GTLN GTNN

Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG CHỦ ĐỀ 1: GTLN - GTNN Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  Gợi ý: Ta có  x  x2  x  x     x  1 nên  x  x   2 Suy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  3x  Gợi ý : x  2  A  2018 với x  4x 1 AM GM 2  x2  x2   x x  x Suy A  2018 4x 4x 4x Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x2  y  z  2018 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy  yz  zx Gợi ý: A  2018   x  y   z  x  y   z   A  2018 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  x  2011  x  0 x2 2 2011  2011  2010 2010 Gợi ý: A          x x 2011  2011 2011  x Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2  xy  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A  x  xy Gợi ý: Biến đổi A  x  xy t  2t x  , t  dùng điều kiện có nghiệm phương trình 2 x  xy  y t t 2 y bậc hai Bài Cho x  y  Tìm GTLN GTNN biểu thức P  x y 2x  y  Gợi ý: Biến đổi P thành x  2P  1  y  P  1  3P Sau dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki Bài Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x  y  a) Chứng minh  x  y  b) Tìm GTLN GTNN biểu thức P   x   y Gợi ý:a)  x  y   x  y  xy   xy  (vì xy  0, x, y  ) Suy x  y  Mặt khác  x  y    x  y   x  y  2 Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG b) P2    x  y   1  x 1  y     x  y     x  y   xy   Suy P     Đẳng thức xảy x  0, y  x  1, y  Mặt khác, áp dụng BĐT quen thuộc  a  b    a  b2  ta có P2    2x   y        x  y   2  2  P   Bài Cho số x, y thỏa mãn  x  3,0  y  Tìm GTNN: S  x  y  a  b2  c  d  Gợi ý: Chứng minh bổ đề  a  c   b  d  2 3  x     y  2 (dùng phép biến đổi tương đương) 1 với x, y  Áp dụng kết để tìm GTNN biểu   x y x y 35 thức sau P    2ab với a  0, b  0, a  b  a  b ab Bài Chứng minh   32   Gợi ý: P        2ab    a  b 2ab   ab  ab  1    2 a  b 2ab  a  b  AM GM 32 32  2ab  2ab  16 ab ab 2     2 ab  a  b   a  b      Do P  17 Đẳng thức xảy a  b  Bài 10 Cho số thực x thỏa mãn P  x4    x   6x2 3  x  3  x   x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Gợi ý: Đặt t  x2    x    t   Khi P   t  5   t    2t  2t  41  41 2 Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức P  x    x Gợi ý: Dùng tính chất a  b  a  b để tìm GTNN P    x 2  5 x  5 x  3 Bài 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn y  x  x  x Gợi ý: đk  x  Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343   y  x  x 1  x   x Luyện thi HSG THPTQG  x  1 x  2 2  y  x    x  1   2 x     x  1     x  1    x  1        Suy  y  1 2 Bài 13 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn y  Gợi ý: Điều kiện 1  x  x   x  2x2 2 Bài 14 Tìm GTLN,GTNN y  x4  8x  16  x  x3  13x  12 x  với  x  Bài 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A  x  5x  25  x  5x  25 b) B   x  x2  24  5x  x  x  14 x  59 c) C  x  x   x  x   x  x  13 d) D  x2  y  x  y   3x  y  x  y  19 Gợi ý: Sử dụng tính chất bất đẳng thức trị tuyệt đối a  b  a  b  x  2 c) C  x    x    x    x   10 d) D   x  1   y  1   x  1   y    y    y  2 2 Bài 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A  x  y  xy  x  y  b) B  x x  x  13 x  c) C   Gợi ý: a) A  x y     x  x  y  xy   x  y 1     2 b) B   x  x      x 2 3 A 2 x   12 Theo đuổi đam mê để thành cơng Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343  c) C   x    C   Luyện thi HSG THPTQG y    y 1        1 2    x y  3   Bài 17 Tìm giá trị nhỏ P  x  Gợi ý:  x y x  y    1    x 1 x2  x với x   x2  x x  2x   P x x 1 Bài 18 Tìm giá trị lớn biểu thức a) A  x  x  x  x   b) B  3x  25 2x Gợi ý: Dùng bđt cô si Bài 19 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức a) A   x   x   x b) B  x x  y y với x  y  Gợi ý: a) max A  3, A  , để tìm GTNN ta áp