Giáo trình gồm hai phần. Phần I: Lý thuyết xác suất có hai chương. Chương 1 trang bị những kiến thức cơ bản về giải tích tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng của lý thuyết xác suất cổ điển. Chương 2 quan tâm đến khái niệm trung tâm của xác suất là biến ngẫu nhiên và cá quy luật phân phối xác suất, các tham số đặc trưng của nó. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng và định lý về luật số lớn, định lý giới hạn cũng được trình bày trong chương này.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MƠN TỐN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 Å Ð È ề ẵ ỉ í ỉ ĩụ ì ỉ ẵ ề ề ề ề ủ ĩụ ì ỉ ẵẵ ũ Ø Ø Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÉÙÝ Øú Ị º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º¾ ÉÙÝ Øú Ị Ị º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º¿ ÀĨơỊ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Ị Ơ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Ị ƠÐ Ơ º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Ì Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º È Ị Ơ ơƠ ị Đ Ø đ ØĨơỊ ị ỉ ỉ ẵắ ẩ ễ ỉ ủ ề º º º º º º º º º º ẵắẵ ẩ ễ ỉ º º º º º º º º º º ẵắắ ề ì ềà º º º º º º º º º º ẵắ ẫ ề ụ ề ẵắ ẩ ề ẹ ỉ Ị Ø Ĩ Ý º º ½º¿ Ị Ị Ú Üơ ×Ù Ø º º º º º º º º º º º º ½º¿º½ Ị Ị Ị ĩụ ì ỉ ẵắ Ị Ị Ø Ị Ú Üơ ×Ù Ø º º ẵ ặ í ề é ĩụ ì ỉ é ề ủ ĩụ ì ỉ ề ẵ ụ Ò Ð òÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ẵ ề é ề ĩụ ì ỉ ẵ ắ ề Ð Ị Ị Üơ ×Ù Ø º º º º º º º º º º ½º º¿ Ị Ð ĩụ ì ỉ ỉểủề ễ ề ề é í ½º º Ị Ð ƯỊĨÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º ñ Ø Ô ¾ º º º 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3! = × × = ì ẵẵ ề ề ề ỉ ẹ ỉừể ẹ Đ Ù ØõĨ Ư Ø Ðđ Å Ø Ị kƠ ỊØ Ë Ị Đ Ø Ơ ´ ƯƯ Ị Ị Ơ Ơ Ù k Ị Ù 3Ơ ỊØ º 123, 132, 213, 231, 312, 321 Đ ềỉà ễ é íỉ ỉ ễ E nễ ềỉ ËỊ Ú ỊỊ ĐØ ¸Đ Ị đÝ Ü Ờ Ị Ø Ù Ơ ÌƯ Ịº À k Ị nà éủ ẹ ỉ úí Akn éủ ệữề È n Ơ Ị Ø ´0 < k n! (n − k)! Ỉ Ị Ä ĐƠ ị Ị đĨ ØõĨ ÌƯ Ị Ơ Ị ØƯĨỊ ĨỊ Ù Ù ØƯĨỊ Ị đÝ ị º Ë Ị Ø Đ Ị Ðđ × × × 1, 2, Ðđ Đ Ø ĨơỊ Ú Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = ẻ ẵẵ ễ ẵẵ ỉ ì Ị ÙỊ Ù ØỊ ØĐ Ø ơ Ü Ơ Ø Ơ Ơ Ị Ơ Ị ỊØ Ù Ĩ Ø Ơ Ị¸ ØƯĨỊ Ø Ơ ơ Ị Ị Ơ Ùº Ỵ Ø Ù ØƯĨỊ Ị đÝ Ðđ A25 = × × = 60 ụ ẵẵ ề ề ề ễ é Ơ ½º½º º Đ Ø óÝ Ø Ø Ë Ị Å Ø Ị Đ ƠÐ Ơ Ơ Ð Ơ ´ ƯƯ Ị kƠ ỊØ ´ Ơ k Ị Ị Đ ỊØ Û Ø Ư Ơ Ø Ø ĨỊµ ØØ nƠ ềỉ ỉ ụ ề Akn éủ Ô k Ð ÝØ Ø Ô n Ô Ò Ø éủ E Akn = nk ẻ ẵẵ Õ٠ݺ Ị Ù ơ ị × 5Ị ịºỴ Đ Ị ÙỊ Ị Øõ Ị đỊ Ị ÕÙ Ị đỊ ÚđĨ ĐÙ ØỊ đỊ Ù Ị ÚđĨ ĐÙ đỊ ÕÙ Ý Đ Ø Ị ÚđĨ ÕÙ Ý Ị ØƯ Ị Ù Ị ÕÙ Ý Ị Ị × ÕÙ Ý Ị Ðđ A57 = 75 = 16.807 5Ị Đ Ø ÙỊ ÚđĨ ĐÙ Ịº À đỊ Đ đỊ Đ Ø Ĩ ½º½º Ì Ơ Ị Ị ểề ẵẵẵẳ ẹ ỉỉ kễ ềỉ ậ ụ ỉ Ơ Ơ ´ ĨĐ Ị Ø ĨỊµ Ø Ơ Ơ k nễ ềỉ ẻ Cnnk = ẹ ỉ ì ỉệ Ị n Ơ Ị Ø ´0 < k nµ Ðđ Đ Ø Ø Ơ Ù Cnk ¸ Ðđ n(n − 1) (n − k + 1) n! = k!