Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC. A.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số khơng âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b ab
;
Dấu “=” xảy a = b”
+ Bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
ac bd a b c d
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy a b c d .
+ a b a b ; Dấu “=” xảy ab
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
Nếu
2
( )
y a f x y = a f(x) = 0.
Nếu
2
( )
y a f x max y = a f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2)
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A4x24x11
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C x2 2x y 2 4y7
Giải:
a)
2
2
4 11 4 10 10 10
A x x x x x
Min A = 10
1
x
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
Min B = -36 x = x = -5.
c) Cx2 2x y 2 4y7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
Min C = x = 1; y = 2.
(2)a) A = – 8x – x2
b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
Max A = 21 x = -4
b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7
Max B = x = 1,
1
y Bài tốn 3: Tìm GTNN của:
a) M x 1 x 2 x 3 x
b)
2
2 2
N x x
Giải:
a) M x 1 x x 3 x
Ta có: x1 x x 14 x x x 3
Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) hay 1 x
2 3
x x x x x x
Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) hay 2 x
Vậy Min M = + = 2 x 3.
b)
2
2 2 2
N x x x x
Đặt t2x1 t
Do N = t2 – 3t + =
2
1 ( )
4
t
4
N
Dấu “=” xảy
3
0
2
t t
Do
1
N
3
2
3 2 1
3
2
2
2
x x
t x
x x
Vậy
1
4
N x
hay
1
x
(3)Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2
2 2
2
1
( )
2 2 2 2
x y x y x y
xy x y
2
1
( )
2
M x y
Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do
2
2
x y
2 1
2
x y x y
Ta có:
2
1
( )
2
M x y
2 1 1
( )
2 2
x y M
Do
1
M
dấu “=” xảy
1
x y
Vậy GTNN
1
4
M x y
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = 0
x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2
(4)2
2
3
2
2 4
3 5
2 2
5
2 2
3 5
2
t t
t t
t
t
Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN x2 + y2 =
3
GTNN x2 + y2 =
3
Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì 0a b c, , 1)
Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P =
Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0;
(1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc1
Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1 Vậy GTLN P =
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN GTNN x + y
Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2
2(x2 + y2) (x + y)2
Mà x2 + y2 = (x + y)2
2 2
x y x y
(5)- Xét x y
Dấu “=” xảy
2 2
x y
x y x y
- Xét x y
Dấu “=” xảy
2 2
x y
x y x y
Vậy x + y đạt GTNN
2
x y
Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.
Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx
(x + y + z)2= x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81
x + y + z (1)
Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2)
Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36
Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2
2 ( 1)2 1 1
2 2
A B A B B
P A
Vì B 27
1
B
-14 P -14
Vậy P = -14 2
1 27
x y z x y z
Hay x 13;y 13;z1. Bài toán 9:
Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
(6)x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101
= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
45
P
và dấu “=” xảy x + y = 10 xy = 2.
Vậy GTNN P = 45 x + y = 10 xy = 2. Bài toán 10:
Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
Ta có: x + y = y = – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4
= 2(x – 1)2 + 2
Vậy GTNN A x = y =
Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài tốn 1:
Tìm GTLN GTNN của:
4
x y
x
.
Giải:
* Cách 1:
2
2
4 ax
1
x x a
y a
x x
Ta cần tìm a để ax24x 3 alà bình phương nhị thức.
Ta phải có:
1 ' (3 )
4
a
a a
a
- Với a = -1 ta có:
2
2
4 x 4 ( 2)
1
1 1
x x x
y
x x x
1
y
Dấu “=” xảy x = -2.
(7)2
2
4 -4x (2 1)
4 4
1 1
x x x
y
x x x
Dấu “=” xảy x =
1 2.
Vậy GTLN y = x =
1 2.
* Cách 2:
Vì x2 + 0 nên:
2
4
yx
1
x
y x y
x
(1)
y giá trị hàm số (1) có nghiệm
- Nếu y = (1)
3
x
- Nếu y 0 (1) có nghiệm ' y y( 3) 0 (y1)(y 4) 0 y y
1 y y
1 y
Vậy GTNN y = -1 x = -2
Vậy GTLN y = x =
1 2.
Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của:
2 1 x x A x x . Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: 2 1 x x a x x
(1)
Do x2 + x + = x2 + 2.
