ĐẠI SỐ SƠ CẤP: PHÉP CHIA ĐA THỨC

PHÉP CHIA ĐA THỨC Phép chia có dư. Định lý: f,gϵPx, g≠0 =>∃q,r∈Px f=g.q+r với 0≤deg⁡(r)f(x).k(x)⋮g(x) với k(x)∈Px TC3: {█(f(x)⋮h(x)g(x)⋮h(x))┤ =>f(x)∓g(x)⋮h(x) TC4: {█(f(x)⋮h(x)g(x)⋮k(x))┤=>f(x).g(x)=h(x).k(x) Ví dụ: VD1: Cho 2 đa thức: f(x)=〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3 g(x)=x24x3 Tính f(x) chia cho g(x). Ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x) như sau: 〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3 x24x3 〖2x〗4〖8x〗3〖6x〗2 〖2x〗25x+1 〖5x〗3+〖21x〗2+11x3 〖5x〗3+〖20x〗2+15x x24x3 x24x3 0 Phép chia trong trường hợp này có dư bằng 0, ta được thương là 〖2x〗25x+1. Khi đó ta có: 〖2x〗4〖13x〗3+〖15x〗2+11x3∶(x24x3)=〖2x〗25x+1. Khi đó, phép chia có dư bằng 0 là phép chia hết. Định lí BơDu (Bezout): Trong phép chia đa thức thì trường hợp đơn giản nhất xong quan trọng nhất và nhiều ứng dụng nhất là trường hợp chia hết cho đa thức xc, với c∈P. Định lí sau đây sẽ cho ta biết ngay cách tìm dư trong phép chia đó. Định lí BơDu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho xc là giá trị f(c). Chứng minh: Theo định lí về phép chia có dư, ta có: f(x)=(xc).q(x)=r(x) Trong đó: r(x)=0 hoặc deg⁡(r(x))=0 (Vì bậc của xc là 1), nghĩa là r(x) là 1 hằng số thuộc trường P. Mặt khác ta có: f(c)=(cc).q(c)+r(c)=>f(c)=r(c) Mà r(x) là đathứchằng, có giá trị tại c bằng f(c) nên r(x)=f(c) hay số dư là hằng số f(c). Hệ quả: f(x) chia cho (xc) khi và chỉ khi f(c)=0, nghĩa là c là nghiệm của f(x). Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức f(x)= 〖2x〗3〖3x〗2+x+1 cho x1. Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x1 đúng bằng f(1). Có f(1)=〖2.1〗3〖3.1〗2+1+1=23+1+1=1 Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x1 bằng 1. Sơ đồ Hoocne (Horner): Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức f(x) bất kì cho xc. Giả sử: f(x)=a_0 xn+a_1 x(n1)+⋯+a_0 Chia f(x) cho xc ,ta được thương q(x)có bậc n1, q(x)=b_0 x(n1)+b_1 x(n2)+⋯+b_(n1) Và dư là hằng số r∈P, nghĩa là: a_0 xn+a_1 x(n1)+⋯+a_n=(xc)(b_0 x(n1)+b_1 x(n2)+⋯+b_(n1) )+r Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có 〖 a〗_o=b_0 〖 b〗_0=a_0 a_1=b_1cb_(0 ) b_1=〖cb〗_0+a_1 a_2=b_2cb_█(1 ) b_2=〖cb〗_1+a_2 …………… Từ đó suy ra ………….. a_k=b_kcb_(k1 ) b_k=〖cb〗_(k1)+a_k …………... …………. a_n=b_ncb_(n1 ) b_n=〖cb〗_(n1)+a_n Dãy đẳng thức truy hồi đó được trình bày trong sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne: a_0 a_1 … a_k … a_n c b_0=a_o b_1 … b_(k1) b_k … r Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên. Cách nhớ : Nhân ngang cộng chéo. Ví dụ 1: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức f(x)=x3〖5x〗2+8x4 cho x2 mà không cần thực hiện phép chia. Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có: f(x) 1 5 8 4 2 1 3 2 0 Vậy đa thức thương là 〖q(x)=x〗23x+2 và dư là 0. Ví dụ 2: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức f(x)=x4x2+2x3 cho x+1 mà không cần sử dụng phép chia. Sử dụng sơ đồ Hoocne ta có: f(x) 1 0 1 2 3 1 1 1 0 2 5 Vậy đa thức thương là q(x)=x3x2+2 và dư r(x)=5. Tổng quát: V. Bài tập Tìm những đa thức còn thiếu trong bảng sau. Trong phép chia f(x):g(x) với q(x) là thương, r(x) là số dư. f(x) x2x7 〖x3x〗22x2 x2+3x5 g(x) x3 x+3 x q(x) x2+2x+3 x1 x+3 r(x) 2x+1 5 0 Thực hiện các phép chia f(x) cho g(x) dưới đây. f(x)=〖4x〗4+〖4x〗3 〖13x〗25x+3 ; g(x)=2x3 f(x)=〖5x〗22x+1 ; g(x)=3x2 Cho 2 đa thức sau: f(x)=x4x3 〖+6x〗2x+a g(x)=x+5 Tìm giá trị của a để f(x)⋮g(x). Dùng sơ đồ Hoocne tìm thương và số dư của các phép chia sau. (6x2+13x5):(x+5) (x52x4+x32x2+x1):(x+1) Tìm số dư sau của phép chia sau mà không cần thực hiện phép chia. 〖(x〗2+2x3):(x3) (x4+3x25x+7):(x+1) (x2016+〖2x〗2015+4x2014):(x1)

