Các dạng phương trình vi phân trong tích phân hàm ẩn

CHƯƠNG Giải tích 12| Ứ Ụ CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN (CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ẨN) I = LÝ THUYẾT Từ đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x    f  x  u  x    h  x  Suy f  x  u  x    h  x  dx  f  x  II = HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [Mức độ ] Cho hàm số xác định liên tục Tính thỏa mãn Lời giải Ta có x f  x   x f   x   x    x f  x    3x  Lấy nguyên hàm hai vế ta có    x f  x  dx=   3x 2  1 dx  x f  x   x3  x  C Mà f 1     C  C   f  x   Câu [Mức độ ] Cho hàm số x3  x  11  f 2  x xác định liên tục Tính Lời giải | Strong Team Toán VD–VDC thỏa mãn STRONG TEAM TỐN VD–VDC DẠNG 1: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x  Biết trước u  x  , h  x  Tìm f  x  ? | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng 3 Ta có f  x   2x  3x  x f   x   f  x   x f   x   2x  3x   x f  x    x  3x Lấy nguyên hàm hai vế ta có x4  xf x d x = x  x d x  xf x   x3  C            Mà f     2.4  24 x  x  16 13  23  C  C  8  f  x    f 1  2x Câu [Mức độ ] Cho hàm số f  x  liên tục  0;   thoả mãn STRONG TEAM TOÁN VD–VDC     2sin x f  x   1  cos x  f   x   sin x  3sin x   Biết f    Tính f   2 3 Lời giải Ta có: 2sin x f  x   1  cos x  f   x   sin x  3sin x    1  cos x  f  x    sin x  3sin x   Lấy nguyên hàm hai vế ta có   1  cos x  f  x  dx   sin x  3sin x  dx    1  cos x  f  x    6sin x cos x  8sin x cos x dx  2sin x f  x   2sin x  4sin x  C         Mà f     2sin   f    sin  4sin  C  C  2 2 2 2   4 Vậy f ( x)  sin x   f    3 Câu [Mức độ ] Cho hàm số f  x  liên tục  0;  thoả mãn x  f   x     2x 1  f  x x Biết f 1  Tính f  e  Lời giải 2x 1 1  f  x   xf   x   f  x   x     xf  x    x   Ta có: x  f   x   6  x x x Lấy nguyên hàm hai vế ta    xf  x  dx    x  x  dx  xf  x   3x  ln x  x  C Mà f 1    3.12  ln1  2.1  C  C  Vậy f  x   x  ln x   f  e   3e   x e Strong Team Toán VD–VDC | Giải tích 12| Câu [Mức độ ] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;    thỏa mãn xf   x   f  x   x , x   0;    , f 1  Tính giá trị biểu thức f   Lời giải Xét phương trình xf   x   f  x   x , y  f  x  có đạo hàm  0;    nên liên tục khoảng  Chia hai vế cho x , ta x  f   x    f  x   x   x f  x    x x 4  Lấy tích phân từ tới hai vế ta  x f  x  dx   xdx  x f  x  Vậy f      14  14  17 2   x   f    f 1   f      1  (vì f 1  ) 2 3 1  17 Câu [Mức độ ] Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức  f 1  g 1    g  x    x f   x  ; f  x    x.g   x  Tính I    f  x   g  x  dx Lời giải Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x      f  x   g  x   dx    x  f   x   g   x   dx    f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x      f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x    C  f  x   g  x    Do f  x   g  x   C Vì f 1  g 1  C  C  4 x 4 Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln x Câu [Mức độ 3] Cho f  x  hàm số liên tục f    Tính e π f  π   thỏa mãn f  x   f   x   sin x với x Lời giải Ta có f  x   f   x   sin x , với x   nên suy e x f  x   e x f   x   e x sin x , với x   | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC   | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng π π 0   e x f  x    e x sin x hay  e x f  x   dx   e x sin xdx π π eπ  1 π   e x f  x     e x  sin x  cos x    e π f  π   f     e π  1  e f  π   0 2 Câu [Mức độ 4] Cho hàm số y  f  x  liên tục x  x  1 f   x   f  x   x  x Giá trị  0;    thỏa mãn điều kiện f 1  2ln f    a  b ln , với a, b   Tính a  b2 Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Từ giả thiết, ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x  , với x   0;     f  x   x 1  x 1  x x x Suy f  x   dx hay f  x   x  ln x   C x 1 x 1 x 1 x Mặt khác, ta có f 1  2ln nên C  1 Do f  x   x  ln x   x 1 3 3 Với x  f     ln  f     ln Suy a  b   2 2 Vậy a  b  Câu [Mức độ ] Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x , x   f    f     Tính f 1 Lời giải Ta có:  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x , x     f   x  f  x    15 x  12 x , x    f   x  f  x   x  x  C1 Do f    f     nên ta có C1  Do đó: f   x  f  x   x  x  1    f  x    x  x   f  x   x  x  x  C2 2  Mà f    nên ta có C2  Do f  x   x  x  x  Vậy f 1  Strong Team Tốn VD–VDC | Giải tích 12| Câu 10 [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f  x   , x   0;1  3 1 Biết f    a , f    b x  xf   x   f  x   , x   0;1 2    Tính tích phân I    sin x.cos x  2sin x dx theo a b f  sin x  Lời giải x   0;1 ta có:   x  x xf  x   x f   x  x2  4x  x2       f  x f  x f  x   f  x    Tính I     sin x.cos x  2sin x sin x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f  sin x  f  sin x   6 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x   t  Ta có I   2 t t  4t dt  f t  f t  2  3        3 f     , x t  2 1        3a  b 4ab   4b 4a f  2 Câu 11 [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    f 1  Biết  e x  f  x   f '  x   dx  ae  b Tính Q  a 2018 b 2018 Lời giải e x  f  x   f '  x   dx  ae  b 1 '    e x f  x   dx  ae  b  e x f  x   ef 1  f    e  0 Vậy a  1; b   Q  a2018  b2018  | Strong Team Toán VD–VDC STRONG TEAM TOÁN VD–VDC x  xf   x   f  x    x   f  x   xf   x   x  x  xf  x   x f   x  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Câu 12 [Mức độ ] Cho hàm số f  x liên tục có đạo hàm  1;    Biết đẳng thức f  x   (1  x ) f   x   x ( x  1) x2  thỏa mãn x   1;    Tính giá trị f   Lời giải x   1;    , ta nhân hai vế đẳng thức cho STRONG TEAM TOÁN VD–VDC f  x   ( x  1) f   x    x 1   f ( x)    x 1   f 0   x ( x  1) x 3   x  1 f  x  ta được: ( x  1) x 1 x f ( x)  x 1 x 3 1  x  x 1   x 1  f  x     f  x   dx   dx   x 1  x 1 0  x2  x2  0 x  x2   Strong Team Toán VD–VDC | Giải tích 12| DẠNG 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x  I = LÝ THUYẾT Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f   x   u  x  f  x   h  x   2 Biết trước u  x  , h  x  Tìm f  x  ? Phương pháp chung:  f  x   h  x  u  x  f   x   u  x  f  x   h  x       u  x  u  x  Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta  Bước Tính f  x h  x   dx u  x u ( x) h  x dx , từ suy f  x  ( x) u II = HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đoạn  0;1 thỏa mãn xf   x   