luận văn 1 số bắt đẳng thức và ứng dụng

luận văn 1 số bắt đẳng thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Trang phụ bìa Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu 1 Nội dung 3 1 Bất đẳng thức Cauchy 3 1.1 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . 6 1.1.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . 6 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn . . . . . 7 1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky . . . . . . . . . . . 13 1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . 14 1.2 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 1.2.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm . . . . . 15 1.2.2 Kĩ thuật tách và ghép bộ số . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số . . . . . . . 24 1.2.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . 26 2 Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình 29 2.1 Các giá trị trung bình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình . . . . . . . . 32 2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Bất đẳng thức HM - GM . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Một số kĩ thuật vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1 Độ gần đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Kĩ thuật tách và ghép bộ số . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . 53 2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt • AM - Arithmetic Mean. • GM - Geometric Mean. • HM - Harmonic Mean. • IMO - International Mathematical Olympiad. • JBMO - Junior Balkan Mathematical Olympiad. • MO - National Mathematical Olympiad. • PM - Power Mean. • RMS - Root Mean Square. • TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad. •  a = a + b + c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển xong cũng đầy thách thức trong thế giới hiện đại, ta thường thấy sự góp mặt của bất đẳng thức ở điểm khó trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi đại học, cao đẳng hay trong đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi olympic toán khu vực và quốc tế. Bất đẳng thức giữ một ví trí đặc biệt bởi nó hữu ích trong tất cả các lĩnh vực của Toán học. Sự khó khăn của các bài toán về bất đẳng thức chính là điều thú vị cuốn hút những người yêu Toán. Mục tiêu của luận văn này là hệ thống lại một số bất đẳng thức cơ sở có nhiều ứng dụng trong quá trình giải các bài toán về bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình, . và ứng dụng của chúng. Hi vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên trong các chuyên đề bồi dưỡng về bất đẳng thức. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một hệ thống các dạng của bất đẳng thức Cauchy, dạng thực, dạng phức, dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy với tổng hữu hạn; bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn; bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong thực và phức; bất đẳng thức Bunyakovsky với tích phân, sau đó là các kĩ thuật vận dụng. Chương hai trình bày về bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 trung bình bình phương - trung bình cộng - trung bình nhân - trung bình điều hòa, dưới dạng các hệ quả của bất đẳng thức trung bình lũy thừa, và bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Carleman là các ứng dụng quan trọng của bất đẳng thức AM - GM. Cuối chương là một số bài tập minh họa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Minh về sự hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, Ban giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để luận văn và khóa học được hoàn thành. Mặc dù đã rất cố gắng, xong kết quả đạt được trong luận văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được nhiều ý kiến, góp ý quý báu của quý Thầy Cô, các anh chị và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, 18 tháng 0 9 năm 2010. Người thực hiện Nguyễn Thị Huyền Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) công bố bất đẳng thức nổi tiếng của ông năm 1821 ở phần chú thích về lí thuyết các bất đẳng thức mà lập thành phần cuối cuốn sách Cours d’Analyse Algébrique của ông. Cauchy đã không sử dụng bất đẳng thức c ủa ông trong nội dung chính mà chỉ có trong một số bài tập có tính minh họa. Bất đẳng thức Cauchy được áp dụng rộng rãi sớm nhất vào năm 1829, khi Cauchy đã sử dụng bất đẳng thức của ông trong một nghiên cứu về phương pháp Newton cho sự tính toán tìm nghiệm của các phương trình đại số và siêu việt. Năm 1859, học trò của Cauchy là Victor Yacovlevich Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn, chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi Hermann Amandus Schwarz vào năm 1885. Ngày nay, mỗi tháng có hàng trăm - có lẽ hàng nghìn - sự công bố mới về khoa học, trong đó bất đẳng thức Cauchy được áp dụng theo cách này hay cách khác. