Đang tải... (xem toàn văn)
a. Chứng minh AE = AF. Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi... Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BE = BM.. Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. [r]
(1)BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho ABC vuông A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng
cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF
Chứng minh rằng:
a) AH = AK b) AH2 = BH CK
Giải : Đặt AB = c, AC = b
BD // AC (cùng vng góc với AB)
nên
AH AC b AH b AH b
HBBD c HB c HB + AH b + c
Hay
AH b AH b b.c
AH
AB b + c c b + c b + c (1)
AB // CF (cùng vng góc với AC) nên
AK AB c AK c AK c
KC CF b KC b KC + AK b + c
Hay
AK b AK c b.c
AK
AC b + c b b + c b + c (2) Từ (1) (2) suy ra: AH = AK
b) Từ
AH AC b HB BDc
AK AB c
KC CF b suy
AH KC AH KC
HB AK HBAH(Vì AH = AK)
AH2 = BH KC
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC,
DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK EG b)
1 1
AE AKAG
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi
Giải
a) Vì ABCD hình bình hành K BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có:
2
EK EB AE EK AE
= = AE EK.EG
AE ED EG AE EG
b) Ta có:
AE DE = AK DB ;
AE BE =
AG BD nên
AE AE BE DE BD 1
= AE
AK AG BD DB BD AK AG
1 1
AE AKAG (đpcm)
c) Ta có:
BK AB BK a
= =
KC CG KC CG (1);
KC CG KC CG
= =
AD DG b DG (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
BK a
= BK DG = ab
b DG không đổi
(Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi)
H
F K
D
C B
A
G b
a
E K
D C
(2)Q P
O
N
M
H
F
G
E
D
C
B
A
E
D
M
K
C B
A
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB,
BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: a) EG = FH b) EG vng góc với FH
Giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG
Ta có CM =
2 CF =
3BC
BM = BC
BE BM
= =
BA BC
EM // AC
EM BM 2
= EM = AC AC BE (1)
Tương tự, ta có: NF // BD
NF CF 2
= NF = BD BD CB (2) mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)
Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH =
3AC (b) Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG EMG = 90 0(4) Tương tự, ta có: FNH = 90 0(5) Từ (4) (5) suy EMG = FNH = 90
(c) Từ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q
PQF = 90 QPF + QFP = 90
mà QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP (EMG = FNH)
Suy EOP = PQF = 90 EO OP EG FH
Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE
a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE
Giải a) BD phân giác nên
AD AB AC AE AD AE
= < =
DC BC BC EB DC EB (1)
Mặt khác KD // BC nên
AD AK DC KB (2)
Từ (1) (2) suy
AK AE AK + KB AE + EB KB EB KB EB
AB AB
KB > EB
KBEB E nằm K B b) Gọi M giao điểm DE CB
Ta có CBD = KDB (Góc so le trong) KBD = KDB
(3)E
D
C B
A
2
3
1 H
I
O
E
D
C B
A Suy CD > ED CD > ED > BE
Bài 5: Cho ABC cóB = C , AB = cm, BC = 10 cm a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu? Giải
Cách 1: Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC
ACD ABC (g.g)
AC AD ABAC
AC AB AD =AB.(AB + BD)
= AB(AB + BC)
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Cách 2: Vẽ tia phân giác BE ABC ABE ACB
AB AE BE AE + BE AC
= AC = AB(AB + CB)
AC ABCB AB + CBAB + CB = 8(8 + 10) = 144
AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)
Vì b > anên b = a + b = a +
+ Nếu b = a + (a + 1)2= a2 + ac 2a + = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) =
- Với a = c = (loại) - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c =
Bài 6: Cho ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động
AB, lấy điểm E AC cho
2 OB CE =
BD Chứng minh rằng a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO phân giác góc BDE, CED
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải
a) Từ
2 OB CE =
BD
CE OB =
OB BD B = C (gt) DBO OCE b) Từ câu a suy O = E (1)
Vì B, O ,C thẳng hàng nên O + DOE EOC 180 (2) tam giác EOC E + C EOC 180 (3)
Từ (1), (2), (3) suy DOE B C
DOE DBO có
DO OE =
DB OC (Do DBO OCE)
và
DO OE =
(4)K F
E
