Đang tải... (xem toàn văn)
Các hệ quả trên cho ta ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như xác định số nghiệm của phương trình, và nếu như bằng một cách nào đó ta tìm được tất cả các nghiệm của phương tr[r]
(1)ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
1. ĐỊNH LÍ LAGRANGE 1.1 ĐỊNH LÍ ROLLE
Định lí: Nếu f x( ) hàm liên tục đoạn [ ; ]a b , có đạo hàm khoảng ( ; )a b f a( )f b( ) tồn ( ; )
c a b
cho f c '( ) Chứng minh:
Vì f x( ) liên tục [a; b] nên theo định lí Weierstrass f x( ) nhận giá trị lớn M giá trị nhỏ m trên [a; b].
- Khi M = m ta có f x( ) hàm [a; b], với c( ; )a b ln có f c '( )
- Khi M > m, f a( )f b( ) nên tồn c (a; b) cho f c( )m f c( )M , theo bổ đề Fermat suy
ra f c '( )
Hệ 1: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm (a; b) f x( ) có n nghiệm (n số nguyên dương lớn 1)
trên (a; b) f x'( ) có n - nghiệm (a; b).
Hệ 2: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm (a; b) f x'( ) vô nghiệm (a; b) f x( )có nhiều nghiệm (a; b).
Hệ 3: Nếu f x( )có đạo hàm (a; b) f x'( ) có nhiều n nghiệm (n số nguyên dương) (a;
b) f x( ) có nhiều n + nghiệm (a; b).
Các hệ suy trực tiếp từ định lí Rolle nghiệm nghiệm bội (khi f x( ) đa thức)
Các hệ cho ta ý tưởng việc chứng minh tồn nghiệm xác định số nghiệm phương trình, cách ta tìm tất nghiệm phương trình (có thể mị mẫm) nghĩa phương trình giải
Từ định lí Rolle cho phép ta chứng minh định lí Lagrange, tổng quát hơn, cần ta đến ý tới ý nghĩa đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên hàm số)
(2)Định lí: Nếu f x( )là hàm liên tục đoạn [ ; ]a b , có đạo hàm
khoảng ( ; )a b tồn c( ; )a b cho
( ) ( ) '( ) f b f a f c
b a
.
Chứng minh: Xét hàm số:
( ) ( )
( ) ( ) f b f a
F x f x x
b a
.
Ta có: F(x) hàm liên tục đoạn [ ; ]a b , có đạo hàm khoảng ( ; )a b F a( )F b( )
Theo định lí Rolle tồn c( ; )a b cho F c '( )
Mà
( ) ( ) '( ) '( ) f b f a F x f x
b a
, suy
( ) ( ) '( ) f b f a f c
b a
.
Định lí Rolle hệ định lí Lagrange (trong trường hợp f a( )f b( )) Ý nghĩa hình học:
Định lí Lagrange cho phép ta ước lượng tỉ số
( ) ( ) f b f a
b a
cịn gọi định lí Giá trị trung bình (Mean Value Theorem) Từ cho ta ý tưởng chứng minh định lí biến thiên hàm số, đặt móng cho ứng dụng đạo hàm
Định lí: Cho hàm số f x( )có đạo hàm khoảng ( ; )a b - Nếu f x'( ) 0, x ( ; ) a b f x( ) đồng biến ( ; )a b
- Nếu f x'( ) 0, x ( ; ) a b f x( ) nghịch biến ( ; )a b
- Nếu f x'( ) 0, x ( ; ) a b f x( ) hàm ( ; )a b Chứng minh:
Giả sử f x'( ) 0, x ( ; ) a b x x1, 2( ; ),a b x1x2, theo định lí Lagrange, tồn c (x ; x ) sao cho
2
2
( ) ( )
'( ) f x f x f c
x x
A C
B b a
c O
y
x Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)
Cho hàm số f x( )thỏa mãn giả thiết định lí Lagrange, đồ thị (C), A(a;f(a)), B(b;f(b)).
(3)Mà f c'( ) 0 f x( )1 f x( )2 f x( ) đồng biến (a; b).
Nếu giả thiết định lí Lagrange ta thêm vào giả thiết f x'( ) đồng biến nghịch biến [a; b] thì
ta so sánh
( ) ( ) f b f a
b a
với f a f b'( ), '( ).
