Tải Giáo án ôn thi đại học môn Toán bài Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số - Giáo án điện tử ôn thi đại học môn Toán lớp 12

 t t Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến trên miền giá trị của.. Ta có đồng biến trên..[r]

Trang 1

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1 Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)

f D   Giả sử xác định trên Ta có

 

max

x D







 





x D







 

f x m x D





2 f a b; Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:

 x1 x2 x ma b f 0 B1 Tìm các điểm , , …, thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo; 

hàm bằng hoặc không có đạo hàm

 f x 1 f x 2 f x m f a  f b 

B2 Tính , , …, , ,

 f a b f;  a b; 

B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá

trị đó chính là GTLN của trên đoạn ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của trên đoạn

f f Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập

nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của

B Một số ví dụ

Ví dụ 1

2

1

y

x



[ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

y

3

 0;2 

17

max

3

Giải Ta có Lại có , Suy ra ,

Trang 2

Nhận xét

 f a b ; 

;

min max

x a b

f x f a

f x f b















đồng biến trên ;

 f a b ; 

;

min max

x a b

f x f b

f x f a















nghịch biến trên

Ví dụ 2 y x  4 x2 [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

 2; 2

TXÑ  

Giải Ta có

2

4 ' 1

y

  x   2; 2

()

 2; 2

x  

Với mọi , ta có

' 0

y   4 x2  x 0 4 x 2  x 2 2

0 4

x

x x







Vậy

     

 x  , đạt được ;2

     

Ví dụ 3 2

1 1

x y

x





 1; 2

[ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

Giải Ta có

 

2

1 1

'

x

x x

y





 1; 2

x  

Với mọi ta có

' 0

y   x  .1 Vậy

Trang 3

     

5

y y  y y   

   x  , đạt được ;1

     

5

Ví dụ 4

2

ln x

y

x

 1;e3

 [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

Giải Ta có

2

ln

'

x y



x e

Với mọi ta có

' 0

y   2lnx ln2x 0 lnx  ln0 x  2 hoặc

 x 1x e 2  x e 211;e3

hoặc ()

3 2

9 4

e e

   x  Vậy 1 , đạt được

     

Ví dụ 5 y  x24x21 x23x10[ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số

TXÑ

2 2





x x

  





Giải , suy ra Ta

có

'

y

' 0



 4 x23x10 x2 4x4  x24x21 4  x212x9

Trang 4

 51x2104x29 0 

1 3

17

x 

hoặc 1

3

x 

'

y Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của

 2 3

y   y 5 4

1 2 3

y    

1 3

x 

, , , đạt được

C Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y 4 x2

2) y x 22x 52;3

trên đoạn

3) yx22x42; 4 trên đoạn

4) y x 3 3x3

3 3;

2



5)

1

3

y x  x  x 4;0

trên đoạn

6) y x 33x2 9x14; 4

trên đoạn

7) y x 35x 43;1

trên đoạn

8) y x 4 8x2161;3

trên đoạn

9)

1

y x

x

  0;  trên khoảng

10)

1

y x

x

 

 1; 

trên khoảng

11)

1

y x

x

trên nửa khoảng

x

y

x



 2; 4

trên nửa khoảng

13)

2

y

x



trên đoạn

14) ysin4 xcos4x

15) y2sin2x2sinx 1

16) ycos 22 x sin cosx x 4

17) ycos3x 6cos2x9cosx 5

18) ysin3x cos 2xsinx 2

Trang 5

19) y sin 3x 3sin3x

2

cos 1

x



Trang 6

§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

 t Xác định ẩn phụ

 t Từ giả thiết, tìm miền giá trị của

 t t Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một

hàm biến trên miền giá trị của

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 x y 0 x y 4 S x3 1 y31

Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của

txy

 2

4

x y

Giải Đặt , suy ra Ta có

S      

xy  x y  x y  xy

t312t 63

  3 12 63

f t  t t t 0; 4 f t' 3t212 0  t 0; 4  f t  0; 4 Xét hàm , với Ta có đồng biến trên Do đó

0;4

t



, đạt được khi và chỉ khi 4

0

x y xy







  x y ;  4;0 x y ;  0; 4

hoặc

0;4

t



, đạt được khi và chỉ khi 4

4

x y xy







  x y ;  2; 2

Ví dụ 2 x y 0 x2y2  S2   x y xyCho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của

t x y  t  Giải Đặt Ta có 0

t  x y  x y   t  ,2

 2

t  x y x y  xy x y   t  2

2; 2

t  

 2  2 2

2

1 1

1 2

S f t  t  t

Trang 7

 

f t   t t  2; 2 f  2 1  1 3

2

Ta có với mọi ,, Do đó

2 2

x y





1 1

x y









2

Sf 

1 2

x y





2

x

y















2

x

y















, đạt được hoặc

S

t   Giải Đặt , ta có x y

x y 2 2x2y2  2 8 16 t  , 4

x y 2 x2y22xy x 2y2  8 t 2 2

2 2  Suy ra Lại cót 4

 2  2 2 2

8

x y      

Ta có biến đổi sau đây

S

   



 2   2

1

x y xy



2

8 8 1 2

t t t t t





2

t

t t



 

  2 8

t

f t

t t





       

f t

f 2 2; 4     

2 2;4

2

3

 

 

Suy ra nghịch biến trên Do đó

 

2 2;4

4

2 min

3

t

 

 



4

x y



4 min

3

S 

 x  +) , dấu bằng xảy ray 2 Vậy , đạt được

Trang 8

 

2 2;4

t

 

 



2 2

x y





0

2 2

x y











2 2 0

x y

 







4

max

3

S 



0

2 2

x y











2 2 0

x y

 







Ví dụ 4 x y 0 x y xy   Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của 3

S

Giải Đặt

t x y 

2

3

4

t t

  







 





3

t

 





 

S     



 





 



3

t

 

3

t

 t 2;3Xét hàm ,

 

2

t

  t 2;3  f  1 2;3 Ta có , đồng biến trên

Do đó

5

S f t f 



3 2

x y xy

x y







4 min

5

S 

 x  , Đạt được y 1

6

S f t f 



3 3

x y xy

x y





0 3

x y











3 0

x y









 Dấu “” xảy ra hoặc

Trang 9

35 max

6

S 



0 3

x y











3 0

x y









Ví dụ 5 x y x2xy y 2 1Sx2 xy y 2Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của

Giải

1

3 1

2 3 2 3

;

t  

Từ giả thiết suy ra Do đó, nếu đặt thì , hay

 2 1 2 1

 2 3 2 3 2 1 2 2 3

S  x y  xy t  t   t 

  2 2 3

f t  t 

2 3 2 3

;

t  

  f t'  4t f t' 

2 3 2 3

có nghiệm duy nhất

 0 3

f  f  

Do đó



1 min

3

S 

, đạt được chẳng hạn khi

2 3 3 1

x y

x xy y







2 3 3 1

x y

x y xy







2 3 3 1 3

x y xy







x y  

 maxS  , đạt được khi và chỉ khi 3

0 1

x y

x xy y





0

1

x y

x y xy





0 1

x y xy







 x y  ;  1; 1 x y  ;   1;1 hoặc

x xy y

S

x xy y



  Cách 2 Ta có

 y 0S  Xét Khi đó 1

Trang 10

 y  S0 y2

x t y

 Xét Chia cả tử và mẫu của cho và đặt , ta được

2

1

S

 

  1 2 2

1

t

f t

t t

 

 

   

2 2 2

'

1

t

f t

t t





 

Xét hàm , ta có

 

f t

Bảng biến thiên của hàm :

 

2

1 1 1

t

f t

t t

   

Suy ra:

1 min

3

S 

+) , đạt được khi và chỉ khi

1

x

y

x xy y









x y  

x y    

maxS  +) Đạt được khi và chỉ khi3

1

x

y

x xy y









  x y  ;  1; 1 x y  ;   1;1

hoặc

Ví dụ 6 x y x y 34xy [ĐHB09] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN của 2

A x y x y  x y 

4

a b ab  a b 2

a x by2Giải Áp dụng bất đẳng thức với , ta được

f t

1 3

3

+∞

1 -1

-∞

t

Trang 11

 4 4 2 2 3 2 22

4

x y x y  x y

4

A x y  x y 

 2

4xy x y

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có

x y 3x y 2  2 x y  1  x y 22x y 2 0  x y  1

x y 22x y  2 x y 12 1 0 y (do , ) x

2 2

t x y 

 

2

1

9

4

x y t







Đặt

  9 2

4

f t  t  t 1

2

t  '  9 2 0

2

f t  t  1

2

t

 

 f t 

1

; 2





f t f   

1

2

t

 

Xét hàm , Ta có đồng biến trên

9

16

S 

Như vậy , dấu “” xảy ra khi và chỉ khi

2

x y









2 2

x y  

x y    

9

min

16

S 

2 2

x y  

x y    

Ví dụ 7 x y z x y z  0 x2y2z2 1P x 5y5z5[ĐHB12] Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0

x y z   z x y  z x y 

Giải Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả

thiết, ta được

 2  2  2  2  2

t  Do đó, nếu đặt thì ta cóx y

2

3 1

;

t  

2

t

xy 

, Biến đổi

P x5y5 x y 5 x3y3 x2y2 x y x y2 2    x y 5

x y3 3xy x y  x y2 2xy x y x y2 2  x y5

Trang 12

2

  5 3 

2

4

f t  t  t

;

t  

4

f t  t 

;

t   

Ta có có hai nghiệm là

f  

f  

f  

f  

5 6

min

36

6

3

z 

Vậy , đạt được chẳng hạn khi ,

Ví dụ 8 x y z 0

3 2

x y z  

Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức

x y y z z x

3

t xyz t  Giải Đặt Ta có và0

3

1 2

t 

1

0;

2

t   

Lại có

2 2 2 33 2 2 2 3 2

3

x yy zz x x y y z z x  xyz t ,



2 3

1 3

t

  2

3

1

f t t

t

0;

2

t   

5

f t t



0;

2

t  

1 0;

2

S f   

ét hàm với Ta có , suy ra nghịch biến trên Vậy , đạt được khi và chỉ khi

2

x y z xyz

 













1 2

x  y z

Trang 13

Ví dụ 9 x y z 0 x y z   [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn Chứng minh rằng:1

82

 1 1

;

a x

x

;

b y

y

;

c z z

;

a b c x y z

x y z

  

Giải Xét , , , ta có

a b c   a b c

Từ suy ra

2 2

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

3

x y z   xyz 3

3

x yz  xyz ,

Do đó

 1 9 9

t

, với

Ta có

2

1 0

x y z

t    

  9 9

f t t

t

0;

9

t   

  Xét với Ta có

  92

f t

t

0;

9

t  

   f t 

1 0;

9

  nghịch biến trên

9

f t f   

(ĐPCM)

2

x y z

2

x y z

Trang 14

2

x y z

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

C Bài tập

Bài 1 x y 0 x y  [ĐHD09] Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của 1

S  x  y y  x  xy

Bài 2 x y 0 x y  Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của 1

S

Bài 3 x y 0 x y  Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của 1

S  x  y   x y 

Bài 4 x y 0 x y xy   Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của 3

6

S

Bài 5 x y x2y2  1 xyCho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

S x y  x y

Bài 6 x y x2y2  Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1

S   x y

Bài 7 x y x 42y 422xy32

[ĐHD12] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN của

A x y  xy x y 

Bài 8 x 0 y 0x y xy x   2y2 xy 3 3

A

[ĐHA06] Cho , thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 9 x y x2y2  [ĐHB08] Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức1

2

x xy P

xy y





Bài 10 x y x2y2xy Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức1

S x  xy y

Trang 15

Bài 11 x y 2x2 y2 xy Cho , thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức1

2 2

S x y

Bài 12 x y z 0

3 2

x y z  

1 1 1

S x y z

x y z

Bài 13 a b c 0a b c   [ĐHB10] Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức1

M  a b b c c a  ab bc ca   a b a

Bài 14 x y z 0

3 2

x y z  

P

y z z x x y y z x

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	2,63 MB