1 2.x +
2
1 3
0
4 x
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2)
Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =
Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ 0, tức
là:
2
( 1) 4( 1)( 1) ( 2)( 2)
(3 1)( 3) 3( 1)
3
a a a a a a a
a a a a
Với a
a = nghiệm (2)
( 1)
2( 1) 2(1 )
(8)Với
1
a
x = Với a = x = -1
Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có:
GTNN
1
A
x = GTLN A = x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức:
2
( 1)( )
A a b a b
a b
.
b) Cho m, n số nguyên thỏa
1 1
2m n 3 Tìm GTLN B = mn. Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2
2 2 2 2 2
a b a b ab (vì ab = 1)
2 4
( 1)( ) 2( 1) ( ) ( )
A a b a b a b a b a b
a b a b a b
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b
4
a b .
Ta có: (a + b) +
4
2 (a b)
a b a b
Mặt khác: a b 2 ab 2
Suy ra:
4
2 ( ) ( )
A a b a b
a b
Với a = b = A =
Vậy GTNN A a = b =
b) Vì
1 1
2m n 3 nên hai số m, n phải có số dương Nếu có trong
hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương
Ta có:
1 1
3(2 ) (2 3)( 3) 2m n 3 m n mn m n
Vì m, n N* nên n – -2 2m – -1
(9)+
2
3 12
m m n n
B = mn = 2.12 = 24
+
2 3
3
m m n n
B = mn = 3.6 = 18
+
2
3
m m n n
B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN B = 24
2 12 m n
hay
6 m n
Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu
thức: 2 x y A x y . Giải:
Ta viết:
2 2 2 2 ( )2 2
x y x xy y xy x y xy
A
x y x y x y
Do x > y xy = nên:
2
( ) 2
2
x y xy x y x y
A x y
x y x y x y
Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số khơng âm, ta có:
2
2
x y x y
A
x y
Dấu “=” xảy
2
2
( ) ( )
2
x y
x y x y
x y
(Do x – y > 0)
Từ đó:
2
2
2
A
Vậy GTNN A
2 x y xy 2 x y
hay
1 2 x y
Thỏa điều kiện xy = 1
Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số:
1 y x x . Giải:
Ta viết:
2
1
1
2 y x x x Vì
1 3
2 4
x
Do ta có:
y
Dấu “=” xảy
1
x
Vậy: GTLN
4 y
(10)Bài tốn 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức:
1 ( )
4
f t t t
Giải:
Ta viết:
2 2
1 (2 1) (2 1)
( )
4 4
t t t t
f t t
t t t t
Vì t > nên ta có: f t ( )
Dấu “=” xảy
1
2
t t
Vậy f(t) đạt GTNN
1
t
Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức:
2
2
1 ( )
1
t g t
t
. Giải:
Ta viết:
2
2
1
( )
1
t g t
t t
g(t) đạt GTNN biểu thức
2
t đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN
Ta có: t2 + (t2 + 1) = t = min g(t) = – = -1
Vậy GTNN g(x) -1 t =
Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN
biểu thức: 3
1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
.
Giải:
Đặt
1 1
; ;
a b c abc
x y z xyz
Do đó:
1
( ) ( )
a b x y a b xy x y c a b xy
Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a)
3 3
2 2
3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
a b c
a b c
a b c b c a c a b b c c a a b
Ta có:
3
a b c
b c c a a b (1)
(11)2
; ;
2 2
x y z a b c
y z x z x y x y z
a b c
Khi đó, 2
a b c y z x z x y x y z
VT
b c c a a b x y z
1 1 3
1 1
2 2 2
y x z x z y
x y x z y z
Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
a a b c b a b c c a b c
a b c
b c c a a b
2 2 33 3 3
2 2
a b c a b c abc
E b c c a a b
GTNN E
2 a = b = c = 1.
Bài toán 9: Cho x, y số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = (*).
