SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bình Phước KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG NĂM HỌC: 2015 – 2016 Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( ) a +1 a +5 + Câu Cho P = ÷ ÷ a −1 a a − a − a +1 a a) Rút gọn P b) Đặt Q = (a − a + 1) P Chứng minh Q > (a > 0, a ≠ 1) Câu Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m = (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x1 − m) + x2 = m + Câu Giải phương trình ( x + 1) 2( x + 4) = x − x − x − = x + xy − y (1) y Giải hệ phương trình x x + − y + x + x = 3(2) Câu Giải phương trình tập số nguyên x 2015 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2OM b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh OI OJ = R2 c) Gọi N giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường trịn tâm (O) (D khác N C) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh ACH = ADK Câu Cho a, b số thực dương Chứng minh (1 + a )(1 + b) ≥ + ab Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P= + + ( + a ) ( + b2 ) a + 2a b + 2b ( )( ) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với a > a ≠ ta có: a −1 a + (a + a + 1) − a P= + ( a − 1)( a − 1) ( a − 1)( a − 1) a a +4 a − a +1 ( a − 1) = ( a − 1) ( a + 1) a ( a − 1) a = a = b) Có Q = a − a +1 a a − a + ( a − 1) = a a Vì ( a − 1) > 0, a > 0, ∀a > 0, a ≠ ⇒ Q − > ⇒ Q > Xét Q − = Câu ⇔ ∆ ' = ( m + 1) − m ≥ ⇔ 2m + ≥ ⇔ m ≥ − Phương trình (1) có nghiệm x ; x x1 + x2 = 2m + Theo định lý Viét ta có x1 x2 = m 2 2 Có (2) ⇔ x1 − x1m + m + x2 = m + ⇔ x1 ( x1 − 2m) + m + x2 = m + 2 Thay x1 − 2m = − x2 ; m = x1 x2 vào ta có x1 (2 − x2 ) + x1 x2 + x2 = m + ⇔ x1 + x2 = m + m = x1 + x2 = 2m + x1 = −m 2 ⇔ ⇒ m = x1 x2 = − m(3m + 2) ⇒ 4m + 2m = ⇔ Ta có hệ (thỏa mãn) m = − x + x = m + x = m + x1 = + Với m = 0: (1) ⇔ x − x = ⇔ (thỏa mãn đề bài) x2 = 1 + Với m = − : (1) ⇔ x − x + = ⇔ x1 = x2 = (thỏa mãn đề bài) Vậy m = m = - tất giá trị m cần tìm Câu 1) ( x + 1) 2( x + 4) = x − x − (1) Điều kiện: x + ≥ (luôn đùng ∀ x) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1) ⇔ ( x + 1) 2( x + 4) = ( x − 2)( x + 1) ⇔ ( x + 1) 2( x + 4) − ( x − 2) = x = −1 ⇔ 2( x + 4) = x − 2(2) x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ Có (2) ⇔ (loại) 2 x = −2 2( x + 4) = ( x − 2) x + 4x + = Vậy tập nghiệm phương trình cho {–1} x − = x + xy − y (1) y 2, x x + − y + x + x = 3(2) x > y > x > ⇔ Điều kiện: y > x + ≥ x + 3x ≥ ) )( ( y−x > 0, ∀x, y > = ( x − y )( x + y ) ⇔ ( x − y ) x + y + ÷ = ⇔ x = y x + y + y x y x y x Thay y = x vào phương trình (2) ta được: ( x + − x )(1 + x + x ) = ⇔ + x + x = x+3 − x (1) ⇔ ⇔ + x + x = x + + x ⇔ x + x − x + − x + = ⇔ ( x + − 1)( x − 1) = x + = x = −2( L) ⇔ ⇔ ⇒ x = y =1 x = 1(tm) x = Vậy hệ có nghiệm (1;1) Câu x 2015 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + (1) 2 Có y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = [ y ( y + 3) ] [ ( y + 1)( y + 2) ] = ( y + y )( y + y + 2) Đặt t = y + y + ⇒ y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = t − ( t ∈ ℤ , t ≥ 1) 2015 x − ≥ (1) ⇔ x − = t − ⇔ 2015 2 ( x − 1) = t − 1(2) Với x, t số nguyên ta có: 2015 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (2) ⇔ ( x 2015 − + t ) ( x 2015 − − t ) = −1 x 2015 − + t = x 2015 = t = 2015 x − − t = − ⇔ ⇔ x 2015 = 2015 x − + t = −1 t = −1 x 2015 − − t = x = x = = t =1⇒ ⇔ y = Với x y + y + = y = −3 x = x 2015 = x = ⇒ ⇔ y = −1 Với t = −1 y + y + = −1 y = −2 Thử lại ta thấy cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề Vậy có cặp (x;y) cần tìm (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) 2015 Câu a) Gọi F điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF đường kính (O) Ta có ACF = ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC Suy BHCF hình bình hành ⇒ Trung điểm M BC trung điểm HF ⇒ OM đường trung bình ∆ AHF ⇒ AH = 2OM b) Vì AHIO hình bình hành nên OI = AH = 2OM Gọi P trung điểm OC ⇒ PJ trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC Có OM trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC Suy OJ OP ∆OJP ~ ∆OCM ( g g ) ⇒ = ⇒ OJ OM = OC.OP OC OM ⇒ OJ 2OM = OC.2OP ⇒ OJ OI = OC OC = R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt c) Ta có NHC = ABC (cùng phụ với HCB) (1) Vì ABDC tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC (2) Vì D E đối xứng qua AC nên AC trung trực DE suy ∆ADC = ∆AEC (c.c.c) => ADC = AEC (3) Tương tự ta có AEK = ADK Từ (1), (2), (3) suy NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180o Suy AHCE tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm) Câu Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1 + a )(1 + b) ≥ (1 + ab ) ⇔ + a + b + ab ≥ + ab + ab ⇔ a + b − ab ≥ ⇔ ( a − b ) ≥ (luôn với a, b > 0) Áp dụng bất đẳng thức ta có (1 + a )(1 + b ) ≥ + ab = + a + b (1) Với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: 1 1 1 1 (2) + ÷( x + y ) ≥ xy = ⇒ + ≥ x y x y x+ y x y Áp dụng (1) (2) ta có: 4 P≥ +1+ a + b = +1+ a + b a + 2a + b + 2b a + b + 2ab a + b 7( a + b) = + + +1 ( a + b) 8 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: ( a + b) a + b = ab ≤ ⇒ (a + b) ≥ 4(a + b) ⇒ a + b ≥ 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: a+b a+b a+b a +b + + ≥ 33 = 2 ( a + b) 16 16 (a + b) 16 16 21 21 Suy P ≥ + + = Dấu xảy a = b = Vậy giá trị nhỏ P 4 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... https://facebook.com/dethithpt (2) ⇔ ( x 2015 − + t ) ( x 2015 − − t ) = −1 x 2015 − + t = x 2015 = t = 2015 x − − t = − ⇔ ⇔ x 2015 = 2015 x − + t = −1 t = −1 x 2015 −... ( t ∈ ℤ , t ≥ 1) 2015 x − ≥ (1) ⇔ x − = t − ⇔ 2015 2 ( x − 1) = t − 1(2) Với x, t số nguyên ta có: 2015 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365... kiện: x + ≥ (luôn đùng ∀ x) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1) ⇔ ( x + 1) 2( x + 4) = ( x