Cụ thể: f x'( ) đồng biến [a;b]
( ) ( )
'( ) f b f a '( )
f a f b
b a
f x'( ) nghịch biến [a;b]
( ) ( )
'( ) f b f a '( )
f a f b
b a
Từ cho ta ý tưởng ứng dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức đánh giá tổng hữu hạn Cũng tương tự giả thiết định lí Lagrange ta thêm vào giả thiết f x'( ) đồng biến nghịch biến
trên [a; b] ta so sánh
( ) ( ) f c f a
c a
với
( ) ( ) f b f c
b c
với c[ ; ]a b cho ta ý tưởng để chứng minh nhiều bất đẳng thức, bất đẳng thức Jensen…
Ngồi định lí Lagrange cịn phát biểu dạng tích phân sau:
Định lí: Nếu f x( ) hàm liên tục đoạn [a; b] tồn điểm c( ; )a b thỏa mãn:
( ) ( )( )
b
a
f x dxf c b a
Định lí Lagrange dạng tích phân áp dụng chứng minh số tốn liên quan đến tích phân giới hạn hàm số
2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2.1 CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Bài tốn Chứng minh phương trình acosx + bcos2x + ccos3x ln có nghiệm với số thực a,
b, c.
Lời giải:
Xét
bsin2x sin3x
( ) asinx+ '( ) osx+bcos2x+ccos3x, x
2
c
f x f x ac R
Mà f(0)f( ) 0 x0 (0; ), '( ) 0 f x0 , suy điều phải chứng minh.
Nhận xét: Bài tốn có dạng tổng qt:
Cho hàm số f(x) liên tục [a; b], chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm (a; b). Phương pháp giải:
(4)Bài toán Cho số thực dương m số thực a, b, c thỏa mãn:
0
2
a b c
m m m . Chứng minh ax2 + bx + c = có nghiệm thuộc (0; 1).
Hướng dẫn: Xét hàm số
2
( )
2
m m m
a x b x c x
f x
m m m
.
Tương tự ta có tốn tổng qt
Bài toán Cho số thực dương m, số nguyên dương n số thực a a0, , ,1 an thỏa mãn:
1 0
1
n n
a a a
m n m n m
.
Chứng minh 1 0
n n
n n
a x a x a x a
có nghiệm thuộc (0; 1).
Hướng dẫn: Xét hàm số
1
1
( )
1
m n m n m
n n
a a a
f x x x x
m n m n m
Bài toán 4.(Định lí Cauchy)
Nếu hàm số f x g x( ), ( ) hàm số liên tục đoạn [ ; ]a b , có đạo hàm khoảng ( ; )a b g x'( )
khác không khoảng ( ; )a b tồn c( ; )a b cho
( ) ( ) '( )
( ) ( )
f b f a
f c
g b g a
.
Lời giải: Theo định Lagrange tồn x0( ; )a b cho
( ) ( ) '( ) g b g a g x
b a
g a( )g b( ).
Xét hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F x f x g x
g b g a
, ta có: F(x) hàm liên tục đoạn [ ; ]a b , có đạo hàm trên
khoảng ( ; )a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) f a g b f b g a
F a F b
g b g a
Theo định lí Rolle tồn c( ; )a b cho F c '( )
Mà
( ) ( ) '( ) '( )
( ) ( )
f b f a
F x f x
g b g a
, suy
( ) ( ) '( )
( ) ( )
f b f a
f c
g b g a
.
Nhận xét: Định lí Lagrange hệ định lí Cauchy (trong trường hợpg x( )x)
Bài toán 5: Cho a + b – c = Chứng minh rằng: asinx+9bsin3x+25csin5x = có nghiệm thuộc 0;
Nhận xét: Bài toán tương tự toán Để chứng minh f x( ) có n nghiệm ta chứng
(5)Lời giải: Xét hàm số: f x( )asinx bsin x csin x , ta có:
'( ) os os3 os5
f x ac x bc x cc x, f x''( )asinx9bsin x3 25csin x5 .