Tìm GTLN, GTNN biểu thức:
2
2
x y a
x y
. Giải:
Từ
2
2
x y a
x y
a(2x+y+z) = 2x+3y
2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2x; y) (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]
=> 4a2 (a1)2(a 3)2 (vì 4x2+y2 = 1)
Do ta có: 4a2 (a1)2(a 3)2 a2 2a 1 a2 6a9
2
2a 8a 10 a 4a
5 ( 1)( 5)
1
a
a a
a
(Vì a + > a – 1) 1 a
* Thay a = vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1
Thay y = vào (*) ta có: x = (x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
6
12 10
4
x
x y x y y
(12)Thay vào (*) ta được:
2
2
4
4
x
x
2
100 60
10
x x x y
( ; ) 3;
10
x y
Vậy GTLN a x = 0; y =
GTNN a -5
3
;
10
x y
Bài toán 10:
Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức:
M =
2
1
x y
x y
Giải:
Ta có: M =
2
1
x y
x y
=
2
2
1
2
x y
x y
= + x2 + y2 +
2
2
2 2
1
4
x y
x y
x y x y
Vì x, y > nên ta viết:
x y2 0 x y2 xy
Mà x + y = nên 2
1
2 xy 16
x y xy
(1)
Dấu “=” xảy
1
x y
Ngồi ta có:
2 2 2 2
(x y ) 0 x y 2xy 2(x y ) 2 xy x y
2 2 2
2(x y ) (x y) 2(x y )
(vì x + y = 1)
2
2
x y
(2)
Dấu “=” xảy
1
x y
Từ (1) (2) cho ta: 2
2
1 25
4 ( )(1 ) (1 16)
2
M x y
x y
(13)Do đó:
25
M
Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa
1
x y
Vậy GTNN
25
M
1
x y
* Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC.
Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y x 2 4 x. Giải:
* Cách 1:
Điều kiện:
2
2 4(*)
4
x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy a b c d . Chọn a x 2;c1;b 4 x d; 1 với 2 x 4
Ta có:
2 2
2 2
2
2
2 4 1
2
4
y x x x x
y x x
y y
Vì y > nên ta có: 0y2
Dấu “=” xảy x 2 4 x x 4 x x3 (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN y x =
* Cách 2:
Ta có: y x 2 4 x
Điều kiện:
2
2
4
x
x x
Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN.
Ta có: y2 x 4 x2 (x 2)(4 x) y2 2 (x 2)(4 x)
Do
2
2
4
x x
x
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm
(14)Do y 2 2
Dấu “=” xảy x 4 x x3 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy GTLN hàm số y x =
Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y3 x1 5 x(1 x 5). Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) (( x1; 5 x) ta có:
2 2
2 (3. 1 5 )2 (32 4 ).2 1 5 100 y x x x x
<=> y 2 100 => y 10
Dấu “=” xảy <=
1
3
x x
hay
1 16
x x
=> x =
61
25 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTLN y là10 x =
61 25
* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = x1 5 x 3 x1 5 x 5 x
= 3 x1 5 x 5 x
Đặt: A = x1 5 x t2 = + x1 5 x 4
=> A2 dấu “=” xảy x = x =
Vậy y 3 + =
Dấu “=” xảy x =
Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = 5
Tìm GTNN biểu thức: M =
2 2
1994 ( 1995)
x x
Giải:
M =
2 2
1994 ( 1995)
x x
(15)M = x1994 x1995 x 19941995x => M x 1994 1995 x 1
Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x)
<=> 1994 x 1995
Vậy GTNN M = 1994 x 1995
Bài tốn 4:
Tìm GTNN B = 3a + 1 a với -1 a
Giải:
B = 3a +
2
2 16
1 5
5 25
a a a
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
2
2
2
3 16
1
3 16 25
5 5
5 25 2
a a
a a
=> B
2
9 25 41 25
5
2 25
a a
=> Do B5 dấu “=” xảy khi.
2
3 16
1 25
a
a
<=> a =
Vậy GTNN B = <=> a =
3
Bài tốn 5:
Tìm GTNN biểu thức:
A =
3
2 2x x 7
Giải: Điều kiện: 2x x 2 7 x2 2x1 8 <=> -(x-1)2 + 80 x12 8
2 x 2
1 2 x 2
(16) 2
2
2x x 7 x1 8 2x x 7 2
=> +
2
2x x 7 2 2 1
Do đó:
2
1
2 2
2 2x x
Vậy A
2
2
dấu “=” xảy <=> x -1 =
<=> x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN A =
3
2 1
2 x Bài tốn 6:
Tìm GTNN biểu thức: A =
5
x x
Giải: Điều kiện: – x2 > <=> x2 < <=> - < x < 1
=> A > => GTNN A A2 đạt GTNN.