dụng a  b  ab b) Đặt a  x , b  y   a, b  1 , a  b2  Khi B  a3  b3 a  b3   a  b  a  b2    1   để tìm minB ý B  MaxB  1, B  ab 2  a  b2  Bài 20 Tìm giá trị lớn a) A  x   2 x  x  b) B   x   x  x  Bài 21 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức b) B  x  x    x  x  3,0  x  a) A  x    x Gợi ý: a) A    x   12  x  12  x ,áp dụng bổ đề a  b  a  b suy A  để tìm max A ta áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ý A  x   12  x Bài 22 Tìm giá trị nhỏ y  x  x   x  x  Bài 23 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  x  2016 , gợi ý: đặt t  x  2016 Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Bài 24 Cho x, y số thực thỏa mãn x2  xy  21y  21 Tìm giá trị lớn 3x  y Bài 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A  x  21 ; x 2 b) B  x2 x2  x2    x2  4 Bài 26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  Bài 27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1 x 2x Gợi ý: Viết lại P  11 2 2x 1 x 1 x  10 x 2 1 x 2x  2x 1 x 1   x 1 2x 1  x  1  x2    P  2 Bài 28 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  x  x  với *Bài 29 Cho x, y số thực dương thỏa mãn thức P    x 1 x 2  y   Tìm giá trị nhỏ biểu x y  (THPT chyên KHTN Hà Nội 2012-2013) y x x2 y  x  y  Gợi ý: P     x  y Đặt a  x , b  y , ta cần tìm GTNN P  a  b2 với y x x y a  b2 a, b   a  1 b  1  Dễ thầy   a  1 b  1   ab  a  b    a  b2    P  2P  P  2 a  b2 ab Bài 30 Cho a, b hai số dương Tìm GTNN biểu thức S   ab ab *Bài 31 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x3  y3  xy  x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  1 x  x   y 1 y (đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015) Bài 32 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm GTNN A  Gợi ý: Dự đoán minA x  1, y  Ta có  x  1  x  Theo đuổi đam mê để thành công  3xy y 1 x 1 3 x    x x 1 x x 1 Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343  Luyện thi HSG THPTQG 3 x 3 x 3 x 3 x , Cô si chứng minh     xy y  x  1 y   y    y   Suy A   y  1  y4 7x  2 3 x …  7x Bài 33 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x   y3  y   x3 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  3xy  x  y  2018 Bài 34 Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy  x  y   x  y Tìm GTNN P  x  y (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2012-2013) Gợi ý: Từ giả thiết ta có  x  y  xy  x  y    x  y   xy  x  xy  y 2 2   xy  x   xy  y  Suy 16P2  P4  P  Bài 35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x (Đề thi vào 10 Hà Nội 2018) Gợi ý: P   x  x   x  x   x  x   x  , dấu xảy x  Chú ý tính chất: a  b  ab *Bài 36 Với x, y hai số thực dương Tìm GTNN P  x3  x3  y y3 y3   x  y  (Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2011-2012) Gợi ý: Chứng minh bất đẳng thức x3 x2  x3  y x  y y3 y3   x  y   y2 x2  y Bài 37 Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a  1, b  1, c  ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P  a  b2  c (Đề thi vào 10 Hà nội 2017) Gợi ý: Từ giả thiết suy  a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1   ab  bc  ca    a  b  c   a  b  c  Ta có P   a  b  c    ab  bc  ca   62  2.9  18 Vậy max P  18 Bài 38 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   y  x  y  4x  y   x  8x  17 Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Gợi ý: A  22  y  Luyện thi HSG THPTQG  x  2   y  2 2   x  4  12 Gọi A  2; y  , B  x; 2 , C  4;3 Khi A  OA  AB  BC  OC  Bài 39 Giả sử x, y, z số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z   y z4 z x4 x y4 (Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN 2014 -2015) Bài 40 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  a  b  b  c  c  a (Đề thi vào 