SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢIDƯƠNGĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTCHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) Chứng minh x y y x Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x x x � x y xy x y y x x � 2) Giải hệ phương trình � �x y x y x y Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab �12 1 2015ab �2016 Chứng minh bất đẳng thức 1 a 1 b -Hết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 a b 29 12 3 5 2 3 A a b3 a b 11ab 2015 (a b)( a b ab) a b 11ab 2015 3( a b ab) a b 11ab 2015 4(a 2ab b ) 2015 4( a b) 2015 2051 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) Chứng minh x y y x xy (1 x )(1 y ) � (1 x) (1 y ) xy � (1 x )(1 y ) (1 xy ) � x y x y xy x y � x y xy � ( x y ) � y x � x y2 y x2 x x2 x x2 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x x x 1 Pt � x ( x 2)(4 x 1) x x ĐK: x � t 9 Đặt t x ( x 2)(4 x 1) � x ( x 2)(4 x 1) PTTT t 4t � t t = TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t � bị loại TH t � x x Giải pt tìm x (TM) Vậy pt có nghiệm x � x y xy x y y x x � 2) Giải hệ phương trình � �x y x y x y ĐK: y x �0, x y �0, x y �0, x �1 00 �y x �x � �� �� TH � (Không TM hệ) 3x 1 10 � �y � TH x �1, y �1 Đưa pt thứ dạng tích ta x y2 ( x y 2)(2 x y 1) y x 3x Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt � � ( x y 2) � y x 1� Do y x �0 � y x 3x � y 2x 1 � x y nên y x 3x Thay y x vào pt thứ ta x x 3x x � x x 3x x 3x 2 x � ( x 2)( x 1) 3x x � � � ( x 2) � x � � 3x x � 1 x Do x �1 nên 3x x Vậy x � x 2 � y (TMĐK) Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 (1) Ta có (1) x x 20 y y Ta thấy x x x x 20 �x x 20 8x x ( x 1) y ( y 1) �( x 4)( x 5) Vì x, y ∈ � nên ta xét trường hợp sau + TH1 y ( y 1) ( x 1)( x 2) � x x 20 x x � x 18 � x � x �3 Với x , ta có y y 92 20 � y y 110 � y 10; y 11(t m) + TH2 y ( y 1) ( x 2)( x 3) � x x 20 x x � x 14 � x (loại) 2 2 + TH3 y ( y 1) ( x 3)( x 4) � x � x (loại) 2 2 y ( y 1) ( x 4)( x 5) � x � x � x0 + TH4 Với x , ta có y y 20 � y y 20 � y 5; y Vậy PT cho có nghiệm nguyên (x;y) : (3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Đặt M k 8k 23k 26k 10 Ta có M (k 2k 1) 8k (k 2k 1) 9k 18k (k 1) 8k (k 1) 9(k 1) (k 1) � (k 3) 1� � � M số phương (k 1) (k 3) số phương TH (k 1) � k Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt TH (k 3) số phương, đặt (k 3) m2 (m ��) � m (k 3) � (m k 3)(m k 3) Vì m, k ��� m k ��, m k �� nên m k 1 � m 1, k �m k � �� �k 3 � � m k 1 � m 1, k �m k � Vậy k = k = k 8k 23k 26k 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định khơng qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25 => AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN => ∆AMN cân A => AMN = ANM => AIN = AIM => đpcm 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 1 � AB AC AK ( AB AC ) � AB AC AK AI AK AB AC (Do AB+ AC = 2AI) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO Tam giác ∆AMO vng M có đường cao MH => AH.AO = AM2 => AK.AI = AM2 Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Ta có AN NO, MP NO, M�AN => AN // MP Do AMPN hình bình hành AN = MP = 2x AN NO 2x2 Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => NE NE EM R 2x TH 1.NE = NO – OE => R R x2 � x2 R2 R R2 x2 R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt R x t , t �0 � x R t 2t R � 2 2 PTTT 2( R t ) R R t � 2t Rt R � � tR � Do t 0�t � R�� R x R x A B (loại) TH NE = NO + OE => Đặt x2 R R2 x2 � 2x2 R2 R R2 x2 R R x t , t �0 � x R t 2t R � 2 2 PTTT 2( R t ) R Rt � 2t Rt R � � t R � R Do t �0 � 2t R � R x R � x AO R (loại) Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab �12 1 2015ab �2016 Chứng minh bất đẳng thức 1 a 1 b Ta có 12 �(a b)3 4ab � ab 4ab Đặt t ab , t 12 �8t 4t � 2t t �0 � (t 1)(2t 3t 3) �0 1 t Vậy ab �1 Do 2t 3t 0, t nên t � 1 � , a, b thỏa mãn ab �1 Chứng minh a b ab 1 1 �0 Thật vậy, BĐT a ab b ab �b a � � a ab a ab b b � �0 � � � � � � � � 1 a 1 b � (1 a )(1 ab ) (1 b)(1 ab ) �1 ab � � � ( b a ) ( ab 1) ۣ Do ab �1 nên BĐT (1 ab )(1 a )(1 b) 2015ab �2016, a, b thỏa mãn ab �1 Tiếp theo ta CM ab 2015t �2016 Đặt t ab , t �t ta 1 t 2015t 2015t 2016t 2014 �0 � (t 1)(2015t 4030t 2014) �0 BĐT t : t �1 1 2015ab �2016 Đẳng thức xảy a = b = Vậy 1 a 1 b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... 2015ab 2016, a, b thỏa mãn ab �1 Tiếp theo ta CM ab 2015t 2016 Đặt t ab , t �t ta 1 t 2015t 2015t 2016t 2014 �0 � (t 1)(2015t 4030t 2014) �0 BĐT t : t �1 1 2015ab... 11ab 2 015 a b 29 12 3 5 2 3 A a b3 a b 11ab 2 015 (a b)( a b ab) a b 11ab 2 015 3( a b ab) a b 11ab 2 015 4(a 2ab b ) 2 015 4(... 1 2015ab 2016 Đẳng thức xảy a = b = Vậy 1 a 1 b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt