Các dạng phương trình mặt phẳng trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN Chủ đề: PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG I- Một số kiến thức cần lưu ý: 1.Vộctơ n   0  nằm trờn đường thẳng vuụng gúc với mp được gọi là vộc tơ phỏp tuyến

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN

Chủ đề: PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG

I- Một số kiến thức cần lưu ý:

1.Vộctơ n   0  nằm trờn đường thẳng vuụng gúc với mp( ) được gọi là vộc tơ phỏp tuyến của mp( )

2 Nếu 2 vộctơ u v   , là 2 vộc tơ khụng cựng phương và cú giỏ song song hoặc nằm trờn mp() thỡ vộctơ n   u v , 

là một vộctơ phỏp tuyến của mặt phẳng ( )

3 Phương trỡnh Ax+By+Cz+D=0 với A2 B2  C2  0 gọi là phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng () Khi đú mp( ) cú một vộctơ phỏp tuyến là n A B C  ( ; ; )

4 Mp() đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và cú vộctơ phỏp tuyến n A B C  ( ; ; ) thỡ mp( ) cú phương trỡnh là A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

(Chú ý: Có toạ độ 1 điểm thuộc mp và VTPT của mp => viết đợc PT tổng quát của mp)

5 Nếu ( ) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc  0thỡ phương trỡnh mặt phẳng

a  b  c  (1) PT(1) được gọi là PT mặt phẳng theo đoạn chắn.

6 Cỏc mp(Oxy); (Oyz); (Oxz) cú phương trỡnh lần lượt là z=0; x=0; y=0

7 Hỡnh chiếu của điểm M(a;b;c) trờn cỏc trục toạ độ Ox; Oy; Oz lần lượt là Mx(a;0;0); My(0;b;0);

Mz(0;0;c) Hỡnh chiếu của M trờn cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là M1(a;b;0);

M2(0;b;c); M3(a;0;c)

8 Điểm đối xứng với điểm M(a;b;c) qua cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là '

1 ( ; ; )

M a b c ; '

2( ; ; )

M a b c ; '

3( ; ; )

M a b c

II- Một số dạng toỏn thường gặp:

Dạng 1: Viết phương trỡnh mp ( ) đi qua 3 điểm khụng thẳng hàng A, B, C

B1: Tìm toạ độ AB, AC 

B2: Tìm nAB, AC



 

   

B3: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Dạng 2: Viết phương trỡnh mp( )  đi qua điểm M 0 cho trước và song song với mp() cho trước (

0 ( )

M   ).

B1: Tìm VTPT n của mp ( )

B2: Mp ( ) cần tìm đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

Dạng 3:Viết phương trỡnh mp trung trực của đoạn thẳng AB.

B1: Tìm toạ độ AB và toạ độ trung điểm I của đoạn AB

B2: Mp cần tìm đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT

Dạng 4: Viết phương trỡnh mp( )  đi qua điểm M 0 cho trước và vuụng gúc với đường thẳng d cho trước.

B1: Tìm VTCP u của d

B2: Viết PT mp( ) đia qua điểm M0 và nhận u làm VTPT

Dạng 5: Viết phương trỡnh mp( )  đi qua điểm M 0 và song song với hai đường thẳng phõn biệt d 1 ;

d 2 cho trước (d1 và d2 khụng song song)

B1: Tìm các VTCP u , u 1 2 của d1 và d2

B2: Tìm nu , u1 2

B3: Viết PT mp( đi qua điểm M) 0 và nhận n làm VTPT

Dạng 6: Viết phương trỡnh mp( )  đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước (M0 d)

B1: Tìm toạ độ điểm M0  d và VTCP u của d

B2: Tìm nAM , u0 

B3: Viết PT mp() đi qua điểm A và nhận n làm VTPT

Dạng 7: Viết phương trỡnh mp( )  chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d 2 cho trước (d1 và d2 khụng song song)

B1: Tìm toạ độ điểm M1d1

và VTCP u , u 1 2 của d1 và d2. B2; Tìm nu , u1 2

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M1 và nhận n làm VTPT

Dạng 8: Viết phương trỡnh mp( )  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d 1 và d 2

