ONTHI DH CD, BDHSG (GTLN,GTNN)

Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Chuyên đề: TÌM GTLN, GTNN Câu 1. Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007 Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 x y z P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2 y z x   = + + + + + + + +  ÷  ÷   Lời giải : Với x, y > 0 ta chứng minh : 4(x 3 + y 3 ) ≥ (x + y) 3 (∗) Dấu = xảy ra ⇔ x = y Thật vậy (∗) ⇔ 4(x + y)(x 2 – xy + y 2 ) ≥ (x + y) 3 ⇔ 4(x 2 – xy + y 2 ) ≥ (x + y) 2 do x, y > 0 ⇔ 3(x 2 + y 2 – 2xy) ≥ 0 ⇔ (x – y) 2 ≥ 0 (đúng) Tương tự ta có 4(y 3 + z 3 ) ≥ (y + z) 3 Dấu = xảy ra ⇔ y = z 4(z 3 + x 3 ) ≥ (z + x) 3 Dấu = xảy ra ⇔ z = x Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 x y 4 y z 4 z x 2 x y z 6 xyz+ + + + + ≥ + + ≥ Ta lại có 3 222 xyz 6 x z z y y x 2 ≥         ++ Dấu = xảy ra ⇔ x = y = z Suy ra 12 xyz 1 xyz6P 3 3 ≥         +≥ Dấu = xảy ra ⇔    == = zyx 1xyz ⇔ x = y = z = 1 Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1 Câu 2. Đề Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 4.+ ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 3 2 3x 4 2 y A . 4x y + + = + Lời giải : Ta có A = 2 3 2 2 3x 4 2 y 3x 1 2 y 4x 4 x y y + + + = + + + ⇒ A 2 x 1 1 y y x y 2 4 x 8 8 2 y   + = + + + + +  ÷   3 9 1 2 . 2 2 ≥ + + = Với x = y = 2 thì A = 9 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9 2 Nam Đàn 2 0976322004 - 1 - Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Câu 3. Đề Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 11 7 y x 4 1 , 2x x   = + + +  ÷   với x 0 > . Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d ac bd+ + ≥ + Ta có : ( ) 2 2 7 7 9 7 1 3 x x     + + ≥ +  ÷  ÷     ⇒ 11 1 7 y x 3 2x 2 x   ≥ + + +  ÷   9 3 3 15 x 6 x 2 2 2   = + + ≥ + =  ÷   Khi x = 3 thì y = 15 2 nên giá trị nhỏ nhất của y là 15 2 . Câu 4. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006 Cho hai số thực x 0, y 0≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 2 x y xy x y xy+ = + − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A . x y = + Lời giải : Từ giả thiết suy ra: 2 2 1 1 1 1 1 . x y x y xy + = + − Đặt 1 1 a, b x y = = ta có: ( ) 2 2 a b a b ab 1+ = + − Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 A a b a b a b ab a b .= + = + + − = + Từ (1) suy ra: ( ) 2 a b a b 3ab.+ = + − Vì 2 a b ab 2 +   ≤  ÷   nên ( ) ( ) 2 2 3 a b a b a b 4 + ≥ + − + ( ) ( ) 2 a b 4 a b 0 0 a b 4⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ Suy ra: ( ) 2 A a b 16.= + ≤ Với 1 x y 2 = = thì A 16. = Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. Câu 5. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a ab b b bc c c ca a + + = + + + + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c Ta có: 3 2 2 2 3 a a b a ab b − ≥ + + (1)⇔ 3a 3 ≥ (2a – b)(a 2 + ab + b 2 ) ⇔ a 3 + b 3 – a 2 b – ab 2 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b) 2 ≥ 0. (h/n) Nam Đàn 2 0976322004 - 2 - Ti liu ụn thi H - C Hố 2009 Tng t: 3 2 2 2 3 b b c b bc c + + (2) , 3 2 2 2 3 c c a c ac a + + (3) Cng v theo v ca ba bt (1), (2) v (3) ta c: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + + + + + + + Vy: S 3 maxS = 3 khi a = b = c = 1 Cõu 6. Cho x, y, z > 0 tha món 1 =++ zxyzxy . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = xz z zy y yx x + + + + + 222 Cõu 7. Cõu V.(1 im) Cho x, y, z > 0 tha món x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 111 + + + + + z z y y x x Cõu 8. Cho ba s thc khụng õm x, y, z tha x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = zyx zx zyx yz zyx xy ++ + ++ + ++ 222 Cõu 9. Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 2009 + b 2009 + c 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 4 + b 4 + c 4 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a 2009 ta có )1(.2009 20091 .11 42009 20092009200920092009200920092009 2005 aaaaaaaaa =+++++++ Tơng tự ta có )2(.2009 20091 .11 4 2009 20092009200920092009200920092009 2005 bbbbbbbbb =+++++++ )3(.2009 20091 .11 42009 20092009200920092009200920092009 2005 ccccccccc =+++++++ Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc )(20096027 )(2009)(46015 444 444200920092009 cba cbacba ++ +++++ Từ đó suy ra 3 444 ++= cbaP Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. Cõu 10. Cho x, y, z l cỏc s dng tho món 1 1 1 2009 x y z + + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P = 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + p dng bt ng thc Cụ- Si, ta cú: 4ab (a + b) 2 1 4 a b a b ab + + 1 1 1 ( , 0) 4 a b a b + > ữ Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z + + + = + + ữ ữ ữ + + + Tng t: 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z + + ữ + + v 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z + + ữ + + Vy 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + 1 1 1 1 2009 4 4x y z + + = ữ Nam n 2 0976322004 - 3 - Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Vậy MaxP = 2009 4 khi x = y = z = 12 2009 Câu 11 Cho 1, 2, 3.z x y ≥ ≥ ≥ Tìm GTLN của 1 2 3xy z zy x zx y M xyz − + − + − = Giải: Đk : 1, 2, 3.z x y≥ ≥ ≥ Ta có : 2 1 3 1.( 1) 2.( 2) 3.( 3) 1 1 1. . . 2 3 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 2 3 y x z M x y z x y z x y z x y z x y z − − − = + + − − − = + + + − + − + − ≤ + + = + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6. Vậy Max M = 1 1 1 (1 ) 2 2 3 + + . Câu 12. Cho 2 2 2 1x y z+ + = .Tìm GTLN Và GTNN của S = xy + yz + zx. Ta có: 2 2 2 2 ( ) 0 2( ) 0 1 1 2 0 2 x y z x y z xy yz zx S S + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − Dấu “=” xảy ra chẳng hạn x = 0, 1 1 , 2 2 y z − = = Vậy Min S = -1/2 . Mặt khác , ta có : 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 2( ) 2( ) 1 ( ) 0 x y y z x y z xy yz zx S z x  − ≥  − ≥ → + + ≥ + + ⇒ ≥   − ≥  Dấu “ = “ xảy ra khi 3 3 x y z= = = ± . Vậy Max S = 1 Câu 13. Cho x, y, z > 0 thõa xyz = 1. Tìm GTNN của 3 3 3 3 3 3 1 1 1 x y y z z x S xy yz zx + + + + + + = + + . Giải: Ap dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có: 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3 1. . 3 x y x y x y xy xy xy + + + + ≥ = ⇔ ≥ Nam Đàn 2 0976322004 - 4 - Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Tương tự: 3 3 1 3 y z yz yz + + ≥ 3 3 1 3z x zx zx + + ≥ Suy ra: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 x y y z z x S xy yz zx + + + + + + = + + 3 3 3 xy yz zx ≥ + + 3 3 3 3 . . 3 3 xy yz zx ≥ = . BĐT xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy MinS = 3 3 khi x = y = z = 1. Câu 14 Cho 2 2 0 ( ) xy x y xy x y xy ≠   + = + −  Tìm GTLN của 3 3 1 1 A x y = + Giải: Ta có: ( ) 2 2 0xy xy x y x y xy ≠    + = + −   2 2 1 1 1 1 1 x y x y xy ⇔ + = + − (1) 2 2 1 1 1 1 3 0 2 4 y x y x y   ⇔ + = − + >  ÷   Ta đặt a = 1/x, b = 1/y 2 2 0a b a b a b ab + >  ⇒  + = + −  Mà ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 1 1 A a b a b a b ab a b x y = + = + = + + − = + (*). Cách 1: Ta có: A = ( a + b) 2 A a b ⇒ = + Ta biết : 3 3 3 2 2 a b a b + +   ≥  ÷   ( vì a + b > 0 ) “ = “ xảy ra ⇔ a = b. Từ đó suy ra : 3 16 2 2 A A A   ≥ ⇔ ≤  ÷  ÷   “ = “ xảy ra ⇔ a = b = 2. Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2. Nam Đàn 2 0976322004 - 5 - Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Cách 2 : Ta có: A= a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 –ab + b 2 ) = (a + b) 2 . Từ (1) suy ra : a + b = (a + b) 2 -3ab Màà: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 2 4 4( ) 0 4 : 0 ( ) 16 a b ab a b a b a b a b a b a b vi a b A a b + ≤ → + ≥ + − + ⇒ + − + ≤ ⇒ + ≤ + > ⇒ = + ≤ Vậy MaxA = 16. khi x = y = ½. Cách 3: Đặt S = x + y , P = xy với S 2 - 4P 0 ≥ . Từ gt suy ra : 2 2 2 , 0 ( ) 3 3 3 S P S S SP P hayP S SP S P ≠  − ⇒ = =  + = −  . Ta có: 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( )x y x y x y xy x y xy x y S A x y x y x y x y x y P + + + − + + = + = = = = = Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 0 4 0 1 4 0 4 16 3 3 4 P S SP P S S S S P S S P P − − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ Vậy MaxA = 16 ( khi x = y = ½ ). Câu 15 Cho 2 2 0 1. xy x y ≥   + =  Tìm GTLN và GTNN của 1 1A x y y x = + + + Ta có: 2 2 1 1 ( )( 2) 2 2S x y y x x y x y = + + + ≤ + + + ≤ + . “=” 2 2 x y ⇔ = = . Do 0, 0 0 0, 0 x y xy x y < <  ≥ ⇒  ≥ ≥  ∙ 0, 0x y≥ ≥ ta không xét. ∙x < 0, y < 0. Gt: x 2 + y 2 = 1 1 0 1 0 x y − ≤ <  ⇒  − ≤ <  . Nam Đàn 2 0976322004 - 6 - Ti liu ụn thi H - C Hố 2009 Ta cú : ( ) ( 1) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 y y y y x x x x + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 x y x y x y y x S x y y x y x y x + + + + = + + + + + + 1 1S xy x y S xy x y + + + + + + . ( ) ( ) 1 1 1 0S x y + + + . 