GTLN GTNN của BIỂU THỨC tooán 8

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: A( x; y; z) - Cho biểu thức mãn hai điều kiện sau: + Với x; y; z mà Khi hảng số M giá trị lớn (GTLN) A( x; y; z) A( x; y; z) thỏa A( x; y; z) ≤ M xác định mà A( x; y; z) = M ( x; y; z) + Tồn số cho A( x; y; z) A( x; y; z) - Cho biểu thức Khi hảng số N giá trị lớn (GTNN) thỏa mãn hai điều kiện sau: A( x; y; z) A ( x; y; z) ≥ N x; y; z + Với mà xác định mà A( x; y; z) = N ( x; y; z) + Tồn số cho B LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp: - Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( a ± b) ,( a + b + c) - Sử dụng đẳng thức A = x ( x − 3) ( x − ) ( x − ) Bài 1: Tìm GTNN của: HD: A = x( x − 7) ( x − 3) ( x − 4) = x2 − 7x x2 − 7x + 12 ( )( A = ( t − 6) ( t + 6) = t2 − 36 ≥ −36 ) , Đặt x2 − 7x + = t , đó: x = t2 = x2 − 7x + =  x = , Dấu “ = ” Vậy Min A = - 36 x=1 x=6 B = ( x − 1) ( x − ) ( x − x + ) a: Bài 2: Tìm GTNN củ HD: B = x2 − 4x + x2 − 4x + x2 − 4x + = , Đặt Khi đó: ( )( ) B = ( t − 1) ( t + 1) = t2 − 1≥ −1 , Dấu “ = “ t2 = x2 − 4x + = t = A = x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + Bài 3: Tìm của: HD: A = x( x + 6) ( x + 2) ( x + 4) + = x2 + 6x x2 + 6x + + ( )( ) A = ( t − 4) ( t + 4) + = t − 16 + = t − ≥ −8 , Đặt x2 + 6x + = t Khi đó: , Dấu “ = “ Khi đó:  x = −3 + t2 = x2 + 6x + =   x = −3− B = ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) Bài 4: Tìm GTNN của: HD: B = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x + x2 + 5x + ( )( B = ( t − 1) ( t + 1) = t2 − 1≥ −1 ) , Đặt x2 + 5x + = t t2 = x2 + 5x + = x = , Dấu “ = “ A = ( x + x − ) ( x2 + x + ) , Khi đó: −5± 2 Bài 5: Tìm GTNN của: HD: Đặt x2 + x − = t Khi đó: A = ( t − 4) ( t + 4) = t2 − 16 ≥ −16 x = t = x2 + x − =   x = −2 Dấu “ = “ xảy khi: C = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 6: Tìm GTNN : HD: C = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x − x2 + 5x + ( )( C = ( t − 6) ( t + 6) = t2 − 36 ≥ −36 , Dấu “ = “ D = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + 1) ) , Đặt Khi đó: x = t = x2 + 5x =   x = −5 Bài 7: Tìm GTNN của: HD: D = ( 2x − 1) ( x + 3) ( x + 2) ( 2x + 1) = 2x2 + 5x − 2x2 + 5x + ( x2 + 5x = t )( ) , Đặt 2x2 + 5x = t , Khi đó:   25 −25 D = ( t − 3) ( t + 2) = t2 − t − =  t − ÷ − ≥ 4  2 t= , Dấu “ = “ khi: 1 −5± 29 2x2 + 5x = x = 2 Bài 8: Tìm của: HD: C = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + 2011 ( )( ) C = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) + 2011 = x2 + 5x + x2 + 5x + + 2011 −5 ± C = ( t − 1) ( t + 1) + 2011 x2 + 5x + = x = Khi đó: E = + ( − x ) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 9: Tìm max của: HD: E = 5− ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = − x2 + 5x − x2 + 5x + + ( Khi đó: ( )( ) ) E = − ( t − 6) ( t + 6) + = − t − 36 + = −t + 41≤ 41 Dấu “ = “ Khi , đặt x2 + 5x = t x = t2 = x2 + 5x =   x = −5 M = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 10: Tìm GTNN của: HD: M = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x = 3) = x2 + 5x − x2 + 5x + ( )( M = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 ≥ −36 ) Khi đó: , Đặt x2 + 5x + = t ( , Dấu “ = ” , Đặt x2 + 5x = t x = t = x2 + 5x =   x = −5 ) D = ( x + 1) x − ( x + ) + 2014 Bài 11: Tìm của: HD: D = ( x + 1) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 