Ta có
1
3 3
(0) ( ) ( ) ( ) (0; ), ( ; ), ( ; )
4 4 4
f f f f x x x
sao cho
1 5
(0) '( ) ' ( ) '( ) ( ; ), ( ; ) | ''( ) ''( )
f f x f x f x x x x x x x f x f x
mà f ''(0)f ''( ) 0 điều phải chứng minh
Bài toán Cho đa thức P(x) Q(x) = aP(x) + bP’(x) a, b số thực, a 0 Chứng minh rằng nếu Q(x) vơ nghiệm P(x) vơ nghiệm.
Lời giải: Ta có degP(x) = degQ(x)
Vì Q(x) vơ nghiệm nên degQ(x) chẵn Giả sử P(x) có nghiệm, degP(x) chẵn nên P(x) có nghiệm. - Khi P(x) có nghiệm kép x = x0 ta có x0 nghiệm P’(x) suy Q(x) có nghiệm.
- Khi P(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Nếu b = hiển nhiên Q(x) có nghiệm.
Nếu b 0 : Xét ( ) ( )
a x b
f x e P x ta có: f x( )có hai nghiệm phân biệt x
1 < x2
a a a a
b b b b
'( ) a x ( ) x '( ) x( ( ) '( )) x ( )
f x e P x e P x e aP x bP x e Q x
b b b
Vì f x( )có hai nghiệm suy f x'( )có nghiệm hay Q(x) có nghiệm. 2.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài tốn 7: Giải phương trình: 3x5x 2.4x (1)
Lời giải:
Nhận xét: x0;x1 nghiệm phương trình (1).
Gọi x0 nghiệm phương trình cho Ta được:
0 0 0 0
3x 5x 2.4x 5x 4x 4x (1a)x
Xét hàm số
0
( ) ( 1)x x
(6)Vì f(t) liên tục [3; 4] có đạo hàm khoảng (3; 4), theo định lí Rolle tồn c (3; 4) cho:
0 1
0
0
0
'( ) [( 1) ]=0
1
x x x
f c x c c
x
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = x =
Bài tốn 8: Giải phương trình:
x
5x 2x (2)
Lời giải:
Nhận xét: x0;x1 nghiệm phương trình (2).
Gọi x0 nghiệm phương trình cho, ta có:
0 x0
0
5x 3x (2a) x
Xét hàm số: ( ) 0 x
f t t tx , đó: (2a) f(5)f(3)
Vì f t( ) liên tục [3; 5] có đạo hàm (3; 5), theo định lí Lagrange tồn c (3; 5) sao
cho:
0
0
0
0
'( ) ( 1)=0
1
x x
f c x c
x
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = x =
Bài tốn Giải phương trình: 3x2.4x19x3 (3) Lời giải:
(5) 3x2.4x 19x 30.
Xét hàm số: yf(x)3x2.4x 19x ta có: f'(x)3xln32.4xln419 R
x x
f x x
3 (ln3) 2.4 (ln4) 0, )
(
'' 2
hay f x''( ) vơ nghiệm, suy f x'( ) có nhiều nghiệm, suy ( )
f x có nhiều nghiệm
Mà f(0)f(2)0 (3) có hai nghiêm x0,x2
Bài tốn 10 Giải phương trình:
cos
(1 cos )(2 4x x) 3.4cos (4)x
(7)Đặt tcos , (x t[-1;1])
(3) (1 )(2 ) 3.4 (1 )(2 ) 3.4
t t t t
t t
Xét hàm số: ( ) (1 )(2 ) 3.4
t t
f t t
2
'( ) 4t ( - 2)4 ln 4, ''( ) 2.4 ln ( - 2)4 ln t t t
f t t f t t
Ta có:
2
''( )
ln
f t t f t''( )
có nghiệm
'( ) f t
có nhiều hai nghiệm f t( )có nhiều ba nghiệm.
