Tìm GTNN của.[r]
(1)A LÍ THUYẾT CƠ BẢN I/ Bất đẳng thức Cô -si ( Cauchy)
Với số không âm a;b
+ 2 2
a + ≥b ab ( (a b− )2≥ ↔0 a2−2ab b+ ≥ ↔2 a2+ ≥b2 2ab )
+ a+b≥2 ab ( tương tự )
+ Mở rộng BĐT Cô- si
1. Với số a, b, c không âm : a+b+c≥3 abc3 Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c
2. Với số a, b, c ,d không âm: a+b+c+d≥4 abcd4 Dấu “=” xảy ⇔a=b=c=d
3 Đối với n số không âm: a1,a2,a3, ,an ≥0
Ta có: n
n n n a a a a
a a
a
a1+ 2+ 3+ + ≥ 1 2 3
Dấu “=” xảy ⇔a1 =a2 =a3 = =an
+ Biến dạng : (a b+ )2≥4ab + 1 a+ ≥b a+b +
2 2 ( )2
m n p m n p
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ + với x;y;z >0
II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski
+Với số a;b;c;d ta có : ( )2 ( 2)( 2) ac bd+ ≤ a +b c +d
Dấu ‘ =’ xảy a b c =d
+Tổng quát : Cho hai (x x1, , ,2 xn) (∧ y y1, , ,2 yn)
Ta có: ( )2 ( 2 2)( 2 2)
1 2 n n n n
x y +x y + +x y ≤ x +x + +x y + y + + y
Dấu xảy
1
n n
x x x
y y y
⇔ = = =
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài : Cho a;b;c >0
2
(2)2 2
2 2
1 1
S a b c
b c a
= + + + + +
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky:
2 2
2
1
(a )(1 ) (a )
b b
+ + ≥ +
2
1
( )
17
a a
b b
⇔ + ≥ +
Tương tự: 2
2 2
1 1
S a b c
b c a
= + + + + + ( 4 4)
17 a b c a b c
≥ + + + + +
4 4 (16 1) (16 b 1) (16 1) 15( ) 16 16 16 15.3 51
2
a b c a c a b c
a b c a b c
+ + + + + = + + + + + − + + ≥ + + − = (Áp
dụng BĐT Cô si )
Suy : 51 51
17 17
S ≥ = Do đó: 51
2 17
Min
S =
4 16
4 16
4 16
3
; ;
a a
b b
c c
a b c
a b c
=
=
= ⇔
+ + ≤
>
a= b= c =1
2
Bài 2: Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c≥12
Tìm GTNN P a b c
b c a
= + +
Hướng dẫn giải
Ta có : ( a b c )2 a2 b2 c2 2(a b b c c a) P
b c a
b c a c a b
= + + = + + + + +
Áp dụng BDT Cô si cho số dương :
Ta có : a2 a b a b c 4a b + c + c + ≥ +
2
4
b b c b c
a b
c + a + a + ≥ +
4
c c a c a
b c a + b + b + ≥
2 2
2 (a a b a b c) (b b c b c a) (c c a c a b) (a b c) P
b c c c a a a b b
(3)Vì P>0 => P ≥ VậyPMin =6 Khi a =b =c =
Bài 3: Tìm GTNN : A= x− +2 y−3 biết x+y =
Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A≥0)
2 ( 2 3)2 (12 1 )(2 2 3) 2(6 5) 2
A = x− + y− ≤ + x− + − =y − =
Do đó: A≥ Vậy: AMin =
5
2 2
6
2
x
x y
x y
y
=
− = −
⇔
+ =
=
Bài 4: Tìm GTNN 12 22 20172
1 2017
( )
x x x
M
x x x x
+ + + =
+ + +
Hướng dẫn giải
2 2 2
1 2 2017
1 2017
( 2016 ) ( 2016 ) ( 2016 )
2016
( )
x x x x x x
M
x x x x
+ + + + + +
=
+ + +
Áp dụng BĐT cô si 2017
1 2017
2 2016 ( )
2016 2016
( )
x x x x
M
x x x x
+ + +
≥ =
+ + +
Nên:
2016
M ≥ Vậy:
2016
Min
