C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vỊ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng D¹ng 1 : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp u r = (a; b; c). Ph¬ng ph¸p: PT tham sè cđa ®êng th¼ng d lµ: a : b c = + = + ∈ = + ¡ o o o x x t (d) y y t ; t z z t Chó ý: NÕu abc 0≠ th× (d) cã PT chÝnh t¾c lµ: 0 b c − − = = o o z - z x x y y a Chó ý: §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n. VỊ nguyªn t¾c mn viÕt PT ®êng th¼ng d cÇn biÕt to¹ ®é 1 ®iĨm thc d vµ to¹ ®é vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa d. D ¹ng 2 : Đường thẳng (d) đi qua 2 ®iĨm A, B. Bíc 1: T×m AB uuur Bíc 2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn AB uuur lµm vÐc t¬ chØ ph¬ng. D¹ng 3: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua A và song song víi ®êng th¼ng ∆. B1: Tìm VTCP r u cđa ∆ . B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua A vµ nhËn r u lµm VTCP. D¹ng 4: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua ®iĨm A và vuông góc mp(α) B1: Tìm VTPT của (α) là r n . B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn r n lµm VTCP. D¹ng 5: ViÕt PT ®ường thẳng (d) ®i qua ®iĨm A và vuông góc víi c¶ 2 ®êng th¼ng (d 1 ),(d 2 ) B1: Tìmc¸c VTCP 1 2 , ur uur u u cđa d 1 ; d 2 . B2: §êng th¼ng d có VTCP lµ: r u = 1 2 , ur uur u u B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn u r lµm VTCP. D¹ng 6: ViÕt PT cđa ®êng th¼ng d lµ giao tun cđa hai mp: (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 C¸ch 1: B1: Gi¶i hƯ Ax By Cz D 0 A 'x B'y C'z D' 0 + + + = + + + = t×m mét nghiƯm 0 0 0 (x ; y ;z ) ta ®ỵc 1 ®iĨm M 0 0 0 (x ; y ;z ) ∈ d. (Cho 1 trong 3 Èn 1 gi¸ trÞ x¸c ®Þnh råi gi¶i hƯ víi 2 Èn cßn l¹i t×m 2 Èn cßn l¹i) B2: §êng th¼ng d cã VTCP lµ: b c c a a b u ; ; b' c' c' a' a' b' = ÷ r B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm M 0 0 0 (x ; y ;z ) vµ nhËn u r lµm VTCP. C¸ch 2: B1: T×m to¹ ®é 2 ®iĨm A, B d∈ . (T×m 2 nghiƯm cđa hƯ 2PT trªn) B2: ViÕt PT ®êng th¼ng AB. C¸ch 3: §Ỉt 1 trong 3 Èn b»ng t (ch¼ng h¹n x=t), gi¶i hƯ 2 PT víi 2 Èn cßn l¹i theo t råi suy ra PT tham sè cđa d. D¹ng 7: ViÕt PT h×nh chiÕu cđa ®êng th¼ng d trªn mp(P). B1: ViÕt PTmp(Q) chøa d vµ vu«ng gãc víi mp(P). B2: H×nh chiÕu cÇn t×m d’= (P) (Q)∩ (Chó ý: NÕu d (P)⊥ th× h×nh chiÕu cđa d lµ ®iĨm H= d (P)∩ Dạng 8 : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A và cắt hai đường thẳng 1 d , 2 d C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 . B2: Tìm giao điểm B= 2 ( ) dα ∩ B3: §êng th¼ng cÇn t×m lµ ®t ®i qua 2 ®iĨm A, B. C¸ch 2: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 B2: ViÕt PT mặt phẳng ( β ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d 2 . B3: §êng th¼ng cÇn t×m d ( ) ( )= α ∩ β D¹ng 9: ViÕt PT ®êng th¼ng d song song víi d 1 vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng d 2 vµ d 3 . B1: ViÕt PT mp(P) song song víi d 1 vµ chøa d 2 . B2: ViÕt PT mp(Q) song song víi d 1 vµ chøa d 3 . B3: §êng th¼ng cÇn t×m d= (P) (Q)∩ Dạng 10: Viết PT ng thng d đi qua im A, vuụng gúc ng thng 1 d v ct ng thng 2 d Cách 1: B1: Viết PT mt phng ( ) qua im A v vuụng gúc ng thng d 1 . B2: Tỡm giao im B 2 ( ) d= B3 : Đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B. Cách 2: B1: Viết PT mp ( ) đi qua điểm A và vuông góc với d 1 . B2: Viết PT mp ( ) đi qua điểm A và chứa d 2 . B3: Đờng thẳng cần tìm d ( ) ( )= Dng 11 : Lp ng thng d đi qua im A , song song mt phng ( ) v ct ng thng d Cách 1: B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp( ). B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đờng thẳng d. B3: Đờng thẳng cần tìm d (P) (Q)= Cách 2: B1: Viết PT mt phng (P) qua im A v song song mt phng ( ) B2: Tỡm giao im B = (P) d' B3: ng thng cần tìm d đi qua hai im A v B. D ạng 12: Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v ct hai ng thng d 1 , d 2 cho trc . B1: Tỡm giao im A 1 d (P)= ; B 2 d (P)= B2: d l ng thng qua hai im A v B . Dạng 13 : Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v vuụng gúc ng thng d cho trc ti giao im I ca d v mp( P ). B1: Tỡm giao im I = d ( P ). B2: Tìm VTCP u r của d và VTPT n r của (P) và v u,n = r r r B3: Viết PT đng thng d qua im I v cú VTCP v r Dạng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d của hai đờng thẳng chéo nhau d 1 , d 2 . Cách 1: B1: Tìm các VTCP 1 2 u ,u uur uur của d 1 và d 2 . Khi đó đờng thẳng d có VTCP là 1 2 u u ,u = r uur uur B2: Viết PT mp(P) chứa d 1 và có VTPT 1 1 n u,u = uur r uur B3: Viết PT mp(Q) chứa d 2 và có VTPT 2 2 n u,u = uur r uur B4: Đờng thẳng cần tìm d (P) (Q)= . (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d). Cách 2: B1: Gọi M(x 0 +at; y 0 +bt; z 0 +ct) 1 d ; N(x 0 +at; y 0 +bt; z 0 +ct) 2 d là chân các đờng vuông góc chung của d 1 và d 2 . B2: Ta có 1 1 2 2 MN d MN.u 0 t, t ' MN d MN.u 0 = = uuuur uur uuuur uur B3: Thay t và t tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N. Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi qua 2 điểm M, N (Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau) Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đờng thẳng d 1 và d 2 . B1: Viết PT mp(P) chứa d 1 và vuông góc với (P). B2: Viết PT mp(Q) chứa d 2 và vuông góc với (P). B3: Đờng thẳng cần tìm d (P) (Q)= Dạng 16: Lp ng thng d đi qua im A , cắt và vuụng gúc với ng thng d. PP giải: Đây là trờng hợp đặc biệt của dạng 10. . cđa d lµ ®iĨm H= d (P)∩ Dạng 8 : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A và cắt hai đường thẳng 1 d , 2 d C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 . B2: Tìm giao. đợc M, N. Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi qua 2 điểm M, N (Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau) Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông. v cú VTCP v r Dạng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d của hai đờng thẳng chéo nhau d 1 , d 2 . Cách 1: B1: Tìm các VTCP 1 2 u ,u uur uur của d 1 và d 2 . Khi đó đờng thẳng d có VTCP là