Mặt khác dễ thấy
1
(0) ( ) (1)
2
f f f
, f t( ) có ba nghiệm
1 0, ,1
2 t
Kết luận: Nghiệm phương trình (4) là:
2 , , ,
2
x k x k x k k Z
2.3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài toán 11 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a < b Chứng minh rằng:
ln
b a b b a
b a a
Lời giải:
Xét hàm số
1
( ) ln '( ) , (0; )
f x x f x x
x
Theo định lí Lagrange ln tồn c (a; b) cho
( ) ( ) '( ) f b f a f c
b a
hay
1 ln ln
ln
b a a b b
c b a c a
mà
1 1
0 a b c
b c a
b a lnb b a
b a a
Bài toán 12 Chứng minh rằng:
1
1
(1 ) (1 ) , (0; )
1
x x x
x x
(8)Ta có:
1
1
(1 ) (1 ) [ln( 1) - ln ] ( 1)[ln( 2) - ln( 1)]
1
x x x x x x x x
x x
Đặt f x( )x[ln(x1) - ln ]x
Ta có:
1
'( ) ln( 1) ln ln( 1) ln
1
x
f x x x x x
x x
Áp dụng định lí Lagrange hàm số: y = lnt [x; x+1], tồn c (x; x+1) cho:
1
'( ) ln( 1) ln ln( 1) ln
f c x x x x
c
Mà
1 1
0
1 x c x
x c x
1 1
ln( 1) ln ln( 1) ln
1
x x x x
x x x
'( ) 0, (0;+ )
f x x
hàm số f x( )đồng biến (0;+ ).
Từ (1) suy ra: f x'( ) 0, x (0; ) f x( ) đồng biến (0;) Suy ra: f x( 1) f x( ), x (0; ) điều phải chứng minh
Nhận xét: Trong ví dụ thực chất vấn đề ta chứng minh hàm số
1 ( ) (1 )x
F x
x
đồng biến (0;)
ta chứng minh hàm số f x( ) ln ( ) F x đồng biến (0;), đến toán trở giống ví
dụ Tương tự ta chứng minh hàm số
1
1 ( ) (1 )x
G x
x
nghịch biến (0;)
Ta chứng minh tốn 12 cách khác
Xét hàm số: F x( ) ln(1 x)
Với cặp số thực x, y thỏa mãn < x < y, theo định lí Lagrange, ln tồn x0(0; ),x y0( ; )x y thỏa
mãn:
0
( ) (0) ( ) ( )
'( ) , '( )
0
f x f f y f x
f x f y
x y x
hay 0
1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )
;
1
x y x
x x y y x
.
Mà 0
1
1x 1y
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )
ln(1 ) ln(1 )
x y x
y x x y
x y x
(9)Vậy với cặp số thực x, y thỏa mãn < x < y, ln có yln(1x)xln(1y), thay x
y y bởi
1 x ta có:
1 1 1
ln(1 ) ln(1 ) (1 )y (1 )x
x y y x y x
Bài toán 13 (Bất đẳng thức Jensen)
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai (a; b) f x''( ) 0, x ( ; )a b
Chứng minh rằng:
1 2
1
( ) ( )
( ), , ( ; )
2
f x f x x x
f x x a b
Lời giải:
Đẳng thức xảy x1x2.
Khi x1x2, theo định lí Lagrange, tồn
1 2
1
( ; ), ( ; )
2
x x x x
c x d x
thỏa mãn
1 2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
2
'( ) , '( )
2
x x x x
f f x f x f
f c f d
x x x x
Mà f x''( ) 0, x ( ; )a b f x'( ) đồng biến (a; b)
1 2 2
1
( ) ( )
'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x x x x f x f x x x
f c f d f f x f x f f
Bài toán 14 (Bất đẳng thức Bernoulli)
Với số thực x thỏa mãn x > -1, chứng minh (1 )
n
x nx
Lời giải:
- Khi x > 0: xét ( ) (1 )
n
f t t , theo định lí Lagrange ta có a(0; )x
thỏa mãn
1
( ) (0) '( ) (1 )n (1 )n (1 )n
f x f xf a x nx a nx x nx
- Khi -1< x < 0: xét ( ) (1 )
n
f t t , theo định lí Lagrange ta có a( ;0)x
thỏa mãn
1
( ) (0) '( ) (1 )n (1 )n (1 )n
f x f xf a x nx a nx x nx
Vậy (1x)n 1 nx, x (-1;) Đẳng thức xảy x = 0.
(10)*
1
( ) (0) '( ) ( 1) (1),
n
i
f n f f i f n f n N
Lời giải:
Vì f x''( ) 0, x R( f x ''( ) có số nghiệm đếm được) f x'( ) đồng biến R.