M = Khi 2 3 2017
2016
x
x x x
= = = =
Bài 5: Cho a3+ =b3 2 ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b
Hướng dẫn giải
+ Chứng minh BĐT : a3+ ≥b3 ab a( +b) ;
3 ( )( 2 ) ( )(2 ) ( )
a + = +b a b a + −b ab ≥ +a b ab−ab =ab a+b
+ a3+ ≥b3 ab a( +b) => 3(a3+b3) (≥ ab a+ ⇔b) 4(a3+b3)≥a3+ +b3 3 (ab a+ = +b) (a b)3
Nên 23≥ +(a b)3⇔N = + ≤a b 2 Do đó:
Max
N = a = b =
Bài 6: Cho a;b;c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN :
5 5 5
ab bc ca
P
a b ab b c bc c a ca
= + +
(4)Hướng dẫn giải
+ Ta chứng minh BĐT : a5 2 2( ) b a b a b a b a b
+ ≥ + = +
+Ta có
5 2 2 2
a + +b ab≥a b +a b +ab=a b a( + +b) ab ab[ab(a b) 1] ab[ab(a b)= + + = + +abc] a= b a( + +b c)
( )
.abc a b c a b c
ab ab
c c
+ + + +
= =
Vậy a5 b5 ab ab.a b c c
+ +
+ + ≥ hay 5 ab5 c
a + +b ab≤a+ +b c (1)
Tương tự : 5 bc5 a
b + +c bc≤a+ +b c(2)
5 ac5 b
a + +c ac≤a b+ +c (3)
Từ (1)(2)(3) Suy : P 5 ab5 5 bc5 5 ca5 a b c
a b ab b c bc c a ca a b c
+ +
= + + ≤ =
+ + + + + + + +
Vậy: PMax =1 a= b= c=1
Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b ≤ Tìm GTNN : A a b 12 12
a b
= + + +
Hướng dẫn giải
+Ta có :
a b ab ab
≥ + ≥ ⇔ ≤
+ 12 12 ( 12) ( 12) 15 1( 2 12)
2 16 2 16 16
a a b b
A a b
a b a b a b
= + + + = + + + + + + +
3
2
1
3( )
2 16 2 16
a a b b
a b
≥ + +15
16 ab
3 15 2. 9
1 4 16
4
≥ + + =
Vậy: AMin =9 Khi a =b=
Bài 8: Cho xy =1 x;y >0 Tìm GTLN : A 2 4 41 2
x y x y
= +
+ +
(5)2
2 2
3
2 4 2 4
1
1 [ 1]
x x
y y
x y x y
A
x y x y x xy y x xy y x x x
y y y
= + = + = +
+ + + +
+ +
2 2
3 3
( 1) ( 1)
1 1
1 ( 1) 1
t t t t t t
t t t t t
+ − +
= + = + − = − ≤
+ + + + ∀ >t
Max
A = t = => x =y =
Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN :
3 3 3
1 1
1 1
A
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
Hướng dẫn giải
+ Ta có : 3 ( )
x +y ≥xy x+y =>x3+y3+ ≥1 xy x( + +y) xyz xy(x y z)= + +
+ 3 13 3 13 3 13
1 1
A
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z x y
xy x y z yz x y z xz x y z xyz x y z yzx x y z xzy x y z
≤ + + = + +
+ + + + + + + + + + + + =
1
x y z x+ + =+ +y z
Max
A = x =y = z=
Bài 10 : Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN :
2 2 2
M = a −ab b+ + b − + +bc c c − +ca a
Hướng dẫn giải
+ Ta có 2 a2−ab b+ = 3(a b− )2+ +(a b)2 ≥ +a b
Tương tự 2
b − +bc c ≥ b+c
2
c − +ca a ≥ c+a
Nên suy 2M≥2 (a+b+c) =2 2016
(6)Bài 11: Cho x;y;z>0 Tìm GTNN :A x y y z z x
z x y
+ + +
= + +
Hướng dẫn giải
+Ta chứng minh 2(a+ ≥b) a+ b
+Ta có: A 2(x y) 2(y z) 2(z x)
z x y
+ + +
= + +
x y y z z x x z y z x y
z x y z x z y y x
+ + +
≥ + + = + + + + +
≥ + + =2 2
+ Suy A≥3 Vậy: AMin =3 Khi x =y =z
Bài 12: Cho a;b;c >0 a+b+c =3 Tìm GTNN :
2 2
2 2
2 2
a b c
A
a b b c c a
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
+ Chứng minh BĐT : m2 n2 p2 (m n p)2
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ + với x;y;z >0
+Ta có : 2 2 2
2 2
a b c
A
a b b c c a
= + +
+ + +
2
2 2 2
( )
2( ) 2( )
a b c
a b c a b c a b c
+ +
≥ =
+ + + + + + + +
2
9
1
( )
3
3
a b c
≥ = =
+ +
+ +
Vậy: AMin=1 Khi a=b=c =
Bài 13: Cho x;y >0 x+y+xy =8 Tìm GTNN : 2 A=x +y
Hướng dẫn giải
+Ta có x +y ≥2 xy =>xy + 2 xy ≤ hay ( xy+1)2≤9
=> xy+ ≤1 3=>xy ≤
+ Ta có (9 )2 ( 1)2 2 1 2( ) 2 17
xy x y x y x y xy x y
− = + + = + + + + + = + +
Vì xy ≤ => –xy ≥ => ( )2 2 2
(7)Suy A≥ Vậy AMin=8 x = y =2
Bài 14: Cho x;y;z >0 xyz =1 Tìm GTNN :
2 2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
A
x y z
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
+ Áp dụng BĐT cô si với số khơng âm ta có :
3
1 1
3
( 1) 8 64
x x
x
+ +
+ + ≥ =
+
Suy ra: 2
( 1) 4
x x
+ ≥ −
+ Dấu “ =” xảy x =1
Tương tự y ; z
+ 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
A
x y z
= + +
+ + +
3
3
3
3
4 4 4
xyz x+ + +y z +
≥ − ≥ − =
Bài 15: Cho a ≥ 10; b≥100 ; c≥1000 Tìm GTNN :
1 1
A a b c
a b c
= + + + + +
Hướng dẫn giải
Ta có: A a b c 1 a b c
= + + + + +
1 1 1 99 9999 999999
( ) ( ) ( )
100a a 10000b b 1000000c c 100a 10000b 1000000c
= + + + + + + + +
1 1 99 9999 999999
2( ) 10 100 1000
10 100 1000 100 10000 1000000
≥ + + + + + =1110.111
Vậy AMin=1110.111 a =10 ; b = 100; c =1000
Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z ≤ 20
11 Tìm GTNN
1 1
A x y z
x y z
= + + + + +
(8)Ta có A x y z 1 x y z
= + + + + +
=(1089 1) (1089 1) (1089 1) (689 689 689z) 400 x+x + 400 y+ y + 400 z+z − 400x+400y+400
1089 1089 1089 689 20 1489
2 2
400 400 400 400 11 220
≥ + + − =
Vậy 1489
220
Min
A = x = y =z = 20
33
Bài 17: Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của:
2 2
ab bc ca
A
c ab a bc b ac
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
+ Ta có 1
2
2 ( ) ( )( )
ab ab ab ab
b c c a c ab a b c c ab b c c a
= = ≤ +
+ +
+ + + + + +
+ tương tự hạng tử lại
Ta suy
2
2 2
ab bc ca ab ab bc bc ca ca
A
b c c a b a a c c b b a
c ab a bc b ac
= + + ≤ + + + + +
+ + + + + +
+ + +
1
.( )
2
ab ca ab bc bc ca
a b c
b c c a a b
+ + +
= + + = + + =
+ + +
1
A≤ => AMax =1 Khi a =b=c =
3
Bài 18Cho a;b>0 a+b≤ Tìm GTNN :
2
2
1
A a b ab
a b
= + + + +
Hướng dẫn giải
Ta có 2
2 2 2
1 1 29 1
( ) ( ) ( ) ( )
16 16 32 32 32
A a b ab