Ta có: A2 =
2 2
2 2
2
5 25 30
16 16
1
1
x x x x
x x
x
Vậy GTNN A =
3
x
Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y 1
Tìm GTNN biểu thức: A = x 1 x2 Giải: Điều kiện: – x2 0 1 x 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 – x2 0
Ta có: x2 + – x2
2 2
2 x x x x
<=>
1
2
A A
Vậy GTLN A =
1
2 x = 2
hay x =
2
Bài toán 8:
(17)Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 x 1998
Vì y 0với x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
2 x1996 1998 x (x1996) (1998 x) 2
Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997
Do y2 4 y2
Vậy GTLN y x = 1997
Bài toán 9:
Cho 0 x 1 Tìm GTLN biểu thức y = x + 2 x
Giải:
Ta có: y x 1 x = x +
1
2 x
Vì 0 x 1 nên – x 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si số:
1
2 (1 – x) cho ta:
1
2 1
2 2
y x x x x
Dấu “=” xảy <=>
1
1
2 xx2
Vậy GTLN y
3
2 x = Bài toán 10:
Cho M = a 3 a1 a15 8 a1
Tìm TGNN M
Giải:
M = a 3 a1 a15 8 a1
= a 1 a1 4 a 1 a1 16
=
2
1
a a
Điều kiện để M xác định a – 0 a1
(18)Đặt x = a 1 điều kiện x 0
Do đó: M = x x Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x 2 x x 2 2 x
Và x x 4 4 x
=> M = – x + – x = – 2x 6 2.2 2
Vậy x < M 2
2) Khi x4 x x ¿ x-4 ¿ =x-4
=> M = x 2 x 2 x 6 2
Vậy x > M 2
3) Khi < x < x x x 4 x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: 2 a1 4
<=> 4 a 16
<=> 5 a 17
Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN M = tương ứng với: 5 a 17
C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1:
Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x 1
hoặc x 3.
Gợi ý:
- Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = <=> x =
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 Xảy đẳng thức x =
3
2 nhưng
giá trị không thỏa mãn x 1 , khơng thỏa mãn x 3 Do kết luận được
GTNN A – Bài 2:
(19)x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm giá trị m để x12x22 có giá trị nhỏ
Gợi ý:
= 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét,
ta có:
2 2 2
1 ( 2) 2 (2 1) 2( 2) x x x x x x m m m m
=
2
3 11 11
2 4
m
=> Min ( 2
11
x x
với m =
3 Bài toán 3:
Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y vào E
Bài toán 4:
Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2
Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8
<=> A + (x – y)2 = 8
<=> Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy
<=> 3A = + (x + y)2 8
=> A
8
A =
8
3 x = - y Bài toán 5:
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25
Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki
(20)<=> x2y 50 50M 50
Vậy Max M = 50 x =
5
;
2 y 2
Min M = -5 2 x = -5
2 ; y = - 2 Bài tóan 6:
Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức:
A = 2
x y
x y x y Gợi ý:
Từ (x2 – y)2 0 x4y2 2x y2
=> 2
1
2
x x
x y x y
Tương tự:
1
y y x
=> A 1 => Max A =
2
2 1
1
x y
y x x y
xy
Bài tóan 7:
Tìm GTNN biểu thức:
A = x2 1 x1 x2 1 x1
Gợi ý:
B = x 1 1 x1 Min B = - 1 x Bài tốn 8: Tìm GTNN biểu thức:
B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.