Theo định lí Lagrange, ln tồn xi( ;i i1) cho:
'( )i ( 1) ( ),
f x f i f i i R.
Vì f x'( ) đồng biến R f i'( ) f x'( )i f i'( 1)
'( ) ( 1) ( ) '( 1),
f i f i f i f i i R
.
*
1
'( ) [ ( 1) ( )] ( 1) (1),
n n
i i
f i f i f i f n f n N
và
*
1
'( ) [ ( ) ( 1)] ( ) (0),
n n
i i
f i f i f i f n f n N
Nhận xét: Nếu f x''( ) 0, x R bất đẳng thức cần chứng minh đổi chiều
Bài toán 16 Chứng minh rằng:
*
1
1
1 ln n ln( 1),
i
n n n N
i Lời giải: Xét
( ) ln '( )
f x x f x
x
f x'( ) nghịch biến (0 :)
Tương tự toán ta có:
*
1
( ) (1) '(1) n '( ) ( 1) (1),
i
f n f f f i f n f n N
*
1
1
1 ln n ln( 1),
i
n n n N
i
Bài toán 17: Cho số nguyên dương k, tìm 5 1 k
i i
(trong [x] số ngun lớn khơng vượt q x). Lời giải:
Xét hàm số f x( ) 5 x , ta có:
'( ) '( )
f x f x
x
nghịch biến (0;)
Suy
5
2
5 5 5
5
1
1
( ) (0) '( ) ( 1) (1) 2 1
5
k n
k k k
i i
f n f f i f n f
i 10 1 k k
i i
(11)Nhận xét: Từ ba toán ta nhận thấy để đánh giá tổng * ( ), n i
f i n N
( f x( ) đồng biến nghịch
biến (0 :)), phải xét hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) (0 :) giải tương tự toán
Từ việc ước lượng tổng
*
1
( ),
n
i
f i n N
ta nghĩ đến tốn tìm giới hạn
lim ( ) ( ),
n
i
g n f i
ta nghiên cứu toán sau
Bài tốn 18 Tính
1 i lim os 2n n i c n Lời giải: Xét
( ) sin '( ) os '( ) 0, [ ; ]
2
n x x
f x f x c f x x n n
n n '( ) f x
đồng biến [ n n; ] Suy
( ) (0) '( ) ( 1) (1)
n
i
f n f f i f n f
1
0
2 i 2 i
os os sin os os sin
2n 2n 2n 2n 2n 2n
n n
i i
n n
c c c c
n n Mà
2 2
lim( os ) lim( sin )
2n 2n c n
1 i
lim os 2n n i c n
(Ngun lí kẹp)
Bài tốn 19 Cho phương trình:
1 n i n i nx
Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n phương trình có nghiệm dương Kí hiệu nghiệm đó xn, tìm limxn
Lời giải:
Xét
1 ( ) n
i
f x n
i nx
Ta có:
1
'( ) 0, (0; ) ( )
2 ( )
n
i
f x x f x
i nx
liên tục, nghịch biến [0;)
Mà
1
(0) n 0, lim ( ) ( )
x i
n
f n n f x n f x
i n
có nghiệm dương
Xét hàm số F xn( ) 2 x nx n , ta có
1
'( ) '( )
n n
n
F x F x
x nx
nghịch biến (0;)
1
( ) (0) '( ) ( 1) (1)
n
n n n n n
i
F n F F i F n F
(12)1
1
2( n n) n 2( n n)
i n
n nx nx n nx nx
i nx
2( n nxn nxn) n 2( n nxn nxn)
1 1
1
2
n n n n
x x x x
n n
1
1 1
n n n n n n
x x x x x x
n n n
2
2 xn xn lim( xn xn)
n
n
1
lim( ) lim lim x
2 16
n n n
x x x
Bài toán 20: Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn
2 2 2
4 4 4
a b c d e
a b c d e
Chứng minh a3b3c3 d3e3
Nhận xét: Trong toán từ giả thiết
2 2 2
4 4 4
a b c d e
a b c d e
, ta nhìn thấy giả thiết định lí Rolle
với hàm số f x( )axbxcx dx e fx( (2)f(4) 0) , ta phải chứng minh f(3) 0 Vì f x( ) liên tục và (3)
f , suy tồn khoảng( ; ) 3m n