D M
C B
A
I
K F
G
E M D
C
B
A N
c) Từ câu b suy D = D DO phân giác góc BDE Củng từ câu b suy E = E EO phân giác góc CED
c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi D di động AB
Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường
thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F
a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE
Giải
a) DE // AM
DE BD BD
= DE = AM
AM BM BM (1)
DF // AM
DF CD CD CD
= DF = AM = AM
AM CM CM BM (2)
Từ (1) (2) suy
DE + DF =
BD CD
.AM + AM
BM BM =
BD CD BC
+ AM = AM = 2AM
BM BM BM
không đổi
b) AK // BC suy FKA AMC (g.g)
FK KA
=
AM CM (3)
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA
= = =
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AMCM (2) (Vì CM = BM)
Từ (1) (2) suy
FK EK
AM AM FK = EK hay K trung điểm FE
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần
lượt I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh
a) IM IN = ID2 b)
KM DM
=
KN DN
c) AB AE + AD AF = AC2
Giải
a) Từ AD // CM
IM CI =
ID AI (1) Từ CD // AN
CI ID AIIN (2)
Từ (1) (2) suy IM
ID = ID
IN hay ID2 = IM IN
b) Ta có
DM CM DM CM DM CM
= = =
MN MB MN + DM MB + CM DN CB (3) Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN
IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM
= = = =
IM IK IM IK IM IK KN IK
KM IM CM CM
=
(5)M K
H
G I
D C
B A
Từ (3) (4) suy
KM DM
=
KN DN
c) Ta có AGB AEC
AE AC
= AB.AE = AC.AG
AG AB AB AE = AG(AG+CG) (5)
CGB AFC
AF CG CG =
AC CB AD(vì CB = AD)
AF AD = AC CG AF AD = (AG + CG) CG (6)
Cộng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG
AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vậy: AB AE + AD AF = AC2
Bài 9: Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao
điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC Giải Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD
Vì I giao điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK Vì I nằm tam giác ABC nên:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)
Mà BC =
AB + CA
2 AB + CA = BC (2)
Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC IK =
1
3AH (a) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên:
SBGC =
1
3 SABC BC GD =
1
3 BC AH GD =
1
3 AH (b)
Từ (a) (b) suy IK = GD hay k/ cách từ I, G đến BC nên IG // BC
Bài 10: Cho điểm M di động đáy nhỏ AB hình thang ABCD, Gọi O giao
điểm hai cạnh bên DA, CB Gọi G giao điểm OA CM, H giao điểm
của OB DM CMR: Khi M di động AB tổng
OG OH +
GD HC không đổi
Giải Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự I K Theo
định lí Talét ta có:
OG OI GD CD;
OH OK HCCD
OG OH OI OK IK +
GD HC CD CD CD OG OH IK
+
GD HC CD
(1)
Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự P Q, ta có:
IK MP FO
CD MQ MQ khơng đổi FO khoảng cách từ O đến AB, MQ đường cao
hình thang nên khơng đổi (2) Từ (1) (2) suy
OG OH FO
+
(6)Bài 11: Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD Trên AB lấy điểm M,
AC lấy điểm N cho BM = CN, gọi giao điểm CM BN O, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC, AB E F
Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA Giải
AD phân giác nên BAD = DAF EI // AD BAD = AEF (góc đồng vị)
Mà DAF OFC (đồng vị); AFE = OFC (đối đỉnh) Suy AEF AFE AFE cân A AE =AF (a)
Aùp dụng định lí Talét vào ACD , với I giao điểm EF với BC ta có CF CI CF CA
=
CA CD CI CD (1) AD phân giác BAC nên
CA BA CD BD (2)
Từ (1) (2) suy
CF BA
CI BD (3) Kẻ đường cao AG AFE BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) BPD = CQI = 900
Gọi trung điểm BC K, ta có BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4)
Thay (4) vào (3) ta có
CF BA
BD BD CF = BA (b) Từ (a) (b) suy BE = CA
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy
D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E M trung điểm BE
a) Chứng minh DBEC đồng dạng với DADC b) Tính số đo góc AHM
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm tập hợp điểm O nằm tứ giác cho hai tứ
giác OBCD OBAD có diện tích (Không yêu cầu chứng minh phần đảo).
