Bài giảng số 4: Phép chia đa thức

[r]

Chuyên đề 4: Phép chia đa thức I Kiến thức cần nhớ

1) Chia đơn thức A cho đơn thức B (Trường hợp A chia hết cho B)

- Bước 1: Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B

- Bước 2: Chia lũy thừa A cho lũy thừa biến B - Bước 3: Nhân kết tìm với

2) Chia đa thức A cho đơn thức B (Trường hợp hạng tử A chia hết cho B)

- Chia hạng tử đa thức A cho đơn thức B cộng kết lại với

3) Chia đa thức biến xếp

Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A B đa thức biến xếp) ta làm sau:

- Bước 1: Đặt phép chia

- Bước 2: Chia hạng tử bậc cao A cho hạng tử bậc cao B, giả sử thương C1

- Bước 3: Lấy C1 nhân với B, kết tìm viết đa thức A cho hạng tử bậc thẳng cột với nhau, thực phép trừ để tìm số dư

- Bước 4: Đặt vai trò số dư số bị chia, quay trở lại bước nhận kết bậc số dư nhỏ bậc số chia

*Với A B hai đa thức biến tùy ý, B khác 0, tồn đa thức Q R cho: A = B.Q+R bậc R ln nhỏ bậc B

Nếu R = phép chia hết, R khác phép chia có dư

4 Kiến thức bổ xung

4.4.1) Nghiệm đa thức

- Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) =

- Nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

- Trong đa thức có hệ số nguyên, nghiệm hữu tỷ (nếu có) phải có dang p ước hệ số tự do, q ước dương số hạng cao

4.4.2) Định lý Bơdu

Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x - a giá trị đa thức f(x) x = a Tức f(x)=(x - a).g(x) - f(a)

Hệ quả: Nếu f(a) = f(x)(x - a) Nếu f(a)  (x - a) f(a) =

4.4.3) Phương pháp hệ số bất định

Giả sử

f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Và f(x) = g(x) với giá trị a3=b3; a2=b2; a1 = b1; a0 = b0

Tổng quát: Nếu đa thức f(x) bậc n đa thức g(x) bậc lớn n đa thức f(x) đa thức g(x) đồng

4.4.4) Lược đồ Hocne

Với đaa thức f(x) = n n-1 n-2

n n-1 n-2

a x + a x + a x + + a x + a chia cho x có thương

g(x) = n-1 n-2 n-3

n-1 n-2 n-3

n

a an-1 an -3 a2 a1 a0

a n-1 b =

n a

n -2

b =abn-1+ n-1

a

n -3

b =abn -2+ n -3

a

1

b =ab2+

a

0

b =ab1+

a

r=ab0+ a

II Các dạng toán

Dạng 1: Phép chia đơn thức cho đơn thức

*Phương pháp giải toán: Thực theo bước nêu phần lí thuyết

Ví dụ mẫu:Thực phép tính 6x y x : 2xyz Lời giải mẫu:

- Bước 1: Chia phần hệ số : 23 - Bước 2: Chia phần biến

2

3

2 : : : x x x

y y y

x z z

  

- Bước 3: Nhân kết tìm 2 .x y z 3xy z

Vậy

6x y z: 2xyz3xy z Bài tập áp dụng

Bài 1: Thực phép chia:

) 12 : ( ); a x y  xy

4 ) : b x y z xy

5

10

) :

3

c  x y z x yz

Bài 2: Thực phép tính 12 10

33 34

) 100 :100 ; ) ( 21) : ( 21) ;

a

b  

16 14

21 19

1 ) ( ) : ( ) ;

2

2

) ( ) : ( )

7

c

d  

2) Phép chia đa thức cho đơn thức Ví dụ mẫu: Thực phép chia

 2

4 :

3

x  x y xy x

 2

3 2

2

1

4 :

3

1 1

4 : : :

3 3

12 15

x x y xy x

x x x y x xy x

x xy y

 

     

      

     

  

Bài 1: Thực phép chia a) (7.35 - 34 + 36) : 34 b) (163 - 642) : 82 c) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2

d) (5xy2 + 9xy - x2y2) : (-xy) e) (x3y3 - 1

2 x

2

y3 - x3y2) : 1 3x

2

y2

f) xy23xy32x2y:xy 3) Phép chia đa thức cho đa thức

3.1) Chia trực tiếp cách đặt tính

*Phương pháp giải toán: Thực theo bước nêu

Ví dụ mẫu: Thực phép chia    : x  x  x x Lời giải mẫu:

