Bài giảng số 4: Hai mặt phẳng song song trong không gian

Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. b) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA. b) Tìm tập hợp điểm[r]

(1)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Vị trí tương đối mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng  P  Q Căn vào số đường thẳng chung mặt phẳng ta có trường hợp sau:

 Hai mặt phẳng  P  Q khơng có đường thẳng chung, tức là:    P  Q      P  Q

P Q

 Hai mặt phẳng  P  Q có đường thẳng chung, tức là:    P  Q a P cắt  Q

P

Q

a

 Hai mặt phẳng  P  Q có đường thẳng chung phân biệt, tức là:     P  Q  a b,    P  Q

P

Q

 Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung

2 Điều kiện để hai mặt phẳng song song P

Q

(2)

Định lý: Nếu mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mặt phẳng ,  Q  P song song với  Q

Tức là:

   

   

,

à a b P

a b O

a Q v b Q

 



  



  

   P Q

 

3 Tính chất

 Tính chất 1: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng

Tức là:          

! : O Q

O P Q

P Q

  

   



 

 Hệ 1: Nếu đường thẳng a song song với mp Q  qua a có mặt phẳng  P song song với  Q

 Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với nhau

 Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng  P  Q song song mặt phẳng  R cắt  P

phải cắt  Q giao tuyến chúng song song

Tức là:

           

P Q

a P R

b Q R

 

 

 

 

 

a b  

4 Định lý Talet không gian

 Định lý Talet: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

Q

R

b P

a

R Q P

A

B

C

2

1

(3)

Tức là:

     

1 1

2 2

; ;

P Q R

a P A a Q B a R C

b P A b Q B b R C

 

     

 

     



 

1 1 1

2 2 2

A B B C A C A B B C A C

  

 Định lý Talet đảo: Giả sử hai đường thẳng chéo a 1 a lấy điểm 2 A , 1 B , 1

1

C A , 2 B , 2 C cho: 2 1 1 1

2 2 2

A B B C A C

A B  B C  A C Khi đó, ba đường thẳng A A , 1 B B , 1 C C lần 1 lượt nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Ví dụ 1: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M , N cho AM BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD, AF M , N 

a) Chứng minh CBE song song với ADF b) Chứng minh DEF song song với MNN M 

c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M , N di động

Giải:

a) Ta có: BC AD BE AF 

 



 BCE  ADF

b) Ta có: AM AM BN AN

AD AC BF AF

 

   M N DF Mặt khác, ta có: MMCD

Do MNN M   DEF

c) I chạy trung tuyến ADE kẻ từ A

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By , Cz, Dt phía mặt phẳng ABCD, song song với không nằm mặt phẳng ABCD Một mặt phẳng   cắt Ax, By , Cz

Dt A, B, C D

a) Chứng minh Ax By,   Cz Dt, 

b) Gọi I  ACBD, J  A C B D  Chứng minh IJ AA

O N

M N'

M' O'

A E

F

C

D B

A

D C

B A'

D' C'

B' J

I x

t y

(4)

c) Cho AA x, BB y, CC z Hãy tính DD

Giải:

a) Nhận xét rằng: Ax Cz AB CD 

 



 Ax By,   Cz Dt, 

b) Nhận xét rằng:

   

, ,

,

, a b c d

A B C D a b A B

A B C D c d C D 



        



        



A B  C D 

 

   

, ,

,

, a d b c

A B C D a d A D

A B C D b c B C 



        



        



A D  B C 

 

Từ suy A B C D    hình bình hành

Suy IJ đường trung bình hình thang AA C C  , IJ AA c) Từ kết câu b), ta có: 1  1 

2

IJ  AACC  BBDD DDAACCBB   x y z

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA CD

a) Chứng minh mặt phẳng OMN mặt phẳng SBC song song với

b) Gọi I trung điểm SC, J điểm ABCD cách AB, CD Chứng minh IJ song song với SAB

c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE, AF đường phân giác của tam giác ACD SAB Chứng minh EF song song với SAD

Giải:

a) Nhận xét: OM SC ON BC 

 



 OMN  SBC

b) Gọi P Q theo thứ tự trung điểm , AD BC, suy JPQ

Ta thấy: PQ AB IQ SB 

 



 IPQ  SABIJ SAB

c) Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:

ED AD AS FS

EC  AC  AB  FB Suy tồn ba mặt phẳng song song chứa đoạn thẳng SD, EF, CD ta thấy ba mặt phẳng SAD,

A

C D

B S

M

P

O

N

Q J

I

A

C D

B S

F

(5)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang đó: EFSAD

Cách 2:

c) Dựng EH SD, HSC Nhận thấy:

HS ED AD AS FS

HC  EC  AC  AB  FB HFBCHFAD Từ suy ra: HEF  SADEFSAD

 Dạng 3: Xác định thiết diện khối đa diện mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O có ACa, BDb Tam giác SBD

 tam giác Một mặt phẳng   di động song song với SBD qua điểm I đoạn AC

a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   b) Tính diện tích thiết diện theo a , b AI x

Giải:

a) Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu IOA

   

SBD

Ix ABCD

BD SBD ABCD

   

 

 

 

 

Ix BD

  Ix cắt AB, AD theo thứ tự M N Lập luận tương tự ta có:

+   cắt mặt phẳng SAB theo đoạn giao tuyến MP song song với SB

+   cắt mặt phẳng SAD theo đoạn giao tuyến NP song song với SD

Trường hợp 2: Nếu IOC

   