5) + 2014 = x2 + 3x − 10 x2 + 3x + + 2014 ( D = ( t − 6) ( t + 6) + 2014 = t + 1978 )( ) , Đặt x2 + 3x − = t Khi đó: , Dấu “= “ xảy khi: x = t2 = x2 + 3x − =   x = −4 Bài 12: Tìm GTNN của: HD: C = x − x + 10 x − x + C = ( x − 2.3 x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − x ) + ( x − ) ≥ 2 C = x − x + x − 20 x + 22 Bài 13: Tìm GTNN của: HD: C = ( x − x3 + x ) + ( x − x + ) + B = x4 − x2 + 2x + Bài 14: Tìm GTNN của: HD: B = ( x − x + 1) + ( x + x + 1) + D = ( x + 8) + ( x + 6) 4 Bài 15: Tìm GTNN của: HD: 4 x + = y => D = ( y + 1) + ( y − 1) = y + 12 y + ≥ Đặt: A = x − x − 3x − + Bài 16: Tìm GTNN : HD: x − = t => t = x − x + => E = t − 4t + Đặt: A = ( x + 1) − ( x − ) + x − 11 Bài 17: Tìm GTLN của: HD: 2  17  569 569 A = 4x + 4x + 1− 9x + 12x − + x − 11 = −5x + 17x − 14 = −5 x + ÷ + ≤ 10  20 20  2 A = ( x + 2) + ( x − 2) Bài 18: Tìm của: HD: ( ) ( ) ( ) A = x2 + 2x + + x2 − 2x + = x4 + 4x2 + 16 + 2x3 + 8x + 4x2 + x4 + 4x2 + 16 ( ) ( ) +2 4x2 − 2x3 − 8x = 2x4 + 24x2 + 32 = x2 + − 40 ≥ −40 Bài 19: Tìm của: HD: ( A = x + y − x + 32 y + 2018 ) ( ) A = x2 − 4x + + 4y2 + 32y + 64 + 1950 = ( x − 2) + 4( y + 4) + 1950 ≥ 1950 Bài 20: Tìm của: HD: 2 A = 3x + y + x − y 2   2  1 2   19 −19 A = 3x + 4x + y − y = 3 x2 + 2.x ÷+  y2 − 2.y ÷ = 3 x + ÷ +  y − ÷ − ≥ 3  2 3   12 12   ( Bài 21: Tìm của: HD: ( ) ( ) B = x + y + xy − 12 x − 18 ) ( ) B = 4x2 − 12x + x2 + 2xy + y2 − 18 = ( 2x − 3) + ( x + y) − 27 ≥ −27 Bài 22: Tìm max của: HD: 2 B = −3x − 16 y − xy + x +   41 − B =  x + 8xy + 16y  +  2x − 5x − 2 = ( x + 4y) + 2 x − ÷ − 4  2 2  5 41 41 => B = − ( x + 4y) − 2 x − ÷ + ≤ 4 8  Bài 23: Tìm của: HD: A = x + y + xy + x − y + 26 2 A = 4y2 + ( 4xy − 4y) + 3x2 + 2x + 26 =  4y2 + 2.2y.( x − 1) + ( x − 1)  + 3x2 + 2x + 26 − ( x − 1)   ( ) A = ( 2y + x − 1) + 2x2 + 4x + 25 = ( x + 2y − 1) + x2 + 2x + + 23 ≥ 23 2 A = − x − y + xy + x + y Bài 24: Tìm max của: HD: − A = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − ( xy + 2x) + y2 − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y ( )   y2 + 4y +    y + y2 + 4y + 4 y +   3y2 A =  x2 − 2x + + y − y − = x − + − 3y − 1÷  ÷   ÷ 4          2x − y − 1   A=  +  y − 4y + − − 4÷ ÷    4 A = ( x − 3) + ( x − 1) Bài 25: Tìm của: HD: A = x2 − 6x + 9+ x2 − 2x + = 2x2 − 8x + 10 = 2( x − 2) + ≥ 2 B = ( x + 1) + ( x + ) − ( x + 3) Bài 26: Tìm của: HD: ( ) ( ) ( ) B = x2 + 2x + + x2 + 4x + − x2 + 6x + = x2 − 8x − 22 = ( x − 4) − 38 ≥ −38 F = − ( x + 1) − ( x − ) Bài 27: Tìm max của: HD: Đặt x − = t => F = − 3( t + 3) − 3( t − 3) ( ) ( ) 2 ( ) − F = t2 + 6t + + t2 − 6t + − = 6t4 + 324t2 + 484 = t4 + 54t2 + 484 ( ) F = −6 t2 + 27 + 3890 ≤ 3890 G = ( x + 3) + ( x − ) Bài 28: Tìm của: HD: Đặt ( ) ( ) x − = t => G = ( t + 5) + ( t − 5) = t2 + 10t + 25 + t2 − 10t + 25 ( ) ( ) 2 G = 2t4 + 300t2 + 1250 = t4 + 2.75t2 + 5625 − 104 = t2 + 75 − 104 ≥ −104 I = x − x + 11x + 12 x + 20 Bài 29: Tìm của: HD: I = x4 − 6x3 + 11x2 − 12x + 20 = x2 x2 − 6x + + 2x2 − 12x + 20 ( ( ) ) I = x2 ( x − 3) + x2 − 6x + + = x2 ( x − 3) + 2( x − 3) + ≥ 2 2 N = − x2 − y + x − y + Bài 30: Tìm max : HD: − N = x2 + 4y2 − 6x + 8y − = x2 − 6x + + 4y2 + 8y + − 16 ( ) ( ) − N = ( x − 3) + 4( y + 1) − 16 => N = − ( x − 3) − 4( y + 1) + 16 ≤ 16 2 2 P = −3x − y + x + y − 23 Bài 31: Tìm max của: HD: − P = 3x2 + 