm d =( ) ( ) ;

- Chỉ (chứng minh) d qua ba điểm A B C, ,  A B C, , thẳng hàng Hoặc chứng minh đường thẳng AB qua C  A B C, , thẳng hàng

b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng lại

d1

d2

d3



I

Phương pháp

Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh đường thẳng thứ qua giao điểm hai đường thẳng lại

- Bước 1: Tìm I = d1 d2

- Bước 2: Chứng minh d3 qua I

1, 2,

 d d d đồng quy I Phương pháp

Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh chúng đôi cắt dôi ba mặt phẳng phân biệt

- Bước 1: Xác định

1 2

2 3

3 3

, ( );

, ( );

, ( );

  =



   =



   =



d d d d I

d d d d I

d d d d I

  

( ) , ( ) , ( ) phân biệt

Trang 14

Câu 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB CD Mặt phẳng ( ) qua MN cắt AD BC P , Q Biết MP cắt NQ I Ba điểm sau thẳng hàng?

A I , A , C B I , B , D C I , A , B D I , C , D

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có MP cắt NQ

I ( )

( )            I ABD I MP

I NQ I CBD

( ) ( )

 I ABD  CBD

 I BD

Vậy I , B , D thẳng hàng

Câu 2: Cho tứ diện SABC Trên SA SB, SC lấy điểm D E, F cho DE cắt AB I , EF cắt BC J , FD cắt CA K Khẳng định sau đúng?

A Ba điểm B, ,J Kthẳng hàng

B Ba điểm I J K, , thẳng hàng

C Ba điểm I J K, , không thẳng hàng

D Ba điểm I J, , Cthẳng hàng Hướng dẫn giải:

Ta có

( ) ( )

, ;

=    

I DE AB DE DEF I DEF

( ) ( ) ( )

  

AB ABC I ABC Tương tự

= 

J EF BC

( ) ( ) 2( )

 

  

 



J EF DEF

J BC ABC K=DFAC

( ) ( ) 3( )

 

  

 



K DF DEF

K AC ABC Từ (1),(2) (3) ta

có I J K, , điểm chung hai mặt phẳng

(ABC ) (DEF nên chúng thẳng hàng )

Câu 3: Cho tứ diện SABC có D E, trung điểm AC BC, G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( ) qua AC cắt SE SB, M N, Một mặt phẳng ( ) qua BC cắt SD SA, tương ứng P Q

a) Gọi I = AMDN J, =BPEQ Khẳng định sau đúng?

A Bốn điểm S I J G, , , thẳng hàng B Bốn điểm S I J G, , , không thẳng hàng

C Ba điểm P I J, , thẳng hàng D Bốn điểm I J, , Q thẳng hàng b) Giả sử K=ANDM L, =BQEP Khằng định sau đúng?

A Ba điểm S K L, , thẳng hàng B Ba điểm S K L, , không thẳng hàng

C Ba điểm B,K L, thẳng hàng D Ba điểm C,K L, thẳng hàng Hướng dẫn giải:

Trang 15 a) Ta có S(SAE) ( SBD , (1) )

( ) ( )    =      

G AE SAE

G AE BD

G BD SBD

( ) ( ) 2( )

      G SAE G SBD ( ) ( )    =      

I DN SBD

I AM DN

I AM SAE

( ) ( ) 3( )

      I SBD I SAE ( ) ( ) ( ) ( ) 4( )

       =          

J BP SBD J SBD

J BP EQ

J EQ SAE J SAE

Từ (1),(2),(3) (4) ta có S I J G, , , điểm chung hai mặt phẳng (SBD ) (SAE nên chúng thẳng hàng )

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Một mặt phẳng ( ) cắt cạnh bên SA SB SC SD, , , tưng ứng điểm M N P Q, , , Khẳng định đúng?

A Các đường thẳng MP NQ SO, , đồng qui B Các đường thẳng MP NQ SO, , chéo

C Các đường thẳng MP NQ SO, , song song D Các đường thẳng MP NQ SO, , trùng Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng (MNPQ gọi ) I =MPNQ Ta chứng minh ISO

Dễ thấy SO=(SAC) ( SBD )

( ) ( )       

I MP SAC

I NQ SBD

( ) ( )        I SAC I SO I SBD

Vậy MP NQ SO, , đồng qui I

Câu 5: Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q cắt theo giao tuyến đường thẳng a Trong ( )P lấy hai điểm A B, không thuộc a S điểm không thuộc ( )P Các đường thẳng SA SB, cắt

( )Q tương ứng điểm C D, Gọi E giao điểm AB a Khẳng định đúng?