Gợi ý:
Biểu diễn B =
2
2
2 2
3
3
a b c a b c
x a b c
=> GTNN B = (a2 + b2 + c2) -
2
a b c
Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức:
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x +3y + 45
(21)Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = y = ; x =
Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức:
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2
=> GTLN E = 10 y = ; x =
Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = 2x4y 5z
Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Max P = 65 x
2=
y
4=
z
√5⇔
x=26
5 52
5
¿y=❑
❑
¿z =13√5
5 {}{|}{} Bài toán 12:
Tìm GTNN biểu thức sau:
a) A = 1
2
x x
b) B =
8 3x
c) C =
2
1
x x
Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
A = (x + 2) +
5
4
x
b) B =
8
4 3x
(vì
1
) 3x 22
c) C =
2
2
2
1
1
x x
Min C = - x = Với x 0
Với x
(22)Bài tốn 13:
Tìm GTNN biểu thức A =
2
2 2000
;( 0)
x x
x x
Gợi ý:
A =
2 2
2
2000 2000 2000 ( 2000) 1999
2000 2000
x x x x
x x
=
2
2
( 2000) 1999 1999 2000 2000 2000
x x
Vậy Min A =
1999
2000 Khi x = 2000 Bài tốn 14:
Tìm GTNN biểu thức:
P =
4
2
4 16 56 80 356
2
x x x x
x x
Gợi ý:
Biểu diễn P =
2
256
( 5) 64
2
x x
x x
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min P = 64 x = x = -3
Bài tốn 15:
Tìm GTNN A =
2 4 4
x x
x
với x >
B =
1
x
x với x > 1
C =
2
2
x x x x
D =
1 (1 x)
x
với x > 0
E =
5
x xx
với < x < 1
F =
2
2
x x
với x > 1
Gợi ý:
A = x+
4
4 x
x x (vì x > 0) => Min A = x =
B =
2 1 1 1
2 ( 1) 2
1
x
x
x x
(23)=> Min B = <=> x =
C =
2
2
( 1)
2
1
x x x x
x x x x
D = (1 + x)
1
1 x.2
x x
(vì x > 0)
E =
5
5 5
5 5
1 1
x x
x x x x x
x x x x x x
F =
1 2 1
2
2 2 2
x x x
x x x
=
1
2
2 2 => Min F =
2 x = 3. Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức:
P =
2
8x 6xy x y
Gợi ý:
P = -
2
2
( )
1
y x x y
P = -
2
2
( )
x y x y
Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10
Tìm GTNN biểu thức S =
1
x y
Gợi ý: S =
1
x+
1
y =
10 (10 )
x y
xy x x
S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x =
=> GTNN S =
2
5 x = y = 5. Bài 18: Tìm GTNN biểu thức:
E = x2 x x2 x1
Gợi ý:
Ta có E > với x
Xét E2 = (x2 + + x4x21) 4
=> Min E = x =
(24)Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý:
a+ b 5 2a2b103a2b13 (vì a3)
=> 132
2 2 2
3a 2b 13 a b
=> Min S = 13
Bài 20:
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = 0
Tìm m x1 x2 đạt GTNN
Gợi ý:
' (2m 1)2 1 0
phương trình ln có nghiệm phân biệt x
1; x2 Theo
định lý vi-ét ta có:
1 2
2
x x m
x x m m
Do
2
1 4
x x m mR
GTNN x1 x2 m =
1 Bài 21:
Tìm giá trị nhỏ của:
y = x1 x x1998
Gợi ý:
y = 1x1 x1998 x x1997+ …+ x 998 x 999 Ta có: x1 x 1998 nhỏ 1997 x 1;1998
x 2 x 1997 nhỏ 1995 x 2;1997 x 998 x1999 nhỏ x 999;1000 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997
Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 x 1000
Bài 22:
(25)Với x, y, z, t số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng:
2 2
2 2
21
3 101
x y t
x y z
Gợi ý:
Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
=> 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
=> 2M = 122 + t2
Do 2M 122M 61
Vậy Min M = 61 t =
Từ (1) => x > y 0 x y x y 0
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101 y2 33 0 y
Ta chọn x = ; y = => z =
Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t =
Bài 23:
Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1)
Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN
b) Đạt gía trị lớn
Gợi ý:
Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2)
Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0
Để tồn a '
0
Giải điều kiện m4 - m2 0 <=> m(m – 1) 0 0 m1
Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2
(26)Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t =
2
2
2
x x
x
Gợi ý: Vì x2 + > với x
Đặt a =
2
2
x x
x
=> (a – 1) x2 – x +a – = (1)
a giá trị hàm số <=> (1) có nghiệm
- Nếu a = (1) <=> x =
1
- Nếu a 1 (1) có nghiệm <=> '
Min A =
3
với x =
1 3+
; ax A =
2 M
với x =
5
Bài 25:
Tìm GTNN, GTLN A =
2
2
x xy y x xy y
Gợi ý: Viết A dạng sau với y 0
(
2
2
2
1
1 1
x x
y y a a
A
a a
x x
y y
(đặt
x a y )
Giải tương tự 24 được:
1
3 3 A
Cịn với y = A =
Do đó: Min A =
1
3 với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức:
Q = a3 + b3 + ab
Gợi ý:
Với Q dạng Q = (a + b)
3
a b ab ab
= – 2ab = – 2a (1 – a)
=> Q = 2a2 – 2a +
1
Do đó: Min Q =
1
(27)