a b a b a b
= + + + + + + + +
2 2 2
1 1 29
2 2
16 16 ab 32 a b 32 a b
(9)=1 29
16 16
ab
ab ab
+ + +
1 29
1
16 4( )
ab
ab a b
≥ + +
+
=1+1 29 35
2+ =
A≥ 35
4 =>
35
Min
A = Khi a =b =
2
Bài 19: Cho x;y;z >0 x+y+z =2 Tìm GTNN :
2 2
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT cô si cho số dương:
2
2( ) 2 (2 ) 2
x x
k y z k y z kx
y+z+ + ≥ y+z + = ;(k>0) với Điểm rơi
2
x= = =y z
=>
4
k =
+Ta có A x2 y2 z2 y z z x x y
= + +
+ + +
2 1 1 1
( ) (x ) ( )
4 4
x y z
y z z y x
y z z x x y
= + + + + + + + +
+ + +
-1
( )
2 x+ +y z
2 1 1 1
2 ( ) (x ) ( )
4 4
x y z
y z z y x
y z x z y x
≥ + + + + + −
+ + +
1( )
2 x+ +y z
=(x+y+z)- 1( ) x+ +y z =
1
( )
2 x+ +y z =1
Suy Min A=
3
x= = =y z
Bài 20: Cho số x;y;z không âm, không đồng thời 0; thỏa mãn
1 1 1
1
x+ + y+ +z+ ≤
Tìm GTNN : A x y z x y z
= + + +
+ +
(10)+ Ta có : 1 1
1 x y z
x y z x y z
≥ + + ≥ ⇔ + + ≥
+ + + + + +
(Áp dụng BĐT : m2 n2 p2 (m n p)2
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ + với x;y;z >0)
+ Áp dụng BĐT cô si :
1 8( ) 8.3 10
( )
9 9
x y z x y z x y z
A
x y z x y z
+ + + + + +
= + + ≥ + =
+ + + +
Vậy Min A = 10
3 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời 0)
Bài 21: Cho xyz =1 ; x +y +z = Tìm GTNN : 16 16 16 P= x +y +z
Hướng dẫn giải
+ Áp dụng BĐT: m2 n2 p2 (m n p)2
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ + với x;y;z >0; cách liên tục
Ta có : 16 16 16 P=x +y +z
2 4
8 8 4 4
3
( )
3
( ) ( )
1 1 3
x y z
x y z x y z
+ +
+ + + +
≥ ≥ =
+ +
4 8
2 2 2
2 2
3 7
( ) ( )
3 ( ) 3
3
3 3
x y z x y z
x y z
+ + + +
+ +
≥ = ≥ = =
Suy Min P = x =y =z =
Bài 22: Cho a;b;c > thỏa mãn a+b +c = Tìm GTNN của:
2 2
2 2
1 1
A
a b c
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
+ Ta có : 2 2 2 ( 1)22 2
1 1
a a
a a a a
a a a
−
= + − + − = + − ≥ −
+ + +
Tương tự ta có : 2
1+b ≥ −b +
2 1+c ≥ −c
Nên suy : 2 2 2
1 1
A
a b c
= + +
(11)Min A = a = b= c =
Bài 23: Cho x>0;y>0 x + y = Tìm GTNN :A 12 12
x y
= − −
Hướng dẫn giải
Ta có : A 12 12
x y = − − = 1 1 x y + + 1 1 x y − − = 1 1 x y + +
(x 1)(y 1)
xy
− −
= 1 1
x y + +
( y)( x)
xy
− − = 1 1
x y + +
=1 1 1 x y 1 1
xy x y xy xy xy xy xy
+
+ + + = + + = + + = +
Mặt khác Áp dụng BĐT : ( )2
4
x y
xy≤ + = =>A
1
≥ + =
Vậy Min A = Khi x = y =1
2
Bài 24: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Tìm GTNN :
4 4
3 3
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +
Hướng dẫn giải
+ Ta chứng minh : ( )2 3(xy yz zx) 9 x+ +y z ≥ + + =
Hay x+ + ≥y z
+ Áp dụng BĐT cô si cho số dương ta có :
4
4
3 1 4 . 1 .
