Các bất đẳng thức cơ bản quan trọng

[r]

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400-0968582838 Page

TỔNG HỢP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

 A  A (Dấu xảy A = 0)

 A B  A B (Dấu xảy A, B dấu trái dấu) 2 Bất đẳng thức véc tơ

 u   v u v (Dấu xảy u v, hướng)

 u   v u v (Dấu xảy u v, ngược hướng)

 uv  u v (Dấu xảy u v, phương)

Áp dụng u x y( ;1 1), ( ;v x2 y2), ta có

 2 2 2 2   2 2

1 2 2

x y  x y  x x  y y

 2 2   2 2

1 2 2

x y  x y  x x  y y

 2 2

1 2 1 2

x x y y  x y x y (Bất đẳng thức bunhiacopxki)

3 Bất đẳng thức suy từ đẳng thức Với số thực a, b, c ta ln có

 a   2

2

a b  ab  ab

  

2

2

2

a b

a b    ab

 2

a b c ab bc ca   2 2 2  2

3(a b c ) a b c 

 3 2

2(a b )(a b a )( b ) , (a b 0)

 2 2 ( 1) 1a 1b 1ab ab 4 Bất đẳng thức cô si

Cho a, b, c >

Ta có bất đẳng thức sau

 a b

ab  

2

2 a b ab   

 

 1

a b a b

1 1 ( )

a b  ab



 2

1

ab a b

 1 a  b c a b c   3 2

Các bất đẳng thức xảy dấu a = b = c 5 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với a,b, x,y số thực, ta có bất đẳng thức sau

  2 2 2 2 2

( )( )

ax by  a b x y (Dấu xảy x y a  b )

  

2 2 2

a b a b

x y x y 

 

 (x, y > 0, a, b số thực) Mở rộng với số a, b, c x, y, z ta có

  2 2 2 2 2 2 2

( )( )

ax by cz   a b c x y z (Dấu xảy x y z a  b c)

  

2 2 2 2

a b c a b c

x y z x y z  

  