- Bước 1: Đặt tính

- Bước 2: Lấy hạng tử

x đa thức bị chia cho hạng tử x đa thức chia

x , lấy x2

nhân với đa thức chia x2 2

x  x

- Bước 3: Lấy    2

4

x  x  x  x  x 2x2 6x4

- Bước 4:Coi

2x 6x4là số dư, nhận thấy 2x26x4có bậc lớn bậc đa thức chia, tiếp tục thực bước bậc dư nhỏ bậc số chia

Trong thực hành, người ta làm sau:

3

3

4

2

x x x

x x

  



2 x

2

2

2

2

x x

x x

 



2 4

x

x

 

0

2

2

x  x

Vậy ta    

4 : 2

x  x  x x x  x Ví dụ 2: Thực phép chia    

2x 3x 4 : x 1

Lời giải mẫu:

3

3

2

2

x x

x x

 



2

x 

2

2

3

3

x x

x

  

 

2x6

2x3

Tới phép chia khơng thể tiếp tục bậc dư nhỏ bậc số chia

Bài 1: Thực hiên phép chia

a)    

3 :

x  x  x x

b)    

2x 5x 2x2x 1 : x  x

c)  3   

3 :

x  x  x  x x  x

d)    

2x 5x 4x1 : 4x1

Bài 2: Tìm thương Q dư R cho A = B.Q + R, biết Ax4x22; Bx2 x

3.2) Chia cách phân tích đa thức thành nhân tử

(Chỉ áp dụng phép chia đa thức phép chia hết) - Cơ sở cách làm dựa vào khẳng định sau

Điều kiện cần đủ để đa thức A chia hết cho đa thức B A = B.C với C đa thức, suy

C thương cần tìm *Phương pháp giải tốn

- Dự đốn xem đa thức bị chia phân tích thành nhân tử có nhân tử đa thức chia hay khơng

- Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử áp dụng khẳng định

Ví dụ mẫu: Thực phép chia    :

x  x

Lời giải mẫu:

Nhận thấy   

8 2

x   x x  x x38 : x2x22x4 Ta có:

       

  

  

   

3

3

2

2

2

14 24

8 14 28

2 2 14

2 14

2 12

2

x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x

  

     

        

      

   

   

  

2

5

x  x  x x

     

14 24 : x x  x x  x  x

a)     12 : x  x  x x

b)    

3 : x  x  x x c)    

1 :

x x  x  x

d)    

14 24 : x x  x x  x 4) Ứng dụng giải toán

4.1) Phân tích đa thức thành nhân tử

Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (xa) a phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x a) Q(x)

P(x) = (xa).Q(x)

Muốn tìm Q(x) ta thấy P(x) chia cho (xa) Sau phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt xa xb ta phân tích đa thức P(x) thành tích ba thừa số x a  ; x b  Q(x)

P(x) = (xa)(xb).Q(x)

Muốn tìm Q(x) ta chia P(x) cho tích      

x a x b x  a b x ab thương

Q(x) sau phân tích tiếp Q(x

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 x2 a ta chia P(x) cho tích

    2

x a x a x  ax a thương R(x) phân tích tiếp R(x) ThÕ nµo lµ nghiƯm sè kÐp? Vậy đa thức P(x) có nghiệm kép x1 x2 a P(x) = (xa)2R(x) Muốn tìm R(x) ta lấy P(x) chia cho  2

x a

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P(x) = x3 – 2x –

Lời giải mẫu:

P(x) = x3 – 2x –

Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có nghiệm x = Do ta có

P(x) = (x – 2).Q(x)

Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – 2, ta thương Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1

Ta thấy Q(x) 0 x. Nên Q(x) khơng thể phân tích Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)

Vậy P(x) = x3 – 2x – = (x - 2)(x2 + 2x + 2)

Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – b) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – c) P(x) = x3 + 3x –

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức 3 :

n n

Px x  với n1

x 

Lời giải mẫu:

Với n1, ta có  

2 3

3 3 2 1

:

8 64

n n

n n n n

Px x  x   x   x    

 

Ví dụ 2: Tìm x, biết  2

2ax 3ax :ax 5 biết a số khác

Lời giải mẫu:

Ta có  2

2ax 3ax :ax 2x3 2x 2x x

      