f  x   x , với x   0;1 f 1  Tính tích phân  xf  x  dx Lời giải Với x  , ta có  f  x   f  x    xC   1 x x x    f  x   x  Cx Vì f 1  nên C  Do f  x   x xf   x   f  x   x  xf   x   f  x  x4  Vậy  xf  x  dx   x dx  0 4 1 | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC  u  u.v  uv Cơ sở phương pháp    v2 v  Bước Chia hai vế (2) cho u ( x)  ta | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Câu [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn f 1  f  x   xf   x   x3  3x2 Tính f  2 Lời giải Do x  1; 2 nên f  x   xf   x   x  x   xf   x   f  x   f  x    2x      2x  x2  x  f  x  x  3x  C x Do f 1  nên C   f  x   x  x STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Vậy f    20 Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai liên tục  0;2 , f  0  1, f    e4 f  x   0,  f  x    f  x  f   x    f   x    0, x   0; 2 Tính f 1 2 Lời giải  f   x   f  x  f   x    f   x   f  x Ta có:      xC   f  x  f  x  f  x     ln f  x     x  C  dx  x2 Vì f  x   e x2 Suy f  x   e  Cx  D x x2  Cx  D D  C  ; f    1; f    e      2C  D  D   f 1  e Câu [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thoả mãn f  x   xf   x   x 2018 với x0;1 f 1   Tính tích phân 2015  f  x  dx Lời giải Xét x  : Từ giả thiết f  x   xf   x   x 2018 , nhân hai vế cho x ta 3x f  x   x3 f   x   x2020 Strong Team Toán VD–VDC | Giải tích 12| Chia hai vế cho x ta được: 3x2 f  x   x3 f   x  x6  f  x    x2014      x2014  x   f  x   f  x 2014 x2015  C Suy     x    x x 2015   Thay x  vào hai vế ta C   f  x  Vậy  f  x  dx    x2018 2015 1 x 2018 d x   x 2019 2015 2015 2019  2015  2019 x Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0; 4 , thỏa mãn f  x   f   x   e 2x 1 với f 4  f 0 e4 x   0;4 Tính Lời giải Chia hai vế cho e ta có x f  x  f   x   e x x   e x f  x  e x f   x e2 x  x 1  f  x  f  x   x    x 1  x   2 x 1 x 1  C  e  e   Cho x  , ta có f 4  9  C e4 Cho x  , ta có f      C f  4 26 Vậy  f 0   e4 Câu [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f   x   xf  x   xe x f    2 Tính f 1 Chia hai vế cho e x2 e x f   x  xe x f  x  f  x ex e2 x Lời giải để thu đạo hàm đúng, ta  f  x   x   x2   x  e   x2  C | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC Câu [Mức độ 4] | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Cho x  , ta có C  f    2 Suy f  x   x2  2 ex Cho x  , ta có f 1  e Câu [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm , thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x với x   f    2018 Tính giá trị f 1 Lời giải Chia hai vế cho e để thu đạo hàm đúng, ta  f  x   2018 f  x  e2018 x f   x   2018.e 2018 x f  x  2017  2018 x   2018 x 2017 2018 x 2018 x e e  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 2018 x  f  x   f  x   2018 x   2018 x 2017  2018 x  x 2018  C e e  Thay x  vào hai vế ta C  2018  f  x    x 2018  2018  e 2018 x Vậy f 1  2019e 2018 Câu [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  1;1 , thỏa mãn f  x   0, x   f   x   f  x   Biết f 1  Tính f  1 Lời giải Ta có f   x   f  x    f  x   ln f  x     ln f  x   x  C f  x Thay x  vào hai vế ta C  2  f  x   e2 x2 Vậy f  1  e3 Câu   liên tục có đạo hàm  0;  thỏa mãn hệ thức  2  f     f     a  f   x   cot x f  x   x.sin x Biết   6 b [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  a, b  ,  a, b   Tính giá trị biểu thức P  a  b Lời giải Strong Team Tốn VD–VDC | 10 Giải tích 12| DẠNG 4: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f   x   p  x  f ( x)  g  x   4 Biết trước g  x  , p( x) Tìm f  x  ? I = LÝ THUYẾT Phương pháp p ( x )dx   p ( x )dx  p( x)e  p ( x )dx f  x   Cơ sở phương pháp  f  x  e     f  x  e p ( x ) dx Bước Nhân hai vế (4) cho e  ta  f x e  p ( x )dx   f  x e  p ( x )dx  p ( x)e  p ( x )dx f x  e  p ( x )dx g ( x)          p ( x )dx p ( x )dx f  x    e g  x  dx Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta e   Bước Tính  e p ( x )dx II = g ( x)dx , từ suy f  x  HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1   [Mức độ ] Tìm hàm số f ( x )   ;   biết f ( x ) có đạo hàm liên tục (  ; ) ;   thỏa mãn f ( x)  f ( x)  e x x  f (0)  Lời giải Từ f ( x)  f ( x)  e x 2x  nhân vế với e x ta e x f ( x)  f ( x) e x  x   e x f ( x)   x  1dx   x  1  C Vì f (0)  nên C  3 1  Vậy f ( x)   x  1  2 e x 3  Câu [Mức độ 2] Tìm hàm f ( x)  2020 f ( x)  e 2020 x f ( x) có cos x; f (0)  Lời giải 17 | Strong Team Toán VD–VDC đạo hàm  thỏa mãn STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng f ( x )  2020 f ( x )  e 2020 x cos x  f ( x )e 2020 x  2020e 2020 x f ( x )  cos x   e 2020 x f ( x)   cos x  e 2020 x f ( x )  sin x  C Vì f (0)  nên C  Vậy f ( x)   sin x  1 e2020 x Câu [Mức độ 3] Tìm hàm f ( x ) có đạo hàm  thỏa mãn f ( x)  xf ( x)  xe x ; f (0)  2020 Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC f ( x )  xf ( x )  xe x2  x2 x2  e f ( x )  x.e f ( x )  xe  x2 2 x2  x     e f ( x )   xe     x2  x2  e f ( x)  e  C Từ f (0)  2020 suy C  2021 Vậy f ( x )  e  x2  2021.e  x2 Câu       [Mức độ 3] Tìm hàm f  x  có đạo hàm khoảng    k ; k  ;  k ;  k  , k       x thỏa mãn f ( x)  tan x f ( x)  cos3 x Lời giải f ( x )  tan x f ( x )  x cos3 x  cos x f ( x )  sin x f ( x )  x cos3 x x cos x x  sin x f ( x )   dx  x tan x  ln cos x  C cos x ln cos x x C  f ( x)    cos x sin x sin x   sin x f ( x )   Strong Team Tốn VD–VDC | 18 Giải tích 12| Câu [Mức độ 3] Tìm hàm f ( x)  2020 f ( x)  có f ( x) đạo hàm  thỏa mãn x e2020 x ; f (0)  2020 x 1 Lời giải x e2020 x x 1  e 2020 x f ( x)  2020e 2020 x f ( x)  x x 1 x x 1 x  e 2020 x f ( x)   dx  ln  x  1  C x 1 Vì f (0)  2020 nên C  2020 1  Vậy f ( x)   ln  x  1  2020 e2020 x 2    e 2020 x f ( x)   Câu  sinx [Mức độ ] Tìm hàm f ( x ) có đạo hàm  thỏa mãn f ( x)  cosx f ( x)  x sin x.e Lời giải f ( x)  cos x f ( x )  x sin x.e  sinx  esin x f ( x)  cos x.esin x f ( x)  x sin x   esin x f ( x)   x sin x  esin x f ( x)   x sin xdx   x cos x  sin x  C  f ( x)   cos x  sin x  C  e sin x Câu có đạo hàm liên tục đoạn  1;1 , thỏa mãn [Mức độ ]Cho hàm số y  f  x  f  x   0, x   f   x   f  x   Biết f 1  , tính f  1 Lời giải Từ f   x   f  x   nhân hai vế với e 3x ta được: C e3 x f   x   3e3 x f  x     e3 x f  x     e3 x f  x    0.dx  C  f  x   x e 19 | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC f ( x)  2020 f ( x)  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng C   C  e3  f  x   e33 x e Theo giả thiết f 1   Vậy f  1  e6 Câu [Mức độ ]Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục tục  thỏa mãn f   x   xf  x   x.e  x f    Tính f 1 Lời giải STRONG TEAM TỐN VD–VDC Từ giả thiết f   x   xf  x   x.e  x2 nhân hai vế với e x ta được:   2  e x f   x   x.e x f  x   x  e x f  x   x Lấy tích phân hai vế ta được:  1 2 e x f  x   dx  xdx  e x f  x   x  f 1  0  0  0 e Câu [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x liên tục đoạn   0;  Biết    f   x  cos x  f  x  sin x  1, x  0;  f    Tính I   f  x dx  6 Lời giải sin x 1 Nhân hai vế với ta được: f   x  cos x  f  x  sin x   f   x   f  x  cos x cos x cos x sin x 1   f  x  f  x   f  x   2 cos x cos x cos x  cos x  cos x Lấy nguyên hàm hai vế: 1   f x     cos x  dx   cos x dx  cos x f  x   tan x  C  f  x   sin x  C cos x Theo giả thiết: f     C   f  x   sin x  cos x   0 Xét I   f  x dx    sin x  cos x  dx  3 Strong Team Tốn VD–VDC | 20 Giải tích 12| Câu 10 [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  Có đạo hàm liên tục (0;  ) Biết f 1  e  x   f  x   xf   x   x , x   Tính f  2 Lời giải x2 f  x   x Nhân hai vế với x2 e x ta được: x  e  x f  x   x2 1 x  f x  f x         e x2e x x x 2e x ex x   Lấy tích phân hai vế ta được: 2 e 2 f   e 1 f 1  e  x f  x   x     e 2  e1  2 1  x  dx  1 e dx  f  x  e2 f   e1 f 1   e 1  e2  f    ef 1  e  1  4e2  4e  21 | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC  x   f  x   xf   x   x3  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng DẠNG 5: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f   x   p  x  f ( x)   5 Biết trước p ( x ) Tìm f  x  ? I = LÝ THUYẾT f  x Cơ sở phương pháp ln f  x    f  x  Bước Chia hai vế (5) cho f ( x)  ta STRONG TEAM TOÁN VD–VDC f   x   p  x  f ( x)   f  x f  x   p  x  Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta ln f  x      p  x   dx  Bước Tính    p  x   dx , từ suy f  x  II = HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [Mức độ 3] Giả sử hàm số f  x  liên tục, dương  ; thỏa mãn f    f  x    x f  x  Tính giá trị biểu thức T  f 2  f 1 x 1 Lời giải Ta có: f   x   f  x f  x x x 2x f  x    dx   dx x 1 f  x x 1 f  x x 1  ln f  x   ln x   C Do f  x  dương  nên ln f  x   ln x   C Mặt khác f    nên C   f  x   x    Vậy giá trị biểu thức T  f 2  f 1   2 Câu [Mức độ ]Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn  1;1 f  x   với x thuộc  , biết f   x   f  x   f 1  Tính f  1 Lời giải Ta có f  x   với x thuộc  nên f   x   f  x     ln  f  x    2 x  C  f  x   e2 xC f  x f  x  2   dx    2  dx f  x f  x Strong Team Toán VD–VDC | 22 Giải tích 12| Mặt khác theo giả thiết f 1   e2.1C   2  C   C   f  x   e2 x  Do f   1  e 2. 