B1: Tìm toạ độ điểm M1 d1 (hoặc điểm M2 d2 ) và các VTCP u , u 1 2 của d1 và d2

B2: Tìm nu , u1 2

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhận n làm VTPT

Dạng 9: Viết phương trỡnh mp( )  chứa 2 đường thẳng song song d 1 và d 2

B1: Tìm toạ độ điểm M1 d1 và điểm M2d2 và các VTCP u của d1

B2: Tìm nu, M M1 2

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhận n làm VTPT

Dạng 10: Viết phương trỡnh mp( ) đi qua 2 điểm A, B và vuụng gúc với mp() cho trước (AB khụng vuụng gúc với ( ) )

B1: Tìm toạ độ AB và VTPT n 

của mp  B2: Tìm nAB, n



 

   

B3: Viết PT mp () đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT

Dạng 11: Viết phương trỡnh mp( ) chứa đường thẳng d và vuụng gúc với mp( ) cho trước (đường thẳng d khụng vuụng gúc với ( ) )

B1: Tìm toạ độ điểm Md , VTCP u của d và VTPT n

 của (  )

B2: nu, n

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M và nhận n làm VTPT

Dạng 12: Viết phương trỡnh mp( )  đi qua điểm M 0 và vuụng gúc với 2 mp (P) và (Q) cho trước.

(Hai mp (P) và (Q) khụng song song)

B1: Tìm các VTPT n , n 1 2 của (P) và (Q)

B2: Tìm nn , n1 2

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

Dạng 13: Viết phương trỡnh mp( ) đi qua điểm M 0 , song song với đường thẳng d và vuụng gúc với mp( ) cho trước.(đường thẳng d khụng song song với mp(  )).

B1: Tìm toạ độ VTCP u của d và VTPT n 

của mp  B2: Tìm nu, n

 

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M0 và nhận n làm VTPT

Dạng 14: Viết PT mp( )  tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại điểm H

B1: Tìm toạ độ IH

B2: Viết PT mp() đi qua điểm H và nhận IH làm VTPT

III- Bài tập:

Bài 1: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4); B(-1;-3;5)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8)

a) Viết PT mặt phẳng (ABC)

b) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mp(Oxy)

b) Đi qua điểm M(2;-4;3) và vuông góc với trục Ox

c) Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0

Bài 4: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M(1;2;-3) trên các trục toạ độ

Bài 5: Viết phương trình của mp(P) chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình: x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A((1;0;-2); B(-1;-1;3) và mp(P): 2x-y+2z+1=0 Viết phương trình mp(Q) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp(P)

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0); B(-3;0;2); C(1;2;3); D(0;3;-2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AD và song song với BC

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

2 1 2

 





 



 



và điểm A(1;-2;2) Viết phương trình mặt

phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d

Bài 9: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x y z   4 0 và ( ') : x y  3z1 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;1) và chứa đường thẳng d

Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A(-1;3;-2)

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 1

2 2

1

z

 





 



 



và 2

1

3

x







 



  



Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng: ( ) : x-2y+z-4=0 ; ( ') : x+2y-2z+4=0

a) Chứng tỏ hai mặt phẳng ( ),( ')  cắt nhau theo một giao tuyến d1

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2:

1 2

1 2

 





 



  

 Bài 13: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-2=0 và x+2y-4=0 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mp(Q): 2x-y+2z-3=0 Bài 14: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng ( ) : 2 x y 1 0 và ( ') : z1 0

a) Chứng tỏ 2 mặt phẳng ( );( ')  cắt nhau theo một giao tuyến d

b) Viết phương trình mp(P) chứa d và cách điểm I(-1;2;3) một khoảng bằng 3

-BÀI ĐỌC THÊM : CHÙM MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng ( );( )  cắt nhau theo giao tuyến d:

( ): Ax+By+Cz+D=0

(  ): A’x+B’y+C’z+D’=0

Tập hợp các mặt phẳng () chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi ( )

và ( ) và kí hiệu là (( ),( ))  Người ta chứng minh được phương trình của chùm (( ),( ))  có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m2n2  0

Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng ta giải được rất nhiều bài toán về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì ngắn gọn