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2014-2015) Gợi ý:  a  b, b  c, c  a   P   a  b    b  c    c  a   Dùng bất đẳng thức BCS để tim GTLN , P  Bài 41 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu 3x  y  z thức P  (đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN năm 2011-2012)  x  5   y    z  Gợi ý:  x  5   x  xy  yz  zx    x  y  x  z   3 x  y    x  z  2  y  z   3 y  x  ; 3x  y  z 2z  x  y  z    z  x  z  y   Suy P  x  y  6z 2 Tương tự  y  5   y  z  y  x   * Bài 42 Cho x, y, z số thưc dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biêu thức P  x  3xy  y  y  yz  z  z  3zx  4x Bài 43 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số y  x2  x2  x  Bài 44 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x 16  x Bài 45 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn    Tìm GTNN P  x  y  z x y z Gợi ý: Dự đoán P x  y  z  Ta có P  x   y  1   z   1  Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Cơ si ta được: P  x  y  3z   Luyện thi HSG THPTQG 1 3 1  x  y  3z        1   3   (BCS) 6 x y z Bài 46 Cho x   0;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  1 x x Bài 47 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  12 Tìm GTNN P  Bài 48 Cho x  2, y  3, z  Tìm GTLN biểu thức P  1   x y z xy z   yz x   zx y  xyz Bài 49 Cho hai số x, y thỏa mãn x  y  xy   x  y  Tìm GTLN, GTNN số x y Đ/S:   x, y  Bài 50 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  t2  t 1 t2  t 1 Gợi ý: Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai  x2 y   x y  Bài 51 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P         x   y x y Gợi ý: Đặt t  x y   t   Khi P  3t  8t    t     t    10  10 y x a  b  c  Bài 52 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn  Chứng minh  a; b; c  ab  bc  ca  Gợi ý: Từ giả thiết rút b  c bc theo a Chú ý  b  c   4bc từ suy đpcm Bài 53 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A  x  xy  y x  xy  y Gợi ý: Xét y  0, xét y  chia tử mẫu cho y được: A  t2  t 1 x , t  trở lại 50 t  t 1 y   Bài 54 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xy   với x  y  xy   Gợi ý:   x  y   xy  xy    1 255  1 , P  x2 y  2    x2 y  2  x y 256 x y  256 x y  Dùng bđt Cô si đánh giá ta P  Theo đuổi đam mê để thành cơng 289 16 Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG *Bài 55 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  x  , x  x Gợi ý: Biến đổi  P  x   x  sau lập luận để phương trình có nghiệm x  (chú ý P  ) x Đ/S: P  Bài 56 Cho x, y, z số thực Tìm giá trị nhỏ A  3x  y  z  2xy  2xz  2x  Gợi ý: A  3x  x  y  z   y  z  x   3x  x  y  z  2 2  y  z  2  2x  yz  Hay A   x     x  1   2   Bài 57 Cho số thực a thỏa mãn  a  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 1 a T  (THPT Chuyên Toán ĐHSP TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010)  a 1 a Gợi ý: T  1   Min T  , max T  2 2a a Bài 58 Cho số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ P  x  y  x  8y (THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2009-2010) Gợi ý: P   x  y   y  AM GM  y  x  8y Bài 59 Giả sử a, b số thực dương thỏa mãn a 3b   Tìm giá trị lớn biểu 1 a 1 b thức P  ab3 Gợi ý: Chứng minh toán a, b, c, d  Thay c  d  b ta suy P  a b c d     abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 81 Bài 60 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy z  x z  y  3z Tìm giá trị lớn biểu thức P  z4  z  x4  y  (Vòng chuyên KHTN Hà Nội năm 2005-2006) Gợi ý: Từ giả thiết áp dụng cô si cho vế trái suy 3z  xy z  x2 z  y  3xyz  z  xy Theo đuổi đam mê để thành công Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Khi P  Luyện thi HSG THPTQG z4 z4 z4 z4     2 4  z  x  y   z x y  z 3 1.z z Bài 61 Cho