SBD

Ix ABCD

BD SBD ABCD

   

 

 

 

 

Ix BD

  Ix cắt CB, CD theo thứ tự H L Lập luận tương tự ta có:

+   cắt mặt phẳng SBC theo đoạn giao tuyến HK song song với SB

I A

C D

B S

O M

N P

H

L K A

C D

B S

(6)

+   cắt mặt phẳng SCD theo đoạn giao tuyến LK song song với SD

b) Trước tiên ta có:

2

3

4

SBD

BD b

S  

Ta xét trường hợp thiết diện: Trường hợp 1: Nếu IOA

2 a x  

Ta có:

2 2

2

4

MNP

SBD

S MN AI x

S BD AO a

               2 MNP b x S a   

Trường hợp 2: Nếu IOC a

x a  

Ta có:  

2 2 LHK SBD a x

S LH CI

S BD CO a

               

 2

2

3

LHK

b a x S

a 

  

Tóm lại, ta có:

  2 2 2 3 td

b x a

khi x a

S

b a x a

khi x a a             

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB3a, ADCDa Mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S với SA2a,   mặt phẳng di động song song với SAB, cắt cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự M , N, P, Q

a) Chứng minh MNPQ hình thang cân

b) Đặt xAM , với 0xa Định x để MNPQ ngoại tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn

Giải:

a) Ta có:

   

SAB

MN ABCD

AB SAB ABCD

            MN AB  

Lập luận tương tự ta có: NP BS , PQ CD , QM SA Nhận xét rằng: MNPQ AB CD

MQ DQ CP NP

SA  DS CS  SB

SA SB

MQ NP



 

Vậy thiết diện MNPQ hình thang cân

b) Để MNPQ ngoại tiếp đường tròn, điều kiện là: MNPQMQNP MNPQ2MQ  1

Trong SAD, ta có: MQ DM a x

SA DA a



  MQ2ax  2

Trong SCD, ta có: PQ SQ AM x

CD  SD  AD a PQx  3

(7)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang Giả sử AB cắt CD O ODy, ta có:

3

OD CD a

OA  AB  a 3yay a y  

2

2 a

a x

MN OM OD DM

a

AB OA OD DA

a   

  

  MN 3a2x  4

Thay    2 ,  4 vào  1 , ta được: 3a2xx4ax

3 a x  

Vậy với a

x  MNPQ ngoại tiếp đường trịn

Khi đó, xét hình thang cân MNPQ , hạ đường cao QH , ta có:

2

2 2

2

MN PQ a

QH  MQ MH  MQ    

 

Suy bán kính đường trịn nội tiếp MNPQ là:

2

a r QH 

Ví dụ 6: Cho hai điểm M , N thay đổi hai mặt phẳng song song  P  Q Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN cho IM k k,

IN   cho trước

Giải:

Với hai điểm cố định M 0 N theo thứ tự thuộc 0  P  Q , lấy điểm I 0 thuộc M N 0 0 cho 0

0

I M k

I N  , ta được:

0

I M IM k I N  IN 

0 0 0

I M I N M N

IM IN MN

  

0 , ,

M M I I N N

 nằm ba mặt phẳng song song

Vậy tập hợp điểm I thuộc mặt phẳng  R qua I song song 0 với  P

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho ba nửa đường thẳng song song chiều không đồng phẳng Ax, By, Cz Trên Ax, By, Cz lấy M, N, P cho AM = BN = CP

a) Chứng minh mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (MNP)

b) Gọi I điểm NP Chứng minh MI song song với mặt phẳng (ABC) N

P Q

H M

Q R P

M

I

N

O

0

(8)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi O giao điểm AC BD Gọi M, N trung điểm SA, SD

a) Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) (SBC) song song

b) Gọi P, Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ (SBC) song song

Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC, BF lấy điểm M, N cho AC = kAM, BF = kBN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD, AF M’, N’

a) Chứng minh mặt phẳng (CBE) song song với mặt phẳng (ADF) b) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF)

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh mặt phẳng (A’BD) song song với mặt phẳng (B’CD’)

b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác A’BD B’CD’

c) Chứng minh G1 G2 chia AC’ thành ba phần

d) Gọi O I tâm hình bình hành ABCD ACA’C’ Xác định thiết diện mặt phẳng (A’OI) với hình hộp cho

Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M M’ trung điểm BC B’C’

a) Chứng minh AM song song với A’M’ b) Tìm giao điểm A’M mặt phẳng (AB’C’)

c) Tìm giao tuyến d mặt phẳng (AB’C’) mặt phẳng (A’BC’)

d) Tìm giao điểm G đường thẳng d mặt phẳng (AMM’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’

Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn đường a, b, c, d song song với không nằm (P) Trên a, b, c lấy ba điểm tuỳ ý

a) Hãy xác định giao điểm D’ đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’) b) Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC Các điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA a) Chứng minh (IJK) // (ABC)

b) Tìm tập hợp điểm M nằm hình chóp SABC cho KM song song với mặt phẳng (ABC)

Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K tâm hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’

(9)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui điểm O c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy hình lăng trụ

d) Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh ba điểm G, O, G’ thẳng hàng

Bài 9:Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất mặt hình vuông cạnh a Các điểm M, N nằm AD’ DB cho AM = DN = x (0xa 2)

a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song với mặt phẳng cố định

b) Chứng minh 3 2 a

x  MN //A’C

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB //CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B C

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với (SAB) Thiết diện hình gì?