1  e Câu [Mức độ 3]Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;    thỏa mãn x f   x   f  x   f  x   , x   0;    Tính f   biết f 1  e Lời giải Ta có f  x   , x   0;     f  x   khơng có nghiệm khoảng  0;    Mà f 1  e  nên f    Do x2 f   x   f  x    2 f  x f  x 1  d x   dx    2   x f x x f  x 1    ln f  x  x1 1      1   ln f    ln f 1    ln f    ln e  2     1   ln f     ln f     f    e  e 2 Câu [Mức độ ]Cho hàm số f  x   với x   , f    f  x   x  f   x  với x   Tính f  3 Lời giải Ta có: f  x  x  f   x  với x  f  x f  x  f  x 1  dx   dx f  x x 1 x 1  ln  f  x    x   C Mà f     ln 1   C  C  2 Hay ln  f  x    x    f  x   e2 x 1   f  3  e Câu   [Mức độ 3]Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương   ;   thỏa mãn   f 1  e , f  x   f   x  3x  1, với x   Tính f   23 | Strong Team Tốn VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC  f  x   khơng có nghiệm khoảng 1;2  f 1 f    , x  1;2  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Lời giải Xét x   0;   f  x   ta có: f  x   f   x  3x    f  x f  x f  x f  x 2 dx  ln  f  x    3x   C  f  x   e 3 3x  dx   Theo đề f 1  e nên e C 3x   x 1  C e  C   C    f  x  e3 3 x 1  Do f    e  e Câu STRONG TEAM TOÁN VD–VDC   [Mức độ ]Cho hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dương đoạn 0;  thỏa mãn  4    f   x   tan x f  x  , x  0;  , f    Tính I   cos x f  x  dx  4 Lời giải   Từ giả thiết f   x   tan x f  x  , x  0;  f  x  liên tục nhận giá trị dương đoạn  4 f  x f  x       0;  , ta có f  x   tan x , x  0;    f  x  dx   tan xdx , x  0;  f  x sin x    dx   dx , x  0;  f  x cos x  4    ln f  x    ln  cos x   C , x  0;   4 Mà f    nên suy ln f     ln  cos   C  C  Vậy ln f  x    ln  cos x   f  x      , x   0;  cos x  4    Từ I   cos x f  x  dx   cos x dx   d x  cos x 0 4 Câu [Mức độ ] Giả sử hàm số f  x  liên tục, dương  ; thỏa mãn f    x f  x  Tính T  f x 3 f  x     f 0 Lời giải Ta có: f  x  f  x f  x x x 2x f  x    dx   dx x 3 f  x x  f  x x 3  ln f  x   ln x   C  ln f  x   ln x   C ( f  x  ln dương  ) Strong Team Toán VD–VDC | 24 Giải tích 12| Mà f     C   f  x   x   T  f    f 0   Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x   với x   0;   , f  0  f  x   x   0;   Tính f  3 x2  f   x  với x Lời giải x 1 f   x  với x   0;   x f  x x  dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 x 1  f  x f  x  Mà f     ln 1   C  C  1 Hay ln  f  x    x    f  x   e x 1 1 f  3  e Câu [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   x f  x   e x f  x  với f  x   0,x f    Tính f 1 Lời giải Từ giả thiết: f   x   x f  x   e f  x  , ta có x f   x  f  x ex  2x  f  x  e x  x ( f  x   0, x ) f  x  f  x dx    e x  x  dx f  x  ln f  x   e x  x  C Mà f    nên C  1 Khi đó, ta được: ln f  x   e x  x  Thế x  , ta có: ln f 1  e   f 1  ee Câu 10 [Mức độ 4] Cho hàm số f  x   với x   , f  0  f   x   cos x f  x   với x     Tính f   2 Lời giải 25 | Strong Team Toán VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ta có: f  x   | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Ta có: f   x    cos x f  x  với x    f  x f  x f  x   cos x   f  x dx    cos xdx  ln  f  x     sin x  C Mà f     ln 1   C  C    Hay ln  f  x     sin x  f  x   e sin x  f    e1  e 2 Câu 11 [Mức độ 3] Cho hàm số f  x   với x   , f    e f   x   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC x cos x  với     k  k    Tính f     4 Ta có: f   x    f  x f  x f  x f  x cos x Lời giải  cos x    k  k    f  x dx   dx  ln  f  x    tan x  C f  x cos x  với x  Mà f    e  ln  e    C  C    Hay ln  f  x    tan x   f  x   e tan x 1  f     e11   4 Câu 12 [Mức độ ] Cho hàm số y  f  x  dương có đạo hàm liên tục đoạn  0; f   x   f  x  x   f    e Tính I   3  biết ln  f  x   dx Lời giải Ta có f   x   x  f  x    f  x  x2  f  x  f ' x u  ln  f  x   du  dx  f  x  Áp dụng cơng thức tích phân phần ta Đặt  dv  dx v  x  I  ln  f  x  dx  x ln  f  x   x ln  f  x     3   xf '  x  dx  x ln  f  x   f  x x  d  x  1  x ln  f  x    3  x x  dx x  1 x   3 3 3 Strong Team Tốn VD–VDC | 26 Giải tích 12| DẠNG 6: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f   x   p  x   f  x      n I = LÝ THUYẾT Phương pháp: +) Chia hai vế cho  f  x  ta n f  x  f  x   n  p  x   f   x  f  x   n   p  x  n 1  f  x   +) Suyra  dx    p  x  dx   n n   f  x   f  x    p  x  dx +) Từ tính f  x  II = Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;   , biết f '  x    x   f  x   f  x   0, x  ; f    Tìm f  x  ? 15 Lờigiải f  x f '  x  2 x    dx     x   dx Ta có f  x    x   f  x    f  x f  x ' '  1   x2  4x  C  f  x   f  x x  4x  C 1    C  3 15 15 12  C Vậy f  x   x  4x  Với f    Câu2 [Mức độ 3] Cho hàm số f  x   0, x  R thỏa mãn f     Tính giá trị f 1 Lờigiải Ta có f '  x   x  f  x    f  x '  f  x   27 | Strong Team Toán VD–VDC  x3 f '  x   x3  f  x   , x   25 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng f '  x  f  x    dx  4 x3dx   1 1   15  x 1 f  x f   f 1 1 suy f 1   25 10 Nhậnxét:Với tốn bắt tính giá trị hàm số điểm x  a mà giả thiết cho giá trị hàm số điểm x  b  a  b  xác định ta lấy tích phân hai vế với cận từ b đến a Với f  2   Câu STRONG TEAM TOÁN VD–VDC [Mức độ 3] Cho hàm số f  x   0, x   , thỏa mãn điều kiện f '  x    x  3 f  x  f     Tính tổng f 1  f     f  2018  Lờigiải ' f  x  2x  Ta có f '  x    x  3 f  x   f  x  f '  x f  x dx    x  3 dx   1  x  3x  C  f  x    f  x x  3x  C Với f     suy C  2 1 Suy f  x     x  3x   x  1 x   Khi f 1  f     f  2018  1 1009          2018.2019 2019.2020  2020  2.3 3.4 Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  xác định liên tục (0;  ) thỏa mãn x f  x    x  1 f  x   xf '  x   1, x  (0;  ) f 1  2 Tính  f  x  dx ? Lờigiải Ta có x f  x    x  1 f  x   xf  x   1, x   \ 0 2 '   xf  x   1  f  x   xf '  x  1 Đặt h  x   xf  x    h '  x   f  x   xf '  x  Khi 1 có dạng: h  x   h'  x   h'  x  h'  x  1   dx   dx    x  C  h  x   2  h  x h  x h  x xC Hay xf  x     xC Strong Team Tốn VD–VDC | 28 Giải tích 12| Với f 1  2 suy C  Nên xf  x     1  f  x    x x x  1 Suy  f  x  dx      dx    ln x 1 x Câu [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định liên tục với x   0;1 , thỏa mãn   f   x    f "  x   với x   0;1 Tính T  f 1  f   ? f    1    f   x   '   f '  x    f " x  f ''  x  f ''  x    Từ   ta có     f '  x  dx   dx  f '  x    f '  x     ' df  x  1  x  C  f '  x    dx  x  C hay  ' f  x xC  f '  x   Mà f '    1  C   f '  x    x 1 1 dx   ln  f 1  f 0   ln Vậy  f '  x  dx    x 1 0 Câu [Mức độ ] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn  1;1 f  x   với x thuộc  , biết f   x   f  x   f 1  Tính f  1 Lời giải Ta có f  x   với x thuộc  nên f   x   f  x     f  x  2 f  x f  x dx    2  dx  ln  f  x    2 x  C  f  x   e2 x C f  x Từ f 1   e2.1C   2  C   C   f  x   e2 x  Nên f   1  e 2. 