A AB CD, a đồng qui B AB CD, a chéo

C AB CD, a song song D AB CD, a trùng

Hướng dẫn giải:

Trước tiên ta có S AB ngược lại SAB( )P  S ( )P

Trang 16 Do

( )  ( )( )

=   

 

C SA SAB

C SA Q

C Q

( ) ( ) 1( )

   

 

C SAB

C Q

Tương tự

( )  ( )( )

=   

 

D SB SAB

D SB Q

D Q

( ) ( ) 2( )

   

 

D SAB

D Q

Từ (1) (2) suy CD=(SAB) ( ) Q Mà

( ) ( )

( ) ( )

  

 

 

=   

  

 

 

E AB SAB E SAB

E AB a

E a Q E Q

 E CD

Vậy AB CD, a đồng qui đồng qui E

P Q

a

S A C

E D

Trang 17

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHĨP.

Phương pháp:

Để xác định thiết diện hình chóp S A A 1 2 An cắt mặt phẳng ( ) , ta tìm giao điểm mặt phẳng ( ) với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao điểm ( ) với hình chóp ( cạnh thiết diện phải đoạn giao tuyến với mặt hình chóp)

Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng ( ) ( ) thường tìm sau :

a b

γ

β

α A

Tìm hai đường thẳng a b, thuộc ( ) ( ) , đồng thời chúng nằm mặt phẳng ( ) đó; giao điểm M = a b điểm chung ( ) ( )

Câu 1: Cho ABCD tứ giác lồi Hình sau khơng thể thiết diện hình chóp

S ABCD ?

A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hình chóp S ABCD có mặt nên thiết diện hình chóp có tối đa cạnh Vậy thiết diện không thể lục giác

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD tứ giác lồi Thiết diện mặt phẳng ( ) tuỳ ý với hình chóp khơng thể là:

A Lục giác B Ngũ giác C Tứ giác D Tam giác Hướng dẫn giải:

Chọn A

Thiết diện mặt phẳng với hình chóp đa giác tạo giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp

Hai mặt phẳng có nhiều giao tuyến

Hình chóp tứ giác S ABCD có mặt nên thiết diện ( ) với S ABCD có khơng qua cạnh, khơng thể hình lục giác cạnh

Câu 3:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành điểm M cạnh SB Mặt phẳng (ADM cắt hình chóp theo thiết diện )

A tam giác B. hình thang C hình bình hành D. hình chữ nhật Hướng dẫn giải:

Trang 18

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình thang với AD đáy lớn P điểm trên cạnh SD

a) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (PAB)là hình gì?

A Tam giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành b) Gọi M N, trung điểm cạnh AB BC, Thiết diện hình chóp cắt (MNP ) hình gì?

A Ngũ giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành Hướng dẫn giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi

= 

E AB CD

Trong mặt phẳng (SCD gọi ) Q=SCEP Ta có EAB nên

( ) ( )

  

EP ABP Q ABP ,

( )

= 

Q SC ABP

Thiết diện tứ giác ABQP

b)Trong mặt phẳng (ABCD gọi ) F G, lần lượt giao điểm MN với AD CD Trong mặt phẳng (SAD gọi ) H =SAFP Trong mặt phẳng (SCD gọi ) K=SCPG Ta có FMN F (MNP , )

( ) ( )

FP MNP  H MNP

Vậy

( ) ( )



  = 

  

H SA

H SA MNP

H MNP Tương

tự K =SC(MNP )

Thiết diện ngũ giác MNKPH

Câu 5: Cho hình chópS ABCD Điểm  C nằm cạnh SC

Thiết diện hình chóp với mp (ABC đa giác có cạnh? )

A 3 B 4 C 5 D 6

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét (ABA ) (SCD có )

( ) ( )

,

 



  

 

A SC SC SCD

A ABA  A điểm chung 

Gọi =I ABCD

Q

E

S

A

D B

C P

K H

F

G N M

S

B C

D A

Trang 19

Có ( )

( )

,

,



 

 

 



I AB AB ABA

I CD CD SCD  I điểm chung

( ) ( ) 

 ABA  SCD =IA

Gọi M =IASD Có

(ABA) ( SCD)=A M 

(ABA ) (SAD)=AM

(ABA ) (ABCD)=AB

(ABA) ( SBC)=BA  Thiết diện tứ giác ABA M 

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA Thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng (IBC là: )

A Tam giácIBC B Hình thang IJCB ( J trung điểm SD )

C Hình thang IGBC ( G trung điểm SB ) D Tứ giác IBCD

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi O giao điểm AC BD , G giao điểm CI SO

Khi G trọng tâm tam giác SAC Suy G trọng tâm tam giác SBD

Gọi J =BGSD Khi J trung điểm SD

Do thiết điện hình chóp cắt (IBC hình thang IJCB ) (J trung điểm SD )

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N P, , ba điểm cạnh AD CD SO, , Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)là hình gì?