5y2 − 2x − 7y + 23 = 3x2 − 2x + 5y2 − 7y + 23 ( ) (   1  1213 − P = 3 x − ÷ + 5 y − ÷ + 3 10  60   2   1  1213 −1213 P = −3 x − ÷ − 5 y − ÷ − ≤ 3 10  60 60   => R = −7 x − y − xy + 18 x + Bài 32: Tìm max của: HD: ) ( ) − R = 7x2 + 4y2 + 8xy − 18x − = 4y2 + 8xy + 4x2 + 3x2 − 18x − = 2( x + y) + 3( x − 3) − 36 2 R = −2( x + y) − 3( x − 3) + 36 ≤ 36 2 A = − x − y + xy − x − 12 y Bài 33: Tìm max của: HD: − A = 2x2 + 4y2 − 4xy + 8x + 12y − = 2x2 − 4x( y − 2) + 4y2 + 12y − 2 = 2 x2 − 2x( y − 2) + ( y − 2)  + 4y2 + 12y − 5− 2( y − 2)   Bài 34: Tìm max của: HD: B = − x − y − xy + x − B = 5x2 + y2 + 4xy − 2x − = y2 + 2.y.2x + 4x2 + x2 − 2x + 1− = ( y + 2x) + ( x − 1) − ≥ −3 2 B = − ( 2x + y) − ( x − 1) + ≥ 2 Bài 35: Tìm của: HD: C = a + ab + b − x − 3b + 1989 ( b − 3) b − ( b − 3) C = a + a( b − 3) + b − 3b + 1989 = a + 2.a + + b2 − 3b + 1989 − 4 2 2 4C = 4a2 + 4ab + 4b2 − 12a − 12b + 7956 2 =  4a2 + 4a( b − 3) + ( b − 3)  + 4b2 − 12b + 7956 − ( b − 3) = ( 2a + b − 3) + 3b2 − 6b + 7947   ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ≥ m Bài 36: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: HD: ( )( ) VT = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 2) = x2 + 4x + x2 + 4x + , Đặt x2 + 4x = t , Khi đó: 49 49  7 −1 VT = ( t + 3) ( t + 4) = t2 + 7t + 12 = t2 + 2.t + + 12 − = t+ − ≥ 4  ÷  4 Bài 37: Tìm GTNN của: HD: A = x2 − 2xy + 2y2 − 4y + A = x2 − 2xy + y2 + y2 − 4y + + 1= ( x − y) + ( y − 2) + Ta có: Do: ( x − y) ≥ 0,( y − 2) ≥ A = ( x − y) + ( y − 2) + 1≥ 2 , Nên B = x + y + xy − x + 2028 Bài 38: Tìm của: HD: B = x2 + 2xy + y2 + x2 − 8x + 16 + 2012 ( ) ( ) A = a − 2a − a + Bài 39: Tìm GTNN biểu thức: HD: A = a ( a + ) − 2a ( a + ) + ( a + ) + (a + ) ( a − 2a + 1) + ≥ = A = x − xy + y + x − 10 y + 17 dấu a=1 Bài 40: Tìm GTNN biểu thức : HD: A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 − ( y − 1) 2 ( ) A =  x − y + 1 + 2y2 − 10y + 17− y2 + 2y − P = 5x2 − x − − Bài 41: Tìm Min của: HD: x≥ => P = 5x2 − 6x x< => P = 5x2 + 6x − TH1: TH2: Dạng 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp: ( a ± b) ,( a + b + c) - Sử dụng biến dổi đưa đẳng thức Chú ý biến đổi thành nhiều ngoặc điều kiện dấu “ = ” xảy bị ràng buộc nhiều A = x − xy + y + x − 10 y + 17 Bài 1: Tìm GTNN của: HD: 2   A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x − 2x( y − 1) + ( y − 1) +  2y − 10y + 17− ( y − 1)  ( ) = ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16 B = x − xy + y − x − y Bài 2: Tìm của: HD:  y + y2 + 4y + 4 y2 B = x − x( y + 2) + y − 2y =  x − 2.x +  + y − 2y − − y − 4   2 4B = ( x − y − 2) + 4y2 − 8y − y2 − 4y − C = x + xy + y − x − y Bài 3: Tìm của: HD:  y − y2 − 6y + 9 y2 − 6y + C = x2 + x( y − 3) + y2 − 3y =  x2 + 2.x + + y − y −  4   4C = ( x + y − 3) +  4y2 − 12y − y2 + 6y − 9 D = x − xy + y − 12 x + y + 45 Bài 4: Tìm của: HD: ( ) D = x2 − 2x( y + 6) + 6y2 + 2y + 45 = x2 − 2x.