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 1.1 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1. Với hai bộ n số (a 1 , a 2 , . . . , a n ), (b 1 , b 2 , . . . , b n ), ta luôn có bất đẳng thức sau (a 1 b 1 +a 2 b 2 +···+a n b n ) 2  (a 2 1 +a 2 2 +···+a 2 n )(b 2 1 +b 2 2 +···+b 2 n ). (1.1) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a 1 , a 2 , . . . , a n ), (b 1 , b 2 , . . . , b n ) là hai bộ tỉ lệ, tức là tồn tại số thực k để a i = kb i , ∀i = 1, n. Bất đẳng thức (1.1) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy hay Cauchy - Schwarz (đôi khi còn gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky, Cauchy - Bunyakovsky hay Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz). Chứng minh (Xem [1], [2], [3]). Các hệ quả sau đây sẽ củng cố thêm các các ứng dụng khác nhau của bất đẳng thức quan trọng này. Hệ quả 1 .1 . Với 2 dãy số thực a 1 , a 2 , . . . , a n và b 1 , b 2 , . . . , b n , b i > 0, ∀i = 1, n , ta có a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 + ···+ a 2 n b n  (a 1 + a 2 + ···+ a n ) 2 b 1 + b 2 + ···+ b n . (1.2) Bất đẳng thức trên thường được gọi là bất đẳng thức Schwarz. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số  a i √ b i  và √ b i , b i > 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức (1.2). Hệ quả 1.2. Với 2 dãy số thực a 1 , a 2 , . . . , a n và b 1 , b 2 , . . . , b n , ta có  a 2 1 + b 2 1 + ···+  a 2 n + b 2 n   (a 1 + ···+ a n ) 2 + (b 1 + ···+ b n ) 2 . (1.3) Chứng minh (Xem [2]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Hệ quả 1.3. Với mọi dãy số thực a 1 , a 2 , . . . , a n , ta có (a 1 + a 2 + ···+ a n ) 2  n(a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 n ). (1.4) Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ n số (a 1 , a 2 , . . . , a n ) và (1, 1, . . . , 1) ta thu được bất đẳng thức (1.4). Ta thu được hệ quả sau đây bằng cách chia cả hai vế bất đẳng thức (1.4) cho n 2 . Hệ quả 1.4. Với mọi dãy số thực a 1 , a 2 , . . . , a n , ta có  a 1 + a 2 + ···+ a n n  2  a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 n n . (1.5) Hệ quả 1 .5. Với 2 dãy số thực không âm a 1 , a 2 , . . . , a n và b 1 , b 2 , . . . , b n , ta có  (a 1 + a 2 + ···+ a n )(b 1 + b 2 + ···+ b n )   a 1 b 1 +  a 2 b 2 +···+  a n b n . (1.6) Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai bộ n số ( √ a i ) và ( √ b i ), a i  0, b i  0, ta được điều cần chứng minh. Hệ quả 1.6. Với 2 dãy số thực a 1 , a 2 , . . . , a n và b 1 , b 2 , . . . , b n , a i > 0, b i = 0, ta có a 1 b 2 1 + a 2 b 2 2 + ···+ a n b 2 n  1 a 1 + a 2 + ···+ a n  a 1 b 1 + a 2 b 2 + ···+ a n b n  2 . (1.7) Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ha i bộ n số  √ a i b i  và √ a i , a i > 0, b i = 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức (1.7). Hệ quả 1.7. Với 2 dãy số thực dương a 1 , a 2 , . . . , a n và b 1 , b 2 , . . . , b n , ta có  a 1 b 1 + a 2 b 2 + ···+ a n b n   (a 1 + a 2 + ···+ a n ) 2 a 1 b 1 + a 2 b 2 + ···+ a n b n . (1.8) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Suy ra ∞ ∞ a2 j ak a2 k k =1 1 + 2 ∞ b2 = 1 k k =1 ∞ 1 2 b2 j bk j =1 k =1 hay ∞ 1 2 1, j =1 ∞ ∞ a2 j ak b k 1 2 j =1 k =1 ∞ b2 j 1 2 j =1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ∞ k =1 1 ak b k = 2 ∞ a2 k k =1 1 + 2 ∞ b2 = 1 k k =1 hay 1 1 ak bk = a2 + a2 , ∀k = 1, 2, k 2 2 k Suy ra ak = bk , ∀k = 1, 2, Tức là ∞ a2 j ak 1 2 ∞ b2 j = bk j =1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 1 2 , j =1 http://www.lrc-tnu.edu.vn... k = 1, n bk Khi đó n n 1 2 a2 k b2 k k =1 1 2 A G k =1 n ak b k , (1. 10) k =1 trong đó A= α+β ,G = 2 αβ Chứng minh (Xem [3]) 1. 1.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy Định lí 1. 4 (N.G.de Bruijn) Với bộ số thực (a1 , , an ) và bộ số phức (hoặc thực) (z1 , , zn ), ta có n 2 ak zk k =1 1 2 n n 2 zk |zk | + k =1 k =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak = đó λ là số phức và n 2 n 2 2 k =1 λ zk a2 k k =1 (λzk... điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài toán 1. 4 (Iran MO 19 98) Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 1 sao cho 1 x 1 +y+ 1 z = 2, ta có √ √ x+y+z x 1+ y 1+ √ z − 1 Giải Ta chú ý rằng 1 1 1 x 1 y 1 z 1 + + =2⇔ + + = 1 x y z x y z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy ra √ x+y+z = x 1 y 1 z 1 + + x... Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ n số bi √ và ai bi , ai > 0, bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh Định lí 1. 2 (Bất đẳng thức Cauchy đối với bộ số phức) Với mọi bộ số phức (ai , bi ), ta luôn có bất đẳng thức sau n n n 2 |ai | i =1 2 2 |bi | ai b i (1. 9) i =1 i =1 Chứng minh (Xem [3]) 1. 1.2 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy Định lí 1. 3 Giả sử ta có bộ các cặp số. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn (1. 21) 14 1. 1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy (1. 1) đề cập đến hai bộ n số (ta thấy sự xuất hiện các số mũ 2 ở (1. 1)) Ta hãy mở rộng bất đẳng thức (1. 1) cho m bộ n số Vì m có thể là số nguyên dương lẻ, nên trong trường hợp tổng quát, phải sử dụng đến các bộ số không âm Để tiện việc kí hiệu, một bộ n số được viết là (a, b, , k) Ta có: Định lí 1. 9 Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số. .. 2 2 xy ∀x, y ∈ R Áp dụng bất đẳng thức này với x = |ak | và y = |bk |, ta thu được ∞ |ak bk | k =1 1 2 ∞ a2 k k =1 1 + 2 ∞ b2 k (1. 12) k =1 Từ đây, ta được điều cần chứng minh Định lí 1. 5 (Bất đẳng thức Cauchy đối với tổng vô hạn) Với ∞ ∞ ak , hai chuỗi hội tụ k =1 bk , ta có k =1 ∞ ∞ a2 j ak b k k =1 j =1 1 2 ∞ b2 j 1 2 (1. 13) j =1 Dấu đẳng thức xảy ra đối với hai dãy khác không khi và chỉ khi ak = λbk... minSn = ( n +1 an + bn + n +1 cn )n +1 , khi và chỉ khi xn : b c a = yn : = zn : , x y z tức là khi  a + b + c = 1  x y z y n +1 z n +1  xn +1  = = a b c  a + b +  ⇔ xx y  √ =  n +1 a c =1 z y z √ = n +1 √ n +1 c b√ n +1 a √ ⇒x = n +1 √ √ , an + n +1 bn + n +1 cn √ n +1 b √ y = n +1 √ √ , n +1 n an + b + n +1 cn √ n +1 c √ z = n +1 √ √ an + n +1 bn + n +1 cn 1. 2.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số Kĩ thuật... cặp (x1 , y1 )), nếu ρ(x1 , y1 ) ρ(x2 , y2 ) Quá trình sắp đều có thể dùng để điều chỉnh bộ số như sau: Bài toán 1. 1 Giả sử B= a1 + a2 a2 + a3 a2009 + a2 010 a2 010 + a1 , ,··· , , 2 2 2 2 là một hoán vị của bộ số A = {a1 , a2 , , a2 010 } Chứng minh rằng a1 = a2 = · · · = a2 010 Giải Theo bất đẳng thức Cauchy thì a2 + a2 k k +1 2 ak + ak +1 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak = ak +1 , k = 1, 2,... đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bằng quy nạp toán học, ta dễ dàng chứng minh được bài toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát 1. 2 Cho bộ số dương (a1 , a2 , , an ) Chứng minh rằng ak +1 ak +1 ak +1 1 + 2 k + · · · + nk ak a3 a1 2 ak ak ak 1 2 n + k 1 + · · · + k 1 k 1 a2 a3 a1 Bài toán 1. 6 (Junior TST 2002, Romania) Cho a, b, c ∈ (0, 1) , chứng minh rằng √ abc + (1 − a) (1 − b) (1 − c) < 1 Số. .. λ ∈ R, k = 1, 2, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Chứng minh Bất đẳng thức (1. 13) luôn thỏa mãn với hai dãy bằng không Do vậy, ta chỉ cần xét các dãy khác không Đặt ∞ ak = ak ∞ 1 2 a2 j a2 j và bk = bk j =1 Khi đó, ta có ∞ ∞ a2 k = a2 j ∞ b2 j ∞ b2 k k =1 = 1 ∞ b2 k = =1 j =1 k =1 k =1 và j =1 ∞ a2 k 1 2 j =1 k =1 Theo (1. 12), ta có ∞ 1 2 ak b k k =1 Suy ra ∞ . http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 1. 1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy (1. 1) đề cập đến hai bộ n số (ta thấy sự xuất hiện các số mũ 2 ở (1. 1)). Ta hãy mở rộng bất đẳng thức (1. 1) cho m bộ n số. Vì. đầu 1 Nội dung 3 1 Bất đẳng thức Cauchy 3 1. 1 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . 4 1. 1 .1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 1.2 Dạng đảo của bất đẳng thức. có ∞  k =1 a 2 k = ∞  k =1  a 2 k  ∞  j =1 a 2 j  = 1 và ∞  k =1  b 2 k = ∞  k =1  b 2 k  ∞  j =1 b 2 j  = 1. Theo (1. 12), ta có ∞  k =1 a k  b k  1 2 ∞  k =1 a 2 k + 1 2 ∞  k =1  b 2 k =