cho f x( ) 0, x ( ; )m n , tốn trở thành xét dấu f x( ), ta cần kiểm sốt nghiệm f x( )
Lời giải:
Khơng tính tổng qt ta giả sử a b c 1,d e
Nếu
2 2
1 ( 0)
d d x x b a e x
4 4 4 ( 2 2) 1 (1 )2
a b c d e a e x a x e
2 2
2 2 2 2 2
2
0
( 1) ( ) 1
x e a b
e a x a a e e a e a
e a e a
( Mâu thuẫn ) d 1
Tương tự ta có a b d e 1
Xét hàm số ( ) (2) (4)
x x x x
f x a b d e f f
Giả sử f x( ) có nghiệm x 0 2;4
(13)1
'( ) '( )
f x f x hay
1ln 1ln 1ln 1ln ,
x x x x
a a b b d d e e
2ln 2ln 2ln 2ln
x x x x
a a b b d d e e
2 2
1 1
ln ln ln ln
ln ln ln ln
x x x x
x x x x
a a b b d d e e
a a b b d a e b
Mà a b d e 1 0ax2lna b x2lnb a b x1 x2x1lna b x2lnb
2
2
1
ln ln
ln ln
x x
x x
x x
a a b b
b
a a b b
và
2
2 2 1
1
ln ln
ln ln ln ln
ln ln
x x
x x x x x x x x
x x
d d e e
d d e e d d d e b d
d d e e
2 2
1 1
ln ln ln ln
ln ln ln ln
x x x x
x x x x
a a b b d d e e
a a b b d a e b
(Mâu thuẫn)
Vậy f x( )chỉ có hai ngiệm x = 2, x = f x'( ) có nghiệm nhất, thuộc (2; 4) Vì f x( ) liên tục
nên f x( ) mang dấu khoảng ( ; 2),(2;4),(4;) Mà
(0) ( ) 0, ( ;0) ( ) 0, (2;4)
f f x x f x x (vì f x( ) 0, x (2; 4)
x = nghiệm '( )
f x ) f(3) 0 (điều phải chứng minh).
Định lí Lagrange sử dụng để giải số toán bất đẳng thức đối xứng, nhằm mục đích
làm giảm số biến Nếu cần chứng minh bất đẳng thức đối xứng n biến a a1, , ,2 an ta xét đa thức
1
( ) ( )( ) ( n)
f x x a x a x a , suy f x( ) có n nghiệm, f x'( )
có n – nghiệm b b1, , ,2 bn1, dựa vào định lí Viète ta đưa chứng minh bất đẳng thức đối xứng với n – biến b b1, , ,2 bn1
Bài toán 21 Cho a < b < c, chứng minh rằng:
2 2 2
3a a b c a b c ab bc ca 3b a b c a b c ab bc ca 3c
Lời giải:
Xét hàm số: f x( ) ( x a x b x c )( )( ) f a( )f b( )f c( ) 0
Theo định lí Lagrange tồn a x 1 b x2 csao cho:
1
( ) ( ) ( ) '( )
(14)2
'( ) 2( )
f x x a b c x ab bc ca
2 2
1
3
a b c a b c ab bc ca
x
2 2
2
3
a b c a b c ab bc ca
x
Do đó, từ a x 1 b x2 c Suy ra:
2 2
3a a b c a b c ab bc ca 3b a b c a2b2c2 ab bc ca 3c
Bài tốn 22 Cho số thực khơng âm a, b, c, d Chứng minh rằng:
3
4
abc bcd cda dab ab bc cd da ac db
Lời giải:
Xét f x( ) ( x a x b x c x d )( )( )( )
Đặt p a b c d q ab bc cd da ac bd r abc bcd cda dab s abcd , , ,
4 3
( ) '( )
f x x px qx rx s f x x px qx r
Ta có f a( )f b( )f c( )f d( ) 0 , theo định lí Rolle suy f x '( ) 0 có ba nghiệm (nếu a = b a là nghiệm f’(x)).
Suy tồn u v, , w 0 thỏa mãn f x'( ) 4( x u x v x )( )( w)
3
4x 4(u v w x) 4(uv vw wu x) 4uvw
3
1
4
u v w p
uv vw wu q
uvw r
Mà
2
3 3
( )
3
uv vw wu uv vw wu q r
uvw uvw
(15)3
4
abc bcd cda dab ab bc cd da ac db
Đẳng thức xảy u v w a b c d .