G
P O
K I
N
D
Q
C B
M A
(7)B1 D1
hb
ho ha
B
C
A
D O
12
2 1
3
1
2
M
E
D H
B
A
C
a) Do DDEC ∽ DABC (Hai tam giác vng có C chung) (*)
DE EC AB BC
Þ =
Xét DBEC DADC Có C chung kết hợp (*) =>DBEC∽ DADC (g.c.g)
b
b) DBEC∽ DADC =>B1=A1, DAHD vuông cân H nên 45
A =
1 45 45 45 ( 2 90 )
A A B A B B A B
Þ + = Þ + = Þ = + + =
M trung điểm BE nên: AM = MB = ME Þ DBMA vng cân M Þ AB2 =2BM2 hay mà AB2 = BH.BC (HS phải c/m);
Þ BH.BC = BE.BMÞ
BH BM
BE =BC Þ DBHM∽ DBEC∽ DADCÞ AHM =D =450
13
Giả sử O điểm nằm tứ giác thỏa mãn: SOBCD =SOBAD
Từ O kẻ đường thẳng // BC cắt AB D1, cắt AC B1 Nối OC, OB, AC, BD
kẻ đường cao ha, hb, hc hình vẽ
Khi đó: SOBCD = SBCD+SBOD=
1
.( ) 2BD hc+ho
SBODA = 1
1 1
1
( )
2
AB D D OB B OD a b c
S +S +S = B D h + +h h
1
( )
1 (1)
( )
c o
a o
BD h h B D h h
+
Û =
+
Vì B1D1//BD nên 1
(2)
( )
a
a o
h BD
B D = h +h Từ (1) (2)
c o
c o a a
h h
h h h h
+
Û = Û + =
Từ HS lập luận suy B1D1 qua trrung điểm cuả AC
(8)Bài 14 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F;G;H trung điểm
của cạnh AB, BC; CD; DA M giao điểm CE DF a Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng
b Chứng minh DF CE MAD cân c Tính diện tích MDC theo a
N
M
G
F E
C B
H A
D
Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng
( )
BEC CFD c g c ECB FDC
mà CDF vuông C
900 900
CDF DFC DFC ECB CMF
vuông M Hay CE DF
Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG DF GN//CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến MAD cân A
( ) CD CM
CMD FCD g g
FD FC
Do :
2
CMD
CMD FCD
FCD
S CD CD
S S
S FD FD
Mà :
2
1
2
FCD
S CF CD CD
Vậy :
2
2
1
4 CMD
CD
S CD
FD
Trong DCF theo Pitago ta có :
2 2 2 2 5.
2 4
DF CD CF CD BC CD CD CD
.
Do :
2
2 2
2
1 1
5 4 5 5
4 MCD
CD
S CD CD a
CD
Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao AE, BF cắt H.
Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC I K
(9)b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK
c Gọi G giao điểm CH AB Chứng minh: AH
6
BH CH HE HF HG
G
N
D
K
I
M H
F
E A
B C
Ta có AEC BFC (g-g) nên suy
CE CA CF CB
Xét ABC EFC có
CE CA
CF CBvà góc C chung nên suy ABC EFC ( c-g-c) Vì CN //IK nên HM CN M trực tâm HNC
MN CH mà CH AD (H trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M trung điểm BC nên NC = ND IH = IK ( theo Ta let)
Ta có:
AHC ABH AHC ABH AHC ABH
CHE BHE CHE BHE BHC
S S S S S S
AH
HE S S S S S
Tương tự ta có
BHC BHA
AHC
S S
BH
BF S
BHC AHC
BHA
S S
CH
CG S
AH BH CH HE HF HG
AHC ABH
BHC
S S
S
BHC BHA
AHC
S S
S
BHC AHC
BHA
S S
S
=
AHC ABH
BHC BHC
S S
S S
BHC BHA
AHC AHC
S S
S S +
BHC AHC
BHA BHA
S S
S S 6 Dấu ‘=’ tam giác ABC đều, mà theo gt thì
AB < AC nên khơng xảy dấu
Bài 16: Cho hình vng ABCD Trên BC lấy điểm E, qua A kẻ đường thẳng vng góc
với AE, đường thẳng cắt CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt AI G
(10)c Chứng minh AKF đồng dạng CAF
d Trên cạnh AB lấy điểm M cho BE = BM Tìm vị trí điểm E cạnh BC để diện tích DEM đạt giá trị lớn nhất?
