Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. b) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA. b) Tìm tập hợp điểm[r]
(1)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
Bài giảng số 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Vị trí tương đối mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P Q Căn vào số đường thẳng chung mặt phẳng ta có trường hợp sau:
Hai mặt phẳng P Q khơng có đường thẳng chung, tức là: P Q P Q
P Q
Hai mặt phẳng P Q có đường thẳng chung, tức là: P Q a P cắt Q
P
Q
a
Hai mặt phẳng P Q có đường thẳng chung phân biệt, tức là: P Q a b, P Q
P
Q
Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung
2 Điều kiện để hai mặt phẳng song song P
Q
(2)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
Định lý: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mặt phẳng , Q P song song với Q
Tức là:
,
à a b P
a b O
a Q v b Q
P Q
3 Tính chất
Tính chất 1: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng
Tức là:
! : O Q
O P Q
P Q
Hệ 1: Nếu đường thẳng a song song với mp Q qua a có mặt phẳng P song song với Q
Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với nhau
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng P Q song song mặt phẳng R cắt P
phải cắt Q giao tuyến chúng song song
Tức là:
P Q
a P R
b Q R
a b
4 Định lý Talet không gian
Định lý Talet: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ
Q
R
b P
a
R Q P
A
A
B
B
C
C
2
2
2
1
1
(3)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
Tức là:
1 1
2 2
; ;
; ;
P Q R
a P A a Q B a R C
b P A b Q B b R C
1 1 1
2 2 2
A B B C A C A B B C A C
Định lý Talet đảo: Giả sử hai đường thẳng chéo a 1 a lấy điểm 2 A , 1 B , 1
1
C A , 2 B , 2 C cho: 2 1 1 1
2 2 2
A B B C A C
A B B C A C Khi đó, ba đường thẳng A A , 1 B B , 1 C C lần 1 lượt nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Ví dụ 1: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M , N cho AM BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD, AF M , N
a) Chứng minh CBE song song với ADF b) Chứng minh DEF song song với MNN M
c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M , N di động
Giải:
a) Ta có: BC AD BE AF
BCE ADF
b) Ta có: AM AM BN AN
AD AC BF AF
M N DF Mặt khác, ta có: MMCD
Do MNN M DEF
c) I chạy trung tuyến ADE kẻ từ A
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By , Cz, Dt phía mặt phẳng ABCD, song song với không nằm mặt phẳng ABCD Một mặt phẳng cắt Ax, By , Cz
Dt A, B, C D
a) Chứng minh Ax By, Cz Dt,
b) Gọi I ACBD, J A C B D Chứng minh IJ AA
O N
M N'
M' O'
A E
F
C
D B
A
D C
B A'
D' C'
B' J
I x
t y
(4)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
c) Cho AA x, BB y, CC z Hãy tính DD
Giải:
a) Nhận xét rằng: Ax Cz AB CD
Ax By, Cz Dt,
b) Nhận xét rằng:
, ,
,
, a b c d
A B C D a b A B
A B C D c d C D
A B C D
, ,
,
, a d b c
A B C D a d A D
A B C D b c B C
A D B C
Từ suy A B C D hình bình hành
Suy IJ đường trung bình hình thang AA C C , IJ AA c) Từ kết câu b), ta có: 1 1
2
IJ AACC BBDD DDAACCBB x y z
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA CD
a) Chứng minh mặt phẳng OMN mặt phẳng SBC song song với
b) Gọi I trung điểm SC, J điểm ABCD cách AB, CD Chứng minh IJ song song với SAB
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE, AF đường phân giác của tam giác ACD SAB Chứng minh EF song song với SAD
Giải:
a) Nhận xét: OM SC ON BC
OMN SBC
b) Gọi P Q theo thứ tự trung điểm , AD BC, suy JPQ
Ta thấy: PQ AB IQ SB
IPQ SABIJ SAB
c) Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:
ED AD AS FS
EC AC AB FB Suy tồn ba mặt phẳng song song chứa đoạn thẳng SD, EF, CD ta thấy ba mặt phẳng SAD,
A
C D
B S
M
P
O
N
Q J
I
A
C D
B S
F
(5)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang đó: EFSAD
Cách 2:
c) Dựng EH SD, HSC Nhận thấy:
HS ED AD AS FS
HC EC AC AB FB HFBCHFAD Từ suy ra: HEF SADEFSAD
Dạng 3: Xác định thiết diện khối đa diện mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O có ACa, BDb Tam giác SBD
tam giác Một mặt phẳng di động song song với SBD qua điểm I đoạn AC
a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng b) Tính diện tích thiết diện theo a , b AI x
Giải:
a) Ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu IOA
SBD
Ix ABCD
BD SBD ABCD
Ix BD
Ix cắt AB, AD theo thứ tự M N Lập luận tương tự ta có:
+ cắt mặt phẳng SAB theo đoạn giao tuyến MP song song với SB
+ cắt mặt phẳng SAD theo đoạn giao tuyến NP song song với SD
Trường hợp 2: Nếu IOC
SBD
Ix ABCD
BD SBD ABCD
Ix BD
Ix cắt CB, CD theo thứ tự H L Lập luận tương tự ta có:
+ cắt mặt phẳng SBC theo đoạn giao tuyến HK song song với SB
I A
C D
B S
O M
N P
H
L K A
C D
B S
(6)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