PHÉP CHIA ĐA THỨC I Phép chia có dư Định lý: , với Định nghĩa: , Nếu có để Với Ví dụ: VD1: Cho đa thức Ta thực phép chia cho sau: Vậy = Phép chia trường hợp dược gọi phép chia có dư, gọi dư VD2: Cho đa thức Ta thực phép chia cho sau: Vậy Phép chia trường hợp gọi phép chia có dư, gọi dư II Phép chia hết Định nghĩa: , Nếu có cho Ta có: Khi đó: bội ước Tính chất: TC1: TC2:với TC3: => TC4: => Ví dụ: VD1: Cho đa thức: Tính chia cho Ta thực phép chia cho sau: Phép chia trường hợp có dư 0, ta thương Khi ta có: Khi đó, phép chia có dư phép chia hết III Định lí BơDu (Bezout): Trong phép chia đa thức trường hợp đơn giản xong quan trọng nhiều ứng dụng trường hợp chia hết cho đa thức , với Định lí sau cho ta biết cách tìm dư phép chia Định lí BơDu: Dư phép chia đa thức cho giá trị Chứng minh: Theo định lí phép chia có dư, ta có: Trong đó: (Vì bậc 1), nghĩa là số thuộc trường P Mặt khác ta có: IV Mà đa-thức-hằng, có giá trị c nên hay số dư số Hệ quả: chia cho ) , nghĩa c nghiệm Ví dụ: Tìm số dư phép chia đa thức cho Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư phép chia cho Có Vậy số dư phép chia đa thức cho Sơ đồ Hoocne (Horner): Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương dư phép chia đa thức cho Giả sử: Chia cho ,ta thươngcó bậc Và dư số nghĩa là: Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có …………… Từ suy ………… ………… ………… Dãy đẳng thức truy hồi trình bày sơ đồ sau gọi sơ đồ Hoocne: … c … … … Quy tắc: Mỗi phần tử dòng tích c với phần tử đứng trước cộng với phần tử tương ứng dòng Cách nhớ : Nhân ngang cộng chéo Ví dụ 1: Tìm đa thức thương dư phép chia đa thức cho mà không cần thực phép chia Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có: Vậy đa thức thương dư Ví dụ 2: Tìm đa thức thương dư phép chia đa thức cho mà không cần sử dụng phép chia Sử dụng sơ đồ Hoocne ta có: Vậy đa thức thương dư *Tổng quát: V Bài tập Tìm đa thức thiếu bảng sau Trong phép chia với thương, số dư 2 Thực phép chia a ; b ; Cho đa thức sau: Tìm giá trị để Dùng sơ đồ Hoocne tìm thương số dư phép chia sau a b ( Tìm số dư sau phép chia sau mà không cần thực phép chia a b c ( ... dụ 1: Tìm đa thức thương dư phép chia đa thức cho mà không cần thực phép chia Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có: Vậy đa thức thương dư Ví dụ 2: Tìm đa thức thương dư phép chia đa thức cho mà... có số dư phép chia cho Có Vậy số dư phép chia đa thức cho Sơ đồ Hoocne (Horner): Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương dư phép chia đa thức cho Giả sử: Chia cho ,ta thươngcó bậc Và dư số. .. Cho đa thức: Tính chia cho Ta thực phép chia cho sau: Phép chia trường hợp có dư 0, ta thương Khi ta có: Khi đó, phép chia có dư phép chia hết III Định lí BơDu (Bezout): Trong phép chia đa thức