M
G
K I
F D C B
A
E
ABE = ADF (cạnh góc vng, góc nhon) suy AE = AF
Tam giác AEF vuông cân suy AI EF (1) Tứ giác EGFK hình bình hành (hai đường chéo cắt trung điểm đường IEG = IFK) (2)
Từ (1) (2) suy EGFK hình thoi
Xét AKF CAF có chung góc F; Lại có tam giác EAF vng cân nên KAF 45 0=
ACE 45 suy hai tam giác đồng dạng
Gọi cạnh hình vng a Đặt BE = BM = x suy CE = a – x ; AM = a – x
DEM ABCD BME AMD DCE
S S S S S = a2 12a a x( ) 21a a x( ) 21x2
=
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( )
2 x ax 2 x a a 2a x a 2a
DEM
S đạt giá trị lớn 1
2a khi x –a = tức x = a nghĩa E trùng C
Bài 17: Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC,
CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF
a) Chứng minh rằng: BDF BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD
a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF
(11)Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF
OFD OED ODF 90 o(1)
Ta có OFD OED ODF 270o(2)
(1) & (2) 180o (**)
(*) & (**) BAC BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B , C
AEF DBF DEC ABC
BD BA 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8
CD CA 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8
AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC
CD BD
(3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB .
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
1 + Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC1350(vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết). Nên AEB 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BEAB 2m 2
Ta có:
1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BECADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân H)
s
s
(12)nên
1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA)
Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC AC , mà //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Bài 19: Cho hình vng ABCD cạnh a Điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc
cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M N
a.Chứng minh rằng: DN.CM = a2
b Gọi K giao điểm NA MB Chưng minh MKN = 900
c Các điểm E, F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Khi tính diện tích tam giác KMN theo a?
a
K
A B
F E N D C M
Từ gt ⇒ AB // MN nên ta có: CM
BA = CE BE=
AF FD=
BA
DN ⇒ CM.DN = AB2 = a2.
b
Theo chứng minh trên:
CM BA =
BA
DN Nên CM
CB= AB
DN ( BA = CB)
Và ADN = MCB ( = 900) ⇒Δ ADN đồng dạng với Δ MCB
⇒ MBC = AND
Mà MBC + BMC = 900
⇒ AND + MBC = 900
Vậy MKN = 900
c Vì MN = ND + CD + CM
Nên MN nhỏ ⇔ ND + CM nhỏ (Vì DC khơng đổi)
(13)ND + CM ¿2√CM ND=2a
Dấu “ =” sảy CM = DN = a
⇔ DF CE đường trung bình tam giác NBC tam giác MAD Hay
E,F trung điểm BC AD
Vậy MN đạt GTNN 3a E,F trung điểm BC AD Khí SKMN = SKAB + SNAD + SCBM + SABCD = SKAB + 2SABCD
Lại tam giác KAB vng cân K nên đường cao ứng với cạnh AB có độ dài
1
2AB=
1
2a ⇒SKAB=
1
4a
2
Và SABCD = a2 Vậy SKMN =
4a
2
+2a2=9
4 a
2
Bài 20:
1) Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD, M K theo thứ tự trung điểm AH CD Tính số đo góc BMK
2) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, đoạn BH lấy điểm M trên đoạn
CH lấy điểm N cho CMR AM = AN
Lời giải
1) Từ hình vẽ ( xác ) ta dự đốn góc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung
điểm mà đề cho mà vẽ thêm hình tạo liên kết I J Cách : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm
H×nh H×nh
O
P P
J
I H
J
I H
B
C D
A B
C D
A
Tóm tắt lời giải cho hình Gọi P trung điểm AH => PI đường trung bỡnh tam giỏc AHD => PI//AD mà AD AB hì IP AB P trực tâm ABI Từ tứ giác BPIJ h.b.h , BP // IJ mà BP AI nên JI AI 1) Gọi P,Q chân đường cao kẻ từ B C
Tam giác vng AMC có đường cao MP => AM2=AP.AC
Tam giác vng ANB có đường cao NQ => AN2=AQ.AB
J
I H
A
D C
(14)