a, b, c, d  a  b  c  d  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2b  b  2c  c  2d  d  2a 42 3 16 a  2b   a  2b   4 Gợi ý: Điểm rơi a  b  c  d  Đánh giá a  2b  3 Bài 62 Với a, b số thực dương thỏa mãn 4a  b  ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016) ab Gợi ý: P  4a  b  ab 4a.b  ab   mà  4a  b  ab  ab  ab  ab  ab ab ab Suy P  25 Bài 63 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x2   y2   z2 x  y  z  3 Gợi ý: A  Có (Trích THTT số 479) x x 6  x x2   x2   biết , y, z    y y 6  y 2   z z 6  z 2  x yz x2   x2   Đánh giá tương tự suy A  *Bài 64 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức: T a b c  4  4 b  c  a a  c  b a  b4  c (Đề thi vào 10 chuyên Nam Định)     Gợi ý: b4  c4  a  b4  c4  a.abc  bc b2  c2  a 2bc  bc a  b2  c2 Suy a a a2   Tương tự suy T  b4  c  a bc  a  b2  c  a  b2  c a  b2 Bài 65 Với a, b số thực dương thỏa mãn a  2b Tìm giá trị nhỏ P  2ab Gợi ý: MinP đạt a  2b Theo đuổi đam mê để thành cơng 10 Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Bài 65 Với a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ab  2a b 2 2  a  2b  3c  4d  36 Bài 66 Cho bốn số nguyên không âm a, b, c, d thỏa mãn  Tìm giá trị 2  2a  b  2d  nhỏ biểu thức Q  a  b2  c  d Gợi ý:Từ giả thiết cộng hai đẳng thức vế theo vế ta  a  b2  c  d   d  42  3Q  42  d  Q  14 Bài 67 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức sau P 2a a2   2b b2  2c  c2  Gợi ý:  ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  2a Khi P   a  ab  bc  ca  AM GM 2a  a  b  a  c   a a  ab  ac  Bài 68 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2ab   ab  c  2bc   bc  a  2ca  ca  b  Gợi ý: P   2ab ab  6abc   ab  a  b   6abc    a3  b3    a3  b3  c3   12 Bài 69 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a3  b3  c3  6abc Gợi ý:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc   ab  a  b    a3  3abc Suy a  6abc   a  b  c  ab  bc  ca    ab  bc  ca   ab  bc  ca   Chú ý: Từ  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc 1 Ta có bất đẳng thức tương đương + a  b  c   b2  c  a   c  a  b   a3  b3  c3  3abc (2) + Nếu ta thêm vào hai vế (2) đại lượng 3abc ta  a  b  c  ab  bc  ca   a3  b3  c3  6abc (3) + Do  a  b  c   a3  b3  c3   a  b  b  c  c  a  nên ta có (3) tương đương Theo đuổi đam mê để thành cơng 11 Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c    a  b b  c  c  a   6abc hay  a  b  c  ab  bc  ca   ab  a  b   bc b  c   ca  c  a    a  b  c  Hay  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c   9abc Bài 70 Cho số thực dương x, y thỏa mãn (4)   Tìm GTNN P  x2  xy  y  x x y 2 1  xy  Gợi ý: P   x  y    x  y  Từ giả thiết suy          x y  x  y xy 2 Khi x  y  x x x x   y2  33 y2   P  y 2  1 1 Bài 71 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y  z      biết x, y, z số y z  x thực dương thỏa mãn x  y  z Gợi ý:  x4 y    x  y    32  z    x  y   x4  y 4 P  3    z        z      x  y  z4 x2 y 8z x  x y  z  y 4 4  z  255t  t  255 t 297     5 2  Đặt t     t  1 suy P   32t    8t 8 8t  8t   x y Bài 72 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  xy  yz  zx  xyz x, y, z số thực khơng âm thỏa mãn x2  y  z  Gợi ý: giả sử x  y  z    z  Khi P  xy 1  z   z  x  y   x2  y  z2 Tìm max: P  xy 1  z   z  x  y   1  z   z  x  y   1  z  2 mà x  y  x.1  y.1  x2  y  x2  y   z    2 2 3  z  1  z   z 5  z     z 1 Suy P  2 2 2 2 1 1 Bài 73 Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN P   a  b  c       a b c Gợi ý: P   a  b  c   27 27 27  33 a  b  c   27 abc 2a  b  c 2a  b  c Theo đuổi đam mê để thành cơng 12 Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Bài 74 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b3  c  ab bc ca  2 