Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
3,11 MB
Nội dung
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A ln ln lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói 2) Phương pháp: a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A �k với k số + Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A �k với k số + Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B Các tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Bài tập mẫu : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Hướng dẫn giải a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – �- A = - � x = b) B = - 5(x2 + max B = 4 9 x) + = - 5(x2 + 2.x + )+ = - 5(x + )2 � 5 25 5 5 � x= 5 b) Bài tập mẫu 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a < Hướng dẫn giải b b b2 Ta có: P = a(x + x) + c = a(x + ) + (c ) a 2a 4a Đặt c - b b2 = k Do (x + ) � nên: 2a 4a a) Nếu a > a(x + b b ) �0 P � k � P = k � x = 2a 2a b) Nếu a < a(x + b b ) � P �k � max P = k � x = 2a 2a II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Bài tập mẫu 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - + đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + � x=1 � 3x - = � � � A = � y = � 3x - = � � � 3x - = - x=� � b) B = x - + x - B = x-2 + x-3 = B = x-2 + 3-x �x-2 +3-x = � B = � (x – 2)(3 – x) � � � x � 2 2) Bài tập mẫu 2: Tìm GTNN C = x - x + x - x - 2 2 2 Ta có C = x - x + x - x - = x - x + + x - x �x - x + + + x - x = C = � (x2 – x + 1)(2 + x – x2) � � + x – x2 �0 � x2 – x – � � (x + 1)(x – 2) �0 � - �x �2 3) Bài tập mẫu 3: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| � |x-1+4-x| = (1) Và x x x x �x x = (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| � + = Ta có từ (1) � Dấu xảy �x �4 (2) � Dấu xảy �x �3 Vậy T có giá trị nhỏ �x �3 III Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Bài tập mẫu 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 � - 36 Min A = - 36 � y = � x2 – 7x + = � (x – 1)(x – 6) = � x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + �x - y = �x=y=1 �x - = = (x – y)2 + (x – 1)2 + � � � c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a b b b2 3b2 3b �0 + )+ = (a + )2 + 2 4 Min (C + 3) = hay C = - � a = b = � x = y = 2) Bài tập mẫu 2: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Đặt x + = y � C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + �2 � A = � y = � x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 �0 � D = � x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN Bài tập mẫu : Tìm GTNN A = -2 2 2 = 9x - 6x + (3x - 1) 6x - - 9x Vì (3x – 1)2 � � (3x – 1)2 + �4 � A = - 1 � (3x - 1) 4 2 (3x - 1) 1 � 3x – = � x = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức: 2 � A �4 a) Bài tập mẫu 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = 3 A= Thì 2 Đặt y = x-1 x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + � � A = � y = � =1 � x=2 x-1 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 = 2 �2 A= x - 2x + (x - 1)2 (x - 1)2 � A = � x – = � x = b) Bài tập mẫu 2: Tìm GTLN B = Ta có B = x x 20x + 100 x x 1 � x = 10 Đặt y = x 20x + 100 (x + 10) y x + 10 2 1 1 � 1� B = ( 10 ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y y + )+ = - 10 �y - �+ y 20 400 40 � 10 � 40 � 40 Max B = 1 � y� x = 10 =0 � y= 40 10 10 c) Bài tập mẫu 3: Tìm GTNN C = x + y2 x + 2xy + y � (x + y) (x - y) � 2 � � 1 (x - y) � A = � x = y x + y Ta có: C = � x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 Các phân thức có dạng khác: a)Bài tập mẫu : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = Ta có: A = - 4x x2 1 - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2) �1 � A = - � x = x2 1 x2 1 x 1 - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1) Ta lại có: A = 4 �4 � max A = � x = 2 x 1 x 1 x 1 C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến: 1) Bài tập mẫu 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = � x = – y 1 � 1� 1 nên A = (1 – y) + y = 2(y – y) + = 2(y – 2.y + ) + = �y - � + � � 2� 2 Vậy A = 2 1 � x= y= 2 b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y = � x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 � � x2 – 2xy + y2 � (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2) � � x2 + y2 � � A = 1 � x=y= 2 2)Bài tập mẫu 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Từ Cho x + y + z = � Cho (x + y + z)2 = � x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta có x + y + z - xy – yz – zx = = ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 2 � ( x y )2 ( x z ) ( y z ) � ��0 � x + y + z xy+ yz + zx (2) � Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) � x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2 ) � x2 + y2 + z2 � � A = � x = y = z = b) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) �xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) � xy+ yz + zx � � max B = � x = y = z = 3) Bài tập mẫu 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z = Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z �3 xyz xyz áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x �3 x y y z x z 3 x y y z z x 8 27 27 729 Dấu xảy x = y = z = � S � Vậy S có giá trị lớn x = y = z = 729 3 xyz 27 4) Bài tập mẫu 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y z Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có xy yz zx � x y z 2 x y2 z2 (1) áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x y z ) �(12 12 12 )( x y z ) � ( x y z ) �3( x y z ) (1) (2) 3( x Từ y4 z ) � x4 y z � 3 x= y = z = � 3 Vậy x y z có giá trị nhỏ D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Bài tập mẫu : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + � 2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị: +) -A lớn � A nhỏ ; +) lớn � B nhỏ (với B > 0) B +) C lớn � C2 lớn Bài tập mẫu: Tìm cực trị A = a) Ta có A > nên A nhỏ x4 + x + 1 lớn nhất, ta có A 1 x + 1 2x 1 �1 � A = � x = � max A = � x = A x +1 x +1 b) Ta có (x2 – 1)2 �0 � x4 - 2x2 + � � x4 + � 2x2 (Dấu xẩy x2 = 1) 2x 2x �1 � Vì x4 + > � = � x2 = �1 � max x +1 � A = x +1 A � x = �1 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến Bài tập mẫu: Tìm GTLN B = y - (x + y) a) xét x + y � - Nếu x = A = - Nếu �y �3 A � - Nếu y = x = A = b) xét x + y �6 A �0 So sánh giá trị A, ta thấy max A = � x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức: Bài tập mẫu: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 � (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 �(22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 � 2x + 3y � 26 Max A = 26 � = �4 x y 3x 3x � � x2 + y = x + � = �y = � � = 52 � 13x = 52.4 � x �2 � Vậy: Ma x A = 26 � x = 4; y = x = - 4; y = - 5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng a)Bài tập mẫu 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 � x2 – 3x – 10 = � x = x = - Khi A = 11 11 = 121 � Max A = 121 � x = x = - b) Bài tập mẫu 2: Tìm GTNN B = (x + 4)(x + 9) x (x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36 Ta có: B = x+ 13 x x x Vì số x 36 36 36 36 � có tích x = 36 khơng đổi nên x + nhỏ � x = x x x x x=6 � A = x+ 36 13 nhỏ A = 25 � x = x 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức m n Bài tập mẫu: Tìm GTNN A = 11 Ta thấy 11m tận 1, 5n tận Nếu 11m> 5n A tận 6, 11m< 5n A tận m = 2; n = thÌ A = 121 124 = � A = 4, chẳng hạn m = 2, n = TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2020 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF8 ... sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến Bài tập mẫu: Tìm GTLN B = y - (x + y) a) xét x + y � - Nếu x = A = - Nếu �y �3 A � - Nếu y = x = A = b) xét x + y �6 A �0 So sánh... bình phương nhị thức: 2 � A �4 a) Bài tập mẫu 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = 3 A= Thì 2... có: A = 4 �4 � max A = � x = 2 x 1 x 1 x 1 C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến: 1) Bài tập mẫu 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy