TIM GIA TRI LON NHAT GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU THUC CHUA GIA TRI TUYET DOI

CÁC BÀI TOÁN “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI” TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: Cho hàm số f(x) xác định tập hợp (D) *M gọi giá trị lớn f(x) tập hợp (D) hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: a- f(x) ≤ M với x ∈(D) b- ∃x0 ∈(D) cho f(x0) = M Ký hiệu M = max f(x) x ∈ (D) *m gọi giá trị nhỏ f(x) tập hợp (D) hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: a- f(x) ≥ m với x ∈(D) b- ∃x0 ∈(D) cho f(x0) = m Ký hiệu m = f(x) x ∈ (D) 2) Các kiến thức thường dùng: 2k a/x2 ≥ cách tổng quát f ( x) ≥ với x, k ∈ Z 2k 2k M − f ( x) ≤ M Suy f ( x) + m ≥ m ; b/ x ≥ ; x ≥ x ≥ − x c/ x + y ≤ x + y Dấu xảy x, y dấu d/ x − y ≥ x − y Dấu xảy x, y dấu e/ xy = x y f/ x x = y y (y ≠ 0) 3) Phương pháp giải: Một phương pháp sử dụng dạng toán phương pháp bất đẳng thức Cụ thể: Cho hàm số f(x) có tập xác định (D) Ta cần chứng minh: a/f(x) ≤ M f(x) ≥ m b/Chỉ trường hợp x = x0 ∈ (D) cho BĐT trở thành đẳng thức 4) Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a/ A = x − b/ B = x − + Giải: a/ Vì x − ≥ dấu ‘=” xảy ⇔ x = suy ra: x − ≥ Vậy minA = ⇔ x = b/ B = x − + ≥ Suy B = ⇔ x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: a/ A = -2 - x − b/ B = − x − + Giải: a/ Vì − x − ≤ dấu “=” xảy ⇔ x = Suy A = -2 - x − ≤ -2 Vậy max A = -2 ⇔ x = b/ B = − x − + ≤ suy max B = ⇔ x = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ của: a/ A = x + − x b/ B = x − + x − Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức: x + y ≥ x + y Dấu “=” xảy ⇔ x, y dấu A = x + − x ≥ x + − x = ⇔ x(8 – x) ≥ Lập bảng xét dấu: x x + 8–x + + x(8 – x) + Vậy: A = ⇔ ≤ x ≤ b/ B = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = 0 + - Dấu “=” xảy ⇔ (x – 3)(5 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu câu a) Vậy: B = ⇔ ≤ x ≤ Chú ý: Ta sử dụng x − = − x hai số đối có giá trị tuyệt đối để làm triệt tiêu x Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a/ M = x − + x − + x − + x − b/ N = x − + x − + x − + + x − 1996 Giải: a/ Đặt M1 = x − + x − M2 = x − + x − M = M1 + M2 M có giá trị nhỏ M1; M2 đồng thời có giá trị nhỏ Tương tự ví dụ ta có M = – = ⇔ ≤ x ≤ M2 = – = 1⇔ 3≤x≤4 Vậy: M = + = ⇔ ≤ x ≤ b/ x − + x − 1996 có GTNN 1996 – = 1995 ⇔ ≤ x ≤ 1996 x − + x − 1995 có GTNN 1995 – = 1993 ⇔ ≤ x ≤ 1995 x − + x − 1994 có GTNN 1994 – = 1991 ⇔ ≤ x ≤ 1994 x − 997 + x − 998 có GTNN 998 – 997 = ⇔ 997 ≤ x ≤ 998 Suy ra: N = 1+3+5+7+ +1995 = 9982 ⇔ 997 ≤ x ≤ 998 Chú ý: 1+3+5+7+ +(2n – 1) = n2 Vậy: N = 9982 ⇔ 997 ≤ x ≤ 998 Ví dụ 5: a/Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + + x + + x − + x − 10 x + ≥ x + ≥   7 − x ≥ 8 − x ≥  x ≥ −5  x ≥ −2  ⇔  ⇔ −2≤ x ≤7 x ≤  x ≤ Vậy: GTNN A 22 ⇔ − ≤ x ≤ b/ B = x + + x − + x − ≥ ( x + + − x ) + x − ≥ x + + – x+ x − ≥ 8+ x − ≥ B = khi: 12 x + ≥  x − = ⇔ 5 − x ≥   x ≥ −3  x = ⇔ x = x ≤  Vậy GTNN B = ⇔ x = c/ Áp dụng bất đẳng thức: x − y ≤ x − y ta có: C = x + − x − ≤ x + − ( x − 2) = C = ⇔ (x – 2)(x + 5) ≥ ⇔ x ≥ 13 Vậy giá trị lớn C = ⇔ x ≥ 5) Bài tập áp dụng: Bài 1: a/Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = 124 − x − b/Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x + − x − Giải: a/ Ta có: x − ≥ Suy A = 124 − x − ≤ 124 (1) 14 Mà A = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy từ (1) (2) ta có : max A = 124 ⇔ x = (2) 2 2 x − ≥ ⇒ x − = x − thay vào B, ta tính B = (1) 3 3 2 2 Với x < x − 〈 ⇒ x − = − x + thay vào B, ta tính B = x − 3 3 4 7 Vì x < nên x < Suy x − < − = Vậy B < (2) 3 6 6 b/ Với x ≥ 15 Từ (1) (2) suy B ≤ 7 Do đó: max B = x ≥ 6 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: 2004 − x− 2003 2004 ⇔x= max M = 2003 a/ M = Giải: a/ b/ N = − 2003 2000 − − 2x 2002 2001 16 b/ max N = − 2003 1000 ⇔x= 2002 2001 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a/ A = x − 2012 + 2011 − x b/ B = x − 456 + x − 789 ĐS: a/ A = ⇔ 2011 ≤ x ≤ 2012 b/ B = 333 ⇔ 456 ≤ x ≤ 789 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 17 a/ A = x − + x − + x − b/ B = x − + x − + x − + x − Giải: a/ A = x − + x − + x − = ( − x + x − ) + x − ≥ − x + x − + x − = + x − ≥ (1 − x )( x − 3) ≥ 1 ≤ x ≤ A=2⇔ ⇔ ⇔x=2 x = x = Vậy A≥ A = ⇔ x = Suy A = ⇔ x = 18 b/ Ta có B = ( − x + x − ) + ( − x + x − ) ≥ (1 − x )( x − 4) ≥ 1 ≤ x ≤ B=4⇔ ⇔ ⇔2≤ x≤3 (2 − x)( x − 3) ≥ 2 ≤ x ≤ Vậy B ≥ B = ⇔ ≤ x ≤ Suy ra: B = ⇔ ≤ x ≤ Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x + 1 + x+ + x+ 19 1 = − x − ≥ −x − 4 1 x+ =0 ; x+ ≥ x+ 2 1 Do đó: A ≥ x + + − x − = 4 1 Dấu “=” xảy ⇔ x + ≤ ; x + = ; Giải: Ta có x + x+ ≥0 ⇔ x=− 20 Vậy A = 1 ⇔ x=− Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x − 2006 + x −1 2007 2006 2006 ≥ x− x − = − x ≥ − x 2007 2007 2006 2006 + x −1 ≥ x − +1− x = Do đó: M= x − 2007 2007 2007 Giải: Ta có: x − 21 2006 2006 ≥ – x ≥ ⇔ ≤ x ≤1 2007 2007 2006 ≤ x ≤1 Vậy: M = ⇔ 2007 2007 Dấu “=” xảy ⇔ x − Bài 7: Tìm GTLN biểu thức sau: a/ A = − x + 141 + 319 272 b/ B = 18,9 − x − 2,5 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 22 −x+ 1 a/ Ta có: x + ≥ x + 5 a/ A = x + b/ B = x − 2010 + x − 1963 Suy ra: A = x + Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = − Vậy; A = 27 35 ⇔ x=− 4 27 −x+ ≥ x+ −x+ = 7 35 5 23 b/ Ta có: x − 2010 = 2010 − x ≥ 2010 − x x − 1963 ≥ x − 1963 Do đó: B ≥ 2010 – x + x – 1963 = 47 Dấu “=” xảy ⇔ 2010 – x ≥ x – 1963 ≥ ⇔ 1963 ≤ x ≤ 2010 Vậy: max B = 47 ⇔ 1963 ≤ x ≤ 2010 6) Nhận xét: Qua ví dụ minh họa tập nêu giúp thầy cô em học sinh rút phương pháp tìm tòi lời giải cho dạng toán Nội dung tập xoay quanh chương trình toán nên có nhiều hạn chế thể loại Mong quý thầy cô 24 tìm tòi, sưu tầm, sáng tạo thêm để dạng tập phong phú, làm kho tàng tư liệu dạy học ngày dồi  25 26