(n − k)! k! n! n! = = Cnk , (n − k)!(n − (n − k))! k!(n − k)! kƠ ỊØ Ø Ơ k Eº Cnk = Ị Ị Đ Ø Ð Ý Ư Ơ Ị Ị Ðđ Đ Ø Ð Ý Ư n − k Ơ Ị Ø Ị Ðõ º Ì Ø× Ù Cn0 = Cnn = 1; Cn1 = Cnn−1 = n è ề ỉ ỉ ặ ễ ỉệ ềá ỉ Ị Ø Ø Ỉ ÛØĨỊ (a + b)n = an + Cn1 an−1 b + + Cnk an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + bn Ì Ý Ỵ n = 2, ủể ề ỉ ẵẵẵẵ ỉệ ề ỉ ụ ữề ềề ề C32 = ìề ề ị º Ê ƯđỊ × Ị Ðđ ×Ị ơỊ Ị Ø Đ ØỊ 3! = 2!.1! ỊƯ Ị Ư 2Ị ỊƯ øỊ Ø ×Ị Đ 3Ị A, B, C º à ¸ : AB, AC, BC ØƯ Ð Ơ¸ Ø ÕÙ Ị Ø Ù º ØƯĨỊ × Đ Ý ×Ị Ị Ðđ × Ø Ơ Ơ 5Ơ ỊØ ẻ íỉ C52 = ẵẵ ẩ ề ũ ỉ ỉ Ơ ơƠ ị Đ Ø ÙÝ Ị Ø Ị Ðđ Ị ØƯ Ị Ị Ø Ðđ Ị Ơ Ị º Ĩ đ ØĨơỊ ị Ø Ơ Ðđ Đ Ø Ị Ư Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị ¸ Ơ Ú Üơ ×Ù Ø × Ù Ịđݺ ÌƯĨỊ ÕÙơ ØƯ Ị Ị 5×4 5! = = 10 2!3! Ị õỊ Ị ị Đ Ø đ ØĨơỊ Ü Đ ủ ỉểụề ỉá ìể ìụề áỉ ẹ ỉì ề Ỵ Ð Ý Ơ Ị Ø ½º Ä Ý Ø ĨỊ Ø ¾º Ä Ý Ø ĨỊ Ị Ì Ø Ơº Ơº ơ ị Ø Ø Ø Ù ơ Ị Đ ØƯ Ị Ịº Ø Ơ ú Ð Ĩ Ú ị Ơ¸ Ị Ú Đ ềủể ặ ụễ ề ụ ề ụ á ề Ð ÝƯ ÙØ Ù ÕÙ Ị Ị Ị Ø Ị Ü Ø × Ùº Ị đ Ø Ơ kƠ ỊØ Ø nƠ ỊØ º µ Ø Ø Ø Ã ịĨ × Úđ Ú Ý Ø f (x) > Ú õỊ Ø đĐ Đ Ø Ị Ù Ò Ú ô Ò Ò Ù Ò Ò ØƯ Ị × Ù ÀđĐ × Üơ Ơ Ị Ơ Ù Ị¸ Ị ØƯ Ị ØĨđỊ ØƯ 0x¸ Đ x Úđ Ị Ị ØƯ ĨđỊ ÐđĐ Ị Ø Đ Ị Ị Ị º ÀđĐ × õØ õ Øõ 1 = ắ ẹ ề ểủề x = a ± σ Úđ ØÙỊ f= √ ´Ü Đ σ 2π σ 2πe x = a Úđ fmax À Ị ¾º µº y √ σ 2π √ σ 2e a ề ắ ỉ ỉ ẹì a Úđ σ Ị ĨỊ f (x) ØƯơ ´Ị Ù a Ð Ị Ø Ị Ị ịе Ø Ĩ ØƯ × Ø Ơ ÜÙ Ị Ø đĐ Ø f (x) a ỊỊ a+σ ÙỊ ÕÙ Ị ØƯ Ị ØƯĨỊ Ơ Ý ¸ Ị Oxº à Ị Ơ ỊƠ Ị Ư ¸ Ị σ ỊƠ Ù Ị Ù Ịº à ÙÝ Ị × Ị σØ Ý Úđ Ơ Ị x Ý Ị Ơ ị ´Ị Ù õỊ Ø Ø Ý ịĐ Ø Ø × Ĩ Ø õỊ Ị ể ì ề ỉ ể ặ ề ủ Ị σØ Ị ỊØ Đ ´Ü Đ À Ị ¾º µº f (x) a À Ị ¾º ÀđĐ Ơ ỊƠ x Ë Ø Ý ỊỊ ÙỊ Ị Üơ ×Ù Ø x F (x) = Ð Ị Ø ¸ Ø Ø ØƯ Ị x −∞ Ị Ị Ø Ị ĐỊ f (x) Ø Ĩ σ X Ơ ỊƠ f (x)dx = ụ ỉ ẹ ì ủẹ ỉề Ù Ò N(a, σ ) õÒ (x−a)2 √ e− 2σ2 dx σ 2π Ú Ị Úđ Ơ Ị × ÒÒ ÙÒ Ò E(X) = a; V (X) = σ Ì Ø Ø µ È Ị Ơ Ý σ Ðđ Ø Ù Ị Ĩ ØịỊ Đ Ø ØƯ Ị Ơ ØƯ Ø ỊỊ Ơ ỊƠ ÙỊ Ị ÕÙ Ø Đ Ơ Ù Ị ỊƠ aº a = Úđ σ = 1º ề ề ắ ẵẳ ề ề ề ể ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ Ðđ ØÙ Ị Ø N(0, 1)¸ Ị Ù đĐ Đ Ø Ị Ð Ị Ø ỊƠ U Ị Ị Ù Ị Üơ ×Ù Ø Ị ´×Ø Ị ØƯ ØƯĨỊ Ư ỊĨƯĐ Ð ĨịỊ (; +) ìỉệ ỉ ểềàá éủ ềỉ ẹ õÒ u2 ϕ(u) = √ e− 2π ¾º º½½º Ơ Ị Ơ ỊƠ Ù Ị Ù Ị Ù Ơº ¸ ØỊ Ø Ù Ị È Ø N(a, ) ặ ỉ ũì U ễ ỊƠ Ðõ ¸ Ị Ù Ø Ị Ø U= ÌỊ Ðđ ØƯ Ơ Ơ Ị Ơ Ù Ị X ễ ềễ ụ ìỉ ề ệ ề ểệẹà Ị Ơ ÷Ị Đ Ø Ơ Ơ Ị ØÙÝ Ị σU + a Ơ Ị Ơ N(a, σ ) Ø N(0, 1) Üơ ×Ù Ø º ĨỊ Ù Ị Ù Ị ỊƠ N(0, 1)º à ٠Ị X−a Ơ ỊƠ σ đĐ Ơ Ơ Ù Ị Ø ỊđÝ Ư Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị Úđ Ĩ Ơ Ơ Ø Ø Ị ÷Ị Ø X −a Ị σ õ Ð X Đ Ơ ỊƠ Ðđ Ù Ị õỊ Ù Ị ϕ(u) −1 À Ị ¾º Ø Üơ ×Ù Ø đĐ ϕ(u) Ị Ị ØƯ ØÙỊ Ðđ ỊỊ ề ề U ễ ềễ ỉ àẻ ủẹ ủẹ ϕ(u) Ü Ị Úđ Ù Ị Φ(u) = ắ ẵắ u ừề ề Ị ¾º º ÀđĐ Ơ ỊƠ õỊ u u2 e− du −∞ ϕ(u) Ị Ị ØƯ ØÙỊ Ðđ Ü Ò Ò Ò P (−∞ < U < u) = P (−∞ < U < 0) + P (0 U < u) Ó u Φ(u) = ϕ(u)du = + ịỊ u − u2 Φ0 (u) = √ e du 2π ØƯ đĐ Ä ƠÐ ẻ (u)du = + (u), ắ −∞ ØƯĨỊ u Ðđ Ø Ơ Ị Ä ƠÐ ¸ Φ0 (1, 96) = 0, 4750 ØỊ ×ùỊ È Ð ´ µÌỊ ´ µ Ø µỴ Đ u>5Ø Φ0 (u) ≈ Φ0 (5) = 0, a = Úđ σ = Ị Ị ụ ỉ ẹ ì éủ ề ễé (u) = (u); àẻ ỉ ễ ỉệ Ò ÒÒ ÙÒ Ò U Ô ÒÔ Ù Ò E(X) = 0; V (X) = ØƯ Ø õỊ ề ề ề ắ ẵ U ễ ềễ ụ ØƯ Ø Ù Ị õỊ Ù Ị Đ α¸ Ø ĐóỊ Ù Ù Ðđ uα ¸ Ðđ ØƯ ỊỊ ÙÒ Ò uα Ò P (U < uα ) = è ề ề áỉ ỉ í ệữề ể ØƯ Ø Ị ×ùỊ ØƯĨỊ È Ð Ì Ø ịỊ α, Ø Ø Ị ØƯ ØƯĨỊ À ề ắẵẳ ỉ ỉ í ễ u ủ ề ề ØƯ Ø uα ¸ Ú Ðõ º ô ØÖ u0,975 = 1, 96; u0,95 = 1, 645; õÒ Ù Ò Ø Ò Ø uα = −u1−α (u) u1 u ề ắẵẳ Ì Ị Üơ ×Ù Ø ØƯĨỊ Ơ Ị Ơ Ơ ỊƠ ị× Ø Ị Üơ ×Ù Ø Đ Ị Ị ÙỊ ỊỊ ØƯ ØƯĨỊ Đ Ø Ø Ðđ ỊØ õỊ Ù Ị Úđ Ơ Ị Ơ ÙỊ Ị U ØÙ Ị Ø Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ ịỊ º Ì ØƯ Đ ỊÚ Ơ Ị ØƯơ Đ ỊÚ Ơ ỊƠ ị uα Ù Ị ỊX Ị ĨịỊ Ĩ ØƯ Ị È Ð Ị ĨỊ Ù Ị ØỊ ØƯĨỊ Ị Å Ø Ị ØƯ ØƯĨỊ ỊƠ Ù Ị Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị ĨịỊ Ĩ ØƯ ỊØ µ Ị ØƯơ ØỊ ỊØ Đ ỊƠ ØỊ Ị ØƯơ ỊØ Đ u1 ØƯ Đ Ø Ý º ØƯ Ị đĐ Φ(u) ØỊ ỊØ ễì ẹ ỉ ụ ỉệ u0 ể ỉệ Ø ØƯ ØƯ Ø Ơ ỊØ Đ Ø ØƯ u0 Ĩ ØƯ ¸ Ø Ð Ý ØƯ º Đ Ị Ị÷Đ ØƯĨỊ Đ ỊƠ ĨịỊ º N(0, 1)º ÀóÝ ịỊ Ơ Ð º ´ µ ´ ỊỊ đ ØĨơỊ ØƯ Ị Ø ´µ Ù Ị Ù Ị éủ ỉ ề ĩụ ì ỉ ủ ỉểụề ẵ ũ ØƯ Ø u (u0 , u1 )¸ Ø Ð Ý Ị ØƯơ Đ u0 º ỊØ Đ ỊƠ ẻ ắ ẵ úí ỉ ề Ị ØƯơ P (U Đu 1, 63)º ×Ù Ø ỊđÝ Ø P (U Ị Ị Ú Đu = 1, 63 ĩ ẹ ề ắẵẵà èệ ẩ Ð ¸ đỊ u = 1, Úđ Ø 0, 03á ỉ 0, 5) P (U ụ ì ỉ ềủí Ø Ị Ị Ú ỊØ ×Ù Ø P (U µ ÀóÝ Ø Ị P (−0, U À ề ắẵ è ề ắẵắ 1, 63) 1, 0) ×Ù Ø ỊđÝ Ø −0, 5) = 0, 3085 Úñ P (U P (U 1, 0) = 0, 8413 − 0, 3085 = 0, 5328 ØƯ u0 × Ĩ Ĩ ØƯ ĨđỊ Úđ ỊØ Ị Ø ứề ề 0, ẳ ệữề ừề ỉ ề ØƯơ đỊ Đ P (−0, ỊƠ Ù Ị X β)¸ ØƯĨỊ ỊỊ U ÙỊ Ị U, U 0, 95 = A2 1, 0) u0 ề ắẵ ĩ Ị ÕÙ Ú Ị a=0Ị Ị ØƯ u u0 ÒØ Ñ Ò − 0, 95 = 0, 025; A1 + A2 = 0, 025 + 0, 95 = 0, 975 Đ Ị u0 Ị Ị P (U ũì u0 u ẵ A1 + A2 ề Ðđ Üơ ×Ù Ø ỊỊ ỊỊ u0 ) = 0, 975 ÌƯ È Ð 4¸ Ø Ø Ý 1, Úđ Ø 0, 06 Ĩ đ ØĨơỊ ¾º P (α A1 = 0, 025 ×Ù Ø ỊØ ẹ ề ỉệểề ẹ ề ắẵ A2 A1 = ỊØ ϕ(u) A1 = 0, 3085 Ơ −0, 5) P (U 1, 0) = 0, 8413 ×ÙÝ Ư P (−0, Đ Ị ±u0 Ðđ 0, 95 ´ ề ụ ì ỉ (u) u 0, ẳ u ẵá ề ắẵẵ ề ắẵ 0, 5) = A1 = 0, 3085 ẳ è ẹ P (U (u) ẳá ềễ ũ 0, 5) = − 0, 3085 = 0, 6915º ϕ(u) Ø Đ ỊƠ = −0, ´Ü Đ À Ị ắẵắà èệ ẩ é ủề u = 0, ỉ 0, 3085 ẻ í ĩụ ì ỉ ề Ø Đ Ðđ P (U Ỵ Đ ỊƠ 1, 63) = 0, 9484 ´ µ ÀóÝ Ø Ị ´ ỊØ ÙỊ ÙỊ Ị Ị ØƯ ỊđÝ Ị÷Đ Ø ØƯ Ú Ị Ị u0 = 1, 96 Ị X ØÙ Ị Ø (α, β) Ðđ Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ ĨịỊ Ĩ ØƯ Ø Ý º ỊƠ Ù Ị N(a, σ )º ÀóÝ Ø Ị ịº Ú đ ØĨơỊ ỊđÝ Ø Ị ÙÝ Ị Ø Ơ x−a = u¸ Ị σ ỊƠ β) = √ σ 2π X ỊƠ Ù Ị x = σu + a Úđ dx = σdu Ì Ĩ Ø Ị Ø β P (α Ù ỊÚ Ơ e− dx = √ 2π (x−a)2 2σ α β−a σ u2 e− du = Φ0 ( ÷Ị đĐ Đ Ø Ø α−a β−a ) − Φ0 ( ), σ σ a ắ u u2 (u) = √ Ø Ị ×ùỊ ØƯĨỊ e du Ðđ Ø Ơ Ị Ä ƠÐ ¸ Ú ơ ØƯ 2π È Ð ÌƯ Ị Ơ ØỊ Ù ĨịỊ Ị Ü Ø Ðđ Ü Ị ÕÙ a¸ Ø Ðđ ĨịỊ õỊ ØƯĨỊ (a − α, a + α) Ø Ø µ ÉÙÝ Øú À Ü Đ Úđ P (|X − a| α α) = 2Φ0 ( ) σ ĩ ẹ èệểề ề ỉ ủ ắ ắ ỉệ Ò Ò Ù Ø Ø α = 2σ α = 3σ Ø P (|X − a| 2σ) = 2Φ0 (2) = × 0, 4772 = 0, 9544 Úđ P (|X a| ắ ẵ ề ề ẹ ỉ Ơ Ỵ ÕÙÝ Øú ØƯ Ị X Ị Ø ề ễ ề ỉá ìểề ĩ ẹ X éủ Ù Ị Ø ØĨđỊ Ị ØƯ Ø đ ÙỊ Ị Ơ ØƯ Ø Ø X Ư Ỵ Ø ỊƠ ĨịỊ Ù Ĩ Ị Đ Ị Ị Ù ỊÚ ểũề ĩụ ì ỉ ĩ ẹ éừ ẹ ỉ × Ị÷Đ ØƯĨỊ ĨịỊ Úđ ỊỊ Ị ×ịỊ ÜÙ Ø Ư ØÙ Ị Ø ĨịỊ ´ µ Ì Đ Üơ ×Ù Ø Ð ÝỊ Ð Ị ÙỊ ÙỊ Ị Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ù Ò (19, 7; 20, 3) Ü Ò ÕÙ (20 − 0, 3; 20 + 0, 3) a = 20 ủ ắ ỉ 0, ) = 2Φ0 (1, 5) = × 0, 4332 = 0, 8664, 0, (19, 7; 20, 3)º ´Ü Đ ØƯ ĨịỊ 87% Ø Ø ×ịỊ ÜÙ Ø Ị Ú µ Ị Ø đỊ Đ ØÚ Ị a = 160 и σ = 6 Đº Å Ø Ø Ị Ị Ị Ò Ò Ò Ü (a − 2σ, a + 2σ) Úđ Ị Ðđ ỊỊ Ĩ Ðđ Ð Ị Ị Ù 155 Đº ´µÌĐØ Ð Ø Ị (a − 3σ; a + 3σ) Φ0 (1, 5) ØƯĨỊ È Ð 1º ẻ í ềữẹ ỉệểề ắ ẵ ễ ủẹ ề ề ặ ềữẹ ỉệểề ểũề P (|X − 20| < 0, 3) = 2Φ0 ( ØƯ ỊƠ ỊƠ ÕÙÝ Øú À ØƯ ØƯĨỊ Ø (19, 7; 20, 3) Ị Ðđ 0, 4332 Ðđ Ị X Ĩ Đ Ø ĐơÝ Ø σ = 0, 04 Ị Ị σ = 0, 2¸ Ø Ĩ Ị Ø Xì ề ề ỉ ỉ ì ặ Ù ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ ĐóỊ 95, 44% N(20; 0, 04)º Ì Đ Ø Ð ĨịỊ Ị Ị Ø ềề ụ ắ ẵ ũẻ 3) = 20 (3) = × 0, 49865 = 0, 9973 Ú Ò Ò 4Ò º Ø ØÒ Ø 1Ò Ò Ð Ịº ÙỊ Ị Ù Ĩ ịº´µ ºÌ X Ðđ Ĩ ×Ù Ø ịØ ỊỊ Ø Ð ÝỊ ÙỊ Ị X Ơ ỊƠ ÙỊ Ị 1Ị Ù Ĩ Ù Ị Ø Ị ĐØ Ị Ị Ị ØƯ N(160; 36)º Ì Ð Ø Ị Ị Ị Ù ĨỊ Ị Ị Ø đỊ Ú Ị Ú Ị Ðđ Üơ Ð Ị 155 Đº Ì − 160 155 − 160 ) − Φ0 ( ) 6 160 = Φ0 ( ) − Φ0 ( ) = 0, 4999 − 0, 2967 = 0, 2033 6 P (0 < X < 155) = Φ0 ( Ỵ ÝØ Ð Ø ´ µ Ị Ị Ị A Ðđ Ù Ĩ ØƯ Ị ĐóỊ Ð Ị Ị Ú Ị Ị ØỊ 155 Đº à Ị Ð Ðđ Ị ƯỊĨÙÐÐ Ú Ø 20, 33% 1Ị Ị A Ðđ à Ị Ð Ị ¸Ị Ị Ðđ ị Ị 4Ị ỊđĨ Ĩ º Ị đ ØĨơỊ Ø n = 4¸ Ø P4 (1, 4) = − P4 (0) = − C40 (1 − 0, 2033)0 × (0, 2033)4 = − 0, 0017 = 0, 9983 ¾º º ẫí é ỉ ề ề ễ ề ề ắ ẵ ạìế ệ ữề ề ỉ ềề ề ề é ề ỉ ìỉệ ỉ ểềà ỉ n Ðđ Ơ ỊƠ Ø Ĩ Ị Ù đĐ Đ Ø Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø Üơ ×Ù Ø Ị +∞ x−1 −t t e dt, Γ(x) = 0 x x n2 Γ( n ) Ú n −1 e x Ø Ø x > Ðđ đĐ x > 0, ĐĐ ặ n éủ ẹ ỉ ì ề í Ị Ø đĐ f (x) õỊ Ị Ị Ú f (x) x 2(n) ề ắẵ Ø Đ × Üơ Γ(n + 1) = n! ề ì f (x) = ỉệểề Ị ¹χ Ơ ØƯ Ị Ø đĐ f (x) Ã Ú Ị ØĨơỊ Úđ Ơ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ị × E(χ2 ) = n; V (χ2 ) = 2n Ị Ơ ỊỊ ÙỊ Ị Ị χ2 Ðđ µ ØƯ Ø Ị ÙỊ Ị õỊ ØƯ Ø χ2 Ø ĐóỊ õỊ Ù Ị Ơ Ị Đ α¸ Ù 2(n) χα ¸ Ðđ ØƯ Ị Ị P (χ2 < χ2(n) α ) = α ơ ØƯ Ø ¾º º 2(n) χα Ị ÉÙÝ ÐÙ Ø ËØÙ ề ề ắ ẵ ỉ n ừề ềề ỉ ề ìựề ỉ ủề ềỉạèềà ề ể ề ủẹ Đ Ø Ị Ð Ị Ø Üơ ×Ù Ø ØỨỊ ỉ ề ề ề ề ữề 0à N(0, 1)á Ị Ị n Ø Ĩ Ơ ỊƠ ó Ø Ơ nỊ Ðđ Ơ Üơ Ị Ø π(n − 1) Ù Ị Ĩơ¸ Ơ Ơ ỊƠ ơÐ ỊỊ Ư Ø ỊØ 1+ ỊƠ t2 n−1 Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø ËØÙ Ø −n ỊØ Ú , ĐĐ º ỊƠ ËØÙ Ị Γ( n−1 ) (−∞ < t < ∞) Úñ Γ(x) Ðđ đĐ µ T Γ( n2 ) f (t) = Ú ịỊ Ơ Ð º ỊƠ T ỊÚ Ơ Ü Ị ÕÙ T Ị ĨỊ Đ Ø ỊƠ T Úđ Ơ Ị Ơ Đ Ơ Ù Ị Ĩơº ÌƯĨỊ Ø Ù Ị Ĩơ N(0, 1) Ðđ Ị O ´Ø Ðđ Ị Ị Đ Ø Ø Ị Ù Ò Ùº n ≥ 30 f (t) α α (n) t ề ắẵ ụ ỉ ẹ ì ỉệ Ị Ø (n) đĐ f (t) Ã Ú Ị ØĨơỊ Úđ Ơ T Ø ØƯ Ø ĐóỊ õỊ Ù ØƯ Ø õỊ ËØÙ ÕÙÝ ÐÙ Ø ËØÙ Ị × E(T ) = 0; V (T ) = µ t t1−α ỊỊ ỊØ ÙỊ Ị n n−2 (n) ỊØ Đ α¸ Ù Ðđ tα ¸ Ðđ ØƯ ỊỊ Ị P (T < t(n) α ) = α Úđ Ø Ị ×ùỊ ØƯĨỊ È Ð (24) ịỊ ØƯ (24) Ơ T (n) Ðđ Ị Ú ËØÙ t0,975 = 2, 064; t0,95 = 1, 711; (n) ỊØ tα ¸Ú ÙỊ Ị ¾º º Ị Ð õỊ ÌƯĨỊ Đ Ịđݸ Ø ÕÙ Ị Ø Đ Ðđ ÐÙ Ø × Ð Ịº è ì ề ề ú ỉ ệữề ụ ỉệ ềủể ØƯĨỊ Ị Ø Ị Ị Ị Ị Đ ề ụ ề é ắ ắẳ ứề ề ỉ ỊỊ ÙỊ Ð º ÌƯ Ø Ị Ø ØỊ Ị Ị Ơ Ơ Ø ÙỊ Üơ ×٠ظ ỊỊ º ÌÙÝ Ị Ị ỊØ ÙỊ ´ ềá ề ỉ ề ì ẹ ỉ ỉ ỉ Ị ú Ðõ Đ Ø × Ị ÕÙ Ị ỉệ ề ỉ íạậ ệị ể íạậ ệịì ề ế é ỉíàà ề Ò E(X )E(Y ) ¾º º¾¾º ÙÒ ´ Ù õỊº Ã Ø øỊ Ø Ị Ú Đ Ý× Ú Ị Úđ Ơ Ø øỊ Ý× Ý× ề ề é ắ ắ íì ẹ ỉ ếí ÐÙ Ø Ô a = E(Xj ), σ = V (Xj ) Ðñ X n = (X1 + + Xn )/nº Ã Ú Đ ó Ị ặẹ ẹ ề é ế ề ỉệ ề ná ì Ù ị × Ú Đ Ù X n Ðđ ỊỊ ÙỊ Ị Ị Ù Ị Ị Ĩ ǫ>0 Ø Ý ắẵẳà lim P (|X n a| < ) = Ð Ơ Úđ Ơ Ị Ị × Ù X n Ðđ ØỨỊ Ị Ơ Ị Ị Ị × Ø Ị Ị Ø ơ Ø ỊỊ ØỊ ÙỊ V (X n ) → ÜÙỊ ÕÙ Ị × Ð Ị Ðđ Ị ØƯ Ị ĐỊ × n → ∞ Ú Ị a Ø Ø Ù ỊđÝ Ĩ Ø n → ∞ Ĩ Üơ ×Ù Ø Ĩ Ị X1 , , Xn Ỵ Xj Ðđ Ú Ị E(X n ) = a, V (X n ) = ¸ Ị j = 1, , n ỉ n ệữề é ệìà ể X1 , X2 , Ðđ Đ Ø óÝ ụ ẹ ề > 0á ẹề ĩụ ì ỉ ủ ừề ẻ ề V (X) ) Ị Ơ Ù Ú Ä ÛĨ Ä Ư ´ÄÙ Ø × Ð Ị Ị Ø ị × Ư÷Ị X éủ ẹ ỉ ì ề ế é ỉíàà ừề à Ðđ ÄÙ Ø × Ð Ị ´Ì Ø ÙÝ ỉ ĩụ ì ỉ é ễá ỉ ề E(X) ǫ ǫ) Ú´ Ị × ỊỊ ǫ>0 P (|X − E(X)| Ị ị × X Ðđ Đ Ø Å Ư ể ệ ểì ề ế é ỉíàà P (X ØỨỊ Ị õỊº Ø øỊ Ø ĐÚ Ỵ Ø Ị ề X ủ Y ắ ắẵ ề ế ề ØƯ Ị Ị Đ Ø ú úỊ ỊØ E(XY )2 Ị Ị Ú Ị ĨơỊ ØƯ Ø Ü Ø Ị Đ Ø Ð Đ Ø × Ð Ị Úđ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ø Ø Ị Ị Đ Ø ØƯĨỊ Ị Úđ Ơ × Xn Ø Ị σ2 n í ệữề ễ áỉ ỉ ỉệề ề Ị × Ị Ơ Ø Ý X n ØƯ Ị Ị Ø Ơ Ị Đ Ø × Ð Ị ÐÙ Ø Ị Ị ÙỊ ỊÚ ỊđÝ ØƯ ØỨỊ Ị Ø Ư÷Ị Ø Ị ØĨơỊ Ị ìểề ề ữề ỉệề ì é ề ỉ ề Ø Ì Ờ ØỨỊ × Ø øỊ Ø ỉ ề ẹ ỉ ì ề ề ề ề ơỊ Ị Ù ×Ĩ Ú Ù Ị Ị Ðõ Ị Ị Ø Ị Üơ ó Ù Ú Ị Ị ØƯ Ĩ ÄÙ Ø Ø Ư Ø ÐÙ Ị Ú Đ Ø Ị Ð Ðđ Ĩº Ị ĐỊ Ị ݺ Ị Ơ ơƠ Đ Ù Đđ Ø Ị ÙỊ Üơ ×Ù Ø Ư Ø Ð ề éủ ễ ỉ ỉ ĩụ ì ỉ ỊỊ ØƯ Ị Ú Ị ÙÚ Ý× Ị Ị Ị ÙỊ Ð Ị Ú Ị ØĨơỊ Ư Ị Úđ Ư Ø Ị Ù Ø º ệềểéé ặ f éủ ỉ ề ì ỉ ÜÙ Ø ´ÄÙ Ø × Ð Ị Ð Ơ Úđ p Ðđ Üơ ×Ù Ø ÜÙ Ø Ø Ð Ơ Ø Ị Ị Ị Ị Ị Ð ¾º º¾ º Ị Ú Ị ØĨơỊ Ù ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ Ø Ø Ø Ĩ¸ ơƠ Ị Ị ØƯĨỊ Ø Ị Ù ØƯ Ị Đ Ø Đ Ù Ị × Ð Ø ÙÝ Ø ÙỊ Ị Ị Ư Ø Ị Ị Ơ ơƠ Ị ØĨđỊ ỊỊ Ị × Ị Ðđ Ơ Ị Ị × Ị Ị ØƯĨỊ Đ Ị Ơ Ơ Ø Ø Ị A ØƯĨỊ n Ơ Ơ Ú Đ ǫ>0Ị Ø Ý ¸ Ø ÐÙ ề ắẵẵà lim P (| f p |< ) = n→∞ Ị Ị Ị Ð Ị ØƯĨỊ Ô Ô Ø n Ô Ô Ø Ø Ò Ð ề ì ỉ ề ẻ ềễ ẹ ỉ ỉệ ề Ị Ị Ú Ị õỊ¸ Ị Ðđ Ø ÕÙị Ø Ü Üú º Ã Đ Ị Ø × Ú Ị Ĩ Üơ ×Ù Ø Ị Ị Ị Ø Ị ×Ù Ø ÜÙ Ø ØƯĨỊ Đ Ơ Ơ Ø Ø Ị ×Ù Ø ÜÙỊ ÕÙ Ị Ð Ø ÙÝ Ø Üơ ×Ù Ø Ø Ú ÕÙÝ ÐÙ Ø Ù Ị¸ Ø Ü Ø Ú Ĩ Đ Ø ĨỊ Ü Üú Ù¸ Ú Ø Ø Ð Ơ Ú Üơ ×Ù Ø ÜÙ Ø ỊĐ ỉ ắ ắ ề ẹề ì ụ ỉệ Üơ º ݸ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ ƯỊĨÙÐÐ Ðđ Ị Ð Òº i = 1, , 6º À Ò a = 3, 5, Ú Ð Ù Ị õỊ Ú × Ø Ị × Đ ÜÙ Ø × Ù X Ðđ X = 1, , Ú Ị ỊỊ ÙỊ Üơ ×Ù Ø Ø Ơ ỊƠ Ị Ị Ị P (X = xi ) = 1/6 Ðđ Üơ ×Ù Ø Ðđ Ơ øỊ Úđ Ü Ị ÕÙ σ = 1, 71 ĩ ẹ ề ắẵ p(x) 0, 15 0, 10 p(x) 0, 05 À Ò ắẵ í ĩ ỉ ẩẩ ậ ỉ é Ý Ị Đ Ø ØƯ Ị Xn ẹ éủ x ề ắẵ n=1 n = 2¸ Ị ĨỊ Ü Üú º à Ðđ Ó Ø ØÒ ÈÈ Ë Xn ÓÒ Ü Üú Úđ × Ơ Ị Ø ØƯĨỊ x n=2 Ðõ Ø Ị Ị × Đ ỊĐ Ù n(S) = 36 Úđ Đ Đ Ø Ø Ị Ðõ ØƯ Ị X = (X1 + X2 )/2 Ù Ị ¸Ú Ị Ị Ù Ị Ú ´Ü Đ n = 3, 4¸ Ø Ị Ị Ø Ý Ư÷Ị đỊ ÈÈ Ë ĐỊ Ù Ị Ị ×Ĩ Ú Ơ Ị Ơ ó ÒÔ õÒ Ò a = 3, Ø Ô X Úđ Ú Ị Ị Ị ỊƠ Ü Ò ÕÙ Ò a, V (Xk ) = σ Ðđ X 3, X Ú Ị a = 3, ặ ề ụ ẹủ ỉ ềủể ềá ỉ ẹ ỉ ì é àặ ỉ ề ỉ àặ ỉ ề ỉ ẹ ềủí ề x Xn n=4 ØỨỊ Ị Ị × Ị é ì ề éủ ề ễ ná ĩụ ì Ø Üơ Úđ ị × E(Xk ) = Ø X n = (X1 + + Xn )/nº à ٠ỊÚ Ú Ị Ðđ a Úđ Ơ Ø Đ Ðđ Ĩ Ơ Ơ Ø Ị Ị Ị Ơ é ễá ề ẹ ỉ ễ íì ỉ ề ỊđĨ Ø ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ Ị Ơ Ị ¸Ú Ị × n Ðđ σ /n Ù Ị Ü Ơ Ü ỊƠ Üơ ×Ù Ø Üơ ỊƠ Üơ ×Ù Ø Ú Ơ Ị Ị n Ø Ịđݺ ØƯ Đ Ù n Ðđ n Ơ Ø Ù ÚđĨ õỊ Ð Ị Ã Ø Ị Ø Ơ Ø Ù ÚđĨ Ú Ø ĐÙ Ị Ü Ơ Ü Ị Üơ Ị Ị Ị Ù Ị Ơ ỊđĨº ÌÙÝ õỊ Ù Ị Ø Ơ ỊƠ Đ Ù X n Ị Ðđ Ù Ị Úđ Ị Ị ẹ ẹ àặ ỉ ề ỉ nỉ ềễ × Ù Đ Ù ó Ơ Ø Ù ÚđĨ Ú Đ Ù ỊƠ ÙỊ Üơ Üơ Ĩ Ù Ø Ð ÝĐ Ù Ị Ị Ù ỊÚ Ð Ịº ÄđĐ Ø Ị ỊỊ ơ ¸ Ị Ĩ Ø Ø n ¾º º¾ º Đ õỊ ØỨỊ Đ Ø Ø Ị Ù Ị Ù ØƯị Ð Ð Ó X1 , X2 , , Xn , Ðđ Đ Ø óÝ ỉ ẹ k ẻ Xn ì ĩ ễ ĩ Ơ Ơ Ù Ịº Ị Đ Ø ÕÙÝ ÐÙ Ø ễ ẹ ểệ ẹà ừề ỉệề ừềá ỊƠ Ð Ð Ơ¸ Ị n đỊ Ø Ị Ð Ị Ø ỊØƯ Ð Ä Đ Ø Ì ề ắắẳ ẩẩ ậ n=3 X n ủề ĩ Ô Ü Ô Ò Ô ´ ÒÔ x ỉệ ềá ệ ệủề ệữề ề é ềá ễ Xn õỊ ØỨỊ Ø Đ ´ ´ Ú Ị 0, 05 Ị Ð ¾º º¾ º Ị Ü Ị ÕÙ 0, 05 Ð Ơ Ư÷Ị 0, 10 ỊỊ ỊđĨ ¾º½ º Ị º Ã Ø ÕÙị Ðđ Ơ p(x) 0, 15 ÌƯĨỊ Ú Ơ ÀỊ ØƯ ØỨỊ p(x) 0, 15 0, 10 ề ắẵ ề é í ề ắẵ ắắẳà n ủí ủ Ị Ì Ơ Ø Ø Ị Đ Ù Ð Ị õỊ Ị Ị Đ Ù Ù Ơ ị Ðđ õỊ Ðđ Ü Ơ Ü ØØ Ø ÕÙơ Ð Ị ´ÌƯĨỊ Ỵ õỊ Ðđ 30 Ü Ị Ø Ü Ị é áỉ ễ ềễ ẹ ắ Ị Ơ ỊƠ Đ Ù Xn Ị Ü Ơ Ü n = 3, 4µº Xn Ü Ơ Ü Ù Ị ẻ ẹ ỉ ỉ é ềỉ ỉ đỊ ¸ Ị Ð õỊ ØỨỊ Ü Ơ Ị Ð × Ù Ðđ Đ Ø × ØƯ ỊƠ Ị ƯỊĨÙÐÐ Ú Ø Ị ỊƠ Ị x º ÌÙÝ Ị Ị¸ ỉệ ềá ỉ ỉ ì ề é ắ ắ n Úđ k ´ Ị Ị Ð ´ Ị ỊƠ Ù Ịº Ị Ị Ðđ Ị Ĩ Đ Ø óÝ Ò Ð P (A) = p k Ð Ò Ó Ø k1 Ĩ Ị Ð n Ơ Ơ Ø ƯỊĨÙÐÐ Ị k2 Ð Ị ØƯĨỊ n ƯỊĨÙÐÐ Ðđ Ư Ø ề ề ụ ĩụ ì ỉ ẻ ụ ũỉ Ø n Ư Ø Ð Ị¸ ØƯĨỊ ƯỊĨÙÐÐ ¸ Ị Ø λk −λ e , k! p Ðõ Ö Ø ề ẵà ỉ í Pn (k) ì ể ể np = λ Ðđ Ü ƠÜ ÷Ị λk −λ e k! nƯ ØÐ ỊỊ Ị p Ị ÕÙơ Ị Úđ ÕÙơ Ø (k−np)2 e− 2npq = 2πnpq k − np x2 x= √ Úñ ϕ(x) = √ e− Ðđ đĐ npq 2π Ị Ð ¾º ẳ ề é ĩụ ì ỉ ỉệểề ừề ỉ Ô Ò Ð lim Pn (k1 , k2 ) − √ n→∞ 2π Ỵ A ÜÙ Ø ÅĨ ÚƯ ễé ặ é n ềà ặ ƯỊĨÙÐÐ ¸ Ị Ø x2 − t2 e dt = 0, x1 Ý Pn (k) ≈ √ ϕ(x), npq ìì nệ ỉé ềề ẵ ỉ ề p Ü ÔÜ Ý Pn (k1 , k2 ) ≈ √ 2π Ị ÕÙơ Ị Úđ ÕÙơ Ð Ị ÷Ị x2 t2 x1 e− dt = Φ0 (x2 ) − Φ0 (x1 ), ki − np x − t2 xi = √ e dt Ðđ đĐ Ä ÔÐ º , i = 1, Úñ Φ0 (x) = √ npq 2π ØƯĨỊ n õỊ ØỨỊ Ø Đ¸ Ĩ Ơ Ơ Ø Ü Ơ A ØƯĨỊ Đ ỉ ễ ễ ỉ é ẩể ììểềà ặ lim Pn (k) ỉ ì ẻ ề ụ Ü Ơ Ü × Ùº Üơ ×Ù Ø ØƯĨỊ Ị Ð ¾º º¾ º Ị Ð Ø Ø Đ Ø Ị n→∞ ØƯĨỊ Ị Ị −∞ Ð ềá ỉ ề ĩụ ì ỉ ỉ lim Pn (k) = Ð ỊØ Ị t2 ÈĨ ××ĨỊ Ĩ Ơ ề ề ẻ íá ề ữề ì ỉ e− dt = Φ(x) ƠƯ Ị Ị Ø ề ĩụ ì ỉ ề ủ ề ữề ễ ĩụ ×Ù Ø ÜÙ Ø ĨØ Ị Ø Ơ Ơ Ø Ø Ĩ Ư÷Ị P (U < x) ≈ √ ụ ỉ ẹ ắ ẵ ỉĩ ề 300 é è ẹ ĩụ ì ỉ ề ỉề í ệữề ỉệề ỉệểề ẹ ỉ ỉệ Ị 2Ð º Ø Ị ×ơ Ø Ð º Ị Đ Ø Ù Ị ×ơ 500 ØƯ Ị ×ơ ũ ẻ ĩụ ì ỉ p ì é Ð Đ Ø Ð Ðđ Ư Ø Ị X ØƯĨỊ Đ Ø ØƯ Ị ×ơ Ðđ Đ Ø Ø Đ× = np ữề ì é ủ ì ềề ỉệề ÙỊ n ØƯĨỊ Đ Ø ØƯ Ị ×ơ Ðđ Ư Ø Ð Ị Ị Ị Ị Ơ ỊƠ Ü ƠÜ Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị ØƯĨỊ Đ Ø ØƯ Ị ×ơ º Ỵ 500 ØƯ Ị ×ơ 300 300 = 0, Ĩ Ị Ị × Ð ØỨỊ Ị ØƯĨỊ Đ Ø ØƯ Ị ×ơ Ðđ 500 (0, 6) −0,6 ´ µ P (X = 2) = e = 0, 2! ´ µ P (X 2) = − P (X = 0) − P (X = 1) = − 0, 549 − 0, 359 = 0, 122 đ Ø Ơ ½º Å Ø Ð đỊ Đ ỉệ ìũề ễ ẹ ỉệểề ắ èệểề ẹ Ø ỊƯ Ị ÙỊ Ø Ị Xº Ơ Ø Ú Ị Øị 0, Úđ 0, Ị ỉ ỉệểề ề ề 6ỉ ẹỉ ĩụ ì ỉá ỉ Ị º Å ØỊ Ø Ị đ Ơ Ị đỊ Ø ỊØ Ú Ị ¸Ơ ĨịỊ Ị ỊƯ ×ịỊ Ơ Đ Ị Ø Ư÷Ị Đ Ị 10 Ü Ị Úđ Ị º ÀóÝ Ð Ơ Ị × Xº Ơ Ị Ơ Ị × Xº 3Ø ẹỉ ềễ X éủ ĩụ ì ỉá ỉ ề Ị × 3Ø Ị Ị Ø đỊ Ø Ðđ ¼¸ Đ Ø Ị ỊƠ Ị X Ð ƠÚ ỉ ề ẳá ủ ẳá ỉ ủể ề ẹ X éủ ì ỉ ĩụ ì ỉá ỉ ẹ ủẹ ễ ề ú ỉ ĩụ ì ỉ ỉ ề ØỨỊ Ị ºÄ ÝỊ Ø ỊƯ Đ ØƯ º Ä Ơ ỊƠ X Ị Ü Ị Ø ịỊ ×Ù Ø Ø Đº Ä Ơ ịỊ Ơ Ơ Ú Ị ¸Ơ Ú Ị Úđ Ơ Ð ỊÐ 0, 2; 0, Úđ 0, À Ù Ị ¸Ị Ù Ịº Ù Ị ØƯĨỊ Ị đÝ ÐđĐ Ú º ễ ũề ễ áỉ ề ì ề ề Ò Ù Ú Ò Ø Ò ñÒ Ò Ò º Ä ÝỊ ×Ù Ø ØƯĨỊ Ị đÝ ÐđĐ Ú ụ ỉ ỉ ề ĩụ ì ỉá ỉ ẹ đĐ Ơ Ị ÕÙ Ị Ơ ị ÕÙ Ị Ðđ ỊỊ Üơ Xº Ị Ø Ø Úđ Ü ề ề ỉá ỉ 3ỉ ề ì ĩụ ×٠ظ Ø Ị 3Ị Ú Ị Úđ Ơ Ị ó Ø Ø º Å Ø ÙỊ Üơ ×٠ظ Ø Ị ỊƠ ĨõØ ỊƠ Đ Ø Ị ÙÚ ỊØ ĨỊ ỊỊ Ị Ø Ø ØƯĨỊ × ỊƠ X Ðđ × Đ X Ðđ × Úđ Đ Ø ủề 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Ø Đ đĐ Ơ Ị Ơ đĐ Đ Ø Đ Ị Ơ Üơ ×Ù Ø f (x) = Ø ễ x / (0, 2) ì ẹá ì ẹ ỉệ X ẵ è ẹ ỊƠ Ú Ị Ĩ õØ Ý Ù Ù Ø ´ µ x ∈ (0, 2) Ị × đĐ Đ Ø Ị ơỊ ØƯị Ð ¸ ØƯĨỊ ÙØ Ø ỉ ề ĩụ ì ỉá ỉ ẹ ủẹ ễ ØƯĨỊ 4Ơ Xº úỊ ØƯ Ị f (x) Ðđ đĐ ẹ ỉ ề áễ ìề áẹ x Ĩ đĐ × f (x) = 0 ´ µÌỊ Ù Ị úỊ Ð Ị Ð úỊº Ì Đ ủể ề ẹ ề ệữề ề ì ụ ì Ø ¸Đ º ÀóÝ Ð Ơ ịỊ Ơ Ý Ù Ù × 10 Ù Ị Ù ØƯị Ð Ú Ị ¸Ơ º Å Ø Üõ Ø Ị Ị Đ ỉ ệữề X éủ ì ĩụ ì ỉá ỉ ề Ø Üơ ×Ù Ø F (x), Ø Ị E(X) ĩụ ì ỉ ể f (x) = k sin2 x, ´ µ f (x) = k cos x, 0, x ∈ (0, π) x∈ / (0, π) x ∈ [−π/4, π/4] x∈ / [−π/4, π/4] f (x) = cos kx, 0, ´ µ f (x) = x k sin , 0, ´ µ f (x) = k cos2 x, 0, à ẵ èẹ × x ∈ (−π/2k, π/2k) x∈ / (−π/2k, π/2k) x ∈ [0, π] x∈ / [0, π] x ∈ (−π/2, π/2) x∈ / (−π/2, π/2) k, Ø Đ đĐ Ơ Ị Ơ đĐ Đ Ø F (x) ơ ỊỊ ÙỊ X ´ µ f (x) = k(x3 + 2x + 1) x ∈ [0, 4] x∈ / [0, 4] è ề ĩụ ì ỉ P (1 f (x) = k(x − x2 ) x ∈ [0, 1] x∈ / [0, 1] Ì Ị Üơ ×Ù Ø P (1/4 ´ µ f (x) = kx(2 − x) x ∈ [0, 2] x∈ / [0, 2] Ì Ị ĩụ ì ỉ P (1 f (x) = 2kx(x − 1) x ∈ [1, 3] x∈ / [1, 3] ỊØ Đ Ị Ì Ị Üơ ×Ù Ø Ị ĨỊ Ù Ị ´ µ u0 = 1, ´ µ u0 = −0, ´ µ u0 = 1, 46 u0 = 0, 42 ẵ Ì Ị Üơ ×Ù Ø ỊỊ ÙỊ Ị Ơ ỊƠ Ú X ´ µ P (U > −0, 75) ´ µ P (U < 1, 35)º 20 Đи Ơ Ị × ơ ØƯ × Ù Ĩ Đ Ø ĐơÝ ×ịỊ ÜÙ Ø Ư Ơ Ị Ơ Ù Ị¸ Ú ề 0, 04 ẹẹ è ề ĩụ ì Ø Ò Ø Ø 3/2) Ù Ò P (−0, < U < 0, 2) Đ Ø ÐĨõ X Ị ØƯơ ´ µ Ị 1/2) 3) P (1/2 P (0, < U < 1, 56) Ò X 3) X ẵ ề é ề ỉ ĩụ ×Ù Ø Ĩ ½ º ÀóÝ Ø Ị Ð ÝỊ ÙỊ ỊĐ Ø Ø Ø Ị Ị ØƯĨỊ ĨịỊ 19, ẹẹ 20, ẹẹ èề ĩụ ì ỉ ề ếụ ẵ ĩụ ì ỉ ề ề Ù Ị Ðđ Ð Ý Ị Ù Ị Ị Đ Ø Ø Ø Ị Ị × Ú Ú Ị 0, ĐĐº Ù Ị Ị X ØÙ Ị Ø Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø Ơ Ị Ơ Ì Ị Üơ ×Ù Ø XỊ Ị ØƯ ØƯĨỊ Ù Ị Ú ĨịỊ Ú Ị (8, 12) 10 Úđ Ð Ø Ù ½ º ÌƯ Ị Ð Ú Ị Đ Ø ĨỊ Ð Ị ØƯ ØỨỊ Ị Ù Ĩ Ơ Úđ Ð õØ Ø Ù Ù Ị Ị Ù ØƯ ề é ẹ ỉ ểề é ề éủ ắẳ 80 ÜÙ Ø Ù Ị Ðđ Đ Ø ỊƠ Đ Ø Ù ÒÚ Ò Ò Ò 40 º ÙÒ Ò Ơ ĨỊ Ð Ị × º Ì Ị Üơ ×Ù Ø ỊƠ Ù Ị ơỊ Ðđ úØ Ị ÙỊ Ò ÒÒ ÙÒ Ò õØ Ø Ù Ù Òº Ò Ý ØƯ Ị Đ Ø Ø ơỊ ØÙ Ú Ị Ðđ Ĩ Ðđ Ơ ØƯ Ị Đ Ị Ù 54, 25 Đ Úđ Ù ĨỊ ´ µ Ì Đ Ø Ð Ý Đ Ơ ØƯ Ị ´ µÌỊ Ø Ù Ù Ị Ðđ ỊỊ P (| X − 54.25 |< 0, 3) Ú Ị Ơ Ị Ðđ Ð Ø Ù Ù Ị Ðđ Ị º Đ Ø 50 Ѻ Ѻ Å Ø Ý ... ºÃ 10 10 P (A) = P10 (10 ) = C10 p q = 1. (0, 92 )10 (0, 08)0 = 0, 434 ´ µ B Ðđ Ị ØỊ Ø ÕÙị Ị º à 9 10 10 P (B) = P10 (9, 10 ) = C10 p q + C10 p q = 10 .(0, 92)9(0, 08 )1 + 1. (0, 92 )10 (0, 08)0 = 0, 812 ... Ø Ị Ị 10 Ị Đú 10 Ị Đú n = 10 , p = 0, Úñ q = 0, 9º P (X = 1) = C10 (0, 1) 0 (0, 9 )10 = 0, 349; P (X = 11 ) = − P (X = 1) = 0, 6 51 Ì ịỊ Ơ ỊƠ Üơ ×Ù Ø Úđ Ú Ị ØĨơỊ X P ỊỊ 0, 349 ÙÒ Ò X 11 0, 6 51 E(X)... (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) × + × = = 10 10 15 ´ Ð Ơ µ C Ðđ Ị úØ ØỊ C = A1 A2 ÷Ị ơƠ Ị ØĐ ØØ Ị Ð Ị ØƯúỊ Ỵ Ị Ị P (C) = P (A1 )P (A2 |A1 ) = ẻ íá è × Ø Ị Üơ ×Ù Ø × = 10