1S 0 1 " " 1 0 x y x y = = = = = . Vy: MaxS = 2 2 2 2 x y + = = v MinS = -1 0 1 1 0 x y x y = = = = Cõu 16. Cho 3.x y xy + = Tỡm GTLN ca S = 1 1x y + + + . Gii: Ta cú: 3.x y xy + = 3x y xy + = + . , 0x y 2 x y xy + 2 x y xy + (1). M: 3 3x y xy x y xy + = + = (2). T (1) v (2) 3 6 0 6 2 x y x y x y x y + + + + (a). Ta cú S= 1 1 2( 1 1) 2( 2)x y x y x y + + + + + + = + + (b) T (a) v (b) S = 1 1 2(8) 4x y + + + = = 3x y = = . Vy MaxS = 4 khi x = y = 3. Cõu 17 (ẹH-A-2006). Cho hai soỏ thửùc x 0,y 0 thay ủoồi vaứ thoỷa ủk ( ) 2 2 x y xy x y xy+ = + . Nam n 2 0976322004 - 7 - Tài liệu ơn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A= 3 3 1 1 x y + . HD: Từ gt suy ra 2 2 1 1 1 1 1 x y x y xy + = + − . Đặt a= 1 1 ;b x y = ta được a+b=a 2 -ab+b 2 .(1) A=a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b) 2 . Từ (1) suy ra a+b=(a+b) 2 -3ab. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b 3 ab a b a b a b a b 4 a b 0 0 a b 4 A a b 16 2 4 +   ≤ ⇒ + ≥ + − + ⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ = + ≤  ÷   1 A 16 x y maxA 16 2 = ⇔ = = ⇒ = . Câu 17 (ĐH-B-2006).Cho x,y là các số thực thay đổi . Tìm GTNN của biểu thức A= ( ) ( ) 2 2 2 2 x 1 y x 1 y y 2− + + + + + − . HD:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét các điểm M(x-1;y) và N(x+1;y). Do OM+ON ≥ MN nên : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y A 2 1 y y 2 f y− + + + + ≥ + = + ⇒ ≥ + + − = Với ( ) 2 2 2y y 2 f y 2 1 y 2 y f '(y) 1 1 y ≤ ⇒ = + + − ⇒ = − + ;f’(y)=0 1 y 3 ⇔ = . Lập bảng biến thiên f(y) trên ( ) ;2−∞ , từ đó ta được ( ) ;2 1 min f f 2 3 3 −∞   = = +  ÷   Với 2 y 2 f(y) 2 1 y 2 5 2 3≥ ⇒ ≥ + ≥ > + .Do vậy A 2 3, x,y≥ + ∀ . Vậy 1 min A 2 3 x 0,y 3 = + ⇔ = = Câu 18 (ĐH-A-2007). Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm GTNN của biểu thức :P= ( ) 2 x y z y y 2z z + + + ( ) 2 y z x z z 2x x + + + ( ) 2 z x y x yx 2y y + + . HD:Ta có ( ) 2 x y z 2x x+ ≥ ; ( ) 2 y z x 2y y+ ≥ ; ( ) 2 z x y 2z z+ ≥ ⇒ P 2x x y y 2z z ≥ + + 2y y z z 2x x+ + 2z z x x 2y y+ Đặt a= x x 2y y+ ; b= y y 2z z+ ;c= z z 2x x+ ⇒ 4c a 2b x x 9 + − = ; 4a b 2c y y 9 + − = ; 4b c 2a z z 9 + − = Vậy P 2 9 ≥ ( 4c a 2b b + − + 4a b 2c c + − + 4b c 2a a + − )= ( ) 2 c b a a b c 2 4 6 4.3 3 6 2 9 b a c b c a 9       + + + + + − ≥ + − =  ÷  ÷         Dấu “=” xảy ra x y z 1⇔ = = = . Vậy Min P = 2 . Câu 19 (ĐH-B-2007). Cho x>0,y>0,z>0 thay đổi. Tìm GTNN của:P= x 1 x 2 yz   +  ÷   + y 1 y 2 xz   +  ÷   + z 1 z 2 xy   +  ÷   . Nam Đàn 2 0976322004 - 8 - Tài liệu ơn thi ĐH - CĐ Hè 2009 HD: Biến đổi P= 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 2 2 2 xyz + + + + + . Do x 2 +y 2 +z 2 = 2 2 x y 2 + + 2 2 y z 2 + + 2 2 z x 2 + ≥ xy+yz+zx nên P 2 2 2 x 1 y 1 z 1 2 x 2 y 2 z       ≥ + + + + +  ÷  ÷  ÷       ; Xét hàm số f(t) = 2 t 1 2 t + với t>0. Từ BBT của f(t) suy ra ( ) 3 f t , t 0 2 ≥ ∀ > . Suy ra P 9 9 ;P x y z 1 2 2 ≥ = ⇔ = = = . Vậy Min P = 9/2 . Câu 20 (ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 4 2 4 2 3cos x 4sin x 3sin x cos x + + HD : Đặt t=sin 2 x , t [ ] 0;1∈ .Ta được y =1+ 2 1 3t 2t 2− + . Ta có y’= ( ) ( ) 2 2 6t 2 3t 2t 2 − − − + . Từ BBT của hsố y ta được : max y =8/5 và min y = 4/3. Câu 21 (ĐH TCKT -2000) . Tìm GTLN,GTNN của hàm số y =2sin 8 x+cos 4 2x. HD: Đặt t = cos2x , đk t 1≤ . Khi đó:y = 2 [ ] 4 4 1 t t f(t),t 1;1 D 2 −   + = ∈ − =  ÷   .f’(t) =4 3 3 1 t 1 t ;f '(t) 0 t 2 3   −   − = ⇔ =    ÷       . Ta có f(-1)=3 ;f(1)=1; f 1 1 3 27   =  ÷   . Vậy D max y 3 cos2x 1 x k 2 π π = ⇔ = − ⇔ = + và D 1 1 1 min y cos2x x k , cs 27 3 2 3 α π α   = ⇔ = ⇔ = ± + =  ÷   . Câu 22 (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001) Tùy theo giá trò của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức : P=(x+my-2) 2 +(4x+2(m-2)y-1) 2 . HD: ( ) ( ) x my 2 P 0;P 0 x;y : 4x 2 m 2 y 1 + =   ≥ = ⇔ ∃  + − =   . Hệ này có nghiệm m 2⇔ ≠ − • Khi m 2≠ − Min P =0 . • Khi m= -2 thì P= (x-2y-2) 2 +(4x-8y-1) 2 . Đặt t = x-2y-2 ta được P=t 2 +(4t+7) 2 =7 2 28 49 49 t 17 17 17   + + ≥  ÷   Đẳng thức xảy ra 28 6 t x 2y 17 17 ⇔ = − ⇔ − = . Khi đó Min P = 49 17 . Câu 23 (ĐH GTVT 2000) Tùy theo giá trò của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức : P=(x-2y+1) 2 +(2x+my+5) 2 . HD: Giải tương tự bài 10 . Câu 24 Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 2 11 1 4tgx cos4x 2 2 1 tg x − − + . HD: đk ( ) x k k Z 2 π π ≠ + ∈ .Ta có y = sin 2 2x-2sin2x+5. Đặt t = sin2x , t [ ] 1;1∈ − ta được y(t)=t 2 - 2t+5. y’ = 2t-2 ; y’=0 ⇔ t=1.Từ BBT của hàm số y(t)=t 2 -2t+5 trên [ ] 1;1− ta thấy hàm số nghòch biến trên [ ] 1;1∈ − nên Max y =y(-1)=8 t 1 sinx 1 x k 4 π π ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ; min y =y(1)=4 t 1 sinx 1 x k 4 π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + . Câu 25 Tìm GTNN của y = 2 4x 12x 13− + + 2 4x 28x 53− + . HD: ta có 4x 2 -12x+13 = (2x-3) 2 +4 4, x≥ ∀ và có 4x 2 -28x+53 = (2x-7) 2 +4 4, x≥ ∀ .Do đó y = ( ) 2 2 2x 3 (0 2)− + − + ( ) ( ) 2 2 2x 7 0 2− + − Nam Đàn 2 0976322004 - 9 - Tài liệu ơn thi ĐH - CĐ Hè 2009 Trong mp Oxy xét điểm M(2x;0) chạy trên Ox,hai điểm A(3;2) và B(7;2) cố đònh.Ta được y = MA+MB. Khi đó btoán đã cho trở thành : Xác đònh vò trí của M trên Ox sao cho MA+MB đạt GTNN. -Lấy A’ đối xứng với A , nối A’B cắt Ox tại H . Ta có y =MA+MB=MA’+MB ≥ A’B=2BH =2.2 2 4 2= Dấu “=” xảy ra 5 M H 2x 5 x 2 ⇔ ≡ ⇒ = ⇒ = . Vậy Min y = 4 2 khi x= 5/ 2 . Câu 26 Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = -sin3x-3sin 3 x+3 .HD: đặt t=sinx, t [ ] 1;1∈ − .Ta được y=t 3 - 3t+3 = g(t) Ta có g’(t) = 3t 2 -3 ;g’(t)=0 t 1⇔ = ± ;g(-1)=5;g(1)=1Vậy Miny=1 x k2 2 π π ⇔ = + ;maxy =5 x k2 2 π π ⇔ = − + . Câu 27. Tìm GTNN của biểu thức A = 2 2 2 3y 4xy x y − + . HD: Ta có A =3 2 2 2 y x y    ÷  ÷ +   -4 2 2 x x y    ÷  ÷ +   . 2 2 y x y    ÷  ÷ +   Dấu hiệu : 2 2 2 x x y    ÷  ÷ +   + 2 2 2 y x y    ÷  ÷ +   =1 . Ta đặt sint = 2 2 x x y    ÷  ÷ +   và cost= 2 2 y x y    ÷  ÷ +   . Ta được : A=3cos 2 t-4sintcost = 2sin2t- 3 2 cos2t+ 3 2 . Vì 5 2 − ≤ 2sin2t- 3 2 cos2t 5 2 ≤ nên -1 ≤ A ≤ 4. Vậy MinA =-1;MaxA=4 Nam Đàn 2 0976322004 - 10 -