Ví dụ 3: Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức

2

x  x chia hết cho giá trị

biểu thức x1

Lời giải mẫu:

Thực phép chia

2

x  x cho x1  2

2 1

x  x  x  Vậy để có phép chia hết 2x1hay x1 Ước 2, từ ta có

1 1

x x x x

x x x x

         

         

Các giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy x 2; x 3; x0; x1

Bài 1: Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia x2 x 1, thương x1 số dư

Bài 2: Tìm n để phép chia sau phép chia hết

a)  3 4xn 5x : 2x b)  

2x 5x x : 3xn

c)  3  n : n x y  x y x y x y Bài 3: Tính giá trị biểu thức

a)  2

A 15 10 : :

x

x x x x

 

    

  với

3

x



b) 2

B = x n:x n với n2 x10

4.3) Dạng tìm dư phép chia, tìm điều kiện tham số để có phép chia hết

*Phương pháp giải toán

- Bước 1: Thực phép chia A cho B để có dư

Nếu dạng tìm điều kiện tham số để có phép chia hết thực thêm bước - Bước 2: Cho số dư 0, tìm tham số

Ngồi trường hợp đa thức chia bậc ta nên sử dụng cách sau:

Cách 2: (Áp dụng cho đa thức chia nhị thức bậc nhất) Áp dụng định lí Bơzu ta có “Dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a f(a)” Vậy để tìm dư f(x) cho x a ta cần tính f(a)

Cách 3: (Chỉ áp dụng cho tốn tìm phần dư hai đa thức cụ thể) Nhận thấy “phần dư một đa thức có bậc nhỏ đa thức chia” Áp dụng phương pháp giá trị riêng tức sử dụng giá trị riêng cụ thể x cho đa thức chia để tính phần dư đơn giản

Ví dụ (minh họa cách 2): Tìm m để đa thức

Lời giải mẫu:

Cách 1: Thực phép chia đa thức

4x 6x m cho đa thức x3được

  

2

4x 6x m  x 4x  6 m 18 Vậy để phép chia phép chia hết

18 18

m    m

Cách 2: Áp dụng định lí Bơzu ta có dư phép chia thức

4x 6x m cho đa thức x3là (3) 18;

f  m Để phép chia phép chia hết m18   0 m 18

Ví dụ (minh họa cách 3): Tìm dư đa thức 27

x x  x x cho

x 

Bậc đa thức chia suy bậc phần dư có dạng ax b

Nếu gọi thương phép chia B(x) Ta có: 27   ( )

x x x  x B x x  ax b (1) Chọn giá trị riêng x cho

1

x     x

- Với x1thì (1)   4 a b (3) - Với x      1 a b (4)

Từ (3) (4) suy a4; b0 Vậy dư phép chia 4x

Bài 1: Tìm m cho đa thức

3

x  x  x  x m chia hết cho đa thức

2

x  x

Bài 2: Tìm x để giá trị đa thức 27 20

( )

f x x x  x chia hết cho g x( ) x

Bài 3: Tìm dư phép chia đa thức 27 12

( )

f x x x  x cho

x 

Bài 4: Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x2 + dư 2x + Tìm số dư chia f(x)

cho (x + 1)(x2 + 1)

4.4) Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện 4.4.1) Tìm hệ số cịn lại đa thức Bài 1: Tìm a cho đa thức

( ) 2

g x  x  x a chia hết cho x3

Bài 2: Tìm a, b cho đa thức ( )

f x ax ax b chia hết cho

x 

Bài 3: Tìm a, b cho đa thức ( )

h x x  x  x ax b chia cho đa thức

2

x  x dư 2x3

Bài 4: Tìm m cho đa thức 3 ( , , )

f x y z x y z mxyzchia hết cho x y z Bài 5: Tìm dư phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2

Bài 6: Chứng minh( x2 + x1)10 + (x2 x1)10 chia hết cho x1 4.4.2) Tìm đa thức

Bài 1: Tìm đa thức f x( ), cho f x( )biết f x( )chia x2 x 1 thương

x dư

x

Bài 2: Tìm đa thức f x( ), biết f x( ) chia x3dư 7, chia x2 dư 5, chia cho x3x2 thương 3x dư

Bài 3: Tìm đa thức f x( ), biết f x( ) chia x4dư 9, chia x3 dư chia cho

12

x  x thương

3

x  dư