( y + 6) + ( y + 6) + 6y2 + 2y + 45− y2 + 12y + 36 = ( x − y − 6) + 5y2 − 10y + Bài 5: Tìm của: HD: E = x − xy + y − x − 10 y + 20 y − y2 − 4y + y2 − 4y + E = x − x( y − 2) + 3y − 10y + 20 = x − 2x + + 3y − 10y + 20 − 4 2 ( ) ( ) ( ) 4E = ( x − y + 2) + 12y2 − 40y + 80 − y2 − 4y + = ( x − y + 2) + 11y2 − 36y + 76 Bài 6: Tìm max của: HD: F = − x + xy − y + x + 10 y − − F = x2 − 2xy + 4y2 − 2x − 10y + = x2 − 2x( y + 1) + 4y2 − 10y + − F = x2 − 2x( y + 1) + ( y + 1) + 4y2 − 10y + 3− ( y + 1) 2 G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − 8ay + x − y + 10 Bài 7: Tìm của: HD: G = ( x − ay) + 6( x − ay) + 9 + x2 + 2x + + 16y2 − 8ay − 8y   ( ) G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + 16y2 − 8y( a + 1) + ( a + 1) − ( a + 1) 2 G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + ( 4y − a − 1) − ( a + 1) ≥ − ( a + 1) 2 2 2 H = − x + xy − y − x + y + 11 Bài 8: Tìm max của: HD: − H = x2 − xy + y2 + 2x − 4y − 11 = x2 − x( y − 2) + y2 − 4y − 11 ( y − 2) y − y2 − 4y + − H = x − 2x + + y − 4y − 11− 4 2 ( ) => −4H = ( x − y + 2) + 4y2 − 16y − 44 − y2 − 4y + I = x + xy + y − y + 11 Bài 9: Tìm của: HD: I = x2 + 4xy + 4y2 + y2 − 6y + 11 ( ) Bài 10: Tìm của: HD: K = x + y − xy + 3x + y + 20 2 4K = 4x2 + 4y2 − 4xy + 12x + 12y + 80 =  4x2 − 4x( y − 3) + ( y − 3)  +  4y2 + 12y + 80 − ( y − 3)      4K = ( 2x − y + 3) + 3y2 + 18y + 71 M = x − xy + y − y + Bài 11: Tìm của: HD: M = x2 − 2xy + y2 + y2 − 2y + ( ) ( Bài 12: Tìm của: HD: ) N = x − xy + y − x ( 2y+ 1) 2y + ( 2y + 1) N = x − x( 2y + 1) + 2y = x − 2x + + 2y2 − 4 2 2 10 C = 3+ −5 x − 4x + 3y2 D= −25 x + 20 xy − y Bài 67: Tìm max của: HD : D= −25 Chia tử mấu cho y Bài 68: Tìm max của: HD : Đặt Đặt ta được: x2 − x + E= ( x − 2) x − = t => x2 = t2 + 4t + Bài 69: Tìm max của: HD : Đặt x x + 20 − y y E= , : , Đặt x = t => D = t −25t + 20t − 4t2 + 10t + 10 = 4+ + 2 t t t , = a => E = 5a2 + 10a + t F= Đặt x + x − 14 x2 − 2x + x − 1= t => x2 = t2 + 2t + F= , Khi : t2 + 6t − 9 = 1+ − 2 t t t = a => F = −9a2 + 6a + t G= Bài 70: Tìm max của: HD : x2 − x + x2 − 3x + G = 2+ Hạ phép chia ta : H= Bài 71: Tìm max của: HD : −1 2x − 3x + 2 x − xy + y x − xy + y x2 x − + y y H= x x −6 +2 y y y2 Chia tử mẫu cho ta được: , Đặt 3t − 2t + a= => 9at2 − 6at + 2a − 3t2 + 2t − = 9t − 6t + Nháp : , x 3t2 − 2t + = t => H = y 9t − 6t + 34 có : 2 ∆ ' = ( 3a − 1) − ( 9a − 3) ( 2a − 1) = => a = ; a = 3 I= x + 22 x + 19 x2 + x + Bài 72: Tìm max của: HD : 6x + 6( t − 2) + I = 4+ x + = t => I = + = 4+ − 2 ( x + 2) t t t , Đặt = a => I = −9a2 + 6a + t Đặt x + 30 x − K= x2 + x + Bài 73: Tìm max của: HD : 24x − K = 1+ 3t − 3− 11 3x + = t => 3x = t − => K = 1+ = 1+ − 2 ( 3x + 1) t t t , đặt = a => K = −11a2 + 3a + t Đặt x − xy + y M= 2 x − 10 xy + y Bài 74: Tìm max của: HD : x2 x −5 +2 y y M= x t2 − 5t + x x = t => M = − 10 + y2 y y y2 2t2 − 10t + Chia tử mẫu cho ta được: , Đặt t − 5t + 2 a= => 2at2 − 10at + 7a − t2 + 5t − ∆ = 25( 2a − 1) − 4( 2a − 1) ( 7a − 2) 2t − 10t + Nháp , có : 17 ∆ = => a = ; a = 22 N= Bài 75: Tìm max của: HD : 22 x − 58 xy + 73 y x − xy + y 22 N= Chia tử mấu cho y2 ta được: x2 x − 58 + 73 y y x x −4 +4 y y , Đặt x 22t2 − 58t + 73 = t => N = y t2 − 4t + 35 N = 22 + Đặt 30t − 15 ( t − 2) t − = a => N = 22 + 30( a + 2) − 15 , Đặt a = 22 + 30a + 45 30 45 = 22 + + a a2 a = b => N = 22 + 30b + 45b2 a P= Bài 76: Tìm max của: HD : x + xy x2 + y P= y2 x2 x +6 y y x +1 y2 x 8t2 + 6t 6t − = t => P = = 8+ y t +1 t +1 Chia tử mẫu cho ta được: , Đặt 6t − a= => at2 + a − 6t + = ∆ ' = − a a + = => a = 1; a = −9 t +1 Nháp : , có x − 3x + Q= x − 2x +1 Bài 77: Tìm max của: HD : −x+ Q = 1+ −t + 1 Q = 1+ = 1− + ( x − 1) x − 1= t => x = t + t t t , Đặt Khi : = a => Q = a2 − a + t Dặt x + xy + y R= x − xy + y Bài 78: Tìm