1  e Câu [Mức độ ] Cho hàm số f  x   có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x    x  1  f  x   , x   f    1 Giá trị tích phân Lời giải 29 | Strong Team Tốn VD–VDC  f  x dx STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lờigiải | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Ta có: f   x    x  1  f  x   , x     f  x  f  x      x  1 , x           x  1 , x    f  x  1     x  1dx   x  x  C  f  x   Vậy f  x x  x  C x  x 1 1 1 f  x dx    dx    dx x  x 1 1 0  x   2  Do f    1  C  1 Vậy f  x    I  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC    tan t  3   3      dt   dt   Đặt x   tan t , t   ;  Suy I     3 2  2   1  tan t  6 Câu [Mức độ ] Cho hàm số f x f   x    x   f  x   f    0;   liên tục dương thỏa mãn Tính tổng S  f    f     f  2020  Lời giải  f  x  f  x Xét f   x    x   f  x     2x    dx=   x   dx f  x f  x   x2  x  C f  x 1 1 1      C   f  x   x  4x   x  x   1 1 1  2022 1011 S  1         2 3 2021 2023  2023 2023 Vì f  0  Câu [Mức độ ]Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1   x 1  f  x  f  x     x  1 2 2  với x   0;   Tính giá trị f   Lời giải Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   x2 1 x  1  với x  1; 2 Do f  x   f 1   với x  1; 2 Strong Team Toán VD–VDC | 30 Giải tích 12| Xét với x  1; 2 ta có: x  1 f   x    f  x   x  1  f  x f  x  x2 1 x  1  f  x f  x dx   x2 1 x  1 dx 1  d x   f  x x 1 x dx  f   x  dx    dx    C 2     f  x f  x f  x 1 1   x  x  x  x x x   1 x2     C  C  Vậy f  x    f  2  Mà f 1   2 x 1 f  x  f  x  liên tục ( 1; ) , f    f  x   với x  ( 1; ) Tìm f  x  x 1 Ta có: f  x f  x   x 1 Lời giải f  x dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 Mà f    nên C  2  f  x   e2 x 1  Câu 11 [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng f   x    x  1 f  x   , f  x   0, x  f  2  Tính  0;    , giá trị biết P  f 1  f     f  2019  Lời giải TH1: f  x    f   x   trái giả thiết TH2:  f  x   f   x     x  1 f  x  f  x 1   x2  x  C dx     x  1dx  f  x f  x   1 1  C   f  x    x  x x x 1 1 1 2019  P        2 2020 2020 Ta có: f    31 | Strong Team Toán VD–VDC  f  x    x  1 f x STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Câu 10 [Mức độ ] Cho hàm số ... ( x ) = Do f (2) = ln ln x   11 | Strong Team Toán VD–VDC STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ta có | Chương 3: Ngun hàm – Tích phân Ứng dụng DẠNG 3: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức f   x ... 1  4e2  4e  21 | Strong Team Toán VD–VDC STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x   f  x   xf   x   x3  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng DẠNG 5: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng... độ 2] Tìm hàm f ( x)  2020 f ( x)  e 2020 x f ( x) có cos x; f (0)  Lời giải 17 | Strong Team Toán VD–VDC đạo hàm  thỏa mãn STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  | Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Ứng