+ cắt mặt phẳng SCD theo đoạn giao tuyến LK song song với SD
b) Trước tiên ta có:
2
3
4
SBD
BD b
S
Ta xét trường hợp thiết diện: Trường hợp 1: Nếu IOA
2 a x
Ta có:
2 2
2
4
MNP
SBD
S MN AI x
S BD AO a
2 MNP b x S a
Trường hợp 2: Nếu IOC a
x a
Ta có:
2 2 LHK SBD a x
S LH CI
S BD CO a
2
2
2
3
LHK
b a x S
a
Tóm lại, ta có:
2 2 2 3 td
b x a
khi x a
S
b a x a
khi x a a
Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB3a, ADCDa Mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S với SA2a, mặt phẳng di động song song với SAB, cắt cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự M , N, P, Q
a) Chứng minh MNPQ hình thang cân
b) Đặt xAM , với 0xa Định x để MNPQ ngoại tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn
Giải:
a) Ta có:
SAB
MN ABCD
AB SAB ABCD
MN AB
Lập luận tương tự ta có: NP BS , PQ CD , QM SA Nhận xét rằng: MNPQ AB CD
MQ DQ CP NP
SA DS CS SB
SA SB
MQ NP
Vậy thiết diện MNPQ hình thang cân
b) Để MNPQ ngoại tiếp đường tròn, điều kiện là: MNPQMQNP MNPQ2MQ 1
Trong SAD, ta có: MQ DM a x
SA DA a
MQ2ax 2
Trong SCD, ta có: PQ SQ AM x
CD SD AD a PQx 3
(7)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang Giả sử AB cắt CD O ODy, ta có:
3
OD CD a
OA AB a 3yay a y
2
2 a
a x
MN OM OD DM
a
AB OA OD DA
a
MN 3a2x 4
Thay 2 , 4 vào 1 , ta được: 3a2xx4ax
3 a x
Vậy với a
x MNPQ ngoại tiếp đường trịn
Khi đó, xét hình thang cân MNPQ , hạ đường cao QH , ta có:
2
2 2
2
MN PQ a
QH MQ MH MQ
Suy bán kính đường trịn nội tiếp MNPQ là:
2
a r QH
Ví dụ 6: Cho hai điểm M , N thay đổi hai mặt phẳng song song P Q Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN cho IM k k,
IN cho trước
Giải:
Với hai điểm cố định M 0 N theo thứ tự thuộc 0 P Q , lấy điểm I 0 thuộc M N 0 0 cho 0
0
I M k
I N , ta được:
0
0
I M IM k I N IN
0 0 0
I M I N M N
IM IN MN
0 , ,
M M I I N N
nằm ba mặt phẳng song song
Vậy tập hợp điểm I thuộc mặt phẳng R qua I song song 0 với P
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho ba nửa đường thẳng song song chiều không đồng phẳng Ax, By, Cz Trên Ax, By, Cz lấy M, N, P cho AM = BN = CP
a) Chứng minh mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (MNP)
b) Gọi I điểm NP Chứng minh MI song song với mặt phẳng (ABC) N
P Q
H M
Q R P
M
M
I
N
O
0
(8)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi O giao điểm AC BD Gọi M, N trung điểm SA, SD
a) Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) (SBC) song song
b) Gọi P, Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ (SBC) song song
Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC, BF lấy điểm M, N cho AC = kAM, BF = kBN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD, AF M’, N’
a) Chứng minh mặt phẳng (CBE) song song với mặt phẳng (ADF) b) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF)
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh mặt phẳng (A’BD) song song với mặt phẳng (B’CD’)
b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác A’BD B’CD’
c) Chứng minh G1 G2 chia AC’ thành ba phần
d) Gọi O I tâm hình bình hành ABCD ACA’C’ Xác định thiết diện mặt phẳng (A’OI) với hình hộp cho
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M M’ trung điểm BC B’C’
a) Chứng minh AM song song với A’M’ b) Tìm giao điểm A’M mặt phẳng (AB’C’)
c) Tìm giao tuyến d mặt phẳng (AB’C’) mặt phẳng (A’BC’)
d) Tìm giao điểm G đường thẳng d mặt phẳng (AMM’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’
Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn đường a, b, c, d song song với không nằm (P) Trên a, b, c lấy ba điểm tuỳ ý
a) Hãy xác định giao điểm D’ đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’) b) Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC Các điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA a) Chứng minh (IJK) // (ABC)
b) Tìm tập hợp điểm M nằm hình chóp SABC cho KM song song với mặt phẳng (ABC)
Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K tâm hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’
(9)Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Hv Nguyễn Thị Trang b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui điểm O c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy hình lăng trụ
d) Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh ba điểm G, O, G’ thẳng hàng
Bài 9:Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất mặt hình vuông cạnh a Các điểm M, N nằm AD’ DB cho AM = DN = x (0xa 2)
a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song với mặt phẳng cố định
b) Chứng minh 3 2 a
x MN //A’C
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB //CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B C
a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với (SAB) Thiết diện hình gì?