3 16 4 16 4
x y z x y z
x
y z y z
+ +
+ + + ≥ =
+ +
Nên : 1
3 16 4 16
x y z y z
x x y z + + ≥ − + + = − − +
Tương tự :
3 16
y z x
y z x
+
≥ − −
+
4 3 1
3 16
z x y
z x y
+
≥ − −
(12)Suy 4
3 3
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +
3 3 3 3
( )
16 16 16 4
y z z x x y
x + y + z + x y z
≥ − − + − − + − − = + + − ≥ − =
Vậy Min A =3
4 Khi x =y =z =
Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = Tìm GTNN :
2 2 2
A= x +xy+ y + y +yz+z + z + +zx x
Hướng dẫn giải
+ Ta có : 2 ( )2 ( )2 ( )2 3( )2
4
x y x y
x +xy+y = +x y −xy≥ +x y − + = +
( Áp dụng BĐT : ( )2 4 a b+ ≥ ab )
Nên suy : 2 3( )
2
x y x +xy+y ≥ +
+ Tương tự : 2 3(y )
2
z y +yz+z ≥ +
2 3(z )
2
x z + +zx x ≥ +
Vậy A= x2+xy+y2+ y2+yz+z2 + z2+ +zx x2
3( ) 3(y ) 3(z )
3( )
2 2
x y z x
x y z
+ + +
≥ + + = + + =
Nên: Min A = Khi x =y =z =1
Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn 1 1
x+ + =y z Tìm GTNN :
2 2 2
2x y 2y z 2z x
A
xy yz xz
+ + +
= + +
Hướng dẫn giải
(13)2
2 2 2
(2x +y )( +1 ) ( 2≥ x+y.1) =(2x+y)
=> 2 2 .(2 x y) 2 (2 x y).
3 3
x y x y
xy xy y x
+ +
+ ≥ + ⇔ ≥ = +
Tương tự ta có : 2 2
3
y z
yz z y
+
≥ +
2 2
3
z x
zx x z
+
≥ +
Do : A 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2
xy yz xz
+ + +
= + +
1 2 1 1 1
.3 3
3 y x z y x z x y z
≥ + + + + + = + + = =
Vậy Min A = Khi x = y= z =
Bài 27Cho a;b;c > thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN :
3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
A
b c a c b a
= + +
+ + + + + +
Hướng dẫn giải
+Áp dụng BĐT cô si cho số dương :
3
3
1 1
3
(1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8
a b c a b c
a
b c b c
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + +
Tương tự : 1
(1 )(1 ) 8
b a c
b
a c
+ +
+ + ≥
+ + +
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8
c a b
c
a b
+ +
+ + ≥
+ +
Ta có : 3 1 1 1 3( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 8 8 8
a b c b c a c a b
a b c
b c a c b a
+ + + + + +
+ + + + + + + + ≥ + +
+ + + + + +
3 3 1 3
( 3) ( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
a b c a b c
b c + a c + b a + + + + ≥ + +
+ + + + + +
3 3 3 1 1 3
( ) ( 3) ( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
A a b c a b c a b c
b c a c b a
= + + ≥ + + − + + + = + + −
(14)3
1.3 1.3.1 3
2 abc 4
≥ − = − =
Vậy Min A =3
4 , Khi a = =b = c=
C BÀI TẬP :
1 Cho a,b,c > a + b + c =
Tìm GTNN A = (1+ a
1
) (1+ b
1
) (1+ c
1
)
2 Cho a,b, > a + b =
Tìm GTNN B = 2 2 b a ab + +
3 Cho a,b,c >
a) Tìm GTNN C =
b a
c a c
b c b
a
+ + + + +
b) Tìm GTNN D =
c b a
b a c
a c b
b a
c
a c
b
c b
a +
+ + + + + + + + + +
4 Cho x,y,z ≥
4
− x + y + z =
Tìm GTLN E = 4x+3+ 4y+3 + 4z+3
5 Cho a,b,c ≥ a + b + c =
Tìm GTLN F = a+b + a+c+ b+c
(15)Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6