2 a  b b  c c  a2 Gợi ý: Chứng minh bổ đề  a3  b3    a  b   a3  b3  Khi P    a  b3   Ta có  2a 4ab 4ab     2a    a  b   a b a  b2     a3  b3  c3   6abc    a  b   a  b2  4ab  4ab   3     2ab  a  b    ab ab a  b        a  b2  a  b2      Suy 4P   ab ab  bc bc  ca ca   4.3 ab ab bc bc ca ca  18 Do P  Bài 75 Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P  a  b  b  c  c  a Gợi ý: Dùng bđt bunhiacopxki ta max P  , để tìm P ta sử dụng tính chất x  x, 0  x  Khi P   a  b    b  c    c  a   Bài 76 Cho ba số dương x, y, z Tìm GTLN biểu thức A  Gợi ý: A  xyz x   1 y z 2 x2  y  z   xy  yz  zx   xyz   xyz z  y  z  x  y  z x y z  1 x  y  z  xy  yz  zx     xy  yz  zx   1 Bài 77 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P a2 b2 c2   a2  b  c2 b2  c  a c  a  b2 Gợi ý: Dùng bất đẳng thức bunhiacopxki ta  a2  b  c2  1  b  1   a  b  c   P a2 a b2  , tương tự ta suy 2 a bc a b2 b c2 c a2 a ab  2a  b bc  2b  c ca  2c  3 Tiếp tục sử dụng bđt BCS ta cm tử số  3  P  Theo đuổi đam mê để thành công 13 Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Bài 78 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P   2 1 a 1 b  c2 Gợi ý: Từ a  b  c  abc áp dụng bất đẳng thức cô si ta 1 a  abc  abc  a  a  b  c   bc 1 b c      Tương tự suy max P   a  b  a  c   a  b a  c  Bài 79 Cho x, y thỏa mãn x   x  y    y  Tìm GTNN biểu thức S  x  y t 1  1 Gơi ý: t  x   x   x  x   x   t   ta có y   y    y  y  t t 2 t  14 t   y     2 t 4 Bài 80 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz zx   z x y x2 y y z z x2 Gợi ý: P      x  y  z  z x y Cô si ta chứng minh được: x2 y y z z x2    x  y  z Suy P  z2 x y *Bài 81 Cho ba số a, b, c thỏa mãn  a, b, c  a  b  c  Tìm GTLN P  a3  b3  c3 Gợi ý: giả sử  a  b  c  , suy  a  b  c  3a   a  Khi a3  b3  c3  a3   b  c   a3    a     a  1 a    3 Bài 82 Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P Gợi ý: a  3a  bc  a  Suy a b c   a  3a  bc b  3b  ca c  3c  ab  a  b  a  c   a  ac  ab  a  a b c  a a  Tương tự suy P  a  3a  bc a b c Bài 83 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  xyz (Đề thi vào 10 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ 2018) Theo đuổi đam mê để thành cơng 14 Phạm Như Tồn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Gợi ý: Bài 84 Cho ba số a, b, c  thỏa mãn 32abc  18  a  b  c   27 Tìm giá trị lớn biểu thức P a2 1 b2  c2    a b c Gợi ý: Sử dụng bổ đề (Đề thi vào 10 THPT chuyên Hưng Yên năm 2017-2018) x  y  z   x  y  z  , x, y, z  ta có: 1   1  1 1 P        3             a b c a b c   a b c  1  27  Từ giả thiết suy 32  18      , áp dụng kết  x  y  z    x  y  z   ab bc ca  abc 1 1  27  1 1  1 1 ,đặt t    ta có: 32  6t  t               a b c a b c  ab bc ca   a b c  abc Suy  t   t     t  Suy P  Bài 85 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn  a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b2  c (THPT chuyên Vị thành) Gợi ý: giả sử  a  b  c  , suy  c  P  c  a  b2  c  a  b2   a  1 b  1 P  c2   a  b    a  b    c    c     c    2c  10c  26 2 Với  c  ta dễ dành chứng minh 2c2 10c  26  14  max P  14 a, b, c hoán vị 1; 2;3 Bài 87 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2abc  Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P      a  b  c  (Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2016-2017) a b c Gợi ý: Ta ý đẳng thức  x  y  y  z  z  x   xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   2xyz  xy  yz  zx  y  z  z  x   x  y  z  x   y  z  x  y   Do từ giả thiết ab  bc  ca  2abc  Đặt a  Khi P  xyz   x  y  y  z  z  x  x y z ,b  ,c  yz zx x y  x yz xz x y y z     2    với x, y, z  x y z  yz xz x y  1 yz zx x y 1 1 1 1    x    y    z   x y z x z x y  y z Theo đuổi đam mê để thành