2.4 TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Định lí Lagrange sử dụng để giải số toán vế giới hạn dãy số, với dãy số xác định bởi
hàm số f x( ) dãy số xác định nghiệm phương trình f x n( ) 0, nói chung f x( ), f xn( ) là hàm
số có đạo hàm đơn điệu tập xác định chúng, đạo hàm chúng ước lượng bất
đẳng thức Do tìm giới hạn a, ta so sánh hiệu f x( )n f a( ), f xn( )n f an( ) với xn a
và ước lượng xn.
Bài toán 23 Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:
1
*
1 2
2007
3 ,
1
n n
n
x
x
x n N
x
Tìm giới hạn dãy số n tiến dần tới dương vô
Lời giải: Ta có
*
3,
n
x n N
Xét f(x) =
2
x x
, ta có:
1 '( )
( 1) f x
x
1
'( ) , ( 3; )
2
f x x
Nếu (xn) có giới hạn giới hạn nghiệm lớn 3của phương trình f x( )x Ta có:
2
( )
1 x
f x x x
x
2
2
( 3)
1 x x
x
(x2 )x 2 2(x2 ) 0x
2
2
3
3
x x
x x
3 15
x
Đặt
3 15
2 a
, theo định lý Lagrange, tồn cn( ; )x an hoặc ( ; )a xn thỏa mãn:
( )n ( ) '( )n n f x f a f c x a
(16)1
1
( ) ( ) '( ) ( )
2 2
n
n n n n n
x a f x f a f c x a x a x a
Mà
1
lim( )
2
n x a
, limxn = a = 15
Nhận xét:
Trong tốn việc giải phương trình f x( )x khơng thiết phải trình bày, ta cần chọn nghiệm thỏa mãn
Bài tốn có dạng tổng qt:
Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:
1
*
1 ( ),
n n
x a
x f x n N
Chứng minh rằng:
a) Nếu f x( ) hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a f x'( ) b 1, x D (xn) có giới hạn hữu
hạn n tiến dần đến dương vô
b) Nếu f x( ) hàm số có đạo hàm khoảng D chứa a, f a ( ) f x'( ) b 1, x Dthì |xn| tiến dần
đến dương vơ n tiến dần đến dương vô
Phương pháp giải
a) - Nếu phương trình f x( )x giải (tìm nghiệm) ta giải tốn tổng qt tương tự tốn ta tìm giới hạn dãy số n tiến dần tới dương vơ
- Nếu phương trình f x( )x khó giải ta giải toán tổng quát cách sử dụng tiêu chuẩn Cauchy Bài tốn sau ví dụ cụ thể
b) Tương tự ý a
- Khi a0 D a: a f a, ( )0 a0 luôn tồn cn( ; )x an hoặc ( ; )a x0 n thỏa mãn:
0
( )n ( ) '( )n n f x f a f c x a
1 ( ) ( )0 lim
n
n n n n n
x a x a f x f a b x a b a a x
(17)- Khi phương trình f(x)=x vơ nghiệm, ta có f(x)-x > xD f(x)-x < xD suy xn tăng giảm
Nếu xn có giới hạn giới hạn nghiệm phương trình f(x) = x,
lim x n
Bài toán 24 (Dự bị VMO 2008)
Cho số thực a dãy số thực (xn) xác định bởi:
x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008,
*.
n N
Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n tiến dần đến dương vô
Lời giải:
Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008, ta có:
cos sin
'( ) , R
3 sin cos
x x
f x x
x x
.
Mà |cosx sinx| 2, |sinxcosx| 2, suy ra:
3 | ) ( '
|
q
x f
Theo định lý Lagrange : với cặp hai số thực x, y (x < y), tồn z( ; )x y thỏa mãn: f(x) – f(y) = f’(z)
(x-y).
