Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400-0968582838 Page
TỔNG HỢP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
A A (Dấu xảy A = 0)
A B A B (Dấu xảy A, B dấu trái dấu) 2 Bất đẳng thức véc tơ
u v u v (Dấu xảy u v, hướng)
u v u v (Dấu xảy u v, ngược hướng)
uv u v (Dấu xảy u v, phương)
Áp dụng u x y( ;1 1), ( ;v x2 y2), ta có
2 2 2 2 2 2
1 2 2
x y x y x x y y
2 2 2 2
1 2 2
x y x y x x y y
2 2
1 2 1 2
x x y y x y x y (Bất đẳng thức bunhiacopxki)
3 Bất đẳng thức suy từ đẳng thức Với số thực a, b, c ta ln có
a 2
2
a b ab ab
2
2
2
a b
a b ab
2
a b c ab bc ca 2 2 2 2
3(a b c ) a b c
3 2
2(a b )(a b a )( b ) , (a b 0)
2 2 ( 1) 1a 1b 1ab ab 4 Bất đẳng thức cô si
Cho a, b, c >
Ta có bất đẳng thức sau
a b
ab
2
2 a b ab
1
a b a b
1 1 ( )
a b ab
2
1
ab a b
1 a b c a b c 3 2
(2)Các bất đẳng thức xảy dấu a = b = c 5 Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Với a,b, x,y số thực, ta có bất đẳng thức sau
2 2 2 2 2
( )( )
ax by a b x y (Dấu xảy x y a b )
2 2 2
a b a b
x y x y
(x, y > 0, a, b số thực) Mở rộng với số a, b, c x, y, z ta có
2 2 2 2 2 2 2
( )( )
ax by cz a b c x y z (Dấu xảy x y z a b c)
2 2 2 2
a b c a b c
x y z x y z