A Ngũ giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành Hướng dẫn giải:

M

I

A D

B

C S

A'

C S

B

A

D

I J

G

Trang 20 Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E K F, , giao điểm MN với DA DB DC, ,

Trong mặt phẳng (SDB gọi ) H =KPSB Trong mặt phẳng (SAB gọi ) T =EHSA Trong mặt phẳng (SBC gọi ) R=FHSC

Ta có    ( ) 

E MN

EH MNP

H KP ,

( ) ( )



  = 

  



T SA

T SA MNP

T EH MNP

Lí luận tương tự ta có R=SC(MNP ) Thiết diện ngũ giác MNRHT

Câu 8: Cho tứ diệnABCD , M N trung điểm AB AC Mặt phẳng ( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện đa giác ( )T Khẳng định sau đúng?

A ( )T hình chữ nhật B ( )T tam giác

C ( )T hình thoi D ( )T tam giác hình thang hình

bình hành Hướng dẫn giải:

Chọn D

( ) qua MN cắt AD ta thiết diện tam giác

( ) qua MN cắt hai cạnh BD CD ta thiết diện hình thang

Đặc biệt mặt phẳng qua trung điểm BD CD , ta thiết diện hình bình hành

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N Q, , trung điểm cạnh AB AD SC, , Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNQ đa giác có ) cạnh ?

A 3 B 4 C 5 D 6

Hướng dẫn giải:

Chọn C

R T

H

F

E

K O

C

A B

D S

M

N P

A

B

C

D M

Trang 21 Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNQ ) ngũ giác MNPQR Đa giác có cạnh

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng :

a) (SAC ) (SBD )

A SC B SB

C SO đóO=ACBD D  S b) (SAC ) (MBD )

A SM B MB

C OM đóO=ACBD D SD c) (MBC ) (SAD )

A SM B FM F=BCAD

C SO trongO= ACBD D SD d) (SAB ) (SCD )

A SE E= ABCD B FM F=BCAD

C SO trongO= ACBD D SD Hướng dẫn giải:

a) Gọi O=ACBD

( ) ( ) ( ) ( )

 

  

 



  

O AC SAC

O BD SBD

O SAC SBD

Lại có S(SAC) ( SBD )

( ) ( )

SO= SAC  SBD

b) O= ACBD

( ) ( )

 

  

 



O AC SAC

O BD MBD

( ) ( )

 O SAC  MBD

Và M(SAC) ( MBD)OM =(SAC) ( MBD )

c) Trong (ABCD gọi )

( )

( ) ( ) ( )

 



=     

 



F BC MBC

F BC AD F MBC SAD

F AD SAD

O A

E

D S

F

B

Trang 22

Và M(MBC) ( SAD)FM =(MBC) ( SAD )

d) Trong (ABCD gọi ) E= ABCD , ta có

( ) ( )

= 

SE SAB SCD

Câu 11: Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD , M điểm đoạn

AO

a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MCD với mặt phẳng ) (ABC ) A PC P=DCAN , N=DOBC

B PC P=DMAN , N=DABC

C PC P=DMAB , N=DOBC

D PC P=DMAN , N=DOBC

b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MCD với mặt phẳng ) (ABD )

A DR R=CMAQ, Q=CABD B DR R=CBAQ, Q=COBD C DR R=CMAQ, Q=COBA D DR R=CMAQ, Q=COBD

c) Gọi ,I J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ không song song với CD

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IJM ) (ACD )

A FG F=IJCD , G=KMAE ,K=BEIA,E=BOCD

B FG F=IACD , G=KMAE ,K=BAIJ ,E=BOCD

C FG F=IJCD , G=KMAE ,K=BAIJ ,E=BOCD

D FG F=IJCD , G=KMAE ,K=BEIJ ,E=BOCD Hướng dẫn giải:

a) Trong (BCD gọi ) N=DOBC ,

(ADN gọi )

= 

P DM AN ( )

( )        

P DM CDM

P AN ABC

( ) ( )

 P CDM  ABC

Lại có

( ) ( ) ( ) ( )

   = 

C CDM ABC PC CDM ABC

b)Tương tự, (BCD gọi ) Q=COBD, (ACQ)gọi R=CMAQ

( ) ( ) ( ) ( )          

R CM CDM

R CDM ABD

R AQ ABD

D điểm chung thứ hai (MCD ) (ABD ) nên DR=(CDM) ( ABD )

c) Trong (BCD gọi ) E=BOCD F, =IJCD, K=BEIJ ; (ABE gọi ) G=KMAE

Có ( )

( ) ( ) ( )          

F IJ IJM

F IJM ACD

F CD ACD ,

( ) ( )       

G KM IJM

G AE ACD