Từ suy |f(x) – f(y)| q|x – y| với x, y thuộc R. Áp dụng tính chất với m > n N, ta có :
|xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| q|xm-1- xn-1| … qn-1|xm-n+1 – x1| qN-1|xm-n+1 – x1|
Mặt khác dãy (xn) bị chặn q < nên với > tồn N đủ lớn cho:
qN-1|x
m-n+1 – x1| <
Như dãy (xn) thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy, (xn) hội tụ
Bài toán 25 (VMO 2007)
Cho số thực a > f xn( ) a x10 10 n xn xn x
.
a) Chứng minh với số ngun dương n, phương trình f xn( )a ln có nghiệm dương duy
nhất Kí hiệu nghiệm xn
b) Chứng minh dãy (xn) có giới hạn a
a
n dần đến vô cùng.
Lời giải:
(18)10
(0) 0, (1)
n n
F a F a n a
Suy phương trình f xn( )a ln có nghiệm xn dương
Đặt
9 *
1
( ) n( 1)[( 1) 1] ( ) ,
n n n
a
b f b b a a a f b a b x n N
a
Theo định lí Lagrange, ln tồn cn( ; )x bn thỏa mãn:
( ) ( ) '( )( )
n n n n n
f b f x f c b x .
Mà f c '( ) 1n nên
9
n
( ) ( ) n( 1)[( 1) 1] lim x
n n n n
b x f b f x b a a b
9
n
( 1)[( 1) 1] lim x
n
n
b b a a x b b
(vì b (0;1)).
Nhận xét:
Bài tốn khó khăn nhiều đề không cho trước giới hạn dãy số Khi câu hỏi đặt giới hạn bao nhiêu?
Ta trả lời câu hỏi sau:
Trước hết giới hạn dãy số phải thuộc khoảng (0; 1), giả sử giới hạn dãy số b ta có:
10 10 1
( ) ( 1) lim ( )
1 1
n
n n
f b b a b f b
b b b
(vì b (0;1)).
Mà
1
( )
1
n n
a
f x a a b
b a
.
Trong toán dạng dãy số xác định dãy nghiệm thuộc (a; b) phương trình f x n( ) 0, với giả thiết
( )
n
f x hàm số đồng biến nghịch biến (a; b), fn'( )x c với số nguyên dương n số thực dương x
thuộc (a; b), giải tốn dạng nói chung ta điều khó khăn xác định giới hạn dãy số.
Bài toán 26: (VMO 2002)
Xét phương trình
1
1
n
i i x
(19)a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm lớn 1; kí hiệu nghiệm xn
b) Chứng minh limx n 4.
Lời giải:
a) Xét
1
( )
1
n
n i
f x
i x
, ta có: f xn( ) liên tục nghịch biến (1;)
Mà
1 lim ( ) , lim ( )
2
n x n
x f x f x ( )
n
f x có nghiệm lớn 1.
b)
Với số nguyên dương n ta có:
1
(4) (4) ( )
2(2 1)
n n n n n
f f f x x
n
Theo định lí Lagrange, ln tồn cn( ; 4)xn thỏa mãn:
(4) ( ) '( )(4 )
n n n n n
f f x f c x .
Mà
1
'( ) 9( (4) ( ))
9 2(2 1)
n n n n n n
f c x f f x x
n
9
4 lim
2(2n 1) xn xn
3 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Giải phương trình sau.
a) log2(3 x +1)+log3(2 x +1)=3 x
b) 2008x2010x 2.2009x
c) (4 2)(2 )
x x
Chứng minh hàm số f x( ) có đạo hàm cấp đoạn [a; b] f a'( )f b'( ) bất phương trình
4
4
''( ) ( ) '( )
( )
f x f a f b
a b
có nghiệm.
Tìm
1
1
2 1 sin
2
n
i
Lim
i n
n
(20)Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:
1
2
1 ln 2010,
n n
x a
x x n
Chứng minh xn có giới hạn
Cho phương trình:
1
n
i i nx
Chứng minh rằng: Với số ngun dương n phương trình có nghiệm dương Kí hiệu nghiệm đó xn, tìm limxn
Chứng minh abba 1với a b , 0.
Cho đa thức P(x) Q(x) = aP(x) + bP’(x) + cP”(x) a, b, c số thực thỏa mãn a 0 b2 –
4ac > Chứng minh Q(x) vơ nghiệm P(x) vơ nghiệm.
Cho số thực a khác không, đa thức P x( ), deg ( )P x n đa thức
2 ( )
( ) ( ) '( ) "( ) n n ( )
hàm số