cơng Ta có 15 Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Áp dụng bất đẳng thức Luyện thi HSG THPTQG 2x 2y 2z 1     m, n   P  m n mn yz zx x y Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:  x2  x  y  z  , lại x  y  z  xy  yz  zx nên y2 z2  P  2       2  xy  yz  zx   xy  xz yz  yx zx  zy  P  Bài 88 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P a  ab  b  1    Hãy tìm giá trị lớn biểu thức a b c b  bc  c 2  c  ca  a 2 (HSG TP Hà Nội 2014-2015) Gợi ý: a  ab  b2  ab 2    a  b   a  b  2 4 ab a  ab  b 1    1   1   1     Tương tự suy P                   ab bc ca    a b   b c   c a  Bài 89 Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn P  5a  2ab  2b2 1    Tìm giá trị lớn biểu thức a b2 c 5b2  2bc  2c  5c  2ca  2a 2  1 1  1 1 Gợi ý: Tương tự 88 ý đánh giá          a b c a b c  Bài 90 Cho a, b, c số dương tùy ý Tìm giá trị lớn biểu thức S a b  c  7a 2   b c  a  7b Gợi ý: Dùng bđt BCS  b2  c  7a  12  12  Theo đuổi đam mê để thành công 2  c a  b2  7c 2    b  c  7a   a b  c  7a 2  3a b  c  7a 16 Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG Bài 91 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức a3 b3 c3 P    18abc a  ab  ac  2bc b  ab  bc  2ca c  ca  cb  2ab Gợi ý: a3 a3 a3   a  ab  ac  2bc a  a  b  c   ab  ac  2bc a  2bc Suy ra: a3 b3 c3 1   P    3abc   2abc      18abc a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ac c  2ab  1   1  a  2bc  a  2bc  a  b  c     Theo bất đẳng thức BCS dạng phân thức: Suy max P   a  b  c  Bài 92 Cho số thực x  1, y  1, z  thỏa mãn 3x2  y  5z  52 Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  z (Trích đề thi vào 10 chun Thái Bình vịng năm 2016-2017) Gợi ý: Từ giả thiết ta suy  x2  y  z   52  x  y  52    55  x  y  z  11 Có   x 1 y 1   xy  yz  zx   x  y  z   Suy x2  y  z   xy  yz  zx    x  y  z     x  y  z    x  y  z     x yz 5 Bài 93 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức P Gợi ý: Ta có 1   2 a  b  c b  c  a c  a  b2 1 1 b2  c2     a5 a4 2a a5  b2  c 2 2a   b  c   b2  c2  b2  c2  b  c abc bc b2  c Mà 2a   b2  c   Từ suy P  2 a  b2  c  (biến đổi tương đương)  3  1 2 a b c a 2b c 2 Bài 94 Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  Theo đuổi đam mê để thành công a b c abc    b c a a b c 17 Phạm Như Toàn ĐT:0988 819 343 Luyện thi HSG THPTQG a a b a2 3a , tương tự, sau cộng vế theo vế ta   3 3 b b c bc abc a  b  c abc AM GM a b c a bc  a b c  3 a  b  c    Suy T  3         3 abc b c a abc abc abc b c a Gợi ý: *Bài 95 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P   ab  bc  ca   abc Gợi ý: giả sử a  b  c Khi a   c suy  a  1 c  1    ac  a  c    b    b Bài 96 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  4, x  y  z  a) Tìm giá trị xy  yz  zx chứng minh  z  b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  z (Vòng chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh) Gợi ý: a) xy  yz  zx  ; b) P  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   P  3xyz  Theo a) suy  x  2 y  2 z     xyz   P  10   2 50 86  Tương tự có  x   y   z     xyz  P   3 27  Bài 97 Bài 98 Bài 99 Bài 100 Theo đuổi đam mê để thành công 18 ... z  12 Tìm GTNN P  Bài 48 Cho x  2, y  3, z  Tìm GTLN biểu thức P  1   x y z xy z   yz x   zx y  xyz Bài 49 Cho hai số x, y thỏa mãn x  y  xy   x  y  Tìm GTLN, GTNN số x y... 13 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn y  Gợi ý: Điều kiện 1  x  x   x  2x2 2 Bài 14 Tìm GTLN, GTNN y  x4  8x  16  x  x3  13x  12 x  với  x  Bài 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:... tìm GTNN P  a  b2 với y x x y a  b2 a, b   a  1 b  1  Dễ thầy   a  1 b  1   ab  a  b    a  b2    P  2P  P  2 a  b2 ab Bài 30 Cho a, b hai số dương Tìm GTNN