12 DE VA HDC TS10 THPT CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bình Phước KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG NĂM HỌC: 2015 – 2016 Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( )     a +1 a +5 + Câu Cho P =  ÷ ÷  a −1 a a − a − a +1   a  a) Rút gọn P b) Đặt Q = (a − a + 1) P Chứng minh Q >   (a > 0, a ≠ 1)   Câu Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m = (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x1 − m) + x2 = m + Câu Giải phương trình ( x + 1) 2( x + 4) = x − x −  x − = x + xy − y (1)  y Giải hệ phương trình  x  x + − y + x + x = 3(2)  Câu Giải phương trình tập số nguyên x 2015 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2OM b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh OI OJ = R2 c) Gọi N giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm (O) (D khác N C) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh ACH = ADK Câu Cho a, b số thực dương Chứng minh (1 + a )(1 + b) ≥ + ab Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P= + + ( + a ) ( + b2 ) a + 2a b + 2b ( )( ) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với a > a ≠ ta có:  a −1 a +  (a + a + 1) − a P= +  ( a − 1)( a − 1) ( a − 1)( a − 1) a   a +4 a − a +1 ( a − 1) = ( a − 1) ( a + 1) a ( a − 1) a = a = b) Có Q = a − a +1 a a − a + ( a − 1) = a a Vì ( a − 1) > 0, a > 0, ∀a > 0, a ≠ ⇒ Q − > ⇒ Q > Xét Q − = Câu ⇔ ∆ ' = ( m + 1) − m ≥ ⇔ 2m + ≥ ⇔ m ≥ − Phương trình (1) có nghiệm x ; x  x1 + x2 = 2m + Theo định lý Viét ta có   x1 x2 = m 2 2 Có (2) ⇔ x1 − x1m + m + x2 = m + ⇔ x1 ( x1 − 2m) + m + x2 = m + 2 Thay x1 − 2m = − x2 ; m = x1 x2 vào ta có x1 (2 − x2 ) + x1 x2 + x2 = m + ⇔ x1 + x2 = m + m =  x1 + x2 = 2m +  x1 = −m 2 ⇔ ⇒ m = x1 x2 = − m(3m + 2) ⇒ 4m + 2m = ⇔  Ta có hệ  (thỏa mãn) m = − x + x = m + x = m +     x1 = + Với m = 0: (1) ⇔ x − x = ⇔  (thỏa mãn đề bài)  x2 = 1 + Với m = − : (1) ⇔ x − x + = ⇔ x1 = x2 = (thỏa mãn đề bài) Vậy m = m = - tất giá trị m cần tìm Câu 1) ( x + 1) 2( x + 4) = x − x − (1) Điều kiện: x + ≥ (luôn đùng ∀ x) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1) ⇔ ( x + 1) 2( x + 4) = ( x − 2)( x + 1) ⇔ ( x + 1)  2( x + 4) − ( x − 2)  =    x = −1 ⇔  2( x + 4) = x − 2(2) x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ Có (2) ⇔  (loại)  2  x = −2  2( x + 4) = ( x − 2) x + 4x + = Vậy tập nghiệm phương trình cho {–1}  x − = x + xy − y (1)  y 2,  x  x + − y + x + x = 3(2)  x > y > x >  ⇔ Điều kiện:  y > x + ≥  x + 3x ≥ ) )( (  y−x  > 0, ∀x, y > = ( x − y )( x + y ) ⇔ ( x − y )  x + y + ÷ = ⇔ x = y x + y + y x y x y x  Thay y = x vào phương trình (2) ta được: ( x + − x )(1 + x + x ) = ⇔ + x + x = x+3 − x (1) ⇔ ⇔ + x + x = x + + x ⇔ x + x − x + − x + = ⇔ ( x + − 1)( x − 1) =  x + =  x = −2( L) ⇔ ⇔ ⇒ x = y =1  x = 1(tm)  x = Vậy hệ có nghiệm (1;1) Câu x 2015 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) + (1) 2 Có y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = [ y ( y + 3) ] [ ( y + 1)( y + 2) ] = ( y + y )( y + y + 2) Đặt t = y + y + ⇒ y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) = t − ( t ∈ ℤ , t ≥ 1) 2015  x − ≥ (1) ⇔ x − = t − ⇔  2015 2 ( x − 1) = t − 1(2) Với x, t số nguyên ta có: 2015 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (2) ⇔ ( x 2015 − + t ) ( x 2015 − − t ) = −1   x 2015 − + t =  x 2015 = t =   2015 x − − t = −    ⇔ ⇔   x 2015 = 2015   x − + t = −1  t = −1    x 2015 − − t =   x = x =  = t =1⇒  ⇔  y = Với x  y + y + =   y = −3  x =  x 2015 =  x =  ⇒ ⇔   y = −1 Với  t = −1  y + y + = −1   y = −2  Thử lại ta thấy cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề Vậy có cặp (x;y) cần tìm (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) 2015 Câu a) Gọi F điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF đường kính (O) Ta có ACF = ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC Suy BHCF hình bình hành ⇒ Trung điểm M BC trung điểm HF ⇒ OM đường trung bình ∆ AHF ⇒ AH = 2OM b) Vì AHIO hình bình hành nên OI = AH = 2OM Gọi P trung điểm OC ⇒ PJ trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC Có OM trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC Suy OJ OP ∆OJP ~ ∆OCM ( g g ) ⇒ = ⇒ OJ OM = OC.OP OC OM ⇒ OJ 2OM = OC.2OP ⇒ OJ OI = OC OC = R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt c) Ta có NHC = ABC (cùng phụ với HCB) (1) Vì ABDC tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC (2) Vì D E đối xứng qua AC nên AC trung trực DE suy ∆ADC = ∆AEC (c.c.c) => ADC = AEC (3) Tương tự ta có AEK = ADK Từ (1), (2), (3) suy NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180o Suy AHCE tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm) Câu Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1 + a )(1 + b) ≥ (1 + ab ) ⇔ + a + b + ab ≥ + ab + ab ⇔ a + b − ab ≥ ⇔ ( a − b ) ≥ (luôn với a, b > 0) Áp dụng bất đẳng thức ta có (1 + a )(1 + b ) ≥ + ab = + a + b (1) Với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: 1 1 1 1 (2)  + ÷( x + y ) ≥ xy = ⇒ + ≥ x y x y x+ y x y Áp dụng (1) (2) ta có: 4 P≥ +1+ a + b = +1+ a + b a + 2a + b + 2b a + b + 2ab a + b 7( a + b) = + + +1 ( a + b) 8 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: ( a + b) a + b = ab ≤ ⇒ (a + b) ≥ 4(a + b) ⇒ a + b ≥ 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: a+b a+b a+b a +b + + ≥ 33 = 2 ( a + b) 16 16 (a + b) 16 16 21 21 Suy P ≥ + + = Dấu xảy a = b = Vậy giá trị nhỏ P 4 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... https://facebook.com/dethithpt (2) ⇔ ( x 2015 − + t ) ( x 2015 − − t ) = −1   x 2015 − + t =  x 2015 = t =   2015 x − − t = −    ⇔ ⇔   x 2015 = 2015   x − + t = −1  t = −1    x 2015 −... ( t ∈ ℤ , t ≥ 1) 2015  x − ≥ (1) ⇔ x − = t − ⇔  2015 2 ( x − 1) = t − 1(2) Với x, t số nguyên ta có: 2015 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365... kiện: x + ≥ (luôn đùng ∀ x) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1) ⇔ ( x + 1) 2( x + 4) = ( x