max của: HD : x2 x + +1 y2 y R= x t2 + t + 2t x x = t => R = = 1+ − + 2 y y y y t − t +1 t − t +1 Chia tử mẫu cho ta được: , Đặt 2t −2 a= => at2 − at + a − 2t = ∆ = ( a + 2) − 4a.a = => a = 2; a = t − t+1 Nháp : , có x2 x4 + x2 + Bài 79: Tìm GTLN biểu thức: , GTLN đạt giá trị x HD: 1 x2 = x + +1 ≥ P( x) = x2 x + x + P( x) Ta có : = ( ) 36 x2 + x + M= ( x ≠ −1) x + 2x + Bài 80: Tìm GTNN biểu thức: HD: x + x + − ( x + 1) + 1 M= = 1− + x + 2x +1 x + ( x + 1) Ta có : Đặt =t x+  1 3 M = t − t + 1=  t − ÷ + ≥  2 4 , ta có: 37 B= 3( x + 1) x + x2 + x + Bài 81 : Tìm giá trị lớn biểu thức: HD: 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) B= = = = x + x + x + x ( x + 1) + x + x + ( x + 1) x + Ta có: x2 + 1> => B = ≤3 x +1 Do , Dấu x=0 x − x + 2012 P= x2 ≠ Bài 82: Tìm GTNN biểu thức : , với x HD : 2012 P = 1− + = t => P = 1− 2t + 2012t2 x x x , Đặt 4x + P= x +1 Bài 83: Tìm giá trị lớn HD : 4x + a= => a.x2 + a − 4x − = ∆ ' = − a a − = => a = −1; a = x +1 Nháp : , có x − x + 2011 M= x2 Bài 84: Cho biểu thức , với x>0, Tìm x để M có GTNN HD : 2011 M = 1− + = t => M = 2011t2 − 2t + x x x , Đặt ( ) ( ) 38 Dạng 4: TÌM MIN, MAX CĨ ĐIỀU KIỆN Phương pháp : - Dồn biến từ điều kiền thay vào biểu thức Biến đổi biểu thức thành thành phần có chứa điều kiện để thay Sử dụng thêm số bất đẳng thức phụ : a + b ≥ ab + ( Dấu = a = b, với a, b không âm) 2 a + b ≥ 2ab + ( Dấu = a = b) a+ ≥ a + ( Dấu = a = 1) Bài 1: Tìm của: HD: Từ A = 3x + y biết : 3x + y = 3x + y = => y = − x => A = 3x + ( − x ) A = xy 3x + y = Bài 2: Tìm của: biết HD: y = − x => A = x ( − x ) = −3 x + x = 12 x − x + A = a − b3 − ab Bài 3: Tìm của: biết: a – b =1 HD: a = b + => A = ( b + 1) − b − ( b + 1) b 2b + 2b + = B = a.b 3a + 5b = 12 Bài 4: Tìm max của: biết: HD:  12 − 5b  −5 12 12 − 5b B = b b + b a= ÷=   3 Từ gt ta có: , thay vào C = x + y + xy x + y =1 Bài 5: Tìm của: biết: HD: C = x3 + ( − x ) + xy = x − x + y = 1− x Từ gt=> thay vào C ta được: D = x2 + y x + 2y =1 Bài 6: Tìm của: biết: HD: D = ( 1− y ) + y2 x = 1− y Từ gt=> thay vào E = 2x2 + y2 4x − 3y = Bài 7: Tìm của: biết: HD: 39 y= Từ gt=> 4x − thay vào E  1  1 P =  1− ÷ 1− ÷  a  b Bài 8: Cho a, b>0 a+b=4, tìm GTLN HD:  1 a+ b P = 1−  + ÷+ = 1− + = 1− + = 1− ab ab ab ab ab  a b  ab Ta có: a,b > => a + b = ≥ ab => ab ≤ = => ab ≤ Do a + b = 3 3 a = b =  ≥ => 1− ≤ 1− = a = b  ab ab 4 Khi đó: , Dấu = xày 2  1  1 F = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Bài 9: Tìm của: , biết: a+b=1 a,b >0 HD: Cách 1: 2 2 2 b  a  + 4 a + b  +  a + b   a+b   a+b    ÷  2 ÷ 1 + ÷ + 1 + ÷ = 2+ ÷ +2+ ÷ b a b a  a   b   a  b  Ta có: = ≥ + 4.2 + = 18 Cách 2: Ta có:  1  1  1  1   a + b   a2 + b2  F =  1+ + ÷+  1+ + ÷ = + 2 + ÷+  + ÷ = + 2 ÷+  2 ÷  a a   b b   a b  a b   ab   a b  a2 + b2 F = 2+ + ab a2b2 F = 2+ a + b = => a + b = 1− 2ab Mà (1) thay vào (1) ta được: 1 a + b = 1≥ ab => ab ≤ => ab ≤ => a2b2 ≤ 16 1− 2ab + 2 = 2+ 2 ab a b ab Lại có: 16 => 2 ≥ => F = + 2 ≥ + 16 = 18 ab ab Dấu = a + b = 1 a = b =  a = b x2 + Bài 10: Cho x,y thỏa mãn: HD: y2 + =4 x2 , Tìm max của: A= x.y 40     y =  x + − ÷+  x + − xy ÷+ xy + x     Từ gt ta có : xy + ≤ => xy ≤ => Bài 11: Cho hai số thực a,b HD: ≠ 2a + 0, thỏa mãn: b2 + =4 a2 => 1  y  =  x − ÷ +  x − ÷ + xy + x  2  , Tìm min, max của: S = ab + 2017  b2 1  b     =  a + − ÷+  a + − ab ÷+ ab + =  a − ÷ +  a − ÷ + ab + a a  2      Từ gt ta có : ab + ≤ => ab + 2017 ≤ 2019 => S ≤ 2019 => 2  1  b    b  =  a + − ÷+  a + + ab ÷− ab + =  a − ÷ +  a − ÷ − ab + a a  2      Mặt khác : −ab + ≤ => ab ≥ −2 => ab + 2017 ≥ 2015 S ≥ 2015 => => y2 x2 + + =8 A = xy + 2024 x Bài 12: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: , Tìm min, max của: HD:  y2 16 y  16 y2   = x2 + + => 16 = x + + =  x + − ÷+  x + + xy ÷− xy + x x  x    Từ gt ta có : 2 4  y  =  x − ÷ +  x + ÷ − xy + => − xy + ≤ 16 => xy ≥ −8 => A = xy + 2024 ≥ 2016 x  2  => 2  4  y  16   y  16 =  x + − ÷+  x + − xy ÷+ xy + =  x − ÷ +  x − ÷ + xy − x x  2      Mặt khác : xy − ≤ 16 => xy ≤ => S = xy + 2024 ≤ 2032 => 8x2 + y + = B = x y 4x ∈ Bài 13: Cho x,y R khác biết: , Tìm x,y để đạt đạt max HD: 1   = x + y + =  x + − ÷+ ( x + y − xy ) + xy + 4x 4x   Ta có :   x −  ÷ + ( x − y ) + xy + => xy + ≤ => B = xy ≤ 2x   4=  −1  =  x − ÷ + ( x + y ) − xy + => −4 xy + ≤ => B = xy ≥ 2x   Mặt khác : A = ( x + y ) ( y + x ) + 25 xy Bài 14: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: 41 HD: Ta có : A = 16( xy ) + 12 x + 12 y + xy + 25 xy = x y + 12 ( x + y ) + 34 xy x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x + y ) − 3xy = − 3xy Vì x+y =1 nên A = x y + 12 ( − xy ) + 34 xy , thay vào A A = 6t − 2t + 12 , Đặt xy=t : ( )( ) C = x2 + 4y y2 + 4x + 8xy x+ y = Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: Tìm biểu thức: HD: ( )( ) ( ) C = x2 + 4y y2 + 4x + 8xy = x2y2 + 4x3 + 4y3 + 16xy + 8xy = x2y2 + x3 + y3 + 24xy Ta có : x + y = => x3 + y3 = ( x + y) − 3xy( x + y) = 1− 3xy Do ( Thay vào C ta : ) C = x y + 4( 1− 3xy) + 24xy = x y + 12xy + = x y + 2xy.6 + 36 − 32 = ( xy + 6) − 32 ≥ −32 2 MinC = −32 2 , Dấu = xảy 2 x+ y = x = =>    xy = −6  y = −2 A = x + y2  x = −2  y = Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: HD: A = ( − y ) + y = y − 12 y + x = − 2y Từ gt ta có : thay vào x + y − xy = A = x2 + y Bài 17: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x + y − xy = => x + y − xy = => ( x − y ) + x + y = Ta có : x2 + y ≤ A≤8 => hay = x + y − xy => x + y = + xy => 3x + y = + ( x + y ) ≥ mặt khác : 8 x2 + y ≥ A≥ 3 => hay A = x3 + y + xy Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: HD: A = x3 + ( − x ) + x ( − x ) y = 2− x Từ gt ta có : thay vào A ta : 42 ( ) ( Bài 19: Cho số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −64 + 12 xy x + y = −4 Ta có : , nên , 2 A = ( −64 + 12 xy ) + ( 16 − xy ) + 10 xy x + y = ( x + y ) − xy = 16 − xy thay vào 2x + y + z = A = xy + yz + zx ∈ Bài 20: Cho x, y, z R, thỏa mãn: , Tìm max của: HD: z = − 2x − y Từ giả thiết=> thay vào A ta : A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) = −2 x − y − xy + x + y Bài 21: Cho x,y,z HD: Từ gt => ∈ R thỏa mãn: x+ y+ z =6 ) A = x + y + x + y + 10 xy x+ y+4=0 Tìm max của: A = xy + yz + zx A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 6− x− y thay vào x + xy + ( x + y ) + y + 10 = S = x+ y+3 ∈ Bài 22: Cho x,y R thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x + xy + x + y + y + 10 = Từ gt ta có : (2 y + 7)  y +  ( y + 7) x + 2x  + y + y + 10 − =0 ÷+ 4   => − => 2 ≤ x + y + ≤ => −5 ≤ x + y ≤ −2 2 => => 7  x+ y+ ÷ + y − =0 2  −2 ≤ x + y + ≤ 3m n + np + p = − 2 A= m+n+ p , Tìm min, max của: Bài 23: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: HD: 2n + 2np + p = − 3m => 3m + 2n + p + 2np = Từ gt ta có : (m + n + p + 2mn + 2np + 2mp ) + ( 2m + n + p − 2mn − 2mp ) = => 2 ( m + n + p) + ( m − p) + ( m − n) ≤ − ≤ m + n + p ≤ => => x + y2 + z2 = P = x + y + 2z Bài 24: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: , Tìm min, max của: HD: P = ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz Ta có : , nên ta nhân vào gt : 2 2 2 18 = x + y + z = ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − yz − zx ) 18 = ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) 2 2 => ( x + y + 2z ) ≤ 18 43 − 18 ≤ x + y + z ≤ 18 2m + 2n + p + 3mn + mp + 2np = Bài 25: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: , B = m+ n+ p Tìm max của: HD: 4m + 4n + p + 6mn + 2mp + 4np = Từ gt ta có : ( m + n + p + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m + n + p − 4mp − 2np ) = => 2 2 3( m + n + p ) + ( p − m) + ( n − p ) = 3 ( m + n + p ) ≤ => −1 ≤ m + n + p ≤ => => x+ y+z =3 A = xy + yz + zx Bài 26: Cho x,y,z thỏa mãn: , Tìm max của: HD: A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) x − y − xy + x + y z = 3− x− y Từ gt=> thay vào = B = − xy + yz + zx Bài 27: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: HD: B = − xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 3− x − y Từ gt ta có : => 2 −4 x − y − 16 xy + y + 12 x =>B= 2x + 3y − z = A = − xy + yz + zx Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm max HD: A = − xy + y ( x + y − ) + x ( x + y − ) z = 2x + 3y − Từ gt=> thay vào 2x + 3y − z = B = 12 xy − yz − zx Bài 29: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm max của: HD: B = 12 xy − y ( x + y − ) − x ( x + y − ) z = 2x + 3y − Từ gt ta có : thay vào A = ( x + y ) − 15 xy + x + y = −2 Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm của: HD: x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + xy Từ x + y= -2, ta có : thay vào A = ( −8 + xy ) − 15 xy + = −3 xy − A = −3 x ( −2 − x ) − y= - - x thay vào x + y = −2 Bài 31: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm 4 3 2 2 B = x + y − x − y + x y + xy ( x + y ) + 13 xy HD: ( ) B = x + y − x3 − y + x y + xy x + y + 13 xy 44 2 x + y = ( x + y ) − xy  − x y = ( − xy ) − x y   Từ x+y= - 2, ta có: x3 + y = xy − x + y = − xy , , Thay vào b ta : 2 B = ( − xy ) − x y − ( xy − ) + x y + xy ( − xy ) + 13 xy B = − xy + 24 , thay y = −2 − x => B = x + x x+ y =5 ( ) A = x3 + y − x + y + xy + Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x+ y =5 x + y = 125 − 15 xy x + y = 25 − xy Vì nên thay vào A = 125 − 15 xy − ( 25 − xy ) + xy + Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, B = x + y − ( x + y ) − 20 ( x + y ) − x y + xy Tìm max của: HD: B = x + y − ( x3 + y ) − 20 ( x + y ) − x y + xy x + y = ( 25 − xy ) − x y x3 + y = 125 − 15 xy x + y = 25 − xy Vì x+y=5 nên , , 2 2 B = ( 25 − xy ) − x y − ( 125 − 15 xy ) − 20 ( 25 − xy ) − x y + xy x + y − = xy ( − xy ) Bài 34: Cho hai số x,y thỏa mãn: HD: x + y − xy + x y = Từ gt=> => , Tìm max của: 2 ( x − x2 y + y ) + x2 y − 3xy = => ( x2 − y ) +  xy − 34 ÷ = 121 16 P = xy =>  121   xy − ÷ ≤ 4 16  45 Bài 35: Cho số thực x,y thỏa mãn: A = 2x + y + x + y + 12 xy − x − y − 15 = , Tìm max của: HD: Từ gt=> ( 2x) + ( y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + + x = 16 => x + y + z + xy − xz + yz = Bài 36: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: P = x+ y HD: (x ( x + y + 1) 2 + 3x = 16 , Tìm max của: + y + xy ) + ( x + y + z + xy − xz + yz ) = Từ gt ta có: ( x + y ) + ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( z − xz + x ) = => ( x + y ) ≤ => − ≤ x + y ≤ => p = x2 + y + z 3x + y + z = Bài 37: Cho số x, y, z thỏa mãn: Tìm max của: HD: y = − 3x − z y = + x + z − x + 12 xz − z Từ gt ta có: => : P = 10 x + z + 12 xz − x − z + A = xy + yz + zx Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: HD: A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 1− x − y Từ gt => thay vào ∈ Bài 39: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: P = y (1− 2y) x = 1− y Từ gt=> thay vào A = x2 + y ≥ Bài 40: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của: HD: A = x2 + ( − x ) y = 1− x Từ gt=> thay vào y + z + yz = − x P = x+ y+z Bài 41: Tìm max của: , biết: HD: y + z + yz = − x => 3x + y + z + yz = Từ gt => ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − zx ) = => 2 2 ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) = => ( x + y + z ) ≤ => 46 Bài 42: Cho HD: x + y + xy − 10 x − 14 y + 18 = , Tìm min, max của: S = x+ y x + x ( y − ) + ( y − ) + y − 14 y + 18 − y + 10 y − 25 = Từ gt=> 2 ( x + y − 5) + ( y − y + 1) = => ( x + y − 5) ≤ −3 ≤ x + y − ≤ => => Bài 43: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta : 72 b ≥ => a + b + c ≤ = 24 Do 3a + 3c + 5b = 72 => ( a + b + c ) = 72 − 2b ≤ 72 Bài 44: Cho a,b,c số khơng âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm HD:  c≤  a = − c   a + b = =>  =>  a ≥ b = 3c − c ≥   b ≥ Cộng theo vế ta : E = ( − 3c ) + ( 3c − ) − 4c = − c Khi đó: Bài 45: Cho HD: x, y, z ≥ 0, x + y = 2014,3 x + z = 3031 , Tìm GTLN biểu thức : E = 2a + 3b − 4c A= x+ y+z x + y + z = 5045 − y ≤ 5045 y≥0 Cộng theo vế gt ta có: nên ( x + y + z ) ≤ 5045 => x + y + z ≤ 1009 Bài 46: Cho HD: a+b = ,Tìm max của: A = ab ( a + b ) a + b = => a + b = − 2ab => A = ab ( − 2ab ) = −2a 2b + 4ab Ta có: A = − ( a 2b − 2ab + 1) + ≤ A=2 , Max ( 11x + y + 2015 ) ( x − y + 3) = Bài 47: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm của: HD: 11x + y + 2015 = x− y +3= Từ gt ta có : P = xy − x + 2016 47 11x + y + 2015 = => y = 11x + 2015 TH1: Ta có : thay vào P x − y + = => y = x + TH2: ta có: thay vào P x+ y+z =3 B = xy + yz + zx Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN : HD: B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y )  ( x + y ) Ta có : y −  −3  − x + + ( y − 1) + ≤ 2 ÷ xy + ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + 3x + y   = = Bài 49: Cho HD : x + xy + y = Ta có : , Tìm Min max biểu thức : P = x − xy + y P x − xy + y = x + xy + y 48 ... + x2 + Bài 79: Tìm GTLN biểu thức: , GTLN đạt giá trị x HD: 1 x2 = x + +1 ≥ P( x) = x2 x + x + P( x) Ta có : = ( ) 36 x2 + x + M= ( x ≠ −1) x + 2x + Bài 80 : Tìm GTNN biểu thức: HD: x + x + −... Bài 27: Tìm của: HD : 2E = 4x2 + 18y2 − 12xy − 12x − 24y + 40 08 ( ) 2E = 4x2 − 12x( y + 1) + 9( y + 1) + 18y2 − 24y + 40 08? ?? y2 + 2y + 2E = ( 2x − y − 1) + 9y2 − 42y + 3999 Bài 28: Tìm của: HD :... : P= ) ( ) 8x + 4x2 + Bài 21: Tìm max của: HD : 8x + a= => 4a.x2 + a = 8x + => 4a.x2 − 8x + a − = 4x + Nháp : Có ∆ ' = 16 − 4a( a − 3) => a = 4; a = −1 − ( 4x − 1)  8x +  −16x2 + 8x − P= −